МОШ, 2024/25, заключительный этап, 9 класс

В современной метрологии эталонным прибором для измерения времени являются атомные часы. Перспективной альтернативой атомным часам могут стать пульсары — быстро вращающиеся нейтронные звезды. Некоторые пульсары обладают поразительной стабильностью вращения, испуская при каждом обороте звезды (через равные промежутки времени) радиосигналы, которые могут быть зарегистрированы на Земле. Пульсар PSR B1937+21 — яркий тому пример.

Период вращения пульсара PSR B1937+21 равен \(T = 1{,}557806449\) мс, начальная погрешность измерения этого значения равна \(\Delta T_0 = 5\cdot 10^{-12}\) с. Скорость вращения пульсара может немного изменяться из-за внутренних процессов в звезде. Для учёта этого фактора будем считать, что погрешность периода пульсара увеличивается линейно со временем: \(\Delta T(t) = \Delta T_0 + \alpha t\), где \(\alpha = 7\cdot 10^{-21}\) — скорость изменения погрешности. Предположим, что часы на основе пульсара используются для измерения большого промежутка времени \(t\). При каком значении \(t\) накопленная погрешность измерения станет равна 1 секунде? Считайте, что среднее значение периода вращения пульсара постоянно и равно \(T\). Ответ выразите в годах.

Две одинаковые шайбы массой \(m\), связанные нерастяжимой лёгкой нитью, движутся по горизонтальной гладкой поверхности со скоростью \(v\), как показано на рисунке.

Нить не провисает, но и не натянута. В процессе движения нить налетает на гвоздь. Длины отрезков нити между шайбами и гвоздём равны \(l\) и \(L\). Трение между нитью и гвоздём отсутствует.

1. Найдите силу натяжения нити сразу после того, как нить коснётся гвоздя, а также ускорение точки нити, соприкасающейся с гвоздём в этот момент времени.

2. Определите радиусы кривизны траекторий шайб в момент, когда нить коснётся гвоздя.

Из листа бумаги в форме сектора круга свернули конус массы \(m\) с углом раствора \(2\alpha\). Конус помещают на горизонтальную поверхность стола, прогибания бумаги не происходит. Трение между бумагой и столом отсутствует. Чтобы под действием силы тяжести конус не развалился, к краям бумаги, расположенным на линии разреза, прикладывают пару сил величиной \(F\), направленных по касательной к окружности основания конуса (см. рисунок). Распределение массы по листу считайте однородным. Пренебрегая всеми эффектами, связанными с изгибом, найдите значение силы \(F\).

Школьник исследовал остывание жидкостей в термосе. Он обнаружил, что остывание одного литра бульона с \(95\,^\circ\)C до \(90\,^\circ\)C в открытом термосе происходит за \(t_1 = 100\) с, а в закрытом тонкой фольгой за \(t_2 = 180\) с. С другой стороны, он заметил, что вода того же объёма остывает с \(95\,^\circ\)C до \(90\,^\circ\)C в открытом термосе за \(t_3 = 80\) с. Считайте, что остывание жидкости происходит за счёт испарения воды и конвекции воздуха, граничащего с её поверхностью. При этом часть поверхности бульона покрыта жиром, испарения с этой части поверхности не происходит. Если бульон накрыть фольгой, испарение практически прекращается. В рассматриваемом температурном диапазоне теплопотери можно считать постоянными, фольга и жировой слой на поверхности не оказывают существенного влияния на теплопотери, осуществляемые посредством конвекции.

Теплоёмкость и плотность бульона и воды совпадают. Удельная теплоёмкость и удельная теплота парообразования воды равны соответственно \(c = 4200\) Дж/(кг\(\cdot{}^\circ\)C) и \(L = 2{,}3\) МДж/кг.

1. Рассчитайте, какая часть площади поверхности бульона покрыта жиром?

2. Рассчитайте, какая масса воды испарилась с поверхности бульона за время его остывания с \(95\,^\circ\)C до \(90\,^\circ\)C.

Одной из проблем при измерении малых сопротивлений является сравнительно большое сопротивление подводящих проводов и контактов этих проводов с измеряемым сопротивлением. Опишем такое малое сопротивление \(R\) с суммарным сопротивлением подводящих проводов \(r\) (включая контактные сопротивления) простейшей эквивалентной схемой, изображённой на рисунке 1.

Так, например, при сравнении двух малых сопротивлений \(R_1\) и \(R_2\) с помощью мостиковой схемы Уитстона (схема на рисунке 2), возникает ошибка, связанная с наличием контактного сопротивления.

Для исключения этой ошибки Уильямом Томсоном была предложена более сложная схема сравнения сопротивлений (см. рисунок 3), которая в дальнейшем приобрела название «мост Томсона».

1. Рассчитайте сопротивление \(R_1\) в схеме на рисунке 3, если напряжение, регистрируемое вольтметром, равно нулю (мост сбалансирован). Считайте остальные сопротивления, включая сопротивление подводящих проводов, известными.

2. При каком соотношении между сопротивлениями \(R_3\), \(R_4\), \(R_5\), \(R_6\) ответ на первый вопрос не зависит от \(r\)?

3. Технически наиболее удобно выбирать сопротивления \(R_3\), \(R_4\), \(R_5\), \(R_6\) много большими сопротивлений \(R_1\), \(R_2\) и сопротивления подводящих проводов \(r\). Дайте ответ на вопрос пункта а) с учётом этого приближения (округлив ответ до первого порядка малости).

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2024/25, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.