МОШ, 2025/26, заключительный этап, 7 класс

В пустой контейнер засыпают песок с помощью двух конвейерных лент. Длина каждой ленты составляет \(L = 30\) м. Первая лента движется со скоростью \(v_1 = 3\) м/с, с неё в контейнер каждую секунду ссыпается \(m_1 = 20\) кг песка. Вторая лента движется со скоростью \(v_2 = 2\) м/с, с неё в контейнер каждую секунду поступает \(m_2 = 10\) кг песка. Ленты включают одновременно, в начальный момент они пусты. Песок начинают подавать на ленты на расстоянии \(L\) от контейнера сразу после их включения.

1. За какое наименьшее время после включения лент в контейнер будет загружено \(M = 4\) т песка?

2. Сколько килограммов песка поступит в контейнер с каждой ленты к моменту окончания загрузки?

При решении задачи могут понадобиться следующие справочные данные: гравитационная постоянная \(G = 6{,}7 \cdot 10^{-11}\ \dfrac{\text{м}^3}{\text{кг}\cdot\text{с}^2}\); скорость света в вакууме \(c = 3 \cdot 10^8\) м/с; радиус Земли \(R_З = 6{,}4 \cdot 10^6\) м; ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g = G\dfrac{M_З}{R_З^2} = 10\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}^2}\) (здесь \(M_З\) — масса Земли). Приведённые обозначения физических констант остаются неизменными на протяжении всей задачи.

Согласно общей теории относительности, если сжать сферическое тело равномерной плотности до радиуса, меньшего некоторого критического значения \(R_g\), то гравитация на его поверхности станет настолько сильной, что даже свет не сможет покинуть это тело — оно превратится в чёрную дыру. Этот критический радиус, называемый гравитационным, или радиусом Шварцшильда, вычисляется по формуле: \[R_g = 2 \cdot m^{\alpha} \cdot G^{\beta} \cdot c^{\gamma},\] где \(m\) — масса тела, \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) — некоторые безразмерные постоянные. Никакие другие характеристики тела (плотность, химический состав и т.п.) на значение \(R_g\) не влияют.

1. Пользуясь соображениями размерности, определите значения постоянных \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\).

2. До какого радиуса необходимо сжать Землю, согласно приведённой теории, чтобы она превратилась в чёрную дыру?

В системе, изображённой на рисунке 1, невесомая и нерастяжимая нить перекинута через два подвижных невесомых блока. Её правый конец прикреплён к неподвижной горизонтальной стенке, а левый конец — к поджатой пружине жёсткостью \(k_1 = k\). Ось правого блока прикреплена к поджатой пружине жёсткостью \(k_2 = 4k\). Пороговые значения сил поджатия обеих пружин одинаковы и равны \(F_0\). Верхние концы пружин жёстко закреплены. В начальный момент времени левый блок начинают равномерно опускать, так что его ось движется с постоянной скоростью \(v\). Известно, что величина силы, прикладываемой к оси блока, в начальный момент равна \(F_0\). Считайте, что нить не проскальзывает по блокам, трение в осях блоков отсутствует.

1. Определите скорости точки \(A\) нити и точки \(B\) (середины правой пружины) через время \(t\) после начала движения.

2. Найдите зависимость от времени силы \(F\), которую необходимо прикладывать к оси левого блока, чтобы он двигался вниз с постоянной скоростью \(v\).

В лаборатории имеется ареометр, который позволяет измерять плотность только в диапазоне от \(0{,}90\) г/см\(^3\) до \(1{,}20\) г/см\(^3\). Для определения плотности \(\rho_x\) неизвестной жидкости, которая легче воды, используется метод смешивания. Готовят три смеси с объёмными долями воды: \(0{,}40\), \(0{,}50\) и \(0{,}60\) (эти значения известны точно). Измерения дают следующие значения плотности смесей: \(\rho_1 = 0{,}912\) г/см\(^3\), \(\rho_2 = 0{,}926\) г/см\(^3\) и \(\rho_3 = 0{,}938\) г/см\(^3\). Абсолютная погрешность каждого измерения \(\Delta\rho = 0{,}005\) г/см\(^3\). Плотность воды принята равной \(\rho = 1{,}000\) г/см\(^3\) точно (эталонное значение).

1. Для каждой смеси вычислите плотность исходной жидкости \(\rho_x\) и определите абсолютную погрешность каждого полученного значения. Считайте, что объём смеси равен сумме объёмов смешиваемых жидкостей.

2. Оцените, в каком интервале может находиться истинное значение \(\rho_x\) по результатам трёх измерений с учётом их погрешностей.

3. Если бы у вас была возможность провести только одно измерение, какую объёмную долю воды \(\alpha\) нужно было бы выбрать, чтобы погрешность определения \(\rho_x\) была наименьшей? Учтите, что плотность смеси должна попадать в рабочий диапазон ареометра. Чему равна эта минимальная погрешность? Считайте абсолютную погрешность определения плотности ареометром равной \(\Delta\rho\) для любого значения объёмной доли воды.

Источник: Московская олимпиада школьников по физике, 2025/26, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.