зад 1 Жук на подвешенном клочке бумаги
На очень лёгком клочке бумаги нарисовали окружность радиусом \(a\) и подвесили его на неподвижной горизонтальной оси \(O\), относительно которой клочок может свободно вращаться (см. рисунок). В точку \(A\), которая находится на нарисованной окружности под осью, садится жук и начинает ползти по этой окружности с постоянной по модулю скоростью \(V\), перемещаясь в точку \(B\), расположенную на продолжении отрезка \(OA\). Через какое время от начала движения жук будет иметь максимальную скорость относительно неподвижной (лабораторной) системы отсчета, если \(|OA| = a\)? Чему будет равна эта скорость? Считайте массу жука намного больше массы клочка бумаги.
▶ПодсказкаСкрыть
Куда направлена сила тяжести жука и где должен находиться центр масс системы, чтобы клочок покоился? Разложите движение жука на движение по окружности относительно клочка и вращение самого клочка.
▶ОтветСкрыть
\(u_{\max} = V\) при \(t = \dfrac{\pi a}{3V}\).
зад 2 Клин с шариком на нити
На горизонтальной плоскости находится клин массой \(M\), наклонная поверхность которого образует угол \(\alpha\) с горизонтом. На клине лежит маленький шарик массой \(m\), который соединен невесомой нерастяжимой нитью длиной \(L\) с неподвижной осью \(O\), расположенной вне клина (см. рис.). Клин удерживают в таком положении, что нить параллельна наклонной поверхности клина. Трение в системе отсутствует. Клин отпускают, предоставляя системе возможность двигаться. Найдите модули ускорений шарика и клина относительно горизонтальной плоскости в момент сразу после отпускания клина. Нить можно считать очень длинной.
▶ПодсказкаСкрыть
В начальный момент скорости нулевые, поэтому ускорение шарика перпендикулярно нити. Свяжите ускорение шарика с ускорением клина условием, что шарик остаётся на поверхности клина.
▶ОтветСкрыть
\(a = \dfrac{mg\sin^2\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}\); \(A = \dfrac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}\).
зад 3 Четыре термостата и стержни
Четыре термостата, в которых поддерживаются температуры \(T_1 = +10\text{ ºC}\), \(T_2 = +20\text{ ºC}\), \(T_3 = 0\text{ ºC}\) и \(T_4 = -10\text{ ºC}\), соединены между собой при помощи пяти одинаковых теплопроводящих стержней (см. рис.). Найдите установившиеся температуры точек \(A\) и \(B\) соединения стержней. Мощность теплопередачи через каждый стержень пропорциональна разности температур на его концах. Потерями теплоты можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
В установившемся режиме в каждую точку соединения приходит столько же теплоты, сколько уходит. Запишите это для точек \(A\) и \(B\).
▶ОтветСкрыть
\(T_A = \dfrac{3(T_1+T_2)+T_3+T_4}{8} = +10\text{ ºC}\); \(T_B = \dfrac{3(T_3+T_4)+T_1+T_2}{8} = 0\text{ ºC}\).
зад 4 Проволочная сетка между A и D
Определите сопротивление \(R_{AD}\) между точками \(A\) и \(D\) проволочной сетки, показанной на рисунке. Сопротивление каждого из проводников (вне зависимости от его длины), из которых спаяна сетка, равно \(R\). Места спайки проводников обозначены точками. В центре сетки электрический контакт отсутствует.
▶ПодсказкаСкрыть
Воспользуйтесь симметрией сетки относительно прямой \(AD\): найдите точки с одинаковыми потенциалами или расставьте токи по ветвям с учётом симметрии.
▶ОтветСкрыть
\(R_{AD} = \dfrac{5}{9}R\).
зад 5 Ракета, самолёт и квадрокоптер
Ракета удаляется от горизонтальной поверхности Земли со скоростью \(V\), направленной строго вертикально. Параллельно поверхности точно на запад летит самолет со скоростью \(V/\sqrt{3}\). 1) С какой наименьшей по модулю скоростью \(u\) и в каком направлении должен лететь (относительно Земли) квадрокоптер для того, чтобы относительно него ракета и самолет имели противоположные по направлению скорости? 2) Под каким углом к горизонту (относительно Земли) должна быть направлена скорость квадрокоптера для того, чтобы ракета и самолет имели в системе отсчета квадрокоптера противоположные по направлению и равные по модулю скорости? Чему равен модуль скорости квадрокоптера в этом случае?
