МОШ, 2022/23, заключительный этап, 10 класс

зад 1 Казалось бы, при чём здесь $\pi$?

Механика › Законы сохраненияУпругие столкновенияСимметрияВекторы в механикесложность 7/10черновая разметка

На гладком горизонтальном столе покоятся два маленьких бруска, массы которых равны $m_1 = 1$ кг и $m_2 = 10^N$ кг, где $N$ — некоторая константа. В момент времени $t = 0$ второму бруску сообщают скорость $v_0$ (см. рисунок). Столкновения брусков друг с другом и со стенкой в процессе дальнейшего движения считаются абсолютно упругими.

Пусть ось $OX$ направлена вправо, координата стенки равна нулю. Проследим за движением брусков, рассмотрев зависимость $x_2(x_1)$ — координаты второго бруска в некоторый момент времени от координаты первого в тот же момент. Положению брусков, при котором их координаты равны $x_1$ и $x_2$, соответствует точка $M$ с координатами $(x_1, x_2)$. Со временем координаты брусков изменяются, а точка $M$ движется по плоскости $X_1OX_2$.

[a)] Найдите скорость точки $M$ в момент, когда проекции скоростей брусков на ось $OX$ равны $v_1$ и $v_2$ соответственно. Какой угол составляет вектор скорости точки $M$ с осью $OX_1$? Нарисуйте траекторию движения точки $M$ по плоскости $X_1OX_2$ для значений масс $m_1 = m_2 = 1$ кг ($N = 0$).

Введём в рассмотрение координаты $(\tilde x_1, \tilde x_2)$, связанные с координатами $(x_1, x_2)$ формулами $\tilde x_1 = \sqrt{m_1}\,x_1$ и $\tilde x_2 = \sqrt{m_2}\,x_2$. Положению брусков, при котором их координаты равны $x_1$ и $x_2$, соответствует точка $\tilde M$ с координатами $(\tilde x_1, \tilde x_2)$ на плоскости $\tilde X_1O\tilde X_2$.

[b)] Воспользовавшись законом сохранения энергии, покажите, что величина скорости точки $\tilde M$ сохраняется при абсолютно упругом ударе брусков.

Пусть за мгновение перед столкновением брусков острый угол между прямой, задаваемой уравнением $\tilde x_2 = \dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}\,\tilde x_1$, и скоростью точки $\tilde M$ равен $\alpha$. Используя законы сохранения импульса и энергии, докажите, что после столкновения брусков острый угол между прямой $\tilde x_2 = \dfrac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1}}\,\tilde x_1$ и скоростью точки $\tilde M$ также равен $\alpha$.
[c)] На каком расстоянии от стенки произойдёт пятое столкновение брусков, если параметр $N$ равен 2?
[d)] Сколько раз столкнётся брусок массой $m_1$ с бруском массой $m_2$ и стенкой при $N = 4$?

Указание. Может оказаться полезной приближённая формула $\operatorname{tg} x \approx \sin x \approx x$, справедливая при малых $x$ ($x \ll 1$).

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Энергия системы равна половине квадрата скорости точки $\tilde M$, поэтому в новых координатах упругие удары работают как отражения луча от зеркал.

▶ОтветСкрыть

Ответ

a) $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$, $\operatorname{tg}\alpha = v_2/v_1$; c) $0{,}13\,L$; d) 314.

зад 2 Тянут канат

Механика › СтатикаМассивный канат, распределённая нагрузкаИнтегрирование в физикеЗаконы Ньютона, силысложность 5/10черновая разметка

Внутри закреплённой горизонтальной тонкой трубки, изогнутой в форме полуокружности радиуса $R$, расположен однородный гибкий канат длиной $\pi R$, масса которого равна $m$. Канат начинают тянуть за свободный конец $A$, прикладывая силу по касательной, как показано на рисунке.

Чему равна и куда направлена суммарная сила реакции трубки, действующая на канат, если ускорение точки $A$ каната равно $a$? Считайте внутренние стенки трубки гладкими, а канат нерастяжимым. Рассмотрите начальный момент времени, когда скорость каната равна нулю. Силой тяжести можно пренебречь.

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Запишите теорему о движении центра масс каната: сумма внешних сил равна $m\vec a_{\text{цм}}$. Найдите ускорение центра масс, разбив канат на малые элементы, ускорения которых направлены по касательной.

▶ОтветСкрыть

Ответ

$R_{\text{р}} = ma\,\dfrac{\sqrt{4+\pi^2}}{\pi^2}$, $\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{\pi}{2}$.

зад 3 Баллон на платформе

Термодинамика и молекулярная физика › Идеальный газУравнение состоянияЦентр масс, системы материальных точекИнтегрирование в физикесложность 6/10черновая разметка

Тележка установлена на горизонтальных прямолинейных рельсах и может двигаться по ним без сопротивления. На тележке закреплён сосуд цилиндрической формы, ось которого параллельна рельсам. Длина цилиндра и его радиус равны $L$ и $r$ соответственно. Масса тележки с пустым сосудом равна $M$. Сосуд заполняют идеальным газом массой $m$ при температуре $T_0$. Одно основание сосуда поддерживают при температуре $T_0$. Температура другого основания в начальный момент также равна $T_0$, но затем её медленно увеличивают до величины $T_0 + \Delta T$ (при этом известно, что $\Delta T \ll T_0$). Боковая поверхность сосуда теплоизолирована.

Введём ось $OX$, направив её вдоль оси цилиндра от основания с температурой $T_0 + \Delta T$ к основанию с температурой $T_0$. Пусть начало координат совпадает с основанием цилиндра с температурой $T_0 + \Delta T$. Задачу решайте приближённо, пренебрегая всеми слагаемыми, пропорциональными квадрату малого параметра $\delta T = \dfrac{\Delta T}{T}$ и его старшим степеням. Можно использовать приближённую формулу $(1+x)^n \approx 1 + nx$, справедливую при малых $x$ ($|x| \ll 1$).

