МОШ, 2017/18, отборочный этап, 8 класс

Подсказка

Средняя скорость на всём пути — это весь путь, делённый на всё время. Путь складывается из путей на двух участках.

Ответ

\(v_1 = 9{,}25\) м/с.

Решение

Средняя скорость Карлсона на всем участке пути равна \[v_{ср} = \frac{v_1 t_1 + v_2 t_2}{t},\] где \(v_1\), \(v_2\) — средние скорости на первом и втором участке пути соответственно. Выразим искомую величину: \[v_1 = \frac{v_{ср} t - v_2 t_2}{t_1}\] и подставим численные значения. Окончательно получаем \(v_1 = 9{,}25\) м/с.

Подсказка

Кружка была полна, значит, часть воды вылилась. Сколько воды осталось и каков объём содержимого?

Ответ

Плотность увеличится на \(0{,}36\) г/см\(^3\) (с 1 до \(1{,}36\) г/см\(^3\)).

Решение

Так как кружка заполнена доверху, то после погружения грузика часть воды выльется. Формула для плотности «смеси» будет иметь следующий вид: \[\rho_{см} = \frac{m_{в1} + m_{гр}}{V_{в1} + V_{гр}},\] где \(m_{в1}\) и \(V_{в1}\) — масса и объём оставшейся воды после погружения груза в кружку. Объём груза равен \(V_{гр} = \dfrac{m_{гр}}{\rho_{гр}} = 17{,}7\) см\(^3\). Значит, \(V_{в1} = V - V_{гр} = 482{,}3\) см\(^3\), где \(V = 0{,}5\) л. Плотность смеси равна \(\rho_{см} = 1{,}36\) г/см\(^3\). Окончательно определяем разность \(\rho_{см} - \rho_{в} = 0{,}36\) г/см\(^3\).

Подсказка

Нить, перекинутая через невесомый блок с грузом, делится нагрузкой пополам. Запишите равенство моментов относительно опоры; сила тяжести однородного рычага приложена в его середине.

Ответ

\(M = m\).

Решение

Пусть \(a\) — длина одного «деления» рычага. Сила натяжения каждой нити у блока равна \(\dfrac{mg}{2}\). Моменты силы тяжести, действующие на рычаг слева и справа относительно точки опоры, равны: \[4mga = \frac{m}{2}\,ga + 5\,\frac{m}{2}\,ga + Mga .\] Решая полученное уравнение, находим, что \(M = m\).

Подсказка

В конечном состоянии пружина растянута: она тянет кубик вниз, и вместе с силой тяжести эта сила уравновешивается силой Архимеда. Кубик при этом погружён полностью.

Ответ

\(\rho_к = 0{,}33\) г/см\(^3\).

Решение

Запишем второй закон Ньютона для случая, когда пружина сжата: \[mg = k\Delta x_1,\] где \(\Delta x_1\) — деформация пружины в первом случае. По мере наполнения стакана водой пружина начинает разжиматься и в итоге будет растянута на \(\Delta x_2 = 2\) см, то есть направление силы упругости сменится на противоположное. Запишем второй закон Ньютона для конечного положения кубика с учётом того, что на него действует выталкивающая сила со стороны воды: \[mg + k\Delta x_2 = \rho_в g\,\frac{m}{\rho_к},\] где \(\rho_в\), \(\rho_к\) — плотности воды и кубика соответственно. Подставляя во второе уравнение значение \(k\Delta x_1\) вместо \(mg\), получаем выражение \(k(\Delta x_1 + \Delta x_2) = \rho_в g\,\dfrac{m}{\rho_к}\). Решая систему уравнений, получаем: \[\rho_к = \frac{\rho_в \Delta x_1}{\Delta x_1 + \Delta x_2} = 0{,}33 \text{ г/см}^3 .\]

Подсказка

Первая половина времени и последние две трети времени перекрываются. На какие участки по времени естественно разбить движение?

Ответ

\(v_{ср2} = 51\) км/ч.

Решение

В случае, когда тело движется равные промежутки времени с некоторыми скоростями, средняя скорость за всё время движения равна их среднему арифметическому. Средняя скорость тела, с которой оно двигалось вторую половину времени: \(v_2 = 2v_{ср} - v_1 = 42\) км/ч. Тело движется в течение времени \(\dfrac{2}{3}t - \dfrac{t}{2} = \dfrac{t}{6}\) со скоростью 78 км/ч, где \(t\) — всё время движения. Окончательно получаем: \[v_{ср2} = \frac{v_1 \cdot \frac{t}{6} + v_2 \cdot \frac{t}{2}}{\frac{2}{3}t} = 51 \text{ км/ч}.\]

Подсказка

Сравните силу давления воды на дно до и после таяния льда. Что говорит равенство сил натяжения двух нитей о плотности игрушки?

Ответ

Уровень воды повысится на \(\Delta h = \dfrac{T}{\rho g S}\).

Решение

Из равенства натяжения нитей следует, что плотность игрушки равна плотности воды. Рассмотрим силы давления на дно сосуда до и после того, как лёд растаял.

1. До: \(\rho g h_1 S = (m + M)g + m_л g - T\), где \(m\) — масса игрушки, \(M\) — масса воды, \(T\) — сила натяжения нити.

2. После: \(\rho g h_2 S = (m + M)g + m_л g\).

Решая эти уравнения, получаем \(\Delta h = \dfrac{T}{\rho g S}\).

Подсказка

Запишите условие равновесия доски по вертикали, равновесие каждого груза и уравнение моментов для доски относительно удобной точки, например точки крепления нити.

Ответ

\(F_1 = \dfrac{mg}{3}\).

Решение

Рассмотрим все силы, действующие на подставку, и запишем для неё условие равновесия: \(T_1 + T_2 = F_1 + F_2 + 2mg\), где \(F_1\), \(F_2\) — силы давления грузов на подставку. Теперь запишем условия равновесия грузов: \[T_1 = mg - F_1, \qquad T_2 = 3mg - F_2 .\] Решая систему уравнений, получим: \(F_2 = mg - F_1\). Запишем уравнение моментов относительно точки крепления левого конца левой нити: \[F_1 + 4mg - 3T_2 + 4F_2 = 0 .\] Окончательно получаем: \(F_1 = \dfrac{mg}{3}\).

Подсказка

Из первого контакта найдите, во сколько раз теплоёмкость А меньше теплоёмкости В. В конце все три тела имеют одну температуру: запишите общий тепловой баланс.

Ответ

\(t_{уст} \approx 54{,}4\) °C.

Решение

Запишем уравнение теплового баланса при первом контакте: \[C_А t_А + C_В t_В = (C_А + C_В)t \;\Longrightarrow\; C_А = \frac{t_В - t}{t - t_А}\,C_В = \frac{2}{8}\,C_В = 0{,}25\,C_В,\] где \(C_А\) — теплоёмкость тела А, \(C_В\) — теплоёмкость тела В, \(t_А = 10\) °C, \(t_В = 20\) °C, \(t = 18\) °C. Конечная температура тел А, Б и В станет одинаковой. Следовательно, уравнение теплового баланса после многократных контактов: \[C_А t_А + C_Б t_Б + C_В t_В = (C_А + C_Б + C_В)t_{уст} \;\Longrightarrow\; t_{уст} = \frac{0{,}25\,C_В t_А + C_В(t_Б + t_В)}{2{,}25\,C_В} = 54{,}4 \text{ °C}.\]