зад 1 Анизотропия
Анизотропией называется различие свойств среды (например: упругости, электропроводности, теплопроводности, скорости звука, показателя преломления света и др.) в различных направлениях внутри этой среды.
Теоретическое введение. Максимальное смещение \(y\) (так называемая стрела прогиба) конца тонкой горизонтальной планки длиной \(\ell\) под влиянием собственного веса можно определить по формуле: \[y = \beta E^{k}\rho^{r}b^{s}\delta^{t}g^{h}\ell^{f}, \tag{*}\] где \(k, r, s, h, f\) — некоторые целые числа, \(\beta = 3/2\) — безразмерный коэффициент, \(t = -2\), \(E\) — модуль Юнга, \(\rho\) — плотность материала планки, \(\delta\) — толщина, \(b\) — ширина планки, \(g\) — ускорение свободного падения. Формула (*) справедлива при условии малости прогиба \(y < 0{,}5\ell\).
Модуль Юнга — одна из характеристик твёрдого тела, определяющая его упругие свойства. По закону Гука относительная деформация \(\varepsilon\) стержня под действием силы \(F\), приложенной перпендикулярно плоскости его поперечного сечения площадью \(S\), равна \(\varepsilon = \dfrac{\Delta\ell}{\ell} = \dfrac{F}{ES}\). Для анизотропных тел модуль Юнга может зависеть от направления.
Задание (практическая часть). В работе нужно исследовать, зависит ли значение модуля Юнга от ориентации бумажной полоски относительно листа бумаги формата А4, из которого она вырезана.
С помощью чистого листа А4 исследуйте зависимость \(y \sim b^s\) (напомним, что \(s\) — целое число). Приведите рисунок, поясняющий, как вы проводите данную часть эксперимента.
Руководствуясь экспериментальными результатами и методом размерностей, определите показатели степеней в формуле (*).
Аккуратно вырежьте из выданного листа бумаги полоски (угол их ориентации относительно длинной стороны листа указан на самих полосках). Полоски нельзя гнуть, мять, т.к. в противном случае вы можете сильно исказить результаты эксперимента.
Для каждой полоски, закреплённой с помощью клипсы на краю стола, снимите зависимость стрелы прогиба \(y\) от длины \(\ell\) выступающей за край стола части. Выполните измерения для 5–6 различных значений \(\ell\).
Для каждой полоски постройте график \(y(\ell^f)\) и из него определите значение модуля Юнга \(E(\varphi)\).
Постройте график зависимости модуля Юнга от угла \(\varphi\). Для каждого значения модуля Юнга изобразите «крест ошибок».
Сделайте вывод, наблюдается ли анизотропия модуля Юнга.
Приборы и оборудование: лист бумаги формата А4 с изображением пяти полосок, на каждой из которых указан угол \(\varphi\) её ориентации относительно длинной стороны листа; чистый лист бумаги формата А4; две деревянные линейки длиной 25–30 см; миллиметровая бумага формата А4 (2 листа); канцелярская клипса (48 мм), ножницы. Примечание: масса листа бумаги формата А4 составляет \(m = 5{,}0\) г, а его толщина \(\delta = 0{,}10\) мм. При малых деформациях полоски бумаги \(y \sim F\), где \(F\) — сила, приложенная к полоске.
▶ПодсказкаСкрыть
Вырежьте на чистом листе полоски разной ширины и сравните их прогибы. Для показателя степени при \(\ell\) используйте размерности: сила тяжести полоски пропорциональна \(\rho g\ell\delta b\).
▶ОтветСкрыть
1) \(s = 0\) (стрела прогиба не зависит от ширины полоски); 2) \(h = 1\), \(f = 4\), \(k = -1\), \(r = 1\), т.е. \(y = \dfrac{3\rho g\ell^4}{2E\delta^2}\); 3) зависимость \(y(\ell^4)\) линейна, наблюдается анизотропия модуля Юнга: \(E(0) - E(\varphi) > \sigma(E)\).
▶РешениеСкрыть
1. На чистом листе бумаги делаем прорези, которые делят его на полоски разной ширины (рис. 3). В пределах погрешности (связанной с неоднородностью бумаги) стрела прогиба не зависит от ширины полосок, следовательно, в формуле (*) показатель степени \(s = 0\).
