Росатом, 2016/17, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Сравните, каким было бы напряжение на идеальных вольтметрах, и выясните, течёт ли ток через среднее сопротивление. Затем найдите сопротивление вольтметра через сопротивление резисторов.

Ответ

\(V_2 = \dfrac{2}{5}\,\varepsilon = 2{,}4\) В.

Решение

Очевидно, вольтметры неидеальные, поскольку в случае идеальности они должны были бы показывать \(2/3\) от напряжения источника, а они показывают половину. Кроме того, из данных условия очевидно, что ток через центральное сопротивление не течёт. Действительно, поскольку вольтметры \(V_1\) и \(V_2\) показывают половину напряжения источника, то потенциалы точек 2 и 3 одинаковы. Поэтому ток через центральное сопротивление не течёт, его можно выбросить, а падения напряжения на резисторах и вольтметрах одинаковы. Поэтому сопротивление вольтметра равно сопротивлению резисторов.

При выбрасывании одного вольтметра цепь принимает следующий вид (см. рисунок), причём сопротивление участка 1–2 равно \(\dfrac{2R}{3}\), поскольку сопротивление вольтметра равно сопротивлению резисторов. Поэтому напряжение на участке 1–2 составляет \(2/5\) от напряжения источника и, следовательно, \[V_2 = \frac{2}{5}\,\varepsilon = 2{,}4~\text{В}.\]

Подсказка

Расстояние, которое пробежала Мартышка, туда и обратно, выразите через длину Удава и скорости, учитывая, что Удав движется навстречу ей (туда) и от неё (обратно).

Ответ

\(\dfrac{v_{\text{м}}}{v_{\text{у}}} = 5\); \(l = 38{,}4\) попугая.

Решение

Очевидно, Мартышка пробежала до головы Удава расстояние \(\dfrac{l v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} - v_{\text{у}}}\), где \(l\) — длина Удава, \(v_{\text{м}}\) — скорость Мартышки, \(v_{\text{у}}\) — скорость Удава. По условию оно равно 48 попугаям. Поэтому \[\frac{l v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} - v_{\text{у}}} = 48~\text{П}. \qquad (*)\] Когда Мартышка побежала обратно, она пробежала расстояние (от точки разворота) \(\dfrac{l v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} + v_{\text{у}}}\), которое по условию равно 32 попугаям (\(48 - 16 = 32\)). Поэтому \[\frac{l v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} + v_{\text{у}}} = 32~\text{П}. \qquad (**)\] Решая систему уравнений \((*)\)–\((**)\), найдём \[\frac{v_{\text{м}}}{v_{\text{у}}} = 5, \qquad l = 38{,}4~\text{П}.\]

Подсказка

Если правый поршень сместился на \(\Delta x\), то каждый следующий поршень слева сместился на \(\Delta x\) больше предыдущего. Запишите условие равновесия самого левого поршня.

Ответ

\(\Delta x = \dfrac{l\,(T_1 - T_0)}{(n+1)(nT_0 + T_1)}\).

Решение

Из условия равновесия поршней до нагревания заключаем, что количество вещества газа в каждом отсеке одинаково. После нагревания газа в левом отсеке его давление увеличится, что приведёт к перемещению всех поршней вправо. При этом, поскольку температуры газов во всех отсеках, кроме крайнего левого, одинаковы, из условия равновесия поршней следует, что объёмы этих отсеков должны быть одинаковы. Это значит, что если правый поршень сместился вправо на \(\Delta x\), то второй справа — на \(2\Delta x\), третий — на \(3\Delta x\), …, самый левый — на \(n\Delta x\).

Отсюда находим, что объём каждого отсека, за исключением самого левого, уменьшился на \(S\Delta x\), объём левого отсека увеличился на \(nS\Delta x\), где \(S\) — площадь сечения сосуда. Поэтому условие равновесия самого левого поршня имеет вид \[\frac{\nu R T_1}{\left(\frac{l}{n+1} + n\Delta x\right)S} = \frac{\nu R T_0}{\left(\frac{l}{n+1} - \Delta x\right)S},\] где \(\nu\) — число молей газа в каждом отсеке. Решая это уравнение, находим перемещение самого правого поршня: \[\Delta x = \frac{l\,(T_1 - T_0)}{(n+1)(nT_0 + T_1)}.\]

Подсказка

Куб покоится, поэтому сумма внешних горизонтальных сил на него равна нулю. Найдите силы натяжения нитей из динамики тел, учитывая, что все тела движутся с одинаковым ускорением.

Ответ

\(F = \dfrac{4mg\,(1 - 4k)}{7}\) при \(k < 1/4\); \(F = 0\) при \(k > 1/4\).

Решение

Чтобы куб покоился, сумма сил, действующих на него, должна равняться нулю. На куб действуют: сила тяжести \(M\vec g\) (\(M\) — масса куба), верхнее тело с силой \(\vec N_1\), сила реакции опоры \(\vec N\), сила трения со стороны верхнего тела (направленная вправо, так как верхнее тело движется вправо), внешняя горизонтальная сила \(\vec F\), удерживающая куб в покое (направленная, очевидно, влево), и нити, перекинутые через блоки. Нити действуют на куб через блоки, причём каждая нить оказывает воздействие в горизонтальном (\(\vec T'_1\) и \(\vec T'_2\)) и вертикальном (\(\vec T_1\) и \(\vec T_2\)) направлениях (см. рисунок). Поэтому условие равновесия куба даёт \[F = T_2 - T_1 - F_{\text{тр}}, \qquad (1)\] где \(T_1\) и \(T_2\) — силы натяжения левой (связанной с меньшим грузом) и правой нитей соответственно, \(F_{\text{тр}}\) — сила трения. Таким образом, чтобы найти силу \(F\), надо найти силы натяжения нитей и силу трения.

