зад 1 Шайба в полости и ускорение
На горизонтальной протяжённой плоскости находится брусок, в котором сделана шарообразная полость радиусом \(R = 0{,}2\) м (см. рисунок, представленный ниже). В нижней точке полости лежит маленькая шайба массой \(m = 0{,}1\) кг. Изначально система покоится. В некоторый момент брусок начинает двигаться горизонтально с ускорением \(a\) под действием внешней силы. Шайба при этом тоже приходит в движение. Трение в системе отсутствует. Ускорение свободного падения \(g\) считайте равным \(10\) м/c\(^2\).
(1 балл) При каком минимальном значении \(a_{\min}\) ускорения бруска шайба в процессе движения достигнет точки \(A\)? Ответ дайте в м/c\(^2\), округлите до целого.
(2 балла) Пусть ускорение бруска равно \(a = g\sqrt{3}\). Определите силу, с которой шайба действует на брусок, когда она проходит точку \(A\), лежащую на горизонтальном диаметре полости. Ответ дайте в ньютонах, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
В системе отсчёта бруска добавляется сила инерции. Как выглядит движение шайбы в поле «эффективной» силы тяжести, и где в этом поле «нижняя» точка?
▶ОтветСкрыть
1) \(a_{\min} = g = 10\) м/c\(^2\); 2) \(N = mg(3\sqrt{3} - 2) \approx 3\) Н.
▶РешениеСкрыть
Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, связанную с бруском. Сила инерции, возникающая в этой системе отсчёта, может быть учтена введением эффективного ускорения свободного падения \(\vec g_{\text{эфф}} = \vec g - \vec a\). В условиях второго вопроса \(\vec g_{\text{эфф}}\) составляет угол \(\pi/6\) с горизонтом, при этом \(|\vec g_{\text{эфф}}| = 2g\).
зад 2 Треугольный цикл
Рабочим телом тепловой машины является идеальный двухатомный газ. Машина работает по циклу, состоящему из трёх процессов: нагревания при постоянном объёме, изобарного расширения и процесса, в котором давление изменяется пропорционально объёму. КПД этого цикла равен \(\dfrac{100\,\%}{31}\). Определите отношение максимальной температуры газа в цикле к минимальной. Ответ округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите КПД через отношение максимального давления к минимальному; температуры в вершинах цикла связаны с этим отношением.
▶ОтветСкрыть
\(T_{\max}/T_{\min} = 2{,}25 \approx 2\).
▶РешениеСкрыть
Пусть отношение максимального давления к минимальному равно \(\alpha\), тогда таким же будет и отношение максимального объёма к минимальному. Если минимальная температура равна \(T_0\), то максимальная равна \(T_0\alpha^2\), а КПД цикла даётся формулой \[\eta = \frac{(\alpha - 1)}{5 + 7\alpha}\cdot 100\,\%.\] Подставляя данные в условии значения, находим \(\alpha = 1{,}5\). Таким образом, искомое отношение равно \(\dfrac{T_{\max}}{T_{\min}} = \alpha^2 = 2{,}25 \approx 2\).
зад 3 Потенциалы
Внутри сферической проводящей оболочки радиусом \(R_1 = 30\) см с центром в точке \(O_1\) располагается металлический шарик радиусом \(R_2 = 18\) см. Центр шарика находится в точке \(O_2\), так что точка \(O_1\) оказывается лежащей внутри шарика, как показано на рисунке.
Заряды оболочки и шарика равны \(q_1 = 1\) нКл и \(q_2 = 2\) нКл соответственно, разность потенциалов шарика и оболочки равна \(U = 45\) В. Потенциал бесконечно удалённых точек равен нулю. Значение комбинации постоянных \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\) можно считать равным \(9\cdot 10^9\) (В\(\cdot\)м)/Кл. Ответы на вопросы задачи дайте в вольтах, округлите до целого.
(2 балла) Чему равен потенциал точки \(A\), лежащей на расстоянии \(3R_1\) от центра сферической оболочки \(O_1\)?
(2 балла) Определите потенциал точки \(O_2\).
(2 балла) Найдите потенциал поля зарядов оболочки в точке \(O_2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Снаружи сферически симметричная система создаёт поле точечного заряда \(q_1 + q_2\) в центре. Потенциал оболочки равен потенциалу на её поверхности, а шарик отличается от неё на заданную разность \(U\).
▶ОтветСкрыть
1) \(\varphi_A = \dfrac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0\cdot 3R_1} \approx 30\) В; 2) \(\varphi_{O_2} = \dfrac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0 R_1} + U \approx 135\) В; 3) \(\varphi'_{O_2} = \dfrac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0 R_1} + U - \dfrac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 R_2} \approx 35\) В.
