МОШ, 2017/18, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Средняя скорость с начала движения равна \(x(t)/t\). Выразите отсюда координату \(x(t)\) и посмотрите, какой вид имеет её график и когда мгновенная скорость обращается в нуль.

Ответ

Минимальная по модулю скорость равна \(0\) (в момент \(t = 1\) ч, когда автомобиль развернулся); путь за 2 ч равен \(100\) км.

Решение

Из графика следует, что \[v_{\text{ср}} = 100 - 50t.\] С другой стороны, \[v_{\text{ср}} = \frac{x - x_0}{t} \quad\Longrightarrow\quad x(t) = 100t - 50t^2 = 50t(2 - t),\] где \(x\) — координата автомобиля в момент времени \(t\), \(x_0\) — начальная координата, которую мы приняли равной нулю. График функции \(x(t)\) — парабола, и при \(t = 1\) ч имеет максимум (это говорит о том, что автомобиль развернулся). Значит, минимальное значение скорости по модулю равно \(0\) км/ч. За первый час автомобиль проехал \(x(1) = 100 - 50 = 50\) км. Следовательно, пройденный путь за 2 ч равен \(100\) км.

Подсказка

Запишите правило моментов для стержня в воздухе, а затем для погружённых тел, заменив веса на веса за вычетом силы Архимеда (тела при этом стоят на других плечах).

Ответ

\(\rho_1 = 1{,}4\) г/см\(^3\),  \(\rho_2 = 2{,}8\) г/см\(^3\).

Решение

Запишем уравнение моментов относительно оси вращения стержня: \[\rho_2 g V_2 \cdot 6a = \rho_1 g V_1 \cdot 4a \quad\Longrightarrow\quad 3V_2 = V_1.\] Запишем уравнение моментов для второго случая с учётом того, что на погруженные тела действует сила Архимеда: \[g V_1(\rho_1 - \rho_{\text{в}}) \cdot 6a = g V_2(\rho_2 - \rho_{\text{в}}) \cdot 4a.\] Решая систему уравнений, получаем \(\rho_1 = \dfrac{7}{5}\rho_{\text{в}} = 1{,}4\) г/см\(^3\), \(\rho_2 = \dfrac{14}{5}\rho_{\text{в}} = 2{,}8\) г/см\(^3\).

Подсказка

Температура \(0\) °C устанавливается при смеси льда и воды. Найдите два крайних случая: когда весь лёд едва успел растаять и когда вся вода едва успела замёрзнуть.

Ответ

\(1{,}13\text{ кг} \le m_{\text{л}} \le 25{,}71\text{ кг}\).

Решение

Рассмотрим вариант, когда весь лёд растаял. Запишем для этого случая уравнение теплового баланса: \[Q_{\text{охл.воды}} + Q_{\text{плавл.льда}} + Q_{\text{нагр.льда}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{\text{в}} m_{\text{в}}(t - t_1) + \lambda m_{\text{л}1} + c_{\text{л}} m_{\text{л}1}(t - t_2) = 0.\] Отсюда следует, что минимально возможная масса льда равна \[m_{\text{л}1} = \frac{c_{\text{в}} m_{\text{в}}(t_1 - t)}{\lambda + c_{\text{л}}(t - t_2)} = 1{,}13\text{ кг}.\] Рассмотрим теперь случай, когда вся вода замёрзла. Уравнение теплового баланса будет выглядеть следующим образом: \[Q_{\text{охл.воды}} + Q_{\text{крист.воды}} + Q_{\text{нагр.льда}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_{\text{в}} m_{\text{в}}(t - t_1) - \lambda m_{\text{в}} + c_{\text{л}} m_{\text{л}2}(t - t_2) = 0.\] Значит, максимально возможная масса льда равна \[m_{\text{л}2} = \frac{\lambda m_{\text{в}} - c_{\text{в}} m_{\text{в}}(t - t_1)}{c_{\text{л}}(t - t_2)} = 25{,}71\text{ кг}.\] Окончательно получаем, что \(1{,}13\text{ кг} \le m_{\text{л}} \le 25{,}71\text{ кг}\).

Подсказка

Посмотрите, не соединены ли выводы какой-нибудь лампы накоротко проводом. Мощность на лампе при известном напряжении: \(P = U^2/R\).

Ответ

Больше всех потребляет лампа сопротивлением \(2R\).

Решение

Из рисунка видно, что лампочка сопротивлением \(R\) «закорочена», значит, в результате получается схема, состоящая из двух лампочек, соединённых параллельно. Из формулы \(P = \dfrac{U^2}{R}\) с учётом того, что напряжения на лампочках равны между собой, следует, что большую мощность будет потреблять лампочка сопротивлением \(2R\).

