МОШ, 2025/26, заключительный этап, 10 класс

Плоский диск вращается вокруг своей оси симметрии, закреплённой вертикально. Точки \(A\) и \(B\) принадлежат этому диску. На рис. 1 изображены вектор ускорения точки \(A\) и вектор скорости точки \(B\). Известно, что вектор ускорения точки \(B\) лежит на прямой, показанной на рис. 1 пунктиром.

1. С помощью циркуля и линейки постройте вектор скорости точки \(A\) и вектор ускорения точки \(B\), кратко обосновав выполненное построение (описывать стандартные построения не требуется). При построении соблюдайте пропорциональность: длины отрезков, изображающих векторы (например, скорости), должны соотноситься на рисунке так же, как модули соответствующих физических величин.

На рис. 2 изображены три точки \(O\), \(S_1\) и \(S_2\), лежащие на одной прямой. Точка \(O\) является оптическим центром идеальной собирающей линзы, а точки \(S_1\) и \(S_2\) — источником и его изображением в этой линзе. Идеальной называется тонкая линза, в которой любые лучи, в том числе идущие под большими углами к оптической оси, преломляются как параксиальные (приосевые).

1. С помощью циркуля и линейки определите положение ближайшего к \(S_1\) фокуса линзы в случае, когда прямая \(OS_1S_2\) является её главной оптической осью.

2. Постройте геометрическое место точек (ГМТ), в которых может располагаться один из фокусов этой линзы, если положение её главной оптической оси в плоскости рисунка произвольно.

Биполярный \(npn\)-транзистор — полупроводниковый прибор с тремя выводами: эмиттером, коллектором и базой. Эти выводы обозначены соответствующими буквами на схеме, приведённой на рис. 3, где показана схема упрощённого усилительного каскада на транзисторе. Эта схема предназначена для увеличения амплитуды сигнала, то есть переменной составляющей входного напряжения. Если на вход подаётся напряжение вида \[U_{\text{вх}}(t) = U_{\text{б}} + U_1 \sin(\omega t),\] где \(U_{\text{б}}\) (напряжение смещения базы) и \(\omega\) (круговая частота) — постоянные величины, а \(U_1\) — амплитуда сигнала, то напряжение на высокоомной нагрузке \(R_{\text{н}}\), подключённой к выходу (между эмиттером и коллектором), также содержит постоянную и переменную составляющие. При этом выходной сигнал имеет практически синусоидальную форму (искажения обычно не превышают нескольких процентов), а его амплитуда \(U_2\) в несколько раз превышает амплитуду входного сигнала \(U_1\).

Основной характеристикой усилительного каскада является коэффициент усиления по напряжению — модуль отношения амплитуд выходного и входного сигналов: \(K_U = \left|\dfrac{U_2}{U_1}\right|\).

Пусть напряжение смещения базы и амплитуда входного сигнала равны соответственно \(U_{\text{б}} = 0{,}7\text{ В}\) и \(U_1 = 0{,}2\text{ мВ}\).

Входная характеристика транзистора, то есть зависимость тока базы \(I_{\text{б}}\) от напряжения между базой и эмиттером \(U_{\text{бэ}}\), задаётся соотношением \[I_{\text{б}} = I_{\text{б}0} \cdot 10^{\left(\frac{U_{\text{бэ}}}{U_T} - 12\right)}.\] Здесь \(U_T = 0{,}06\text{ В}\), \(I_{\text{б}0} = 5\text{ мкА}\). Для наглядности на рис. 4 приведён график этой зависимости для напряжений, близких к напряжению смещения базы.

Зависимость тока коллектора \(I_{\text{к}}\) от напряжения между коллектором и эмиттером \(U_{\text{кэ}}\) в рассматриваемой области токов и напряжений параметрически зависит от тока базы \(I_{\text{б}}\) и описывается формулой \[I_{\text{к}} = 200 \cdot I_{\text{б}} \left(1 + \frac{U_{\text{кэ}}}{U_A}\right),\] где \(U_A = 100\text{ В}\). Сопротивление реостата \(R\) в схеме на рис. 3 может изменяться от \(1\text{ кОм}\) до \(10\text{ кОм}\), напряжение идеального источника \(U_0 = 9\text{ В}\). Ток через нагрузку \(R_{\text{н}}\) пренебрежимо мал по сравнению с током коллектора.

