зад 1 Радиусы кривизны
Тонкий обруч радиусом 14,1 см катится без проскальзывания с постоянной скоростью по горизонтальной поверхности. Ответы на следующие вопросы дайте в сантиметрах, округлите до целого.
Чему равен радиус кривизны траектории такой точки \(A\) обруча, что в данный момент вектор \(\overrightarrow{OA}\) лежит в горизонтальной плоскости (см. рисунок)?
Найдите радиус кривизны траектории точки \(B\) обруча, для которой в рассматриваемый момент времени вектор \(\overrightarrow{OB}\) составляет угол \(\varphi = \dfrac{\pi}{6}\) с горизонталью.
▶ПодсказкаСкрыть
Радиус кривизны равен \(v^2/a_\perp\), где \(a_\perp\) — нормальная к траектории составляющая ускорения. Ускорение точки обруча проще найти в системе отсчёта, движущейся со скоростью оси.
▶ОтветСкрыть
1) \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см; 2) \(r_B = 2R \approx 28\) см.
▶РешениеСкрыть
Ускорение точки \(A\) в системе, движущейся со скоростью оси, и в лабораторной системе одинаковое. Оно равно \(a_A = \omega^2 R\) и направлено горизонтально (\(\omega\) — угловая скорость). Скорость точки \(A\) равна \(v_A = \omega R\sqrt2\) и направлена под углом \(\pi/4\) к горизонтали. Радиус кривизны траектории определяется из соотношения \[r_A = \frac{v_A^2}{a_A^{(\perp)}} = \frac{v_A^2\sqrt2}{a_A},\] где \(a_A^{(\perp)}\) — проекция ускорения на направление, перпендикулярное скорости. Таким образом, ответ: \(r_A = 2\sqrt2 R \approx 40\) см.
Рассуждая так же, как в пункте a), можно получить для радиуса кривизны траектории точки \(B\) соотношение \[r_B = 4R\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\varphi}{2}\right),\] из которого следует ответ: \(r_B = 2R \approx 28\) см.
зад 2 Куб и кубики
В механической системе, изображённой на рисунке, блок идеальный, нить невесомая и нерастяжимая, масса любого маленького кубика равна массе большого куба. В ответе на любой из вопросов задачи укажите номера всех столбцов таблицы (без запятых и пробелов), в которых стоят значения \(\mu\), удовлетворяющие условию.
Пусть трение между маленькими кубиками и большим кубом отсутствует. При каких значениях коэффициента трения \(\mu\) между горизонтальной поверхностью и большим кубом он будет оставаться в покое при движении маленьких кубиков?
Пусть коэффициент трения между верхним маленьким кубиком и большим кубом равен 0,25. При каких значениях коэффициента трения \(\mu\) между горизонтальной поверхностью и большим кубом, последний будет оставаться в покое при движении маленьких кубиков?
▶ПодсказкаСкрыть
Большой куб неподвижен, пока горизонтальная сила, с которой на него действуют блок и верхний кубик, не превышает максимальной силы трения покоя. Найдите силу давления нити на ось блока через ускорение кубиков.
▶ОтветСкрыть
1) 3456; 2) 123.
▶РешениеСкрыть
Критическое значение коэффициента трения в пункте a) находится из условия равенства горизонтальной составляющей силы давления на ось блока и максимальной силы трения покоя, действующей на большой куб. Это рассуждение приводит к соотношению \[\mu_a (mg + mg + T_a) = T_a,\] в котором \(T_a\) — сила натяжения нити, удовлетворяющая равенству \[T_a = m a_a = m\cdot\frac{mg}{2m} = \frac{mg}{2}.\] Таким образом, искомый коэффициент трения равен \(\mu_a = 0{,}2\). Номера столбцов таблицы, содержащих значения, превышающие \(\mu_a\), а следовательно удовлетворяющие условию пункта a) задачи, — 3456 (без запятых и пробелов).
В условиях пункта b) задачи уравнение, из которого находится коэффициент трения, изменяется (следует учесть, что на большой куб дополнительно будет действовать сила трения со стороны верхнего маленького кубика): \[\mu_a (mg + mg + T_b) = T_b - \frac{mg}{4}.\] Значение силы натяжения в этом случае равно \[T_b = m a_b + \frac{mg}{4} = m\cdot\frac{mg - \dfrac{mg}{4}}{2m} + \frac{mg}{4} = \frac{5mg}{8}.\] Таким образом, предельное значение коэффициента трения оказывается равно \(\mu_b = \dfrac17 \approx 0{,}142\), так что в этом случае подходящие значения стоят в первых трёх столбцах таблицы, поэтому ответ: 123.
