зад 1 Уточки на речке
Две уточки плывут по реке так, что их траектории относительно берега представляют собой прямые, пересекающиеся под углом \(120^\circ\). Скорости уточек относительно берега равны 1 м/с. Скорость течения реки относительно любой из уточек равна 1 м/с, а относительно берега не больше 1,1 м/с.
(2 балла) Найдите скорость течения реки относительно берега. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.
(1 балл) Найдите скорость одной уточки относительно другой. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость течения относительно берега — сумма скорости течения относительно уточки и скорости уточки относительно берега. Какой фигуре соответствует равенство трёх векторов длиной 1 м/с?
▶ОтветСкрыть
1) \(1{,}0\) м/с; 2) \(1{,}7\) м/с.
зад 2 Бруски
На гладком горизонтальном столе лежат друг на друге три одинаковых по размерам бруска с массами \(m_1 = 3\) кг (нижний), \(m_2 = 1\) кг (средний) и \(m_3 = 1\) кг (верхний). Коэффициент трения \(\mu\) между любыми двумя брусками равен 0,3. На средний брусок в горизонтальном направлении начинает действовать сила \(F\).
Ответы на первые три вопроса дайте в ньютонах, округлите до целого. Определите максимально возможное значение силы \(F\), при котором:
(1 балл) тела движутся как единое целое;
(1 балл) средний брусок остаётся неподвижным относительно нижнего;
(1 балл) верхний брусок остаётся неподвижным относительно среднего.
(2 балла) Найдите ускорение среднего бруска для следующих значений силы \(F\): 5 Н, 15 Н. Ответы дайте в м/c\(^2\), округлите до целого.
Ускорение свободного падения равно 10 м/c\(^2\). Бруски при движении друг с друга не падают.
▶ПодсказкаСкрыть
Для каждой пары соприкасающихся брусков максимальная сила трения покоя равна \(\mu N\). Найдите, какое наибольшее ускорение она может сообщить телам, которые должны двигаться вместе с ведомым бруском.
▶ОтветСкрыть
1) 10 Н; 2) 10 Н; 3) 12 Н; 4) 1 м/с\(^2\) и 6 м/с\(^2\).
зад 3 Отделяются от аппарата
От космического аппарата массой 1 т, который изначально находится в состоянии покоя, поочерёдно в одном направлении отстреливаются два одинаковых отработавших модуля. При отделении от аппарата каждый модуль получает скорость 10 м/с относительно оставшейся части аппарата. Масса каждого модуля составляет 250 кг. Сопротивление движению и сила тяжести отсутствуют. Масса модулей включена в начальную массу системы.
(1 балл) Чему стала равна скорость аппарата \(v_1\) после отделения первого модуля?
Варианты ответа: № 1 — \(v_1 = 10{,}0\) м/c; № 2 — \(7{,}5\) м/c; № 3 — \(5{,}0\) м/c; № 4 — \(3{,}0\) м/c; № 5 — \(2{,}5\) м/c; № 6 — \(1{,}5\) м/c.
(1 балл) Найдите скорость аппарата \(v_2\) после отделения второго модуля.
Варианты ответа: № 1 — \(v_2 = 10{,}0\) м/c; № 2 — \(7{,}5\) м/c; № 3 — \(6{,}0\) м/c; № 4 — \(5{,}0\) м/c; № 5 — \(3{,}0\) м/c; № 6 — \(2{,}5\) м/c.
В случае вопроса, предполагающего выбор значения, в ответе следует указать номер столбца, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите закон сохранения импульса в системе отсчёта, где аппарат вместе с модулями вначале покоится. Скорость модуля относительно аппарата равна разности их скоростей.
▶ОтветСкрыть
1) ответ 5: \(v_1 = 2{,}5\) м/с; 2) ответ 3: \(v_2 \approx 6\) м/с.
зад 4 Максимальный угол вылета
Ядро атома массой \(6m\), скорость которого равна \(v\), налетает на неподвижное ядро массой \(m\). В результате столкновения состояние налетающего ядра не изменяется, оно рассеивается на некоторый угол, а ядро массой \(m\) переходит в возбуждённое состояние и начинает двигаться. Величина энергии возбуждения равна \(\dfrac{9mv^2}{28}\) (на эту величину уменьшается суммарная кинетическая энергия ядер).
(3 балла) Во сколько раз скорость ядра массой \(m\) после столкновения в системе центра масс ядер меньше скорости \(v\)? Ответ округлите до целого.
(3 балла) Определите максимальное значение угла между вектором скорости лёгкого ядра после столкновения и вектором скорости тяжёлого ядра до столкновения в лабораторной системе отсчёта. Ответ дайте в градусах, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему центра масс: там суммарный импульс равен нулю, а скорость лёгкого ядра после удара фиксирована по модулю, но произвольна по направлению. Как сложить её со скоростью центра масс, чтобы угол был наибольшим?
▶ОтветСкрыть
1) \(v/u_2' \approx 2\) (точно \(7/3\)); 2) \(\beta_{\max} = 30^\circ\).
