МОШ, 2019/20, заключительный этап, 11 класс

В цепи, схема которой изображена на рисунке, в начальный момент времени конденсатор ёмкостью \(3C = 300\) мкФ заряжен до напряжения \(U_0 = 12\) В, конденсаторы ёмкостью \(C\) и \(2C\) не заряжены. Переключатель П в среднем положении.

Переключатель П сначала перекидывают в положение 1 на короткое время (много меньшее \(RC\)), а затем в положение 2 на гораздо большее время. Определите заряды конденсаторов после многократного повторения этих двух операций. Найдите приближённо, какое количество теплоты выделяется в каждом из резисторов.

Герметичный металлический сосуд заполняют смесью воздуха и водяного пара и начинают охлаждать, поместив в термостат с тающим льдом. В процессе охлаждения измеряют температуру в сосуде с погрешностью \(\Delta T = 0{,}5\,^\circ\text{С}\) и давление — с погрешностью \(\Delta p = 0{,}05\cdot 10^5\) Па. В результате получают таблицу.

Определите отношение количества воды к количеству воздуха в сосуде, а также плотность газовой фазы в начале и в конце процесса. Учтите, что давление насыщенных паров воды, равное 1 кПа, достигается при температуре около \(7\,^\circ\text{С}\). Молярные массы воды и воздуха равны соответственно 18 г/моль и 29 г/моль.

Наблюдатель видит изображение Солнца в полированном металлическом шаре. Угловая высота Солнца над горизонтом равна \(\alpha\) и равна углу между линией зрения и горизонтальной нормалью к шару. Определите характерный размер изображения Солнца, если радиус шара равен \(R\), а угловой размер Солнца равен \(\varphi\) (\(\varphi \ll \alpha\)).

На рисунке изображена простейшая модельная схема подключения электродвигателя (автомобильного стартёра) к аккумулятору.

Параметр схемы \(R_\text{М} = 2\cdot 10^{-2}\) Ом моделирует сопротивление обмоток якоря двигателя, \(r\) и \(R_0\) — внутреннее сопротивление аккумулятора с ЭДС \(U_0 = 12\) В и сопротивление проводов, при этом \(R_0 + r = 10^{-2}\) Ом. Можно считать, что ЭДС индукции, вырабатываемая электродвигателем, пропорциональна угловой скорости вращения вала \(|\mathcal{E}_i| = k\omega\), а момент сил, действующих на вал со стороны магнитного поля, пропорционален току \(M = kI\). Для упрощения расчётов далее полагаем, что вал электродвигателя не нагружен.

1. Найдите напряжение \(U_{AB}\) на клеммах электродвигателя (между т. \(A\) и т. \(B\)) сразу после замыкания ключа, а также максимальное значение силы тока в цепи. Чему равен ток в момент, когда угловая скорость вращения вала составляет 75% от максимального значения? (3 балла)

Другая модельная схема (рис. ниже) учитывает наличие в конструкции удерживающей обмотки втягивающего реле, \(R_l\) — сопротивление катушки индуктивностью \(l\). При включении сначала замыкается ключ \(K_1\), а когда ток через катушку установится, замыкается ключ \(K_2\).

2. Считая, что отношение \(\alpha = \dfrac{R_l}{r+R_0}\) известно (\(\alpha > 1\)), определите максимальное значение тока через двигатель в этом случае. (4 балла)

3. При выключении электродвигателя (после того, как скорость вращения вала установится) сначала размыкают ключ \(K_1\). При этом напряжение на клеммах двигателя почти мгновенно увеличивается на \(\Delta U_{AB} = 2\) В. Определите по этим данным параметр \(\alpha\). (3 балла)

Наиболее близка к реальному устройству схема, изображённая на третьем рисунке. Ключи изначально разомкнуты. Поворот ключа зажигания соответствует замыканию ключа \(K_1\). Когда ток через катушку \(L\) достигает некоторого порогового значения \(I_\text{П}\) замыкается ключ \(K_2\) (магнитное поле катушки втягивает шток, замыкающий контакты ключа \(K_2\)).