[a)] Определите зависимость плотности газа в цилиндре от координаты $\rho(x)$.
[b)] Найдите смещение тележки $d$ относительно начального положения.

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Давление газа в медленном процессе одинаково по всему объёму, а температура вдоль цилиндра меняется линейно. Внешних горизонтальных сил нет — что можно сказать о центре масс системы?

▶ОтветСкрыть

Ответ

a) $\rho(x) = \dfrac{m}{\pi r^2 L}\left(1 + \dfrac{2x - L}{2L}\,\delta T\right)$; b) $d = \dfrac{m}{M+m}\cdot\dfrac{L}{12}\,\delta T$.

зад 4 Барометр Ломоносова

Термодинамика и молекулярная физика › Идеальный газИзопроцессыДавление жидкостиОценки, размерность и подобиесложность 6/10черновая разметка

Для измерения небольших изменений ускорения свободного падения $\delta g$ (обусловленных, например, изменением высоты над уровнем моря или притяжением Луны) Михаил Васильевич Ломоносов предложил создать прибор (универсальный барометр), конструкцию которого описал так: «Возьмём стеклянный шар $AB$ с толстыми стенками и внутренним диаметром в три дюйма; соединим с ним барометрическую трубку $BC$ такой длины, чтобы от центра шара до изгиба $C$ было 28 дюймов; после загиба пусть идёт горизонтальная трубочка $CP$ длиною в фут или больше со стеклянным шаром $S$ диаметром в дюйм; просвет в трубочке $CP$ пусть будет диаметром в $\dfrac14$ линии». Схема, сопровождавшая описание, приводится ниже.

Предполагалось, что в прибор заливается ртуть так, чтобы при вертикальном положении трубки $BC$ бóльший шар был заполнен наполовину (при этом над ртутью не оставалось воздуха), а трубка $PC$ была заполнена до точки $Q$ (середина $PC$). После этого малый шар герметизировался, оба шара размещались в специальных ящиках, заполненных тающим льдом. Ожидалось, что изменение ускорения свободного падения можно будет обнаружить по изменению положения границы столба ртути в горизонтальной трубке, которое фиксировалось линейкой, расположенной рядом с трубкой. Прибор не был изготовлен, вероятно заявка Ломоносова была отклонена.

[a)] Пусть расстояние между соседними делениями шкалы линейки составляет 1 линию. Какое минимальное относительное изменение $\dfrac{\delta g}{g}$ ускорения свободного падения можно было бы обнаружить при помощи универсального барометра?

1 фут = 12 дюймов, 1 дюйм = 10 линий, 1 дюйм = 2,54 см. Плотность ртути и давление её насыщенных паров при $0\,^\circ$С равны $13{,}6$ г/см$^3$ и $0{,}25$ кПа соответственно.
[b)] На какой минимальной высоте над уровнем моря можно было бы измерить изменение ускорения свободного падения при помощи описанного прибора с относительной погрешностью не больше, чем 20 %? Считайте, что погрешность определяется только погрешностью считывания линейки, радиус Земли равен 6400 км.

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Газ в малом шаре и трубке изменяется изотермически; давление ртутного столба в барометрической трубке пропорционально $g$. Свяжите малые относительные изменения $g$, давления и объёма газа.

▶ОтветСкрыть

Ответ

a) $\left|\dfrac{\Delta g}{g}\right| \approx 10^{-4}$ (или в два раза меньше, если считается, что глаз способен различить половину цены деления); b) $H \approx 900$ м.

зад 5 Кольцо и стержень

Колебания и волны › Механические колебанияМалые колебания, период через энергиюНапряжённость поля, принцип суперпозицииИмпульс, закон сохранения импульсасложность 6/10черновая разметка

В однородном диэлектрическом цилиндре длиной $2L$ и диаметром $2R$ сделан цилиндрический канал малого радиуса $r$ ($r \ll R$), соосный цилиндру (см. рисунок, представленный ниже).

В канал вставлен однородно заряженный стержень длиной $2L$ круглого сечения, диаметр стержня чуть меньше диаметра канала. Стержень может двигаться свободно вдоль оси канала. На цилиндре закреплено тонкое однородно заряженное кольцо, плоскость которого перпендикулярна оси цилиндра и делит цилиндр пополам. Кольцо и стержень на рисунке не изображены. Масса цилиндра с кольцом равна массе стержня и равна $M$. Стержень и кольцо несут одинаковые заряды разных знаков, равные по абсолютной величине $q$. Стержень смещают на небольшое расстояние $x_0$ ($x_0 \ll L$) от положения равновесия и отпускают.

[a)] Чему равна максимальная скорость стержня, если цилиндр закреплён?
[b)] Чему равна максимальная скорость стержня после освобождения системы, если цилиндр не удерживается внешней силой?

Гравитацией, всеми видами трения, а также эффектами, связанными с поляризацией диэлектрика, можно пренебречь.

▶ПодсказкаСкрыть

Подсказка

Для малых смещений сила на стержень линейна по смещению, то есть он совершает гармонические колебания; максимальную скорость найдите из энергии. Во втором пункте работает закон сохранения импульса.

▶ОтветСкрыть

Ответ

a) $v = x_0\sqrt{\dfrac{q^2}{m\,(L^2+R^2)^{3/2}}}$; b) $v = x_0\sqrt{\dfrac{q^2}{2m\,(L^2+R^2)^{3/2}}}$.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2022/23, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.