зад 4 Конденсатор и светодиоды
В цепи, схема которой изображена на рисунке слева, конденсатор изначально не заряжен, обозначенные на схеме параметры считаются известными, переключатель П находится в среднем положении. Вольт-амперная характеристика светодиода изображена на рисунке справа, при этом \(U_0 = \mathcal{E}/5 = 1\) В, \(\Delta U = \Delta I R\), \(R = 10\) Ом.
Переключатель перекидывают на короткое время \(\tau\) (\(\tau \ll RC\)) в положение 1, а затем мгновенно на такое же время в положение 2. Эти две операции повторяют без остановки снова и снова.
(4 балла) Определите среднее напряжение на конденсаторе спустя длительное время после начала процесса. Ответ дайте в вольтах, округлите до целого.
(2 балла) Чему равна средняя мощность, выделяющаяся на светодиодах через большое время после начала процесса? Ответ дайте в Вт, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть
Спустя долгое время напряжение на конденсаторе почти постоянно, значит, средний заряд, пришедший за один период, равен ушедшему. Учтите, что в положении 2 ток течёт через резистор \(R\) и диод в другую сторону.
▶ОтветСкрыть
1) \(U_C = 3\mathcal{E}/5 = 3\) В; 2) \(\langle P\rangle = 0{,}2\) Вт.
▶РешениеСкрыть
а) В квазистационарном режиме (который установится спустя длительное время после начала процесса) напряжение на конденсаторе \(U_C\) будет изменяться крайне незначительно. Поскольку переключатель одинаковое время находится в положениях 1 и 2, токи зарядки и разрядки конденсатора должны быть равны. Этот факт отражает уравнение \[\frac{\mathcal{E} - U_0 - U_C}{R} = \frac{U_C - U_0}{2R},\] решая которое находим искомое напряжение: \(U_C = \dfrac{2\mathcal{E} - U_0}{3} = \dfrac{3\mathcal{E}}{5}\).
б) Средняя мощность, выделяющаяся на светодиодах, равна \[\langle P\rangle = (\mathcal{E} - U_C)I = \frac{(\mathcal{E} - U_C)(\mathcal{E} - U_C - U_0)}{R} = \frac{2\mathcal{E}^2}{25R} = 0{,}2\text{ Вт}.\]
зад 5 Неизвестные параметры
В цепи, схема которой представлена на рисунке, конденсатор изначально не заряжен, ключ разомкнут, внутреннее сопротивление батареи равно нулю. ЭДС батареи и сопротивление резистора равны \(\mathcal{E} = 5\) В и \(R = 5\) Ом соответственно. Ключ замыкают и дожидаются установления стационарного режима. При этом на резисторе, присоединённом к конденсатору, выделяется количество теплоты \(Q_1 = 25\) мкДж. После того как напряжение на конденсаторе и ток через катушку установятся, ключ размыкают, и за большое время после этого на резисторе, присоединённом к конденсатору, выделяется количество теплоты \(Q_2 = 25\) мкДж.
(2 балла) Найдите ёмкость конденсатора. Ответ дайте в мкФ, округлите до целого.
(2 балла) Чему равна индуктивность катушки? Ответ дайте в мкГн, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть
При зарядке конденсатора от источника выделившееся в резисторе тепло равно энергии заряженного конденсатора. После размыкания ключа вся запасённая энергия обеих реактивных ветвей уходит в тепло.
▶ОтветСкрыть
1) \(C = \dfrac{2Q_1}{\mathcal{E}^2} = 2\) мкФ; 2) \(L = \dfrac{2Q_2 - Q_1}{\mathcal{E}^2}\cdot 2R^2 = 50\) мкГн.
зад 6 Расстояние до зеркала
За линзой с оптической силой \(5\) дптр на расстоянии \(x\) от неё располагается плоское зеркало. Плоскости зеркала и линзы параллельны. На оптический центр линзы под малым углом к оптической оси падает луч света. Он проходит через линзу, отражается от зеркала и вторично проходит через линзу. Определите расстояние \(x\) от зеркала до линзы в двух случаях:
(1 балл) выходящий из системы луч распространяется параллельно главной оптической оси;
(1 балл) выходящий из системы луч распространяется параллельно падающему.
▶ПодсказкаСкрыть
Луч через оптический центр не преломляется. Постройте ход после зеркала и найдите, где должна лежать точка пересечения отражённого луча с линзой, чтобы он вышел нужным образом (учтите фокальную плоскость).
▶ОтветСкрыть
1) \(x = \dfrac{1}{2D} = 10\) см; 2) \(x = \dfrac{1}{D} = 20\) см.
Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2024/25, отборочный этап, 11 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.