МОШ, 2017/18, заключительный этап, 8 класс

Марсоход двигался по поверхности красной планеты. Его бортовой компьютер дал сбой и в течение 12 минут строил график зависимости обратной величины средней путевой скорости \(\dfrac{1}{V_{\text{ср}}}\) от времени \(t\) (которую компьютер вычислял с момента сбоя). Помогите ученым расшифровать полученные результаты.

1. Постройте график зависимости мгновенной скорости марсохода от времени.

2. Определите путь, пройденный марсоходом за эти 12 минут.

▶ОтветСкрыть

Ответ

1) график мгновенной скорости: \(10\) м/мин на \(0\)–\(1\) мин, \(0\) на \(1\)–\(2\) мин, \(5\) м/мин на \(2\)–\(4\) мин, \(0\) на \(4\)–\(6\) мин, \(10/3\) м/мин на \(6\)–\(9\) мин, \(0\) на \(9\)–\(12\) мин (см. рис.);  2) \(30\) м.

В цилиндрическую трубу постоянного сечения, частично заполненную толстым слоем орехов, снизу поступает вода со скоростью \(w = 0{,}5\) см/с. Орехи при этом всплывают как единое целое со скоростью \(u = 0{,}2\) см/с (скорости \(w\) и \(u\) отличаются потому, что между стенками трубы и орехами есть трение). Объём одного ореха \(\Omega = 25\) см\(^3\), в одном литре их содержится \(n = 30\) штук. Найдите скорость \(V\) подъёма уровня воды внутри слоя орехов (то есть границы между сухими и мокрыми орехами). Ниже уровня воды зазоры между орехами полностью заполнены водой, а выше этого уровня "— воздухом.

Турист бросил со скалы однородную гибкую веревку длиной 45 м. Веревка повисла на двух ветках сосны и висит неподвижно. Получились четыре почти вертикальных отрезка веревки, как показано на рисунке 1. Ветки располагались на одном горизонтальном уровне на высоте \(H = 25\) метров над землёй на расстоянии не больше метра друг от друга (рис. 2).

На каком минимальном расстоянии от земли могла находиться самая нижняя точка веревки? Верёвка не соскальзывает с веток благодаря силе трения, поэтому модули сил натяжения \(T_1\) и \(T_2\) вертикальных участков веревки вблизи ветки по разные стороны от нее (см. рис. 3) могут быть разными, но их отношение \(T_1/T_2\) для рассматриваемого случая не может быть больше 2. Диаметр веток намного меньше длины веревки.

На пластинку из тугоплавкого текстолита нанесён слой оловянного припоя (температура плавления 190 °С) толщиной \(d_1 = 20\) мкм. Эту пластинку, взятую при комнатной температуре 20 °С, погружают в насыщенный пар специальной полимерной жидкости (Galden), температура которого равна 200 °С. Пар конденсируется на слое припоя, вследствие чего припой плавится. Определите толщину слоя сконденсировавшейся жидкости к тому моменту, когда весь слой припоя расплавится. Учитывайте теплообмен только между припоем и конденсирующимся полимером. Жидкий припой с текстолита и жидкий полимер с припоя не стекают. Плотность, удельная теплоёмкость и удельная теплота плавления припоя: \(\rho_1 = 8100\) кг/м\(^3\), \(c_1 = 230\) Дж/(кг\(\cdot\)°С), \(\lambda = 60\) кДж/кг. Плотность, удельная теплоёмкость и удельная теплота испарения жидкого полимера: \(\rho_2 = 1800\) кг/м\(^3\), \(c_2 = 970\) Дж/(кг\(\cdot\)°С), \(L = 60\) кДж/кг. Считайте, что теплота испарения не зависит от температуры.

В лаборатории у юного химика в двух стаканах хранились две жидкости разного объёма: в одном "— синяя, а в другом "— красная. Однажды химик смешал половину синей и половину красной жидкости в колбе, получив смесь с плотностью \(\rho_1\). Остатки жидкостей из стаканов он смешал во второй и третьей колбе, при этом плотность смеси во второй колбе оказалась равной \(\rho_2\), а в третьей "— \(\rho_3\). Найдите отношение объемов трёх получившихся смесей и запишите условие, которому должны удовлетворять плотности этих смесей. Считайте, что при смешивании жидкостей их объемы складываются.

В последние годы стали популярны выставки, на которых демонстрируют простейшие механизмы, якобы сделанные по чертежам Леонардо да Винчи. На фотографиях показан экспонат одной из таких выставок: он называется червячная передача. Какой выигрыш в силе (без учета трения) даёт это устройство? Считайте, что длина ворота (от ручки до горизонтальной оси) в два раза больше диаметра барабана, на который наматывается веревка.

В широком поддоне с вертикальными стенками, который частично заполнен водой, стоит доверху наполненный водой стакан. Два цилиндрических груза удерживаются в равновесии с помощью системы блоков и нитей, как показано на рисунке. На правом грузе стоит маленький перегрузок массой \(\Delta m\). При этом левый груз касается поверхности воды своей нижней гранью, а правый груз "— верхней. Площадь горизонтального поперечного сечения левого груза равна \(S\), а правого "— \(2S\). С правого груза очень медленно снимают перегрузок, после чего левый груз оказывается частично погруженным в воду.

1. На сколько изменится высота уровня воды в поддоне?

2. Какая масса воды перельётся из стакана в поддон?

3. Какой вид имеет зависимость глубины погружения в воду левого груза от массы перегрузка?

Очень толстый слой льда имеет температуру 0 °C. Полярник решил провести эксперимент. Для этого он сделал во льду небольшую лунку и накрыл её слоем теплоизолятора, в который была вставлена тонкая трубка. Через эту трубку полярник очень медленно заливал в лунку неизвестную горячую жидкость с удельной теплоёмкостью \(c\) и плотностью \(\rho\). Жидкость плавила лёд, и глубина лунки увеличивалась. Полярник обнаружил, что существует некоторое минимальное значение начальной температуры жидкости \(t_0\), при котором в лунку можно залить сколь угодно большое количество жидкости, и лёд будет продолжать плавиться. При этом поверхность образующейся воды никогда не поднимется до верхнего края лунки. Найдите это минимальное значение \(t_0\). Удельная теплота плавления льда \(\lambda\), а также плотности воды и льда \(\rho_{\text{в}}\) и \(\rho_{\text{л}}\) известны.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2017/18, заключительный этап, 8 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.