МОШ, 2018/19, заключительный этап, 10 класс

На рис. 1 изображена схема кривошипно-шатунного механизма паровой машины с качающимся цилиндром. Кривошип \(OA\) длиной \(r\) вращается с угловой скоростью \(\omega\) вокруг точки \(O\). В точке \(A\) кривошип шарнирно соединен со стержнем \(AC\), продетым сквозь муфту, закрепленную на шарнире \(B\), так что муфта может свободно вращаться вокруг точки \(B\). \(OB = a\), \(AC > a + r\).

1. Чему равен угол \(\alpha\) в тот момент, когда угловая скорость муфты минимальна?

2. Определите максимальную угловую скорость муфты.

В простейшей физической модели пешей ходьбы считается, что центр масс человека движется по периодической кривой, повторяющийся участок которой представляет собой дугу окружности с радиусом, равным длине ноги человека \(H\). Определите в рамках этой модели отношение максимальных скоростей ходьбы на Земле и на Марсе, а также отношение мощностей, затрачиваемых при ходьбе с максимально возможной скоростью на этих планетах. Масса Марса составляет 0,11 массы Земли, радиус Марса равен 0,53 радиуса Земли. По поверхности Марса человек перемещается в скафандре, масса которого составляет примерно треть массы человека. Траектории центра масс человека на Земле и человека в скафандре на Марсе считайте одинаковыми. Учтите, что при ходьбе необходим постоянный контакт хотя бы одной ноги с поверхностью планеты.

Из одинаковых проволочных фигур-сердечек, показанных на рисунке ниже (каждое сердечко имеет ось симметрии) собрали три электрические цепи. Сопротивление первой цепи между выводами \(R_1 = 12\) Ом, сопротивление второй — \(R_2 = 15\) Ом. Найдите сопротивление \(R_3\) третьей цепи. Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.

Используя мощную лазерную указку, осуществляют эксперимент, схема которого показана на рис. 3. На стекло одинарного стеклопакета (состоит из двух параллельно расположенных стёкол толщиной \(3-5\) мм) направляют лазерный луч сверху вниз под малым углом (порядка 0,1 рад) к поверхности стекла. При этом на масштабно-координатной бумаге (миллиметровке), которая лежит на подоконнике, наблюдают систему ярких пятен (см. рис. 4). Известно, что расстояние между первым (самым ярким) и вторым пятнами равно \(l_1 = 20\pm 2\) мм, а между следующими соседними \(l_2 = 19\pm2\) мм. Эти расстояния определяются по положению самой яркой области пятна. На рис. 5 показан сильно увеличенный фрагмент фотографии с рис 4, инвертированный (чёрное замененно на белое и наоборот) для удобства восприятия. Найдите по данным эксперимента расстояние \(D\) между внутренними поверхностями стёкол. Оцените погрешность полученного результата.

Возможно, при анализе эксперимента вам потребуется значение показателя преломления для стекла. Для разных марок стекла показатель преломления лежит в пределах от 1,4 до 1,7.

Некоторые виды лягушек способны ползать по стенам и потолку при помощи специальных присосок на лапках. Эти присоски обеспечивают силу «прилипания» \(F\), перпендикулярную поверхности. Пусть такая лягушка массой \(m = 5\) г может обеспечить силу «прилипания» не больше \(F_0\). Чему должно быть равно значение \(F_0\), чтобы при любом угле наклона стенки лягушка могла бы располагаться на ней неподвижно, если коэффициент трения лап о стенку равен \(\mu = 0{,}5\)?

При восхождениях на скальные стены один конец веревки привязывается к страховочной системе, которую надевает на себя идущий первым альпинист (лидер), оставшаяся часть верёвки находится у страхующего. В процессе подъёма лидер «прощёлкивает» тянущуюся за ним верёвку через карабины (металлические кольца с защёлкой), прикреплённые к стене в точках страховки (т. \(B\) на рис. 1). В случае срыва лидера страхующий, располагающийся в т. \(A\) (на рисунке не изображён), блокирует верёвку с помощью страховочного устройства. Фактором рывка \(r\) называется отношение глубины свободного падения лидера (пока верёвка не начнёт растягиваться) к длине верёвки между страхующим и лидером на момент срыва, например, \(r = \dfrac{2h}{H+h}\) для схемы на рис. 1. Пусть между лидером и страхующим одна точка страховки (как на рис. 1), или вообще нет точек страховки (\(H = 0\)). Расположение лидера и точки страховки может быть любым, но величина \(h + H\) должна быть меньше длины верёвки (\(\approx 50\) м). Альпинисты находятся высоко над землёй, так что лидер при срыве может упасть ниже страхующего. Трением между верёвкой и карабином пренебрегаем.

