Росатом, 2024/25, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Запишите условие плавания поплавка в двух случаях: с грузом на леске и без неё. Что меняется в правой части этих равенств?

Ответ

\(T = \dfrac{5}{3}\,mg \approx 0{,}33\text{ Н}\).

Решение

Пусть масса поплавка \(m\), объём \(V\). Тогда условие плавания поплавка с леской и грузом даёт \[mg + T = \rho g\,\frac{2}{3}V,\] где \(T\) — сила натяжения лески, \(\rho\) — плотность воды. Для свободно плавающего поплавка условие плавания даёт \[mg = \rho g\,\frac{1}{4}V.\] Деля эти равенства друг на друга, получим \[\frac{mg + T}{mg} = \frac{8}{3}.\] Решая это уравнение, найдём \[T = \frac{5}{3}\,mg \approx 0{,}33\text{ Н}.\]

Подсказка

Во втором случае через вольтметр течёт ток, и его показание равно напряжению на нём. Выразите это напряжение через сопротивления и напряжение источника.

Ответ

\(\dfrac{r}{R} = 2\), где \(r\) — сопротивление резистора, \(R\) — сопротивление вольтметра.

Решение

Поскольку вольтметр всегда показывает напряжение на самом себе, а во втором случае через него течёт меньший ток, то во втором случае (в случае последовательного соединения с резистором) его показание будет меньше.

Пусть сопротивление вольтметра \(R\), сопротивление резистора \(r\), напряжение источника \(U\). В первом случае вольтметр показывает напряжение источника \(U_1 = U\).

Чтобы найти показания вольтметра во втором случае, найдём ток \(I_2\), текущий через него во втором случае, а затем и напряжение \(U_2\) на вольтметре. Имеем \[I_2 = \frac{U}{r + R}, \qquad U_2 = I_2 R = \frac{UR}{r + R} = \frac{U}{\dfrac{r}{R} + 1}.\] Так как напряжение во втором случае есть треть напряжения в первом, получаем \[U_2 = \frac{U_1}{3} = \frac{U}{3} \quad\Rightarrow\quad \frac{U}{3} = \frac{U}{\dfrac{r}{R} + 1}.\] Сокращая здесь напряжение источника и решая полученное уравнение относительно отношения сопротивлений, найдём \[\frac{r}{R} = 2.\]

Подсказка

Вспомните формулы для дальности полёта и для максимальной высоты при броске под углом к горизонту. Какая связь между двумя углами получается, если дальности равны?

Ответ

\(15^\circ\) и \(75^\circ\) (углы в сумме дают \(90^\circ\)).

Решение

Дальность полёта \(l\) тела, брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту с начальной скоростью \(v_0\), определяется известным соотношением \[l = \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}.\] Поэтому для бросков под углами \(\alpha\) и \(\beta\) дальность полёта будет одинаковой, если \[\sin 2\alpha = \sin 2\beta \quad\Rightarrow\quad \beta = 90^\circ - \alpha.\] Поскольку максимальная высота подъёма тела, брошенного под углом \(\alpha\), есть \[h = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g},\] то условие, что дальность полёта равна сумме высот подъёма двух бросков, даёт \[l = h_1 + h_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} + \frac{v_0^2 \sin^2\beta}{2g}.\] Но поскольку \(\sin\beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha\), то это уравнение с учётом основного тригонометрического тождества даёт \[\sin 2\alpha = \frac{1}{2}.\] Откуда находим два набора корней: \(\alpha = 15^\circ\), \(\beta = 75^\circ\) и \(\alpha = 75^\circ\), \(\beta = 15^\circ\).

Подсказка

Во втором случае греется только вода, а чайник уже имеет температуру кипения. Сравните два уравнения теплового баланса с мощностью нагревателя \(P\).

Ответ

\(T = 40^\circ\) С.

