зад 1 Планетарная передача
Внешняя шестерня планетарной передачи (см. приведённый ниже рисунок из «Википедии») называется коронной, внутренняя "— солнечной, жёсткое подвижное звено, на котором закреплены оси маленьких планетарных шестерёнок, называется водилом.
Если водило неподвижно, а солнечная шестерня вращается с частотой \(n\) оборотов в секунду, то с какой частотой вращается коронная шестерня?
Пусть солнечная и коронная шестерни вращаются в одну сторону, делая \(n\) и \(N\) оборотов в секунду соответственно. Чему равна частота вращения водила?
▶ПодсказкаСкрыть
Скорости зубьев в точках зацепления одинаковы, поэтому частоты вращения шестерён обратно пропорциональны числам зубьев. Для пункта 2 перейдите в систему отсчёта, связанную с водилом.
▶ОтветСкрыть
1) \(N_A = \dfrac{3n}{7}\); 2) \(N_B = \dfrac{3n + 7N}{10}\).
зад 2 Падение аппарата
В поле тяжести Земли вниз по вертикали из состояния покоя движется летательный аппарат, на который кроме силы тяжести может действовать только подъёмная сила, создаваемая двигателем, направленная вертикально и сложным образом меняющаяся со временем. На рисунке представлен график зависимости квадрата скорости аппарата от пройденного расстояния на начальном участке его движения длиной \(L\). Числовые значения цены деления сетки по каждой из осей неизвестны. В нулевой момент времени двигатель аппарата не работает. Известно, что если бы двигатель вообще не включался, то аппарат прошёл бы расстояние \(L\) за время, равное \(7{,}75\) c.
Можно считать, что на рассматриваемом участке ускорение свободного падения равно \(10\) м/c\(^2\), а сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала.
Найдите скорость и ускорение аппарата при его движении с включённым двигателем в моменты времени, соответствующие точкам \(A\) и \(B\) графика.
▶ПодсказкаСкрыть
Пока двигатель не работает, \(v^2 = 2gs\). Это даёт цену деления по оси \(v^2\). Ускорение связано с наклоном касательной к графику: \(a = \dfrac{\Delta(v^2)}{2\Delta s}\).
▶ОтветСкрыть
\(v_A = (30 \pm 3)\) м/c, \(v_B = (27 \pm 3)\) м/c; \(a_A = 0\), \(a_B = (3{,}5 \pm 0{,}5)\) м/c\(^2\).
зад 3 Опять приборы
В схеме, изображённой на рисунке, все приборы идеальные. Батарейка, напряжение между выводами которой равно \(U = 6\) В, тоже идеальная. Сопротивление любого проводника, соединяющего соседние узлы сетки, равно \(200\) Ом. Сопротивление подводящих проводов, изображаемых тонкими линиями чёрного цвета, равно нулю. Найдите показания приборов.
▶ПодсказкаСкрыть
Подключённые к узлам сетки идеальные амперметры и провода можно считать проводами: некоторые узлы окажутся при этом эквипотенциальными. Перерисуйте схему в виде последовательных и параллельных соединений.
▶ОтветСкрыть
Показания амперметров равны \(12\) мА, \(6{,}5\) мА и \(12\) мА; показания вольтметров равны \(3\) В.
зад 4 Камера-люцида
Два плоских зеркала \(M_1O\) и \(M_2O\) образуют двугранный угол (см. рисунок), при этом плоскость зеркала \(M_1O\) составляет неизвестный угол \(\alpha\) с горизонтальной прямой, а плоскость зеркала \(M_2O\) такой же угол \(\alpha\) (\(0 \le \alpha \le \frac{\pi}{4}\)) с вертикальной прямой. Найдите такое значение (или значения, если их несколько) угла \(\alpha\), что изображение плоского предмета \(S_p\), располагающегося вертикально, лежит в горизонтальной плоскости.
На рисунке, приведённом ниже, изображена оптическая схема камеры-люциды "— устройства, которое раньше применялось для перерисовывания предметов, людей, пейзажей с натуры. Размеры на схеме непропорционально изменены. Глаз рисовальщика обозначен буквой \(E\), а перерисовываемый объект "— буквой \(S\).
В устройстве используется рассеивающая линза \(L\), а также призма \(P\) из стекла с показателем преломления \(n = \frac{3}{2}\), имеющая в сечении четырёхугольник с одним прямым углом и двумя одинаковыми острыми углами, равными \(\beta\). Рисовальщик смотрит вертикально вниз на лист бумаги \(C\) (на котором рисует).
Считайте, что расстояние от линзы \(L\) до изображаемого объекта \(S\) значительно больше, чем расстояние между \(E\) и \(C\). Линейные размеры призмы существенно меньше расстояния от \(L\) до \(S\) и расстояния от глаза рисовальщика до листа.
Объясните, как работает это устройство. Чему равен угол \(\beta\) призмы, которая использовалась в этом устройстве, по вашему мнению? Какую роль играет рассеивающая линза?
▶ПодсказкаСкрыть
В пункте 1 изображение в двух зеркалах поворачивается на удвоенный угол между ними. В пункте 2 подумайте, какие грани призмы работают как зеркала и на какой угол они в сумме должны повернуть ход лучей.
▶ОтветСкрыть
1) \(\alpha_1 = \dfrac{\pi}{8}\), \(\alpha_2 = \dfrac{\pi}{4}\); 2) рассеивающая линза создаёт уменьшенное изображение предмета вблизи фокальной плоскости. Грани призмы, составляющие тупой угол, играют роль зеркал, поворачивая изображение на угол \(\dfrac{\pi}{2}\), так что человек видит это изображение в плоскости листа, на котором он рисует. \(\beta = \dfrac{3\pi}{8}\).
зад 5 Клин и стержень
Верхняя грань клина массой \(m = 3\) кг составляет угол \(\alpha = 45^\circ\) с горизонтом. Клин снабжен лёгкими колесиками и стоит на горизонтальной поверхности (см. рисунок). Стержень массой \(m\), расположенный вертикально, может двигаться только вверх-вниз вдоль вертикальных направляющих, не испытывая трения. Между стержнем и клином имеется трение, характеризующееся неизвестным коэффициентом \(\mu\). Если на клин действуют горизонтальной силой \(F = 102\) Н (как показано на рисунке), то клин и стержень движутся так, что касаются друг друга; ускорение клина сонаправлено силе и равно \(a = 1\) м/с\(^2\). Ускорение свободного падения \(g\) считайте равным \(10\) м/с\(^2\).
Найдите коэффициент трения \(\mu\).
Какую горизонтальную силу \(F_1\) нужно прикладывать к клину, чтобы он двигался с ускорением \(a\) в противоположную сторону?
▶ПодсказкаСкрыть
Ускорения клина и стержня связаны геометрией: при сдвиге клина на \(x\) стержень смещается по вертикали на \(x\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Направление силы трения на стержне зависит от направления движения клина.
▶ОтветСкрыть
1) \(\mu = \dfrac{1}{2}\); 2) \(F_1 = 6\) Н.
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2021/22, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.