МОШ, 2018/19, заключительный этап, 7 класс

Рост Нильса Хольгерссона после заклятия гнома уменьшился в 10 раз. Пропорции тела остались прежними. Когда он был большим, то сил рук еле-еле хватало, чтобы подтянуться на турнике. Какой груз может маленький Нильс вместе с собой поднять, подтягиваясь на руках на горизонтальной веточке дерева? Масса большого Нильса 30 кг.

Подсказка. Сила мышц пропорциональна площади их поперечного сечения.

Если сосуд с песком подвергнуть вибрации (потрясти), то можно наблюдать интересное явление "— песок становится похож на жидкость. Тела, плотность которых достаточно велика, тонут в этом «жидком песке», а тела с небольшой плотностью (например, деревянные) наоборот всплывают на поверхность, даже если изначально они были на дне сосуда. Так происходит потому, что при встряхивании уменьшаются силы трения между песчинками. Рассмотрим опыт. На дне цилиндрического сосуда находится песок (см. рис.). Поверх песка насыпана галька. Сосуд подвергают вибрации, и песок становится «жидким». Галька постепенно опускается на дно сосуда, а песок заполняет все пустоты между её камнями. Чему станет равен уровень содержимого в сосуде после оседания гальки, если изначально уровень песка был равен \(h_1 = 0{,}6\) м, а уровень гальки \(h_2 = 1\) м? Плотность камней гальки равна \(\rho_0 = 2600\) кг/м\(^3\), а её насыпная плотность "— \(\rho_1 = 1500\) кг/м\(^3\).

Школьник участвует в соревнованиях по спортивному ориентированию. Он решил передвигаться по наикратчайшим путям от одного контрольного пункта (КП) к другому. На рис. 1 изображен фрагмент карты, на которой светлая область "— луг, удобный для бега, темная область "— лес, точки "— КП. Скорость передвижения школьника по лугу \(v_1 = 12\) км/ч, а по лесу "— \(v_2 = 9\) км/ч. КП проходятся в порядке возрастания номера.

1. Определите среднюю скорость школьника \(u_4\) при движении от первого КП до четвёртого, если по лугу он двигался в течение времени \(t_1 = 20\) мин, а по лесу в течение времени \(t_2 = 40\) мин.

2. При различных положениях пятого КП средняя скорость движения \(u_5\) (от первого до пятого КП) может принимать различные значения. На карте (рис. 1) укажите такое расположении пятого КП, что скорость \(u_5\) будет наибольшей. А при каком расположении пятого КП \(u_5\) будет наименьшей? Объясните ваш ответ.

Имеется три экземпляра пружинных весов и эталонные грузы массой 100 г. На каждые весы выкладывают от одного до шести грузов и показания заносят в таблицу. На основании результатов измерений укажите номер весов, по показаниям которых можно находить массу тел в диапазоне от 100 г до 500 г наиболее точно. Ответ объясните.

Поток автомашин движется по четырёхполосной магистрали. При этом средняя скорость автомобиля равна 60 км/ч. Средняя длина автомобиля 4 метра. Вблизи места дорожно-транспортного происшествия количество полос, доступных для движения, уменьшается до двух, а скорость автомашин уменьшается до 6 км/ч. На рис. 1 приведена схема, изображенная без соблюдения масштаба. Если среднее расстояние между автомобилями при движении по магистрали \(x\) небольшое, то перед ДТП образуется пробка "— область, в которой машины движутся вплотную друг к друг с маленькой скоростью.

1. При каком среднем расстоянии \(x\) между автомобилями при их движении по магистрали произошедшее ДТП не приведёт к возникновению протяжённой пробки?

2. За полтора километра до ДТП на трассе располагается перекрёсток со светофором. За какое время после возникновения ДТП необходимо ликвидировать его последствия для дорожного движения, чтобы это не привело к затору на перекрёстке, если \(x = 16\) м?

Василию нужно залить фундамент дачного дома, для чего ему необходимо \(9{,}4\) м\(^3\) бетона, при этом бюджет Василия ограничен суммой \(50\,000\) рублей. Известно, что для получения бетона необходимо смешать цемент с песком и щебнем, при этом, чем больше объемная доля цемента в смеси, тем качественнее получается бетон, и тем больше значение марки бетона.

В магазине Василий узнал, что цена цемента составляет 180 руб за 50 кг, цена песка составляет 102 руб за 50 кг, цена щебня составляет 130 руб за 40 кг, а соотношения объемов материалов для разных марок бетона указаны в таблице ниже.

К сожалению, часть данных в таблице была утеряна.

1. Помогите Василию заполнить пустые ячейки в таблице. Известно, что объем песка в марке бетона М400 в два раза меньше объема щебня.

2. Определите, какую наилучшую марку бетона может позволить себе Василий. Плотность цемента составляет \(\rho_{\text{цем}} = 1200\) кг/м\(^3\), плотность песка "— \(\rho_{\text{пес}} = 1600\) кг/м\(^3\), плотность щебня "— \(\rho_{\text{щеб}} = 2100\) кг/м\(^3\).

Утром после крепкого сна Крокодил Гена и Чебурашка отправились каждый из своего дома в кафе позавтракать. Шли друзья навстречу друг другу с постоянными скоростями по прямой дороге. Каково же было их удивление, когда они встретились у входа в кафе. Оказалось, что за 5 минут до встречи расстояние между ними равнялось 1200 м, за 10 минут до встречи "— 2025 м, за 15 минут "— 2475 м и за 20 минут "— 2655 м. Найдите расстояние между домами, в которых живут Гена и Чебурашка. С какими скоростями они шли?

В конце января 2017 года учёные географического факультета МГУ проводили снегомерные работы в Красной Поляне, в долине реки Лаура. В результате измерений был получен график зависимости плотности снега в г/см\(^3\) от расстояния до поверхности Земли в сантиметрах. Непосредственно к грунту примыкала ледяная корка толщиной 2 см и плотностью \(0{,}85\) г/см\(^3\) (соответствующие точки на график не попали). Верхний слой (от 145 см до 170 см) состоял из свежевыпавшего снега плотностью \(0{,}15\) г/см\(^3\).

1. Определите среднюю плотность снежного покрова.

2. Среднемесячная норма осадков для января в Красной Поляне составляет 206 мм. Если слой январского снега начинается с 80 см от поверхности Земли, то какая часть среднеянварской нормы выпала в январе 2017 года? Считайте, что выпавший снег не таял и его не сдувало.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2018/19, заключительный этап, 7 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.