Рассмотрим задачу динамики для трёх тел, скреплённых нитями, при нулевом ускорении куба. На меньшее тело действуют сила тяжести и сила натяжения левой нити. На верхнее тело: сила тяжести, сила реакции куба, сила трения, силы натяжения левой и правой нитей. На большее тело: сила тяжести и сила натяжения правой нити. Поэтому второй закон Ньютона для всех тел в проекциях на направления движения каждого тела имеет вид \[\begin{aligned} ma &= T_1 - mg,\\ 4ma &= T_2 - T_1 - 4kmg,\\ 2ma &= 2mg - T_2, \end{aligned} \qquad (2)\] здесь использована одинаковость ускорений тел и одинаковость сил натяжения, действующих со стороны разных концов нитей. Решая систему уравнений \((2)\), находим \[a = \frac{g(1 - 4k)}{7}.\] Теперь из формулы \((1)\) и второго уравнения системы \((2)\) находим силу \[F = 4ma = \frac{4mg(1 - 4k)}{7}.\] При \(k > 1/4\) тела не будут двигаться по кубу, поэтому и куб будет стоять, \(F = 0\). Таким образом, \[F = \frac{4mg(1 - 4k)}{7} \ \text{при } k < 0{,}25; \qquad F = 0 \ \text{при } k > 0{,}25.\]

Подсказка

С точки зрения давления у дна слой масла толщиной \(h\) эквивалентен слою воды толщиной \(\rho_0 h/\rho_1\). Сравнивайте давления у дна сосудов с давлением, которое дала бы та же вода, распределённая по всем сосудам.

Ответ

\(\Delta h_1 = h\left(1 + \dfrac{\rho_0}{2\rho_1}\right)\); \(\Delta h_2 = 2h\left(1 - \dfrac{\rho_0}{4\rho_1}\right)\); \(\Delta h_3 = 3h\left(1 - \dfrac{\rho_0}{2\rho_1}\right)\); \(\Delta h_4 = \dfrac{3\rho_0 h}{2\rho_1}\) (вверх).

Решение

С точки зрения давления в жидкости наливание в сосуд слоя масла толщиной \(h\) эквивалентно наливанию слоя воды толщиной \(\dfrac{\rho_0 h}{\rho_1}\). Поэтому наливание в систему сосудов слоя масла толщиной \(6h\) (в первый, второй и третий сосуды) эквивалентно тому, что мы нальём слой воды толщиной \[h_1 = \frac{6\rho_0 h}{\rho_1}.\] Но если бы мы налили такое количество воды, она распределилась бы равномерно по четырём сосудам. Учитывая, что в четвёртом сосуде будет только вода (по условию масло полностью воду ни из одного сосуда не вытесняет и, следовательно, не может попасть в четвёртый сосуд), уровень воды в нём поднимется на величину \[\Delta h_4 = \frac{6\rho_0 h}{4\rho_1} = \frac{3\rho_0 h}{2\rho_1}.\] При этом давление у дна сосуда возрастёт на величину \[\Delta p = \rho_1 g \Delta h_4 = \frac{3}{2}\rho_0 g h. \qquad (*)\] Изменение уровня жидкости в первом, втором и третьем сосудах найдём из условия увеличения давления в этих сосудах на эту величину.

В первом сосуде находится слой масла толщиной \(h\), который обеспечивает дополнительное давление \(\rho_0 g h\). Поэтому для увеличения давления на \(\frac{3}{2}\rho_0 g h\) в этот сосуд должна войти дополнительная вода, дающая давление у дна \(\frac{1}{2}\rho_0 g h\), т.е. слой воды толщиной \(\frac{1}{2}\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Это значит, что уровень жидкости в первом сосуде увеличится на величину \[\Delta h_1 = h + \frac{\rho_0}{2\rho_1}h = h\left(1 + \frac{\rho_0}{2\rho_1}\right).\] Во втором сосуде появится дополнительный слой масла толщиной \(2h\), который обеспечивает дополнительное давление \(2\rho_0 g h\). Поэтому, чтобы давление у дна второго сосуда возросло на величину \(\Delta p\) \((*)\), из второго сосуда должна уйти вода толщиной \(\frac{1}{2}\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Поэтому уровень воды во втором сосуде изменится на величину \[\Delta h_2 = 2h - \frac{\rho_0}{2\rho_1}h = 2h\left(1 - \frac{\rho_0}{4\rho_1}\right).\] В третьем сосуде появится дополнительный слой масла толщиной \(3h\), который обеспечивает дополнительное давление \(3\rho_0 g h\). Поэтому, чтобы давление у дна третьего сосуда возросло на величину \(\Delta p\) \((*)\), из третьего сосуда должна уйти вода толщиной \(\frac{3}{2}\frac{\rho_0}{\rho_1}h\). Поэтому уровень воды в третьем сосуде изменится на величину \[\Delta h_3 = 3h - \frac{3\rho_0}{2\rho_1}h = 3h\left(1 - \frac{\rho_0}{2\rho_1}\right).\] Проверка: сумма изменений уровней должна равняться объёму налитого масла, \(6h\).

\[\Delta h_1 + \Delta h_2 + \Delta h_3 + \Delta h_4 = 6h.\]