МОШ, 2017/18, отборочный этап, 10 класс

Нить невесома и перекинута через блоки без трения, поэтому её натяжение одинаково во всех точках. Что оно должно равняться, чтобы левый груз покоился, и какое ускорение тогда получит правый?

\(a = g/2 = 5\text{ м/с}^2\), направлено вниз.

Пусть \(m\) — масса правого груза. Чтобы левый груз оставался в покое, натяжение нити должно равняться \(T = 2mg\). Тогда правый груз будет двигаться вверх с ускорением \(a_1 = \dfrac{2mg - mg}{m} = g\). Поскольку левый конец нити неподвижен, средний блок должен двигаться вниз с ускорением \(a = \dfrac{g}{2}\).

Первоначальная деформация — из условия равновесия груза. Работа постоянной силы зависит только от самой силы и пройденного пути, а не от того, во что превращается энергия.

\(x = 20\) см;  \(A_F = 3\) Дж.

Из второго закона Ньютона находим первоначальную деформацию пружины: \(kx = mg \;\Rightarrow\; x = 20\) см.

По определению работы силы \(A_F = Fh = 3\) Дж. Жёсткость пружины и масса тела определяют лишь изменения потенциальной и кинетической энергий тела, которые в сумме всегда дают искомую работу.

Запишите закон теплопередачи для обоих режимов с одним и тем же коэффициентом пропорциональности и поделите уравнения друг на друга.

\(t_2 = 58\,{}^\circ\)C.

Тепловой поток от нагревателя к бассейну прямо пропорционален разности температур между ними, следовательно, \[N_1 = \alpha(t_1 - t_0), \qquad N_2 = \alpha(t_2 - t),\] где \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности. Разделив первое уравнение на второе, получаем \[t_2 = \frac{(t_1 - t_0)\,N_2}{N_1} + t.\] Подставляя численные значения, найдём искомую температуру \(t_2 = 58\,{}^\circ\)C.

Идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление, так что его концы можно считать одной точкой. Перерисуйте схему и найдите, какие резисторы оказались под одним и тем же напряжением.

\(I_2 = 0{,}15\) А.

Если перерисовать схему с учётом того, что амперметры идеальные, то становится понятно, что напряжение на центральном резисторе равно напряжению на левом резисторе начальной схемы.

Таким образом, из закона Ома для участка цепи получаем силу тока, протекающего через центральный резистор: \(I_{2R} = 0{,}05\) А. Очевидно, что второй амперметр показывает сумму двух токов \(I_2 = I_1 + I_{2R} = 0{,}15\) А.

Движение колеса — чистое вращение вокруг мгновенного центра. Свяжите скорость центра колеса с угловой скоростью и расстоянием до этого центра, а угловую скорость — с числом оборотов за то же время.

\(x = \dfrac{S}{2\pi N} \approx 6{,}4\) см.

Скорость центра колеса равна \(v = \omega x\), где \(x\) — расстояние от центра колеса до мгновенного центра вращения. Так как движение равномерное, \(S = vt\), где \(S\) — перемещение центра колеса за время \(t\). С другой стороны, \(2\pi N = \omega t\). Решая систему уравнений, получаем \[x = \frac{S}{2\pi N} = 6{,}4\text{ см}.\]

Лист лёгкий, поэтому сумма приложенных к нему сил равна нулю: силы трения сверху и снизу равны по модулю. Выясните, по какой из двух поверхностей лист начнёт проскальзывать первым.

При \(F \le 2\mu mg\): \(a_{\text{в}} = a_{\text{н}} = \dfrac{F}{2m}\);  при \(F \ge 2\mu mg\): \(a_{\text{н}} = \dfrac{F}{m} - \mu g\), \(a_{\text{в}} = \mu g\).

Так как лист лёгкий, то сумма всех сил, приложенных к нему, равна нулю. Поскольку коэффициент трения снизу больше коэффициента трения сверху, то лист бумаги начнёт двигаться так же, как и нижний брусок. Возможны два случая:

1. \(F \le 2\mu mg\), тогда \(a_{\text{в}} = a_{\text{н}} = \dfrac{F}{2m}\).

2. \(F \ge 2\mu mg\), тогда \(a_{\text{н}} = \dfrac{F}{m} - \mu g\);  \(a_{\text{в}} = \mu g\).

Найдите скорость центра масс системы сразу после удара. Энергия движения относительно центра масс при максимальной деформации целиком переходит в энергию пружины.

\(x = 0{,}1\) м.

В результате абсолютно упругого удара скорость тела массой 300 г меняет направление на противоположное. Пусть \(v\) — первоначальная скорость тел до соударения. Скорость движения центра масс системы после отражения равна \[V_{\text{ц.м.}}^{\text{после}} = \frac{m_2 v - m_1 v}{m_1 + m_2} = \frac{v}{2}\] (направлена от стенки). Запишем закон сохранения энергии для всей системы: \[\frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = \frac{(m_1 + m_2)\,v^2/4}{2} + \frac{kx^2}{2} \;\Rightarrow\; x = v\sqrt{\frac{3(m_1 + m_2)}{4k}} = 0{,}1\text{ м}.\]

Тепло газ получает только на изобаре. Для одноатомного газа в изобарном процессе теплота, изменение внутренней энергии и работа относятся как \(5:3:2\).

\(\eta = 0{,}2\).

Работа газа за цикл: \(A = 3{,}4 - 1{,}7 = 1{,}7\) Дж. Газ получает тепло при изобарическом расширении. Из первого начала термодинамики следует, что в изобарических процессах с одноатомным идеальным газом величины \(Q\), \(\Delta U\) и \(A\) всегда относятся соответственно как \(5:3:2\). Значит, \[Q_+ = \frac{5}{2}A_{12} = 2{,}5 \cdot 3{,}4 = 8{,}5\text{ Дж}.\] К.п.д. цикла равен \[\eta = \frac{A}{Q_+} = \frac{3{,}4 - 1{,}7}{8{,}5} = 0{,}2.\]

Воспользуйтесь симметрией схемы: нарисуйте эквивалентную схему и проверьте, не является ли она сбалансированным мостом.

\(R_{\text{общ}} = R\).

Эквивалентная схема представляет собой сбалансированный мост. Значит, получаем систему из двух параллельно соединённых резисторов сопротивлением \(2R\) каждый. Окончательный ответ: \(R\).