Росатом, 2025/26, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Обгон начинается, когда начало электрички поравнялось с концом товарного поезда, а заканчивается, когда конец электрички поравнялся с началом товарного поезда.

Ответ

\(t = \dfrac{5l}{6v}\).

Решение

Обгон начинается, когда начало электрички поравнялось с концом товарного поезда, а заканчивается, когда конец электрички поравнялся с началом товарного поезда. Поэтому разность расстояний, пройденных электричкой и товарным поездом, равна сумме длин электрички и товарного поезда: \[\frac{5}{2}\,vt - vt = l + \frac{l}{4} ,\] где \(t\) — время обгона. Отсюда \[t = \frac{5l}{6v} .\]

Подсказка

Тепло, отданное телом, идёт на испарение воды. Сколько воды испарилось, если уровень воды не изменился, а тело полностью покрыто водой?

Ответ

\(t_0 = 100\,^\circ\text{C} + \dfrac{r\rho_0}{c\rho} \approx 741\,^\circ\)C.

Решение

В конечном равновесном состоянии есть вода, поэтому её температура \(100\,^\circ\)C. Тепло, которое по условию не уходит из системы и не тратится на нагрев сосуда, расходуется на испарение воды. Раз уровень воды в сосуде не изменился, а вода полностью покрывает тело, объём испарившейся воды равен объёму тела \(V = \dfrac{m}{\rho}\), где \(m\) — масса тела. Масса испарившейся воды \[m_1 = \rho_0 V = \frac{\rho_0\, m}{\rho} .\] Уравнение теплового баланса: \[c\,m\,(t_0 - 100\,^\circ\text{C}) = r\,m_1 = r\,\frac{\rho_0\, m}{\rho} ,\] где \(t_0\) — начальная температура стального тела. Сокращая массу тела, \[t_0 = 100\,^\circ\text{C} + \frac{r\rho_0}{c\rho} \approx 741\,^\circ\text{C} .\]

Подсказка

Сила давления на дно равна давлению у дна, умноженному на площадь дна. Для боковой стенки давление растёт линейно с глубиной, поэтому в формулу входит среднее давление.

Ответ

\(F_3 = 15\) Н.

Решение

Пусть высота уровня воды в аквариуме равна \(h\), длина большей стороны — \(a\). Тогда для силы давления воды на дно \(F_1\) и на меньшую из боковых стенок \(F_2\): \[F_1 = \rho g h S_{\text{д}} = \rho g h a b, \qquad F_2 = \frac{1}{2}\,\rho g h S_{\text{м}} = \frac{1}{2}\,\rho g h\, b h = \frac{1}{2}\,\rho g h^2 b ,\] где \(S_{\text{д}} = ab\) и \(S_{\text{м}} = hb\) — площади дна и меньшей боковой стенки. Множитель \(\tfrac{1}{2}\) во второй формуле появился потому, что давление растёт с глубиной линейно, и при суммировании сил по элементам стенки в формулу входит среднее гидростатическое давление \(\tfrac{1}{2}\rho g h\).

Деля первую формулу на вторую и на \(\rho g b\), получим систему уравнений для высоты уровня воды \(h\) и большей стороны \(a\): \[\frac{F_1}{F_2} = \frac{2a}{h}, \qquad \frac{F_1}{\rho g b} = h a .\] Решая её, находим \[a = \frac{F_1}{\sqrt{2F_2\rho g b}}, \qquad h = \sqrt{\frac{2F_2}{\rho g b}} .\] Отсюда сила давления воды на большую боковую стенку \[F_3 = \frac{1}{2}\,\rho g h S_{\text{б}} = \frac{1}{2}\,\rho g h^2 a = \sqrt{\frac{F_2}{2\rho g b^3}}\;F_1 = 15~\text{Н} .\]

Подсказка

Смещение груза равно сумме удлинений всех пружин над ним. Удлинение пружины пропорционально весу, который она держит, а нижние пружины держат меньше всего грузов.