Подсказка

Начальную скорость найдите из энергии. Затем нарисуйте треугольник скоростей \(\vec v = \vec v_0 + \vec g t\): в нём известны две стороны и угол между ними.

Ответ

\(t \approx 4{,}4\) с.

Решение

Запишем закон сохранения энергии (или формулу \(h = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2g}\)): \[\frac{m v_0^2}{2} + mgh = \frac{m v^2}{2} \quad\Longrightarrow\quad v_0 = \sqrt{v^2 - 2gh}.\] Теперь в треугольнике скоростей \(\vec v = \vec v_0 + \vec g t\) известны две стороны и угол между ними \(\beta\). Воспользовавшись теоремой косинусов, окончательно получаем: \(t = 4{,}4\) с.

Подсказка

Нить действует на малое тело вертикально вверх, а на большое — горизонтально, с одной и той же силой. Составьте условие нерастяжимости нити через ускорения тел и конца нити.

Ответ

\(F = 20\) Н.

Решение

Пусть \(m\) — масса маленького тела, \(M\) — масса большого тела. Вдоль стола тела движутся с ускорением \(A = \dfrac{F}{m + M}\). Вертикальная составляющая ускорения тела массой \(m\) равна: \(a_y = \dfrac{F}{m} - g\). Запишем уравнение кинематической связи для ускорений тел: \[a_0 - A - a_y = 0 \quad\Longrightarrow\quad F = \frac{a_0 + g}{\dfrac{1}{m + M} + \dfrac{1}{m}} = 20\text{ Н},\] где \(a_0\) — ускорение, с которым тянут свободный конец нити.

Подсказка

Что говорит равенство натяжений верхней и нижней нитей о верхней игрушке? Сравните силы давления на дно сосуда до и после таяния льда: что изменилось?

Ответ

Уровень воды понизится на \(\Delta h = \dfrac{T}{\rho g S}\).

Решение

Из равенства натяжения нитей следует, что плотность верхней игрушки равна плотности воды. Рассмотрим силы давления на дно сосуда до и после того, как лёд растаял.

1. До: \(\rho g h_1 S = (m + M)g + m_{\text{л}} g\), где \(m\) — суммарная масса игрушек, \(M\) — масса воды.

2. После: \(\rho g h_2 S + F_{\text{д}} = (m + M)g + m_{\text{л}} g\), \(F_{\text{д}}\) — сила давления нижнего камня на дно.

Правые части уравнений между собой равны, а сила давления равна силе натяжения \(T\), отсюда получаем, что уровень воды понизится на величину \(\Delta h = \dfrac{T}{\rho g S}\).

Подсказка

Сосуд полон, поэтому погружённое тело вытесняет воду, и масса воды в сосуде уменьшается. Запишите баланс для одного и для двух тел и исключите неизвестную начальную температуру тела.

Ответ

\(t_2 = 2t_1 - t_0 = 33\) °C.

Решение

Запишем уравнение теплового баланса для двух случаев (с учётом соотношений плотностей и теплоёмкостей тела и воды): \[c(m - \rho V)(t_1 - t_0) = \frac{c}{2}\cdot 2\rho V(t_{\text{т}} - t_1) \quad\Longrightarrow\quad c m t_1 = c m t_0 + c\rho V(t_{\text{т}} - t_0),\] \[c(m - 2\rho V)(t_2 - t_0) = \frac{c}{2}\cdot 4\rho V(t_{\text{т}} - t_2) \quad\Longrightarrow\quad c m t_2 = c m t_0 + 2c\rho V(t_{\text{т}} - t_0),\] где \(t_{\text{т}}\) — начальная температура тела. Решая систему уравнений, окончательно получаем: \(t_2 = 2t_1 - t_0 = 33\) °C.

Подсказка

Идеальный амперметр — просто провод: объедините соединённые им узлы и перерисуйте схему. Затем найдите токи через резисторы и примените закон сохранения заряда в узле с амперметром.

Ответ

Амперметр покажет \(0{,}5\) А.

Решение

На эквивалентной схеме видно, что резистор сопротивлением 3 Ом присоединён параллельно ко всему остальному участку.

Суммарный ток, который протекает через эту ветвь, равен 3 А. Через сопротивление 6 Ом протекает ток 1 А, а через сопротивление 2 Ом протекает ток 1,5 А. Из закона сохранения заряда следует, что амперметр покажет 0,5 А.