1. Определите для крайних значений сопротивления реостата ток коллектора \(I_{\text{к}0}\) в отсутствие входного переменного сигнала (\(U_1 = 0\)).

2. Коэффициент усиления по току \(K_I = I_{\text{к}}/I_{\text{б}}\) при заданных параметрах слабо зависит от тока базы. Определите \(K_I\) с точностью не хуже \(1{,}0\%\) при \(R = 5\text{ кОм}\).

3. Какие значения может принимать коэффициент усиления по напряжению \(K_U\)? Укажите границы возможного диапазона с точностью не хуже \(2{,}0\%\). В рамках данной модели такая точность достижима даже с учётом малых искажений выходного сигнала.

На гладкое проволочное кольцо радиуса \(R\), закреплённое в вертикальной плоскости, насажена маленькая массивная бусинка массой \(m\). К бусинке прикреплён один конец тонкой нерастяжимой невесомой нити (см. рис. 5). Другой её конец пропущен через маленький идеальный блок и прикреплён к грузу массой \(km\), где \(k\) — постоянный коэффициент. Блок закреплён в точке, лежащей на горизонтальном диаметре кольца. Положение бусинки на кольце характеризуется углом \(\varphi\) между направлениями на блок и на бусинку из центра кольца.

1. Пусть \(k = 1/\sqrt{3}\). Определите угол (или углы), соответствующий положению равновесия бусинки.

2. При каких значениях параметра \(k\) на кольце отсутствуют точки, в которых бусинка могла бы находиться в состоянии устойчивого равновесия?

3. Пусть теперь между бусинкой и проволокой есть трение, а коэффициент трения зависит от угла как \(\mu = \operatorname{tg}(\varphi/2)\). Существует ли для случая равных масс (\(k = 1\)) положение устойчивого равновесия, при котором \(\varphi \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)\)? Найдите это положение (или положения) или докажите, что их не существует.

В задаче рассматривается эффект конденсации водяного пара в областях пониженного давления, возникающих при обтекании препятствий потоком влажного воздуха. Вследствие этого эффекта вблизи задней кромки крыльев и вдоль фюзеляжа самолёта может возникать так называемый «паровой конус».

Далее рассматривается стационарное адиабатическое течение невязкого идеального газа. Это подразумевает, что параметры потока в каждой точке неизменны во времени, теплообмен отсутствует, а внутренним трением можно пренебречь.

Числом Маха \(\mathrm{M} = \dfrac{v}{c}\) называется отношение скорости потока \(v\) в некоторой точке к скорости звука \(c\) в той же точке. Скорость звука определяется формулой \[c = \sqrt{\frac{\gamma R T}{\mu}}.\] Воздух считайте идеальным газом с показателем адиабаты \(\gamma = \dfrac{c_P}{c_V} = \dfrac{7}{5}\) и молярной массой \(\mu = 29\text{ г/моль}\). Адиабатический процесс описывается уравнением \(P\rho^{-\gamma} = \text{const}\), где \(P\) — давление, а \(\rho\) — плотность.

Также считайте известным соотношение, выражающее закон сохранения энергии для стационарного потока (уравнение Бернулли для сжимаемого газа): \[\frac{v^2}{2} + \frac{c_P T}{\mu} = \text{const}.\]

1. Самолёт летит в воздухе с температурой \(T_0 = 295\text{ К}\) и давлением \(P_0 = 101{,}325\text{ кПа}\). В системе отсчёта самолёта скорость набегающего потока вдали от него соответствует числу Маха \(\mathrm{M}_0 = 0{,}35\). При обтекании крыльев и некоторых частей фюзеляжа скорость воздуха увеличивается, достигая максимального значения, соответствующего \(\mathrm{M}_{\max} = 0{,}5\).

   При каком максимальном значении относительной влажности \(\varphi_{\max}\) окружающего воздуха образование парового конуса невозможно? Зависимость давления насыщенного пара воды от температуры представлена на рис. 6.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2025/26, заключительный этап, 10 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.