Решение

Пусть теплоёмкости воды и чайника равны \(C_1\) и \(C_2\) соответственно, мощность нагревателя — \(P\). Тогда для нагревания воды и чайника в первом случае имеем \[P t_1 = (C_1 + C_2)\,(T_{\text{к}} - T_0),\] где \(T_{\text{к}} = 100^\circ\) С — температура кипения воды. Поскольку теплопотери отсутствуют, то вся внутренняя энергия, которая осталась в системе после выливания воды, в ней и дальше останется. А в ней остался чайник, нагретый до \(T_{\text{к}} = 100^\circ\) С. Значит, можно считать, что во втором случае мы грели только воду. Поэтому уравнение теплового баланса для второго нагревания даёт \[P\,\frac{3}{4}t_1 = C_1\,(T_{\text{к}} - T_0).\] Деля эти формулы друг на друга, получим \[\frac{4}{3} = \frac{C_1 + C_2}{C_1} = 1 + \frac{C_2}{C_1} \quad\Rightarrow\quad C_1 = 3C_2.\] Теперь можно записать уравнение теплового баланса для наливания в чайник с температурой кипения воды воды с комнатной температурой: \[C_1\,(T_x - T_0) = C_2\,(T_{\text{к}} - T_x),\] где \(T_x\) — искомая температура. Подставляя в это уравнение соотношение теплоёмкостей чайника и воды, получим \[T_x = \frac{1}{4}\,(3T_0 + T_{\text{к}}) = 40^\circ\text{С}.\]

Подсказка

После первого натяжения нити сохраняется составляющая скорости, перпендикулярная нити, а составляющая вдоль нити меняет знак. Какой треугольник образуют точки A, D и C?

Ответ

\(\alpha = 30^\circ\).

Решение

Сразу после толчка нить перестанет быть натянутой и не будет оказывать сопротивления движению тела. Поэтому тело будет двигаться прямолинейно под углом \(\alpha\) к первоначальному направлению нити (вдоль прямой BD на рисунке) с постоянной скоростью до того момента, когда нить снова натянется в точке D (на рисунке начальное положение нити показано светлым пунктиром). В этот момент на короткое время нить натянется, возникнет сила натяжения, которая изменит скорость тела. При этом, поскольку сила натяжения направлена вдоль нити, она изменяет только составляющую скорости тела, направленную вдоль нити, но не изменяет составляющую скорости, перпендикулярную нити. Поскольку нить упругая, то потерь механической энергии тела после натяжения нити не происходит, и составляющая скорости тела, направленная вдоль нити, после её растяжения меняется на противоположную. А это значит, что углы между скоростью тела и положением нити в момент её натяжения до и после натяжения будут одинаковы. После этого тело сомнёт нить и далее будет двигаться прямолинейно. Чтобы оно попало в лунку, после натяжения нити оно должно двигаться вдоль прямой DC.

Поскольку треугольник BAD равнобедренный (его стороны AB и AD равны длине нити), то \(\angle ABD = \angle BDA = \alpha\). Угол ADC также равен \(\alpha\), поскольку (как это доказано выше) после натяжения нити угол между нитью и вектором скорости не меняется: \(\angle ADC = \alpha\). А так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), то угол BAD равен \(180^\circ - 2\alpha\). Значит, угол DAC равен \(2\alpha\), а \(\angle ACD = 180^\circ - 3\alpha\). Поэтому по теореме синусов для треугольника ACD имеем \[\frac{l}{\sin(180^\circ - 3\alpha)} = \frac{l/2}{\sin\alpha} \quad\text{или}\quad \sin\alpha = \frac{1}{2}\sin 3\alpha.\] Решения этого уравнения можно найти подбором. Очевидно, решениями являются \(\alpha_1 = 0\), \(\alpha_2 = 180^\circ\), \(\alpha_3 = 30^\circ\) (то, что это корни уравнения, проверяется непосредственной подстановкой). Первый и второй корни не подходят. Действительно, корень \(\alpha_1 = 0\) отвечает толчку тела вдоль нити. Но при таком движении тело попадёт в лунку раньше, чем оно натянет нить один раз, и потому не выполнено условие однократного натяжения нити за исключением начального. Корень \(\alpha_2 = 180^\circ\) отвечает толчку противоположно начальному положению нити, что означает, что нить перед попаданием тела в лунку будет натянута только один раз, но этот «раз» совпадает с начальным. Поэтому для этого корня условие попадания при однократном натяжении нити за исключением начального не выполнено. В промежутке между этими корнями существует только один корень уравнения, поскольку угол, под которым расположена траектория тела после натяжения нити, меняется в зависимости от угла, под которым толкнули тело, монотонно. Это и означает, что три перечисленных корня (из которых подходит только один) исчерпывают все решения уравнения.

Уравнение можно решить и непосредственно, воспользовавшись формулой \(\sin 3\alpha = \sin(\alpha + 2\alpha)\), а затем формулами для синуса и косинуса двойного угла. Это решение приводит к тем же корням. Таким образом, для попадания в лунку при однократном натяжении нити (за исключением начального) тело нужно толкнуть под углом \(\alpha = 30^\circ\) к первоначальному расположению нити.