зад 1 Частота ультразвука
1a. Источник ультразвуковых импульсов движется по прямой со скоростью \(v\) навстречу неподвижному приёмнику, располагающемуся на той же прямой. Источник излучает короткие импульсы с частотой \(f_0\). С какой частотой \(f\) их принимает приёмник? Как изменится ответ, если источник будет удаляться от приёмника? Скорость распространения ультразвука равна \(c\), при этом \(c \gg v\).
На дне моря установлен ультразвуковой детектор. Судно движется прямолинейно с постоянной скоростью \(v\), проходя в некоторый момент времени прямо над детектором. На судне установлен источник ультразвуковых импульсов, излучающий их с частотой \(f_0\) с одинаковой интенсивностью в любом направлении. Детектор принимает импульсы с частотой \(f\), отличной от частоты излучаемых импульсов. Обозначим \(n = \dfrac{f}{f_0}\) отношение этих частот. На рисунке, представленном ниже, показан фрагмент зависимости отношения \(n\) от времени при движении судна. Скорость ультразвука в воде равна 1500 м/с.
1b. Чему равна скорость судна? На какой глубине располагается детектор?
Указание. При решении задачи могут оказаться полезными следующие приближённые формулы, справедливые при малых значениях \(x\) (\(|x| \ll 1\)) \[\sin x \approx x, \qquad \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}, \qquad \frac{1}{1+x} \approx 1 - x.\]
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость источника вдоль луча к детектору равна \(v\cos\theta\), где \(\theta\) — угол между курсом и направлением на детектор. Что происходит с \(\cos\theta\) при очень больших и при нулевом \(t\), и как ведёт себя график вблизи момента прохождения над детектором?
▶ОтветСкрыть
1a) \(f = \dfrac{f_0}{1 \mp \frac{v}{c}}\) (при \(c \gg v\) также \(f \approx f_0\left(1 \pm \frac{v}{c}\right)\)), верхний знак при сближении, нижний при удалении; 1b) \(v = (9{,}0 \pm 0{,}3)\) м/с, \(h = \left|\dfrac{v^2\tau}{c\,\Delta n}\right| = (410 \pm 50)\) м.
зад 2 Пошла на дно
В бутылку с достаточно толстыми стенками вместимостью \(V = 700\) мл наливают некоторое количество воды. Прикрыв горлышко пальцем, бутылку переворачивают вверх дном, погружают в ведро с водой и убирают руку. Бутылка плавает, сохраняя вертикальное положение. Над поверхностью воды выступает часть бутылки объёмом \(\Delta V = 15\) мл. Ведро с бутылкой выносят из комнаты, температура воздуха в которой равна \(t_0 = 25\,{}^\circ\text{C}\), на мороз. Можно считать, что в процессе охлаждения воздух, находящийся внутри бутылки, сжимается, и его объём изменяется по закону \(V = V_0\,(1 + \alpha(t - t_0))\), где \(V_0\) — объём воздуха при температуре \(t_0\), \(\alpha\) — коэффициент, равный \(3{,}6 \cdot 10^{-3}\) 1/\({}^\circ\)C. Найдите температуру воздуха внутри бутылки в тот момент, когда бутылка полностью погрузится в воду. Масса бутылки равна 300 г, плотность материала, из которого она изготовлена, \(\rho = 2600\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_0 = 1000\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Вся система «бутылка плюс вода и воздух внутри» плавает, пока часть её над водой; запишите условие плавания через объём погружённой части и найдите объём воздуха в начале и в момент полного погружения.
▶ОтветСкрыть
\(t \approx 4{,}2\,{}^\circ\text{C}\).
зад 3 Цепь из нескольких звеньев
Электрическая цепь, показанная на рисунке, составлена из пяти одинаковых звеньев, в каждом из которых содержится три одинаковых резистора сопротивлением \(R\). Выводы \(A\) и \(D\), а также \(C\) и \(B\) соединяют проводниками пренебрежимо малого сопротивления попарно. Определите сопротивление между точками \(A\) и \(B\) образовавшейся цепи.
