МОШ, 2018/19, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

На шар действуют три силы в одной плоскости. Что можно сказать о точке пересечения их линий действия? Куда тогда направлена сила реакции опоры?

Ответ

\(\mu \ge \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\);  \(T = mg\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

Решение

Так как шар покоится под действием плоской системы трёх непараллельных сил (сила тяжести, сила реакции со стороны опоры \(R\) и сила реакции со стороны нити \(T\)), следовательно, линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Значит, линия действия силы \(R\) должна пройти через точку пересечения \(T\) и \(mg\), отклоняясь от нормали на угол \(\alpha/2\).

Равновесие шара возможно, если угол \(\alpha_{\text{тр}} \ge \alpha/2\), где \(\alpha_{\text{тр}}\) "— угол трения (максимальный угол, на который может отклониться от нормали вектор силы реакции). Стало быть, \(\mu \ge \operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2}\).

Величину \(T\) находим из силового треугольника для шара: \[T = mg\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}.\] Возможны решения, основанные на законах Ньютона и уравнении моментов.

Подсказка

Вытекающая струя уносит импульс. С какой силой она действует на трубу? Запишите уравнение моментов относительно точки подвеса.

Ответ

\(\sin\alpha = \dfrac{2\rho v^2 S}{Mg}\).

Решение

Масса воды, выходящей из трубы в единицу времени, равна \[\frac{\Delta m}{\Delta t} = \rho S v.\] Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме для вытекшей воды: \[F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{\Delta (mv)}{\Delta t} = v\,\frac{\Delta m}{\Delta t}.\] По третьему закону Ньютона вытекшая вода с такой же силой действует на трубу, заполненную водой.

Уравнение моментов для трубы относительно точки подвеса: \[Mg\,\frac{L}{2}\sin\alpha = FL.\] Окончательно получаем: \[\sin\alpha = \frac{2\rho v^2 S}{Mg}.\]

Подсказка

Куда уходит энергия газа? Свяжите работу газа с энергией сжатой пружины и выразите её через конечные давление и объём.

Ответ

Температура уменьшится: \(T_2/T_1 = 6/7\);  давление: \(p_2/p_1 = 3/7\).

Решение

Запишем первое начало термодинамики: \[Q = \Delta U + A \quad\Longrightarrow\quad 0 = c_V (T_2 - T_1) + \frac{kx^2}{2},\] где \(c_V = \dfrac{3}{2}R\), \(T_2\) "— конечная температура, \(T_1\) "— начальная температура, \(x\) "— деформация пружины в конечном состоянии, \(k\) "— жёсткость пружины.

Поршень в конечном состоянии находится в равновесии, следовательно, \(p_2 S = kx\), где \(p_2\) "— давление газа в конечном состоянии, \(S\) "— площадь поршня.

Преобразуем данное уравнение: \[p_2 S = kx \Rightarrow p_2 S x = kx^2 \Rightarrow \frac{p_2 \Delta V}{2} = \frac{kx^2}{2} \Rightarrow \frac{p_2 V_1}{2} = \frac{kx^2}{2} \Rightarrow \frac{p_2 V_2}{4} = \frac{kx^2}{2},\] где \(\Delta V\) "— изменение объёма, \(V_1\) "— начальный объём газа, \(V_2\) "— конечный объём газа.

Из уравнения состояния следует: \[\frac{kx^2}{2} = \frac{p_2 V_2}{4} = \frac{RT_2}{4}.\] Следовательно, \[0 = \frac{3}{2}R(T_2 - T_1) + \frac{RT_2}{4} \;\Longrightarrow\; \frac{T_2}{T_1} = \frac{6}{7} \;\Longrightarrow\; \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{V_2}\cdot\frac{V_1}{T_1} = \frac{3}{7}.\]

Подсказка

Перерисуйте схему так, чтобы было видно, как соединены ветви. Какой ток течёт через идеальный вольтметр?

Ответ

\(I_A = \dfrac{U}{4R}\);  \(U_V = \dfrac{U}{2}\).

Решение

Для наглядности можно перерисовать схему:

Ток в ветви, в которой подключён идеальный вольтметр, равен нулю. Значит, \(I_A = \dfrac{U}{4R}\). Показание вольтметра равно: \[U_V = I_A \cdot 2R = \frac{U}{2}.\]