зад 1 Моторная лодка и топливо
Моторная лодка плывёт из пункта \(A\) вверх по течению в пункт \(B\), который находится от пункта \(A\) на расстоянии \(s = 10\) км, за время \(t_1 = 4\) ч. При возвращении в пункт \(A\) через \(t = 24\) мин (с момента старта из пункта \(B\)) у лодки заканчивается топливо, и дальше лодку сносит течением. На обратный путь лодка суммарно затратила время \(t_2 = 2\) ч. На каком расстоянии от пункта \(A\) была лодка, когда у неё закончилось топливо?
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите скорость лодки по течению и против него через скорость лодки в воде и скорость течения. Без топлива лодка движется со скоростью течения.
▶ОтветСкрыть
\(L = 6\) км.
▶РешениеСкрыть
При движении из пункта \(A\) в пункт \(B\): \[v - u = \frac{s}{t_1},\] где \(v\) — скорость лодки относительно реки, \(u\) — скорость течения.
Пусть \(L\) — расстояние от пункта \(A\), на котором была лодка, когда у неё закончилось топливо. Тогда \[v + u = \frac{s - L}{t}, \qquad u = \frac{L}{t_2 - t}.\] Решая систему уравнений, получаем: \[\frac{s - L}{t} - \frac{s}{t_1} = \frac{2L}{t_2 - t} \;\Longrightarrow\; L = \frac{\dfrac{s}{t} - \dfrac{s}{t_1}}{\dfrac{1}{t} + \dfrac{2}{t_2 - t}} = 6\text{ км}.\]
зад 2 Весы с медными и кадмиевыми шариками
На чаши рычажных весов поставили два одинаковых стакана. В один стакан насыпали до краёв маленькие медные шарики, а во второй — такие же по размеру кадмиевые шарики. Когда в стакан с кадмиевыми шариками налили воду до краёв, весы пришли в равновесие, а чаши оказались на одном уровне. Найдите, какую часть от полного объёма стакана занимают шарики. Плотность воды \(1{,}0\) г/см\(^3\), плотность меди \(8{,}9\) г/см\(^3\), плотность кадмия \(8{,}7\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Весы в равновесии, значит, массы содержимого стаканов равны. Объём воды — это объём стакана без объёма шариков.
▶ОтветСкрыть
\(\alpha = V_\text{ш}/V = 0{,}83\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(V\) — объём стакана, \(V_\text{ш}\) — объём шариков в одном стакане, \(m_\text{к}\) — масса кадмиевых шариков, \(m_\text{м}\) — масса медных шариков, \(m_\text{в}\) — масса воды. Тогда \[m_\text{к} = \rho_\text{к} V_\text{ш}, \qquad m_\text{м} = \rho_\text{м} V_\text{ш}, \qquad m_\text{в} = \rho_\text{в}(V - V_\text{ш}).\] В итоге массы содержимого стаканов равны: \[m_\text{м} = m_\text{к} + m_\text{в} \;\Longrightarrow\; \rho_\text{м} V_\text{ш} = \rho_\text{к} V_\text{ш} + \rho_\text{в}(V - V_\text{ш}).\] Из последнего уравнения находим: \[\alpha = \frac{V_\text{ш}}{V} = \frac{\rho_\text{в}}{\rho_\text{м} + \rho_\text{в} - \rho_\text{к}} = 0{,}83.\]
зад 3 Кран поднимает груз
При подъёме груза кран работал в два этапа. Сначала он совершил четверть всей работы, развивая некоторую мощность \(N_1\), а затем оставшуюся работу совершил, развивая мощность \(N_2 = 2000\) Вт. Оказалось, что средняя мощность подъёмного крана за время совершения всей работы равна \(N = 1600\) Вт. Найдите мощность \(N_1\).
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите время каждого этапа через работу и мощность, затем средняя мощность — это вся работа, делённая на всё время.
▶ОтветСкрыть
\(N_1 = 1000\) Вт.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(t\) — время, за которое совершена вся работа. Тогда полная работа крана равна \(A = Nt\). На первом этапе работы: \[N_1 t_1 = 0{,}25\,Nt \;\Longrightarrow\; t_1 = \frac{Nt}{4N_1}.\] На втором этапе: \[N_2 t_2 = 0{,}75\,Nt \;\Longrightarrow\; t_2 = \frac{3Nt}{4N_2}.\] Средняя мощность равна: \[N = \frac{Nt}{t_1 + t_2} = \frac{Nt}{\dfrac{Nt}{4N_1} + \dfrac{3Nt}{4N_2}} \;\Longrightarrow\; N = \frac{4N_1 N_2}{3N_1 + N_2} \;\Longrightarrow\; N_1 = \frac{N N_2}{4N_2 - 3N} = 1000\text{ Вт}.\]
зад 4 Проверка закона Архимеда на пенопласте
Ученик 8-го класса решил экспериментально проверить закон Архимеда, который он изучил раньше, когда учился в седьмом классе. Он взял прямоугольный лист пенопласта толщиной \(h = 11\) см и положил его на поверхность воды. Затем ученик поставил на пенопласт оловянного солдатика и измерил высоту верхней грани листа над поверхностью воды, которая оказалась равной \(h_1 = 8\) см. Когда ученик поставил на пенопласт второго такого же солдатика, высота верхней грани листа над поверхностью воды стала равной \(h_2 = 7\) см. Найдите по результатам этого опыта отношение \(n\) массы пенопласта к массе солдатика.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие плавания листа с одним и с двумя солдатиками: вес равен силе Архимеда, а глубина погружения равна \(h\) минус высота над водой. Вычтите одно уравнение из другого.
▶ОтветСкрыть
\(n = 2\).
▶РешениеСкрыть
Обозначим через \(M\) массу пенопласта, через \(m\) — массу солдатика, а через \(S\) — площадь листа пенопласта. Условия плавания пенопласта с одним и двумя солдатиками имеют вид соответственно \[(M + m)g = \rho_0 S (h - h_1) g, \qquad (M + 2m)g = \rho_0 S (h - h_2) g.\] Здесь \(\rho_0\) — плотность воды. Отсюда находим, что \[m = \rho_0 S (h_1 - h_2), \qquad M = \rho_0 S (h - 2h_1 + h_2).\] Следовательно, \[n = \frac{M}{m} = \frac{h - 2h_1 + h_2}{h_1 - h_2}.\] Подставляя числа, получаем значение \(n = 2\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2018/19, отборочный этап, 8 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.