4. Индуктивность второй катушки \(L\) и её сопротивление \(R_L\) таковы, что выполняются равенства: \(L = 10l\), \(R_l = 5R_L\). Известно, что значение тока \(I_\text{П}\) лежит между 10 А и 20 А. Чему равен ток через катушку индуктивности \(l\) в момент замыкания ключа \(K_2\)? Численное значение параметра \(\alpha\) считайте известным из п. 3). (2 балла)

В последние годы большой интерес у энтузиастов, занимающихся научно-техническим творчеством, вызывает устройство под названием «вакуумная пушка». В полипропиленовой водопроводной трубе 2 (см. рисунок ниже), один конец которой герметично закрыт заглушкой из фольги 3, а другой открыт в атмосферу, разностью давлений ускоряется шарик 1 для игры в пинг-понг. Внутренний диаметр трубы близок к диаметру шарика. Рядом с заглушкой располагается штуцер 4, через который труба соединяется с вакуумным насосом. Таким образом, справа от шарика давление очень низкое, а у открытого конца трубки — давление, близкое к атмосферному, которое равно \(P_0\).

Оказывается, что при достаточно большой длине трубки и качественной откачке, шарик можно разогнать до высокой скорости, так что он легко разорвёт фольгу заглушки и вылетит из трубки. В одном видеоролике, доступном в сети, демонстрируется, как вылетающий из трубки шарик пробивает пустые банки из-под газировки, поставленные на небольшом расстоянии от трубки.

1. В самой грубой модели предполагается, что слева от шарика давление равно \(P_0 = 10^5\) Па, а справа — равно нулю. Разность давлений не меняется в процессе разгона шарика. Трения между шариком и стенками трубы нет. До какой максимальной скорости \(v_{\max}^{(1)}\) может быть разогнан шарик массой \(M = 2{,}7\) г и диаметром \(d = 40\) мм в трубе длиной \(L = 2\) м? (1 балл)

В более точной модели считается, что под действием постоянной разности давлений ускоряется не только шарик, но и воздух массой \(m(t)\), располагающийся в момент \(t\) в трубе слева от шарика, а также вовлекаются в движение новые порции воздуха из атмосферы. Предлагается считать, что область вблизи левого торца трубы, в которой воздух вовлекается в движение, имеет малый характерный размер, сопоставимый с диаметром трубы. Снаружи трубы вне этой области воздух остаётся неподвижным. Внутри трубы воздух движется со скоростью шарика, а его плотность равна плотности воздуха \(\rho\) снаружи. Диаметр шарика много меньше длины трубы. В начальный момент времени координата \(x\) шарика и его скорость равны нулю.

2. Определите более точное значение скорости \(v_{\max}^{(2)}\), до которой может быть разогнан шарик тех же размеров, что и в п. 1) задачи, в трубе той же длины. Время разгона в первом приближении можно считать равным времени разгона в п. 1). Температура воздуха и его молярная масса равны: \(T_0 = 293\) К, \(\mu = 29\) г/моль соответственно. (3 балла)

3. Считая известными только температуру \(T_0 = 293\) К снаружи трубы и молярную массу воздуха \(\mu = 29\) г/моль, определите максимальную скорость, до которой может быть разогнан шарик. Длина трубы предполагается достаточно большой. (3 балла)

4. Даны параметры: \(M\), \(S\), \(P_0\), \(\rho\), \(\mu\). Получите формулу зависимости координаты шарика от времени \(x(t)\). (5 баллов)

Интересно, что группа из американского университета Пёрдью, немного усложнив конструкцию, сумела разогнать шарик до сверхзвуковой скорости (\(v \approx 420\) м/с, в М \(= 1{,}23\) раза больше скорости звука), так что после вылета из трубки шарик для настольного тенниса пробил ракетку для настольного тенниса. Видео можно найти в сети по фразе: «Purdue Technology students build supersonic ping pong gun». В усовершенствованной конструкции на левом конце трубки имеется баллон со сжатым воздухом и сопло Лаваля, через которое воздух поступает в «ствол пушки».

