МОШ, 2017/18, отборочный этап, 7 класс

Выразите обе величины через одну и ту же единицу, например через секстарии.

150 секстариев больше, чем 3 амфоры (\(3\text{ амфоры} = 144\) секстария).

Пусть К, С, У и А – обозначения единиц измерения объёма. Так как \(1\text{У} = \tfrac12\text{А}\), следовательно, \(288\text{К} = \tfrac12\text{А}\). Поскольку \(12\text{К}\) составляют \(1\text{С}\), то \(288\text{К} = 24\text{С}\), отсюда получаем \(\tfrac12\text{А} = 24\text{С}\). Следовательно, \(3\text{А} = 144\text{С}\). Значит, 150 секстариев больше по объёму, чем три амфоры.

Сколько всего километров проехал Айболит? На сколько позже запланированного он приехал?

\(v = 90\text{ км/ч}\).

Из условия следует, что Айболит в результате проехал \(52\text{ км} + 2\times 10\text{ км} = 72\text{ км}\). При этом он опоздал на 30 мин. Составим уравнение: \[\frac{72}{v} - \frac{27}{v} = 0{,}5\text{ ч},\] где \(v\) – постоянная скорость Айболита. Решая уравнение, получаем скорость доктора \[v = \frac{72\text{ км} - 27\text{ км}}{0{,}5\text{ ч}} = 90\,\frac{\text{км}}{\text{ч}}.\]

Перейдите в систему отсчёта Карла: с какой скоростью и на какое расстояние Кларе нужно сократить отставание?

\(S = 200\text{ м}\).

Скорость Клары относительно Карла равна \(v_{\text{отн}} = 5\text{ м/с} - 4\text{ м/с} = 1\text{ м/с}\). Следовательно, Клара обгонит Карла на 10 м через \[t = \frac{30\text{ м} + 10\text{ м}}{1\text{ м/с}} = 40\text{ с}.\] Отсюда расстояние, которое необходимо пробежать Кларе, равно \(S = v \times t = 5\text{ м/с} \times 40\text{ с} = 200\text{ м}\).

Сколько маленьких делений укладывается в одном дюйме? Сколько таких делений занимает сам шуруп без головки и шайбы?

Цена деления \(0{,}3175\text{ см}\); толщина стены \(d \ge 5{,}40\text{ см}\).

Из рисунка следует, что цена деления линейки \(\tfrac18\) дюйма \(= 0{,}125\) дюйма \(= 0{,}3175\) см. Следовательно, толщина \(d\) стены должна быть не меньше длины шурупа (без учёта головки и шайбы): \[d \ge 17 \times 0{,}3175 = 5{,}40\text{ см}.\] Толщина стены может быть и больше.

До встречи велосипедисты сближаются с суммой скоростей. Сравните, какой путь каждому остаётся после встречи.

Одинаковое для обоих время: \(t = 150\text{ с}\).

Время движения велосипедистов до их встречи равно \(t_1 = \dfrac{s}{v_1 + v_2} = 150\text{ с}\). Велосипедисты достигнут пунктов назначения одновременно через время \(t_2 = \dfrac{2s}{v_1 + v_2} = 300\text{ с}\). Значит, считая от момента встречи, первому и второму велосипедистам понадобится одинаковое время \(t = t_2 - t_1 = 150\text{ с}\).

Раз водитель приехал вовремя, чему равна его средняя скорость на всём пути? Участки со скоростью 70 км/ч не влияют на среднюю.

Снег шёл \(t_2 = 15\text{ мин}\); средняя скорость \(v_{\text{ср}} = 70\text{ км/ч}\).

Так как автомобиль приехал вовремя, то средняя скорость равна первоначальной: \(v_{\text{ср}} = 70\text{ км/ч}\). Средняя скорость равна \[v_{\text{ср}} = \frac{s_1 + s_2 + s_3 + s_4}{t_1 + t_2 + t_3 + t_4} \;\Longrightarrow\; v_{\text{ср}} t_2 + v_{\text{ср}} t_4 = v_2 t_2 + s_4 \;\Longrightarrow\; t_2 = 15\text{ мин}\] (в последнем преобразовании учтено, что \(v_{\text{ср}} t_1 = v_1 t_1 = s_1\) и \(v_{\text{ср}} t_3 = v_3 t_3 = s_3\)).

Выразите разность показаний весов через уровни жидкостей и найдите, когда она максимальна: в какой момент опустеет один из стаканов?

Отношение плотностей \(3/2\).

Когда более плотную жидкость полностью откачают, а менее плотная жидкость заполнит ровно половину сосуда, в этот момент между показаниями весов максимальная разность. Так как сосуды одинаковы, следовательно, масса менее плотной жидкости в этот момент равна 0,5 кг. Значит, в начальный момент масса менее плотной жидкости была равна 1 кг, а более плотной – 1,5 кг. Отношение плотностей жидкостей \(3/2\).

Какую долю площади квадрата занимает треугольник, у которого сторона квадрата служит основанием, а вершина лежит на противоположной стороне?

\(\sigma = 2{,}4\text{ кг/м}^2\).

Из рисунка видно, что площадь наклеенной бумаги равна половине площади листа. Значит, \[\sigma = \frac{m_{\text{фан}} + m_{\text{бум}}}{s} = \frac{\sigma_{\text{фан}}\, s + \sigma_{\text{бум}}\, s/2}{s} = 2{,}4\text{ кг/м}^2.\]