зад 3 Охлаждение влажного воздуха
В герметичном сосуде с жёсткими стенками находится влажный воздух при температуре 117 °С и давлении 200 кПа, при этом количество водяных паров равно количеству сухого воздуха. Сосуд медленно охлаждают. Зависимость давления насыщенных паров воды от температуры приведена на графике ниже. Объёмом образующейся в результате конденсации воды по сравнению с объёмом сосуда можно пренебречь.
В ответе на вопрос любого пункта задачи следует указывать номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.
Чему равна влажность воздуха \(\varphi\) в начальный момент?
При какой температуре \(t\) начнётся конденсация пара?
Чему будет равно давление \(p\) в сосуде при температуре 0 °C?
▶ПодсказкаСкрыть
Пока конденсации нет, объём постоянен, и парциальное давление пара меняется пропорционально абсолютной температуре. Нанесите эту прямую на график давления насыщенных паров.
▶ОтветСкрыть
1) 5; 2) 3; 3) 4.
▶РешениеСкрыть
В начальный момент количество паров равно количеству сухого воздуха, поэтому их парциальные давления равны 100 кПа. Давление насыщенного пара воды, судя по графику, при температуре 117 °С равно 180 кПа, следовательно относительная влажность воздуха в начальный момент равна \(\varphi = \dfrac{100}{180} \approx 56\ \%\). Наиболее близкое к найденному значение стоит в столбце номер 5.
До начала конденсации парциальное давление пара при охлаждении изменяется также, как давление воздуха, — прямо пропорционально абсолютной температуре: \[p_{\text{H}_2\text{O}} = \frac{100\text{ кПа}}{390}\cdot(t + 273),\] где \(t\) — температура в градусах Цельсия. Построив прямую, задаваемую этой формулой, находим точку её пересечения с кривой насыщения и определяем искомую температуру: \(t \approx 98\) °С. Выбрать следует столбец номер 3.
При температуре 0 °С давление насыщенного пара воды составляет менее 2 кПа, в то же время парциальное давление сухого воздуха равно 70 кПа, следовательно подходящее значение стоит в столбце номер 4.
зад 4 Получает и диссоциирует
В вертикальном сосуде под тяжёлым поршнем находится некоторое количество двухатомного газа. Сосуд обладает хорошей теплопроводностью, температура окружающей среды снаружи сосуда постоянна и равна \(T_0\). Молярную теплоёмкость газа при постоянном объёме можно считать равной \(\dfrac{5R}{2}\), пренебрегая вкладом колебательных степеней свободы. Молекулы газа медленно и необратимо диссоциируют на атомы. Для разрыва химической связи между атомами в молекуле необходима энергия, равная \(W_0 = kT_0\), где \(k\) — постоянная Больцмана (\(kN_\text{А} = R\)). Начальные значения давления и объёма газа равны: \(p_0 = 10^5\) Па и \(V_0 = 1\) л соответственно.
В ответе на вопрос любого пункта задачи следует указывать номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.
Чему будет равен объём \(V\) газа после окончания процесса диссоциации?
Определите количество теплоты \(Q\), полученное газом от окружающей среды за большое время после начала процесса.
▶ПодсказкаСкрыть
Давление газа под поршнем постоянно. Учтите, что при диссоциации энергия связи переходит в энергию теплового движения атомов с обратным знаком, а температура остаётся равной \(T_0\).
▶ОтветСкрыть
1) 4 (\(V = 2\) л); 2) 4 (\(Q = 250\) Дж).
▶РешениеСкрыть
После полной диссоциации двухатомного газа количество вещества в сосуде увеличится в два раза, следовательно при постоянном давлении в два раза увеличится объём. Выбрать следует столбец номер 4.