Внутри горизонтально расположенной трубы радиусом \(R\), вращающейся с некоторой угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, находится небольшое тело. В положении равновесия тело располагается ниже оси трубы, на расстоянии \(0{,}8R\) по вертикали от неё. Найдите период малых колебаний тела в плоскости, перпендикулярной оси трубы.

Стол стоит на горизонтальном полу. Столешницу и пол можно считать абсолютно твёрдыми, а ножки — упругими, подчиняющимися закону Гука при вертикальных деформациях.

Гирю массой 24 кг ставят на стол так, что её центр масс располагается в т. \(A\) (см. рисунок, вид сверху). На сколько изменяются силы давления ножек стола: \(\Delta F_1\), \(\Delta F_2\), \(\Delta F_3\) и \(\Delta F_4\) на пол после этого? Номера ножек показаны на рисунке.

Воде массой \(m = 180\) г при постоянном давлении \(p_1 = 10^5\) Па сообщают некоторое количество теплоты, так что она превращается в пар и нагревается до температуры \(T_1 = 105\,^\circ\text{С}\). Далее пар адиабатически расширяется и в какой-то момент приходит в состояние насыщения, после чего конденсируется. График зависимости давления насыщенных паров воды от температуры показан на рисунке ниже.

Считая изменение параметров пара при адиабатическом расширении малым, определите приближённо температуру воды в начале конденсации.

Чему равна суммарная работа пара при его нагревании после испарения и охлаждении до начала конденсации? Молярная теплоёмкость пара при постоянном объёме равна \(c_V = 3R\).

Каустика — это огибающая семейства лучей, не пересекающихся в одной точке. В плоском случае, рассматриваемом в этой задаче, каустика — это кривая, которой касаются все лучи, отражающиеся от некоторой поверхности, или испытывающие преломление на некоторой границе раздела. Интенсивность света вблизи каустики возрастает, поэтому кривые каустик хорошо видны невооружённым глазом и на фотографиях.

1. Кривая серого цвета на рисунке — это каустика, образованная после отражения пучка параллельных лучей цилиндрической поверхностью \(M\), радиус которой равен \(R\). Определите расстояние от оси цилиндра т. \(O\) до вершины каустики — т. \(A\), а также расстояние \(PA\). \(OO_1\) — ось симметрии, \(P_1P_2\) — касательная к каустике. (5 баллов)

2. Источник, освещающий цилиндрическую поверхность радиусом \(R\), располагается на расстоянии \(a = 4R\) от т. \(O\) на оси симметрии системы \(OO_1\). Определите расстояние от т. \(O\) до вершины каустики, формируемой отражёнными лучами в этом случае. (4 балла)

В тонкостенный стеклянный цилиндрический стакан наливают воду и освещают светом фонаря. Ось пучка света составляет разные углы \(\alpha\) с горизонтальной поверхностью стола в п. 3 и п. 4. В п. 3 стакан фотографируют сверху (оптическая ось объектива перпендикулярна дну стакана), а освещают справа. В п. 4 ось объектива немного отклоняется от перпендикуляра.

3. Величина угла \(\alpha\) около \(45^\circ\). Вблизи дна стакана наблюдается кривая с двумя вершинами, части которой напоминают кривую из п. 1. На рисунке вершины обведены квадратиками. Объясните наблюдаемую картину. (3 балла)

4. Радиус основания стакана равен \(R = 8\) см. Фонарь располагается на расстоянии \(a \approx 10R\) от оси стакана. Угол \(\alpha\) можно считать малым. Снаружи стакана видна каустика, образованная прошедшими через стакан лучами. Определите приближённо расстояние от стакана до вершины каустики (до вершины «конуса»). Показатель преломления воды равен \(n \approx 1{,}33\). (6 баллов)

Элемент Пельтье состоит из двух пластин, разделённых большим количеством полупроводниковых блоков (рис. из «Википедии» ниже), и представляет собой преобразователь электрической энергии в тепловую. Он также может работать и в обратном режиме — вырабатывать ЭДС при наличии разности температур на пластинах.