▶ПодсказкаСкрыть
После соединения \(A\) с \(D\) и \(C\) с \(B\) цепь становится симметричной относительно перестановки концов. Найдите узлы с равными потенциалами или распределение токов с учётом симметрии.
▶ОтветСкрыть
\(R_{AB} = \dfrac{19R}{33}\).
зад 4 Столкновения на плоскости
На расстоянии \(L = 10\) см друг от друга на достаточно протяжённой наклонной плоскости, составляющей угол \(\alpha = 30^\circ\) с горизонталью, удерживаются два абсолютно одинаковых бруска. В момент времени \(t = 0\) бруски освобождают и они начинают двигаться. Величины, относящиеся к верхнему в начальный момент бруску, далее помечаем индексом 1, а относящиеся к нижнему индексом 2. Обозначим \(v_1(t)\) и \(v_2(t)\) скорости брусков в момент времени \(t\). Коэффициенты трения о плоскость равны \(\mu_1 = \dfrac{\sqrt3}{6}\) и \(\mu_2 = \dfrac{\sqrt3}{3}\). Ускорение свободного падения считается равным 10 м/с\(^2\). Размеры брусков пренебрежимо малы, столкновения между ними являются абсолютно упругими.
4a. Для первой секунды движения изобразите графики зависимостей \(v_1(t)\) и \(v_2(t)\). В какие моменты времени происходят столкновения брусков?
4b. Какое расстояние проходит первый брусок (верхний в исходной конфигурации) к моменту \(n\)-го столкновения?
▶ПодсказкаСкрыть
Найдите ускорения каждого бруска по отдельности: у нижнего оно равно нулю. При упругом ударе одинаковых тел они обмениваются скоростями.
▶ОтветСкрыть
4a) \(t_1 = \sqrt{\dfrac{8L}{g}} \approx 0{,}28\) с, \(t_k = \sqrt{\dfrac{8L}{g}}\,(2k-1)\); 4b) \(S_n = L\,(2n^2 - 2n + 1)\).
зад 5 Определите по фотографии
На стробоскопической фотографии (см. рисунок) можно видеть положение движущегося в поле тяжести земли мяча, сталкивающегося с горизонтальной поверхностью, в разные моменты времени. Промежутки времени между двумя последовательными вспышками стробоскопической лампы одинаковы. Фотография инвертирована (чёрный цвет изменён на белый, белый заменён на чёрный), сетка наложена в графическом редакторе позже для удобства расчётов. Столкновения мяча с горизонтальной поверхностью нельзя считать упругими, в процессе столкновения кинетическая энергия поступательного движения мяча уменьшается.
5a. Далее везде в этой задаче мы предполагаем, что сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала. Изучив фотографию, кратко объясните, насколько справедливо наше предположение?
5b. Найдите отношение \(\dfrac{v_1}{v_3}\), где \(v_1\) и \(v_3\) — скорости мяча в наивысшей точке траектории после первого и третьего ударов о поверхность соответственно.
5c. Определите как можно точнее угол между скоростью мяча сразу после первого столкновения и горизонтом.
5d. Во сколько раз изменяется кинетическая энергия мяча в процессе второго столкновения с поверхностью?
▶ПодсказкаСкрыть
В наивысшей точке скорость мяча горизонтальна и равна горизонтальному шагу между вспышками, делённому на время между ними; считайте вспышки на каждой дуге, чтобы найти время полёта.
▶ОтветСкрыть
5b) \(\dfrac{v_1}{v_3} = \dfrac{l_1}{l_3}\cdot\dfrac{t_3}{t_1} \approx 1{,}0 \pm 0{,}1\); 5c) \(\alpha_1 \approx 81^\circ \pm 3^\circ\); 5d) \(\dfrac{E_2}{E_1} = 0{,}75 \pm 0{,}15\).
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2022/23, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.