Потенциальная энергия химической связи в двухатомной молекуле меньше нуля и по абсолютной величине равна \(W_0\), поэтому после диссоциации одной двухатомной молекулы суммарная энергия двух атомов оказывается больше энергии молекулы на величину \(\Delta E\), удовлетворяющую соотношению \[\Delta E = 2\cdot\frac{3kT_0}{2} - \frac{5kT_0}{2} + W_0 = \frac{3kT_0}{2}.\] Таким образом, изменение внутренней энергии газа в сосуде после полной диссоциации молекул на атомы оказывается равно \(\Delta U = \dfrac32 \nu R T_0\), где \(\nu\) — начальное количество двухатомного газа. Учитывая, что газ также совершает работу, равную \(A = p_0 V_0\), для количества теплоты из первого начала термодинамики имеем равенство \[Q = \frac32 \nu R T_0 + p_0 V_0 = \frac52 p_0 V_0 = 250\text{ Дж}.\] Численный ответ совпадает со значением, стоящим в столбце номер 4.
зад 5 Сферы с ключами
Две концентрические проводящие сферы соединены в цепь, показанную на рисунке, при этом параметры цепи удовлетворяют соотношениям: \(\pi\varepsilon_0 D = 10\) мкФ, \(\mathcal{E} = 10\) В. В точке \(A\) во внешней сфере сделано отверстие, через которое пропущен изолированный провод, присоединённый к ключу \(K_2\). В начальный момент ключи \(K_1\) и \(K_2\) разомкнуты, а заряды сфер равны нулю. Сначала замыкают ключ \(K_1\). Ответы на вопросы задачи дайте в мДж, округлите до целого.
Какое количество теплоты выделится в цепи в процессе установления стационарного режима?
Какую работу совершит батарея в процессе установления стационарного режима после замыкания ключа \(K_2\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Внешняя сфера — уединённый шар с ёмкостью, пропорциональной радиусу. После замыкания \(K_2\) внутренняя сфера оказывается заземлённой: её потенциал равен нулю, поэтому на ней появляется индуцированный заряд.
▶ОтветСкрыть
1) \(Q = 3\) мДж; 2) \(A_2 = 3\) мДж.
▶РешениеСкрыть
После замыкания ключа \(K_1\) на внешней сфере возникает заряд \(q_1 = 6\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}\). Энергия электростатического взаимодействия зарядов сферы оказывается равна \(W_1 = \dfrac{\mathcal{E} q_1}{2}\), при этом батарея совершает работу \(A_1 = \mathcal{E} q_1\) по перемещению заряда \(q_1\). Из закона сохранения энергии следует, что количество теплоты, выделяющееся в цепи, равно \[Q = A_1 - W_1 = 3\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}^2 = 3\text{ мДж}.\] После замыкания ключа \(K_2\) заряд на внешней сфере изменится и станет равен \(q_2\), при этом на внутренней сфере возникнет некоторый заряд \(q'\). Из условия равенства нулю потенциала внутренней сферы получим равенство \(q' = -\dfrac{q_2}{3}\). Теперь можно определить заряд внешней сферы, приравняв потенциал, создаваемый на ней зарядами \(q'\) и \(q_2\), значению ЭДС источника. В итоге получим: \(q_2 = 9\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}\), так что искомая работа батареи равна \[A_2 = \mathcal{E}(q_2 - q_1) = 3\pi\varepsilon_0 D\mathcal{E}^2 = 3\text{ мДж}.\]
зад 6 Заряд и теплота
В цепи, изображённой на рисунке, в начальный момент ключ \(K_1\) замкнут, ключ \(K_2\) разомкнут, ток через батарею со временем не изменяется. Обозначенные на рисунке параметры равны: \(\mathcal{E} = 10\) В, \(R = r = 10\) Ом, \(L = 6\) мГн, \(C = 120\) мкФ. В некоторый момент времени ключ \(K_2\) замыкают и сразу же после этого (практически, мгновенно) размыкают ключ \(K_1\). Далее в цепи происходит переходный процесс и в результате заряд конденсатора престаёт изменяться.
Какой заряд \(q_1\) протекает через катушку индуктивностью \(L\) в переходном процессе? Ответ дайте в мкКл, округлите до целого.
Найдите количество теплоты \(Q\), выделяющееся в цепи в процессе установления заряда конденсатора. Ответ дайте в мДж, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Токи через катушки при мгновенном переключении не меняются скачком. Проинтегрируйте по времени уравнение для напряжений в контуре из двух катушек и резисторов, а для теплоты используйте закон сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть
1) \(q_1 = 900\) мкКл; 2) \(Q \approx 7\) мДж (6,75 мДж).