Ответ

\(\Delta l_{50} = \dfrac{151}{202}\,\Delta l\).

Решение

В положении равновесия все пружины растянуты, и смещение 100-го груза равно сумме удлинений всех пружин. Самая нижняя (сотая сверху) пружина растягивается весом \(mg\), 99-я — весом \(2mg\), 98-я — весом \(3mg\) и т.д. Поэтому по закону Гука \[\Delta l = \frac{mg}{k} + \frac{2mg}{k} + \dots + \frac{100\,mg}{k} = \frac{mg}{k}\,(1 + 2 + \dots + 100) .\] Используя формулу суммы натуральных чисел от 1 до \(N\), \[1 + 2 + \dots + N = \frac{N(N+1)}{2} ,\] получим \[\Delta l = \frac{mg}{k}\cdot\frac{100\cdot101}{2} .\]

Найдём смещение 50-го груза. Проще всего найти удлинение пружин от 51-й до 100-й и вычесть его из \(\Delta l\). Суммарное удлинение пружин с 51-й по 100-ю равно \[\Delta x = \frac{mg}{k}\,(1 + 2 + \dots + 50) = \frac{mg}{k}\cdot\frac{50\cdot51}{2} .\] Отсюда смещение 50-го груза \[\Delta l_1 = \Delta l - \Delta x = \frac{mg}{k}\left(\frac{100\cdot101}{2} - \frac{50\cdot51}{2}\right) = \frac{50\,mg}{2k}\,(202 - 51) = \frac{50\cdot151\,mg}{2k} .\] Сравнивая с \(\Delta l\), находим \[\Delta l_1 = \frac{151}{202}\,\Delta l .\]

Подсказка

Используйте симметрию цепи: токи через пары симметричных резисторов равны. Затем составьте правило токов для узла и правило напряжений для одного контура.

Ответ

\(I_R = \dfrac{U}{17R}\). Мощность уменьшится в \(\dfrac{35}{34}\) раза (станет \(\dfrac{34}{35}\) от прежней).

Решение

Пусть при приложении к цепи напряжения \(U\) через резисторы \(R\), \(2R\) и \(3R\) текут токи \(I_1\), \(I_2\) и \(I_3\) соответственно (из симметрии цепи токи через резисторы \(2R\) и \(3R\) слева и справа одинаковы). Если направление тока \(I_1\) выбрано неверно, из решения системы уравнений он получится отрицательным.

Поскольку сумма втекающих в любой узел токов равна сумме вытекающих, \[I_3 + I_1 = I_2 .\] Для замкнутого участка цепи, содержащего резисторы \(2R\), \(R\) и \(3R\) слева, напряжение на резисторах \(2R\) и \(R\) должно быть равно напряжению на резисторе \(3R\): \[2I_2 R + I_1 R = 3I_3 R \quad\Rightarrow\quad 2I_2 + I_1 = 3I_3 .\] Решая эту систему относительно \(I_2\) и \(I_3\), найдём \[I_2 = 4I_1, \qquad I_3 = 3I_1 .\] Для напряжения на цепи \[U = I_2\cdot 2R + I_3\cdot 3R = 17\,I_1 R ,\] откуда ток через средний резистор \[I_1 = \frac{U}{17R} .\]

Мощность, выделяемая в цепи, по закону Джоуля–Ленца. Общий ток через цепь \[I = I_2 + I_3 = 7I_1 = \frac{7U}{17R},\] поэтому мощность \(P_1 = UI = \dfrac{7U^2}{17R}\).

Если средний резистор перегорит, сопротивление цепи станет равным \(\dfrac{5R}{2}\), и выделяемая мощность \[P_2 = \frac{U^2}{5R/2} = \frac{2U^2}{5R} .\] Отношение мощностей \[\frac{P_1}{P_2} = \frac{35}{34} ,\] т.е. мощность уменьшится в \(\dfrac{35}{34}\) раза.