На втором рисунке схематично изображено устройство на основе элемента Пельтье. Нижняя пластина находится в контакте с «тепловым резервуаром» — большим телом, температуру которого \(T_r\) можно считать постоянной. Верхняя пластина контактирует с телом с теплоёмкостью \(C\) и температурой \(T\), которая изменяется со временем. Сверхпроводящая катушка с индуктивностью \(L\) включена между контактами элемента. В начальный момент: \(T = T_0\), \(T_0 > T_r\).

В данных условиях верхнее тело отдаёт элементу за время \(\Delta t\) количество теплоты \(\Delta Q = \alpha T I \Delta t\), где \(\alpha\) — постоянный коэффициент, \(I\) — ток через элемент. Положительным направлением тока считается направление от «плюса» к «минусу». Элемент Пельтье при этом вырабатывает ЭДС, которая равна \(\mathcal{E} = \alpha(T - T_r)\). Полярность создаваемой ЭДС (для \(T > T_r\)) совпадает с указанной на рисунке. Сопротивление элемента Пельтье равно \(R\).

Оказывается, в рассматриваемой системе возможно периодическое изменение температуры тела \(T(t)\) и тока в цепи \(I(t)\). В задаче предлагается исследовать колебания тока и температуры при различных значениях параметров: \(T_r\), \(T_0\), \(C\), \(\alpha\), \(R\), которые считаются известными. Ток в цепи в начальный момент равен нулю: \(I(0) = 0\). Разность температур тела и резервуара можно считать малой: \(|T - T_r| \ll T_r\) в любой момент времени.

1. Рассмотрим идеализированный, фантастический случай, когда сопротивление \(R\) равно нулю и теплообмен между тепловым резервуаром и телом за счёт теплопроводности отсутствует.

1a) Получите дифференциальное уравнение для функции \(I(t)\). (2 балла)

1b) Преобразуйте полученное уравнение с учётом условия \(|T - T_r| \ll T_r\) и найдите частоту \(\omega_0\) колебаний тока. (3 балла)

1c) Найдите зависимость температуры тела от времени \(T(t)\). (1 балл)

2. Физически случай, описанный в п. 1, никогда не реализуется. Рассмотрим параметры системы, близкие к реальности. Пусть известно сопротивление элемента \(R\), мощность передачи тепла от тела резервуару определяется соотношением \(P = k(T - T_r)\), где \(k\) — известный коэффициент, а Джоулево тепло, выделяющееся в элементе, делится поровну между пластинами. В этом случае колебания будут затухающими.

2a) Получите дифференциальное уравнение для функции \(I(t)\) в этом случае. (3 балла)

2b) Покажите, что нелинейными слагаемыми, пропорциональными \(I^2\) и \(I\dot I\), (точка сверху обозначает производную по времени) в уравнении из п. 2a) можно пренебречь и преобразуйте полученное уравнение к виду \(\ddot I + 2\gamma\dot I + \omega^2 I = 0\) (уравнение затухающих колебаний). Чему равны коэффициенты \(\gamma\) и \(\omega\)? (4 балла)

2c) Полагая затухание слабым (\(\gamma^2 \ll \omega^2\)), определите относительное изменение амплитуды тока за период \(\dfrac{\Delta I_{\max}}{I_{\max}}\). Ответ выразите через коэффициенты \(\gamma\) и \(\omega\). (3 балла)

3. Предлагается создать на основе данного устройства установку для точного измерения теплоёмкости тел. Параметры: \(T_r\), \(\alpha\), \(k\), \(R\), \(L\) известны. Их измерили раньше с высокой точностью. В распоряжении экспериментатора есть электроизмерительные приборы, осциллограф и генератор переменного напряжения, частоту которого можно менять в широком диапазоне. Опишите в двух словах возможную схему эксперимента. (2 балла)

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2019/20, заключительный этап, 11 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.