▶РешениеСкрыть
Если \(i_1\) и \(i_2\) — токи, текущие через катушки индуктивностью \(L\) и \(2L\) соответственно в переходном процессе, то справедливо соотношение \[2L\,di_2 - L\,di_1 = r(dq_1 - 2\,dq_2),\] где \(dq_1\) и \(dq_2\) — заряды, протекающие через катушки индуктивностью \(L\) и \(2L\) за бесконечно малое время \(dt\). Проинтегрировав это уравнение, получаем равенство \[2L\,\Delta i_2 - L\,\Delta i_1 = r(q_1 - 2q_2),\] в котором \(\Delta i_2 = 0\), а \(\Delta i_1 = \dfrac{\mathcal{E}}{2r}\). Протекающие через катушки заряды связаны соотношением \[C\mathcal{E} = q_1 + q_2,\] которое позволяет исключить заряд \(q_2\) и получить после простых преобразований ответ \[q_1 = \frac{L\mathcal{E}}{6r^2} + \frac{2C\mathcal{E}}{3} = 900\text{ мкКл}.\] Записав уравнение, отражающее закон сохранения энергии \[\frac{C\mathcal{E}^2}{2} = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} - \frac{L\mathcal{E}^2}{8r^2} + Q,\] легко получим ответ: \[Q = \frac{C\mathcal{E}^2}{2}\left(1 + \frac{L}{4Cr^2}\right) = 6{,}75\text{ мДж} \approx 7\text{ мДж}.\]
зад 7 Неупругие частицы
В невесомости вдали от других тел происходит столкновение двух частиц одинаковой массы, одна из которых до столкновения покоится. Известно, что в процессе столкновения суммарная внутренняя энергия частиц увеличивается на величину \(E_0\) (энергия возбуждения).
Чему должно быть равно отношение \(k = \dfrac{E}{E_0}\) кинетической энергии налетающей частицы к энергии возбуждения для того, чтобы после столкновения величина скорости налетающей частицы оказалась равна \(\dfrac13\) скорости до столкновения при этом направление скорости осталось бы таким же, как и до столкновения?
Пусть кинетическая энергия налетающей частицы равна \(3E_0\). Определите максимальный угол \(\beta_{\max}\) между скоростями частиц после столкновения.
В каждом из пунктов в ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите законы сохранения импульса и энергии с учётом \(E_0\). Во втором пункте угол между скоростями связан с квадратом скорости налетающей частицы после удара через теорему косинусов для треугольника импульсов.
▶ОтветСкрыть
1) 5; 2) 4.
зад 8 Колебания дуги
Диск радиусом \(R = 10\) см пренебрежимо малой массы может вращаться без трения вокруг закреплённой горизонтальной оси. Однородная проволочная дуга в виде полуокружности радиусом \(R\), а также два одинаковых груза, суммарная масса которых равна массе дуги, закреплены на ободе диска (см. рисунок). Определите период колебаний диска вблизи положения равновесия. Ускорение свободного падения равно 10 м/с\(^2\), диаметр проволоки и размеры грузов пренебрежимо малы по сравнению с радиусом диска. Ответ дайте в секундах, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите положение центра масс всей системы (дуга плюс грузы) и момент инерции относительно оси; далее — физический маятник.
▶ОтветСкрыть
\(T \approx 1{,}1\) с.
зад 9 В цилиндре под поршнем на пружине
В вакууме на теплоизолирующей подставке установлен вертикальный теплоизолированный цилиндр, закрытый тяжёлым поршнем, подвешенным на пружине (см. рисунок). Поршень может скользить в цилиндре без трения. В случае если между дном цилиндра и поршнем газ отсутствует, поршень располагается в состоянии равновесия у дна цилиндра, при этом пружина растянута на длину \(l_0 = 10\) см.
Под поршень вводится порция одноатомного идеального газа при температуре \(T_0 = 200\) K, в результате поршень располагается на расстоянии \(l_0\) от дна цилиндра.
Теплоёмкостью цилиндра и поршня можно пренебречь. Универсальная газовая постоянная \(R\) равна 8,3 Дж/(моль \(\cdot\) К).
