МОШ, 2020/21, заключительный этап, 10 класс

Отношение количества кислорода к количеству азота в некотором объёме «неправильного воздуха» равно \(1:5\). На рисунке изображены графики зависимости давления насыщенных паров азота и кислорода от температуры, при этом линия чёрного цвета соответствует давлению паров кислорода. Температура неправильного воздуха в начальный момент равна \(t_0 = -120\,{}^\circ\text{С}\).

В процессе охлаждения в некоторый момент времени кислород и азот начинают конденсироваться одновременно. Используя график, определите как можно точнее, каким было начальное давление неправильного воздуха, если охлаждение производилось изобарически. А если изохорически?

Некоторые особенности процесса сгребания снега бульдозером можно описать на основе следующей простейшей модели. Вдали от бульдозера (см. рис.) слой снега имеет линейную плотность \(\rho_0\) и покоится. Бульдозер и часть снега, прилегающая к его щиту, движутся с постоянной скоростью \(v\). На движущуюся часть действует сила трения, удовлетворяющая закону Кулона"=Амонтона: \(F_\text{тр} = \mu N\); коэффициент трения \(\mu\) считается известным. Ускорение свободного падения равно \(g\).

1. Пусть весь снег, вовлекаемый бульдозером в движение, распределяется в движущейся части со средней постоянной линейной плотностью \(\rho_1\). Бульдозер в состоянии развить мощность не более, чем \(W_0\). Найдите время \(t\), в течение которого возможно движение бульдозера с постоянной скоростью \(v\).

2. Пусть после того, как масса снега в движущейся части достигает некоторого значения \(M_0\), она перестаёт увеличиваться. При вовлечении в движение порции снега, такая же порция покидает движущуюся часть, скатываясь вбок относительно направления движения. Какую мощность \(W_1\) должен развивать бульдозер при движении с постоянной скоростью \(v\) в этом случае?

Сетка в форме квадрата состоит из очень большого количества ячеек. В узел с координатами \((0,0)\), совпадающий с центром квадрата, втекает ток \(I = 4\text{ А}\) (см. рисунок). Сопротивление любого проводника, соединяющего соседние узлы сетки, равно \(1\text{ Ом}\).

1. Пусть узлы сетки на стороне большого квадрата подключены к специальному источнику напряжения, так что потенциалы узлов, лежащих на диагоналях (см. рис., пунктирные линии), равны нулю везде кроме центра квадрата, где потенциал равен \(1\text{ В}\). Определите потенциалы \(\varphi_{1k}\) в узлах с координатами \((k+1,\,k)\), и потенциалы \(\varphi_{2k}\) в узлах с координатами \((k+2,\,k)\) при \(k \ge 0\).

2. Источник напряжения заменили на другой "— ещё более специальный. Теперь потенциалы узлов и на диагоналях, и в центре равны нулю. Чему равны потенциалы \(\varphi_{1k}\) в узлах с координатами \((k+1,\,k)\), и потенциалы \(\varphi_{2k}\) в узлах с координатами \((k+2,\,k)\) при \(k \ge 0\) в этом случае?

На горизонтальной поверхности располагается диск радиусом \(R\) и толщиной \(h\), сделанный из стекла с показателем преломления \(n = 1{,}5\) (рис. ниже, слева). Нижняя матовая сторона диска отражает свет диффузно (иначе говоря, равномерно в любых направлениях). Верхняя и боковая поверхности диска тщательно отшлифованы. Луч мощной лазерной указки, освещающей диск, направлен вдоль его оси. При рассматривании диска сверху (рис. ниже, справа) наблюдаются: ярко выраженный тёмный круг с нечёткой границей диаметром \(d_0\) и светлый ореол с резкой границей в виде концентрической с диском окружности радиусом \(R_0\).

Ниже вы видите фотографию, полученную при проведении опыта, похожего на описанный выше. Мощной лазерной указкой освещалась нижняя точка середины половинки стеклянного диска. Можно различить тёмный полукруг с размытой границей и светлый ореол с резкой границей.

1. Известно, что толщина диска равна \(h = 14\text{ мм}\), а отношение радиусов диска и границы ореола равно \(\dfrac{R_0}{R} \approx 1{,}65\) (это значение получается при измерениях по фотографиям опытов). Найдите радиус диска \(R\).

2. Чем может быть обусловлено возникновение тёмного круга? Оцените его радиус \(r_0\), считая показатель преломления и толщину диска известными.

1. Сухой адиабатой называется такое распределение температуры \(T_a(h)\) в атмосфере Земли, что при увеличении высоты малой порции (в метеорологии их называют частицами) сухого воздуха на небольшую величину \(\Delta h\) без теплообмена с окружающими частицами её температура изменяется на малую величину \(\Delta T_a\). Найдите \(\Delta T_a\), считая \(\Delta h\) известным. Ускорение свободного падения равно \(g = 10\text{ м/с}^2\). Средние молярные масса и теплоёмкость воздуха при постоянном объёме равны: \(\mu = 29\text{ г/моль}\) и \(c_V = 2{,}5R\) (\(R = 8{,}3\text{ Дж/(моль\)\cdot\(К)}\)) соответственно. Движением воздушных масс можно пренебречь.

Указание. Для малых изменений параметров идеального газа \((T, p, V)\) или \((T, p, \rho)\), где \(\rho\) "— плотность, из уравнения состояния следуют формулы: \[\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta p}{p} + \frac{\Delta V}{V}, \qquad \frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta p}{p} - \frac{\Delta \rho}{\rho}.\]

2. В естественных условиях равновесное распределение температуры воздуха по высоте имеет сложный вид. Линия на графике ниже моделирует зависимость \(t(h)\), возникшую в воздухе над городом \(X\) в день \(Y\). В физике атмосферы принято откладывать температуру по горизонтальной оси.

Устойчивым является такое равновесное состояние воздуха в атмосфере, что при адиабатическом смещении частицы воздуха из положения равновесия по вертикали на небольшую величину \(\Delta h\), действующие на неё силы стремятся вернуть эту частицу в положение равновесия. Укажите на графике границы (по высоте) участков устойчивой атмосферы. Воздух предлагается считать сухим, наличием паров воды и движением воздушных масс пренебречь, значения, заданные в части А задачи, можно считать известными.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2020/21, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.