МОШ, 2023/24, отборочный этап, 11 класс

Материальная точка движется так, что модуль её радиус-вектора \(r(t)\) и угол \(\varphi(t)\) между осью \(0x\) и радиус-вектором связаны соотношением \[r(t)\cdot\varphi(t) = \text{const}.\] В нулевой момент времени \(r(0) = 2\) м, \(\varphi(0) = \dfrac{\pi}{2}\). Радиальная компонента скорости точки в процессе движения не меняется: \(v_r = 1\) м/с.

1. Через какое время после начала движения радиус-вектор повернётся на угол \(\dfrac{\pi}{6}\) относительно начального положения? Ответ дайте в секундах, округлите до десятых.

2. Чему равен модуль угловой скорости вращения радиус-вектора в начальный момент времени? Ответ дайте в рад/c, округлите до десятых.

Герметичный цилиндрический теплоизолированный сосуд массой \(M\) разделён на две одинаковые части тонким теплопроводящим поршнем массой \(M\), который может скользить вдоль оси сосуда без трения. В начальный момент в каждой из частей сосуда находится в состоянии теплового равновесия \(\nu\) молей идеального одноатомного газа при температуре \(T_0\). Сосуд покоится в некоторой инерциальной системе отсчёта в космосе вдали от других тел. Сосуду толчком сообщают скорость \(v\), направленную вдоль его оси. После затухания колебаний поршня в сосуде температура газа изменяется на \(\Delta T\). Найдите отношение \(n = \dfrac{\Delta T}{T_0}\) изменения температуры в сосуде к начальной температуре, если параметры задачи связаны соотношением \(Mv^2 = 2\nu R T_0\), где \(R\) — универсальная газовая постоянная. В ответе на вопрос задачи укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

С одним молем идеального одноатомного газа проводится циклический процесс, состоящий из двух изотерм и двух изохор. Отношение объёмов на изохорах равно \(e\) (\(e\) — основание натурального логарифма, \(\ln e = 1\)). Отношение температур на изотермах равно \(\dfrac{4}{3}\). Определите отношение \(k = \dfrac{\eta}{\eta_0}\) КПД данного цикла к КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно с теми же температурами на изотермах. В ответе на вопрос задачи укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

Работа газа в изотермическом процессе при расширении от объёма \(V_1\) до объёма \(V_2\) даётся формулой \(A = \nu R T \ln\dfrac{V_2}{V_1}\), где \(\nu\) — количество вещества, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — температура.

Два маленьких шарика массой \(m = 1\) г, несущие заряды \(q\) и \(-q\) (\(q = 10\) нКл), соединены невесомым стержнем длиной \(d = 1\) см. Начало вектора \(\mathbf d\) совпадает с отрицательным зарядом, а конец — с положительным. Диполь находится в невесомости, его удерживают в постоянном электрическом поле напряжённостью \(E = 10^3\) В/м, так что угол между векторами \(\mathbf d\) и \(\mathbf E\) равен \(\dfrac{\pi}{2}\).

1. Диполь освобождают. Чему равна максимальная скорость любого из шариков после этого? Ответ дайте в см/с, округлите до целого.

2. Определите период малых колебаний диполя вблизи положения равновесия. Ответ дайте в секундах, округлите до целого.

В цепи, представленной на рисунке ниже, сопротивление резисторов, внутреннее сопротивление батареи, индуктивность катушки и ёмкость конденсатора равны \(R = 100\) Ом, \(r = 1\) Ом, \(L = 0{,}1\) Гн и \(C = 0{,}1\) мкФ соответственно, амперметр идеальный. Цепь подключена к батарее с ЭДС \(\mathcal E = 4\) В через ключ \(K\). Сначала ключ разомкнут.

1. Ключ замыкают. Найдите показания амперметра сразу после замыкания ключа. Ответ дайте в амперах, округлите до целого.

2. После замыкания ключа ожидают достаточно большое время, так что в цепи устанавливается стационарный режим. Что показывает амперметр в стационарном режиме? Ответ дайте в миллиамперах, округлите до целого.

3. После установления стационарного режима ключ размыкают. Какое количество теплоты выделяется на резисторах (суммарно на двух) за большое время после размыкания ключа? Ответ дайте в мкДж, округлите до целого.

Две тонкие линзы располагаются так, что их оптические оси совпадают. Прямая \(O_1O_2\) на рисунке, представленном ниже, — это общая оптическая ось этих двух линз. Небольшой предмет располагается в точке \(A\), лежащей на оси \(O_1O_2\). На рисунке показан ход одного из лучей, идущего от предмета. Линзы на рисунке не показаны. Углы, образованные отрезками луча и осью, равны. При этом известно, что \(AC = 24\) см, \(BC = 12\) см.

1. Найдите фокусное расстояние линзы меньшей оптической силы. Ответ дайте в сантиметрах, округлите до целого.

2. Найдите фокусное расстояние линзы большей оптической силы. Ответ дайте в сантиметрах, округлите до целого.

3. Определите поперечное увеличение, с которым изображается в этой системе линз небольшой предмет, располагающийся в точке \(A\). Ответ округлите до десятых.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2023/24, отборочный этап, 11 класс — условия. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.