К газу под поршнем медленно подводится такое количество теплоты, что поршень перемещается вверх на расстояние \(\dfrac{l_0}{2}\). На сколько увеличивается температура газа под поршнем? Ответ дайте в градусах Кельвина, округлите до целого.
Найдите молярную теплоёмкость газа \(c\) в начальном состоянии. В ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.
▶ПодсказкаСкрыть
Сила давления газа на поршень уравновешена разностью веса поршня и силы пружины, поэтому давление линейно зависит от высоты поршня. Выразите \(pV\) через \(l\) и примените первое начало термодинамики.
▶ОтветСкрыть
1) \(\Delta T = 250\) К; 2) 4.
зад 10 Заряды сфер
Две проводящие концентрические сферы радиусами \(R\) и \(3R\) заземлены. В пространстве между сферами на расстоянии \(2R\) от их общего центра находится маленький шарик с зарядом \(q\) (\(q > 0\)).
Найдите отношение \(k_a = \dfrac{|q_R^{(a)}|}{q}\) модуля заряда внутренней сферы к заряду шарика.
Внешнюю сферу подключили к положительному выводу батарейки с ЭДС \(\mathcal{E} = \dfrac{q}{12\pi\epsilon_0 R}\). Отрицательный вывод батарейки заземлили. Определите отношение \(k_b = \dfrac{|q_{3R}^{(b)}|}{q}\) модуля заряда внешней сферы к заряду шарика в этом случае. Внутренняя сфера, как и в первом случае, остаётся заземлённой.
▶ПодсказкаСкрыть
Заряд на заземлённой сфере определяется условием нулевого потенциала сферы (например, в её центре). Для пункта b) примените принцип суперпозиции: решение a) плюс решение для заряженной внешней сферы при заземлённых внутренней сфере и шарике.
▶ОтветСкрыть
1) \(k_a = 0{,}25\); 2) \(k_b = 0{,}75\).
зад 11 Замкнуты перемычкой и катушкой
Два длинных прямолинейных проводника располагаются в одной горизонтальной плоскости в вертикальном магнитном поле с индукцией \(B = 0{,}1\) Тл на расстоянии \(d = 10\) см друг от друга. Концы проводников соединены с катушкой с индуктивностью \(L = 0{,}1\) Гн. На некотором расстоянии от катушки на проводниках лежит хорошо проводящая перемычка массой \(m = 25\) г. Перемычка располагается перпендикулярно проводникам и может скользить по ним, не испытывая трения (см. рисунок). В начальный момент времени перемычке сообщается скорость \(v = 0{,}1\) м/c в направлении от катушки.
Пренебрегая активным сопротивлением перемычки, катушки и проводников, ответьте на следующие вопросы.
Через какое минимальное время скорость перемычки станет равна нулю? Ответ выразите в секундах, округлите до целого.
На каком расстоянии от начального положения будет находиться перемычка в момент, когда её скорость станет равна нулю? Ответ выразите в сантиметрах, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Закон Фарадея для контура без сопротивления даёт \(Li + Bdx = 0\), значит, сила на перемычку линейна по смещению: это гармонические колебания.
▶ОтветСкрыть
1) 8 с; 2) 50 см.
зад 12 Зеркало за линзой
В тонкой линзе получено мнимое уменьшенное изображение небольшого предмета, лежащего на главной оптической оси на расстоянии \(a = 10\) см от линзы. Увеличение изображения равно \(\Gamma_0 = \dfrac12\). Параллельно линзе на расстоянии \(\dfrac{f}{2}\) от неё (\(f\) — абсолютная величина фокусного расстояния линзы) размещают плоское зеркало таким образом, что предмет и зеркало располагаются по разные стороны от линзы.
На каком расстоянии \(b\) от линзы находится изображение предмета в этой оптической системе? Ответ выразите в сантиметрах, округлите до целого.
Чему равно увеличение \(\Gamma_1\), с которым предмет изображается в этой оптической системе? Ответ округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Сначала по \(\Gamma_0\) и \(a\) найдите фокусное расстояние рассеивающей линзы. Свет проходит линзу, отражается от зеркала и ещё раз проходит линзу: постройте последовательно три изображения.
▶ОтветСкрыть
1) \(b = 6\) см; 2) \(\Gamma_1 = 0{,}2\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2022/23, отборочный этап, 11 класс — условия (1) · условия (2) · решения (1) · решения (2). Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.