МОШ, 2022/23, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Длина замкнутой линии движения на ленте Мёбиуса равна не \(L\), а \(2L\). Как отличаются пройденные телами пути к моменту встречи?

Ответ

1) \(t_1 = \dfrac{2L}{(\alpha-1)v}\);  2) \(t_2 = \dfrac{6L}{v}\).

Решение

1a. Расстояния, пройденные телами, в момент первой встречи будут отличаться на \(2L\), следовательно, \[\alpha v t_1 - v t_1 = 2L,\] откуда находим \(t_1 = \dfrac{2L}{(\alpha-1)v}\).

1b. \(N\)-ая встреча тел произойдёт через время \(\dfrac{2LN}{(\alpha-1)v}\). За это время тело, которое движется со скоростью \(v\), пройдёт расстояние \(\dfrac{2LN}{\alpha-1} = 3LN\). Тела впервые встретятся в точке старта при таком минимальном значении \(N\), что \(3LN\) окажется кратным \(2L\). Нетрудно догадаться, что это произойдёт в момент второй встречи через время \(t_2 = \dfrac{6L}{v}\).

Подсказка

Найдите средний объём детали, затем рассмотрите два крайних случая: наименьшая масса при наибольшем объёме и наибольшая масса при наименьшем объёме. В каждом запишите уравнение для суммарного объёма меди и свинца.

Ответ

\(m_{\min} = 436\) г; \(m_{\max} = 528\) г (\(m_\text{м} = 482 \pm 46\) г).

Решение

Среднее значение плотности детали равно \(\rho = \dfrac{\bar m}{\bar V}\), где \(\bar m = 1000\) г, \(\bar V\) — значение объёма, полученное в ходе измерения. Откуда находим \(\bar V = 100\) см\(^3\). Так как точность измерения объёма равна 1 см\(^3\), объём детали равен \(V = 100 \pm 1\) см\(^3\). Максимальное значение массы меди, содержащейся в детали, будет в том случае, когда масса детали принимает минимальное значение, а объём максимальное: \[\frac{m_{\max}}{\rho_\text{м}} + \frac{999\text{ г} - m_{\max}}{\rho_\text{с}} = 101\text{ см}^3,\] откуда находим \(m_{\max} = 528\) г.

Минимальное значение массы меди найдём из аналогичного уравнения, в котором масса детали принимает максимальное значение, а объём минимальное: \[\frac{m_{\min}}{\rho_\text{м}} + \frac{1001\text{ г} - m_{\min}}{\rho_\text{с}} = 99\text{ см}^3.\] Решая это уравнение, получаем \(m_{\min} = 436\) г.

Подсказка

В каких единицах измеряются \(\rho\) и \(g\)? Можно ли составить из них одних величину с размерностью длины? Аналогично подумайте, какая комбинация \(\rho\), \(H\), \(g\) имеет размерность силы.

Ответ

Дальнобойность уменьшится в 10 раз; сила натяжения уменьшится в 1000 раз.

Решение

Перечисленные в условии задачи параметры \(H\), \(\rho\) и \(g\) в СИ измеряются в м, кг/м\(^3\) и м/с\(^2\) соответственно. Дальнобойность орудия \(L\) имеет размерность длины, которая измеряется в метрах. Так как килограмм присутствует только в единице плотности, а секунда только в единице ускорения свободного падения, то, используя эти параметры, мы не сможем в результате получить единицу длины. Следовательно, дальнобойность орудия \(L\) может зависеть только от \(H\). Их единицы измерения совпадают, поэтому \(L\) пропорционально \(H\). В таком случае дальнобойность точной копии требушета, все размеры которой в 10 раз меньше оригинала, уменьшится тоже в 10 раз.

Для любой силы, действующей в конструкции, \(F = \alpha\rho H^3 g\), где \(\alpha\) — безразмерный коэффициент. Для силы тяжести это очевидно, но поскольку размерность силы получается единственным способом \(\rho H^3 g\), то для разных сил мы будем получать одинаковую зависимость от \(\rho\), \(H\) и \(g\) с разными коэффициентами \(\alpha\). Это и сила давления требушета на землю, и сила растяжения верёвки при выстреле, и сила, действующая на ось рычага. Таким образом, мы получаем, что максимальная (в процессе выстрела) сила натяжения верёвок, соединяющих рычаг и пращу, уменьшится в 1000 раз.

Подсказка

Чтобы сдвиг был нужным при наименьшем числе кирпичиков, сначала кладите их со сдвигом в одну сторону, а затем в другую, создавая противовес. Устойчивость проверяйте по моментам сил относительно края основания.

Ответ

1) 9 кирпичиков (схема — на рисунке в решении);  2) \(2{,}5a\), где \(a\) — длина кирпичика (схема — на рисунке в решении).

Решение

Чтобы построить башню с заданным сдвигом верхней и нижней деталей, использовав при этом минимальное количество кирпичиков, ребёнку сначала надо укладывать их со сдвигом влево, создав максимально возможный противовес, а потом со сдвигом вправо (или наоборот).

4a. На рисунке представлена башня, содержащая 9 кубиков, у которой верхняя и нижняя детали сдвинуты друг относительно друга по горизонтали на расстояние, равное удвоенной длине кирпичика.

Проверим, является ли она устойчивой. Пусть \(a\) — это длина детали. Момент сил, удерживающих башню в устойчивом положении, равен \[2mg\cdot\frac{a}{2} + 2mg\cdot a + mg\cdot\frac{3a}{2} = \frac{9}{2}\,mga.\] Момент сил, опрокидывающих башню, равен \[mg\cdot\frac{a}{2} + mg\cdot a + mg\cdot\frac{3a}{2} = 3\,mga.\] Следовательно, башня устойчива.

4b. На втором рисунке представлена башня, содержащая 11 кубиков, у которой верхняя и нижняя детали сдвинуты друг относительно друга по горизонтали на расстояние \(2{,}5a\).

Эта башня является устойчивой, поскольку момент сил, удерживающих башню от падения, равен \[2mg\cdot\frac{a}{2} + 2mg\cdot a + 2mg\cdot\frac{3a}{2} = 6\,mga,\] а момент сил, опрокидывающих башню, равен \[mg\cdot\frac{a}{2} + mg\cdot a + mg\cdot\frac{3a}{2} + mg\cdot 2a = 5\,mga.\] Другие конфигурации башен из 11 кубиков дают либо меньший сдвиг верхней и нижней деталей, либо являются неустойчивыми.