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость тела относительно квадрокоптера — разность скоростей тела и квадрокоптера. Постройте треугольники скоростей: конец вектора скорости квадрокоптера лежит на определённой прямой.
▶ОтветСкрыть
1) квадрокоптер должен двигаться в западном направлении под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту; 2) скорость направлена в западном направлении под углом \(60^\circ\) к горизонту и равна по модулю скорости самолёта, то есть \(V/\sqrt{3}\).
зад 6 Кубики на блоках в жидкости
В находящуюся в широком сосуде жидкость частично погружены одинаковые кубики со стороной \(a\) и массой \(M\), которые удерживаются в равновесии при помощи системы, состоящей из невесомых блоков, соединенных очень легкой и нерастяжимой нитью (см. рис.). Трение в осях блоков отсутствует, плотность жидкости равна плотности кубиков. Изначально правый кубик погружен в жидкость ровно наполовину. 1) На какую величину изменится глубина погружения правого кубика, если на левый кубик поместить небольшой перегрузок массой \(m = M/16\)? 2) На сколько в результате этого изменятся модуль силы натяжения нити и модуль силы давления жидкости на дно? 3) При каких значениях массы перегрузка оба кубика останутся частично погруженными в жидкость? Явлениями, связанными со смачиванием поверхностей кубиков жидкостями, можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите силы, действующие на блоки, через натяжение нити и запишите условия равновесия кубиков до и после добавления перегрузка. Свяжите изменения глубин погружения кубиков через длину нити.
▶ОтветСкрыть
1) \(\Delta h = \dfrac{2ma}{5M} = \dfrac{a}{40}\); 2) \(\Delta T = T_2 - T_1 = \dfrac{mg}{5}\), \(\Delta F = \dfrac{2mg}{5} = \dfrac{Mg}{40}\); 3) \(m < \dfrac{5}{16}M\).
зад 7 Смесь воды со льдом в радиаторе
Для охлаждения своих одинаковых экспериментальных установок юные физики Вася и Петя используют радиаторы, в которые через трубки одинакового сечения закачивают жидкую смесь холодной воды, имеющей температуру \(t_0 = 0\text{ °C}\), с мелко перетёртым льдом в объёмном соотношении три к одному. Известно, что в экспериментальной установке Васи на выходе из радиатора получается вода с температурой \(t_1 = +32\text{ °C}\), а в установке Пети — с температурой \(t_2 = +75\text{ °C}\). Тепловые мощности, отбираемые охлаждающей смесью у двух установок, одинаковы. Чему равно отношение скоростей закачивания смеси в радиаторы экспериментальных установок Васи и Пети? Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1000\text{ кг/м}^3\), плотность льда \(\rho_\text{л} = 900\text{ кг/м}^3\), удельная теплоемкость воды \(c = 4200\text{ Дж/(кг}\cdot\text{°C)}\), удельная теплота плавления льда \(\lambda = 3{,}35\cdot 10^5\text{ Дж/кг}\).
▶ПодсказкаСкрыть
За одно и то же время через радиатор проходит объём смеси, пропорциональный скорости закачивания. Найдите теплоту, нужную для плавления льда и нагрева всей воды до конечной температуры, на единицу объёма смеси.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{\lambda\rho_\text{л} + c(\rho_\text{л}+3\rho_\text{в})t_2}{\lambda\rho_\text{л} + c(\rho_\text{л}+3\rho_\text{в})t_1} \approx 1{,}85\).
зад 8 Три омметра в цепи
На рисунке приведена схема цепи, состоящей из трех одинаковых омметров \(\Omega\), с помощью которых измеряется неизвестное сопротивление \(R\) резистора. Полярность включения у всех омметров одинаковая. Один из омметров показывает сопротивление \(R_1 = 100\text{ Ом}\), а другой \(R_2 = 800\text{ Ом}\). Каковы показания \(R_3\) третьего омметра? Чему равно сопротивление \(R\) резистора?
Указание. Можно считать, что омметр состоит из соединенных последовательно идеального источника с напряжением \(U\), резистора с сопротивлением \(r\) и идеального амперметра. Показания амперметра автоматически пересчитываются в сопротивление подключенного к его клеммам резистора, которое отображается на цифровом табло прибора.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите показание каждого омметра через ток, текущий через него, сравните токи в параллельных омметрах и в одиночном, затем запишите второе правило Кирхгофа для контура с омметрами и резистором.
▶ОтветСкрыть
\(R_3 = 800\text{ Ом}\); \(R = 500\text{ Ом}\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2016/17, заключительный этап, 9 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.