▶РешениеСкрыть
1) Пусть \(v\) — скорость тяжёлого ядра до столкновения, тогда скорость центра масс равна \(V = \dfrac{6v}{7}\). Энергия центра масс равна \(\dfrac{7mV^2}{2} = \dfrac{7mv^2\cdot 36}{2\cdot 49} = \dfrac{18}{7}mv^2\), она не меняется в процессе столкновения. Суммарная энергия ядер в системе центра масс до столкновения равна \(\dfrac{3mv^2}{7}\). После столкновения суммарная энергия ядер становится равна \[T'_\Sigma = \frac{3mv^2}{7} - \frac{9mv^2}{28} = \frac{3mv^2}{28}.\] В системе центра масс суммарный импульс ядер равен нулю, следовательно, модули импульсов равны, поэтому отношение кинетических энергий ядер после столкновения равно обратному отношению их масс: \[\frac{T'_2}{T'_1} = \frac{(p'_2)^2}{2m_2} : \frac{(p'_1)^2}{2m_1} = \frac{m_1}{m_2} = 6.\] Таким образом, кинетическая энергия лёгкого ядра после столкновения в системе центра масс равна \(T'_2 = \dfrac{6}{7}T'_\Sigma = \dfrac{18mv^2}{14^2}\), а искомая скорость лёгкого ядра после столкновения равна \(u'_2 = \sqrt{\dfrac{2T'_2}{m}} = \dfrac{3v}{7}\). Она в \(\dfrac{7}{3}\) раз меньше \(v\). Округляя, получаем ответ: \(\dfrac{v}{u'_2} \approx 2\).
2) Скорость лёгкого ядра после столкновения в лабораторной системе равна векторной сумме \(\vec v'_2 = \vec V + \vec u'_2\). В треугольнике скоростей, соответствующем этому равенству, длины двух сторон \(V\) и \(u'_2\) фиксированы, а значения длины третьей стороны и углов могут быть различными. Максимальному углу вылета соответствует треугольник с прямым углом между сторонами \(v'_2\) и \(u'_2\). В этом случае \(\sin\beta_{\max} = \dfrac{u'_2}{V} = \dfrac{1}{2}\). Иначе говоря, \(\beta_{\max} = \arcsin\dfrac{1}{2} = 30^\circ\).
зад 5 Шайба в полости и ускорение
На горизонтальной протяжённой плоскости находится брусок, в котором сделана шарообразная полость радиусом \(R = 0{,}2\) м (см. рисунок, представленный ниже). В нижней точке полости лежит маленькая шайба. Изначально система покоится. В некоторый момент брусок начинает двигаться горизонтально с ускорением \(a\) под действием внешней силы. Шайба при этом тоже приходит в движение. Трение в системе отсутствует. Ускорение свободного падения \(g\) считайте равным 10 м/c\(^2\).
(1 балл) При каком минимальном значении \(a_{\min}\) ускорения бруска шайба в процессе движения достигнет точки \(A\)? Ответ дайте в м/c\(^2\), округлите до целого.
(2 балла) Пусть ускорение бруска равно \(a = g\sqrt{3}\). Найдите скорость шайбы относительно полости в момент, когда она проходит точку \(A\), лежащую на горизонтальном диаметре полости. Ответ дайте в м/с, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Перейдите в систему отсчёта бруска: там на шайбу действует ещё и сила инерции, то есть вместо \(\vec g\) можно ввести эффективное ускорение свободного падения. Куда оно направлено и чему равно?
▶ОтветСкрыть
1) \(a_{\min} = g = 10\) м/c\(^2\); 2) \(v = \sqrt{2gR\left(\sqrt{3}-1\right)} \approx 1{,}7\) м/с.
▶РешениеСкрыть
Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, связанную с бруском. Сила инерции, возникающая в этой системе отсчёта, может быть учтена введением эффективного ускорения свободного падения \(\vec g_{\text{эфф}} = \vec g - \vec a\). В условиях второго вопроса \(\vec g_{\text{эфф}}\) составляет угол \(\pi/6\) с горизонтом, при этом \(|\vec g_{\text{эфф}}| = 2g\). Искомая относительная скорость находится по закону сохранения энергии.
зад 6 Резистор и приборы
Четыре одинаковых амперметра и резистор соединены в цепь, представленную на рисунке. Выводы цепи подключены к источнику постоянного напряжения. Амперметр \(\text{A}_1\) показывает ток 4 А. Сопротивление резистора в 3 раза больше собственного сопротивления амперметра.
(2 балла) Найдите показания амперметра \(\text{A}_3\). Ответ дайте в амперах, округлите до целого.
(1 балл) Что показывает амперметр \(\text{A}_2\)? Ответ дайте в амперах, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Амперметры имеют одинаковое сопротивление \(r\), а у резистора оно равно \(3r\). Обозначьте потенциалы узлов и составьте уравнения для токов через узлы схемы.
▶ОтветСкрыть
1) \(I_3 = 1\) А; 2) \(I_2 = 3\) А.
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2024/25, отборочный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.