1. Найдите максимальное и минимальное возможное значение фактора рывка \(r\).

2. Относительное растяжение некоторой верёвки, на которую подвешен груз массой \(m = 80\) кг составляет 5 %. Считая, что данная верёвка подчиняется закону Гука, определите максимально возможное относительное растяжение верёвки при срыве альпиниста массой \(m\).

3. На самом деле при больших растяжениях верёвка не подчиняется закону Гука. При модельном срыве в лаборатории груза массой \(m\) с фактором \(r_1 = 1{,}5\) максимальное относительное растяжение составило 40 %. Пусть \(W_{\text{эксп}}\) — максимальная энергия деформации верёвки, рассчитанная на основе теста, а \(W_{\text{теор}}\) — энергия деформации, рассчитанная на основе закона Гука при том же относительном растяжении. Какая энергия больше и во сколько раз?

Идеализированная зависимость напряжения от силы тока для нелинейного элемента \(Z\) схематично показана на рис. 2. На основе этого элемента и резисторов \(R_1\) и \(r\) по схеме, показанной на рис. 3, может быть собрано устройство (стабилизатор напряжения), обеспечивающее неизменное напряжение \(U_0\) на нагрузке (резистор \(R = 300\) Ом), при различных значениях напряжения на входе (между точками \(A\) и \(B\)). При этом напряжение \(U_{AB}\) должно лежать в некотором диапазоне напряжений \(U_1 - \Delta U \le U_{AB} \le U_1 + \Delta U\), в противном случае устройство перестаёт выполнять свою функцию стабилизации напряжения.

1. Чему равны напряжение \(U_0\) и сопротивление резистора \(r\) в данной схеме?

2. Найдите сопротивление резистора \(R_1\), при котором полуширина диапазона входных напряжений \(\Delta U\) будет максимально возможной при напряжении середины диапазона, равном \(U_1 = 6\) В.

В задаче рассматривается термодинамическая модель двигателя Стирлинга, схематично изображенного на рис. 4. Поршни 3 совершают возвратно-поступательное движение, преобразующееся во вращательное движение с помощью кривошипно-шатунных передач. Рабочий цилиндр 1 нагревают горелкой. В рамках модели считается, что его температура поддерживается постоянной (обозначим её \(T\)). На вытеснительном цилиндре 2 закреплён радиатор 7 для улучшения теплообмена, температура в цилиндре считается равной комнатной температуре \(T_0\). Рабочее тело 4 (воздух) перекачивается из рабочего цилиндра в вытеснительный и обратно по трубке 5. Устройство 6 — это специальный теплообменник. При перетекании воздуха из рабочего цилиндра в вытеснительный в этом теплообменнике аккумулируется количество теплоты, неизрасходованное рабочим телом на совершение работы в рабочем цилиндре. Затем эта теплота полностью возвращается воздуху при его обратном течении из вытеснительного цилиндра в рабочий. Поэтому можно считать, что всё количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя, расходуется на совершение работы в рабочем цилиндре. Максимальный объём воздуха в рабочем цилиндре обозначим \(V_{01}\), а в вытеснительном — \(V_{02}\). Объёмом трубки можно пренебречь.

В результате компьютерных расчётов были получены диаграммы зависимости относительного давления от относительного объёма: для рабочего цилиндра — чёрная линия, для вытеснительного — серая линия. При этом цикл для рабочего цилиндра обходится по часовой стрелке, а для вытеснительного — против часовой, \(V_{02} = 1{,}25\cdot V_{01}\).

1. Определите числовое значение отношения температур \(T\) и \(T_0\).

2. Какая часть общей массы воздуха находится в рабочем цилиндре при давлении \(3p_0\)?

3. Найдите значение КПД двигателя в рамках данной модели.

На рис. 6 (вид сверху) чёрными линиями показаны зеркала (стены комнаты), по краям которых стоят колонны (обозначены римскими цифрами). Точка \(S\) — положение наблюдателя. Арабскими цифрами обозначены некоторые теоретически возможные изображения колонн в зеркалах. Укажите номера изображений, которые может видеть наблюдатель. Для каждого выбранного вами изображения назовите колонну, являющуюся его источником. Объясните ваш ответ. Для построений используйте сетку на листе 3.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2018/19, заключительный этап, 10 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.