2. Так как \(y \sim F\), а \(F \sim g\), то \(h = 1\). Тогда по соображениям размерности получаем \[y = \frac{3\rho g\ell^4}{2E\delta^2}.\] В координатах \((y, \ell^4)\) график зависимости должен быть прямой линией.
3. Снимаем зависимость \(y(\ell)\) и строим линеаризованные графики \(y(\ell^4)\) для каждой из полосок. Строим график зависимости модуля Юнга от угла \(\varphi\). Из графика следует, что \(E(0) - E(\varphi) > \sigma(E)\), где \(\sigma(E)\) — погрешность измерения. Делаем вывод, что для модуля Юнга \(E\) существует анизотропия.
Анизотропию бумаги можно пронаблюдать непосредственно (рис. 4).
зад 2 Что внутри? (серый ящик)
Внутри «серого» ящика находится идеальный источник с подключённым последовательно к нему резистором (рис. 1).
Определите напряжение \(U\) идеального источника и сопротивление \(R\) резистора, находящихся внутри ящика.
Используя в качестве источника напряжения один из мультиметров, включённый в режиме омметра (в диапазоне 2000 кОм), определите напряжение этого источника \(U_0\) и сопротивление \(r_0\) последовательно соединённого с ним резистора (резистор находится внутри мультиметра).
Примечание: эквивалентная схема мультиметра, используемого в качестве источника напряжения, полностью аналогична схеме чёрного ящика, приведённой на рис. 1.
Приборы и оборудование: два одинаковых мультиметра, «серый» ящик с двумя выходами. Погрешность мультиметра считать равной 1% от значения измеряемой величины + 1 единица последнего разряда. Внимание! Использовать мультиметр в режиме амперметра строго запрещено! Такие решения засчитываться не будут.
▶ПодсказкаСкрыть
Одного вольтметра недостаточно: его сопротивление сравнимо с внутренним сопротивлением ящика. Попробуйте измерить напряжение двумя вольтметрами, включёнными последовательно, и сравнить с одиночным показанием.
▶ОтветСкрыть
1) \(U \approx 9{,}9\) В, \(R \approx 1{,}5\) МОм; 2) \(U_0 \approx 300\) мВ, \(r_0 \approx 1{,}0\) МОм.
▶РешениеСкрыть
К выводам ящика подключаем вольтметр и снимаем его показание \(U_1 = (3{,}94 \pm 0{,}05)\) В. Подключив два вольтметра последовательно, получаем \(U_2 = (2{,}82 \pm 0{,}04)\) В. Сумма показаний не совпадает с \(U_1\), что говорит о том, что сопротивление внутри ящика сравнимо с сопротивлением вольтметра. Сопротивление вольтметра в режиме 20 В измеряем вторым мультиметром в режиме мегаомметра: \(R_V = (1{,}00 \pm 0{,}02)\) МОм.
Теоретические зависимости напряжений на одном и двух последовательно включённых вольтметрах: \[U_1 = \frac{UR_V}{R + R_V}, \qquad U_2 = \frac{UR_V}{R + 2R_V}.\] Решая систему относительно \(U\) и \(R\): \[U = \frac{U_1U_2}{U_1 - U_2} = (9{,}9 \pm 0{,}8)~\text{В}, \qquad R = R_V\,\frac{2U_2 - U_1}{U_1 - U_2} = (1{,}5 \pm 0{,}2)~\text{МОм}.\] К таким же значениям приводят измерения двумя параллельно включёнными вольтметрами (\(U_3 = (2{,}46 \pm 0{,}04)\) В). Ток короткого замыкания \(I_{\text{кз}} = \dfrac{U}{R} = (6{,}5 \pm 1{,}4)\) мкА.
Если подключить вольтметр непосредственно к омметру, он покажет \[U_4 = \frac{U_0R_V}{R_V + r_0} = (148{,}3 \pm 1{,}5)~\text{мВ}. \tag{1}\] Если собрать последовательную цепь из омметра, серого ящика и вольтметра так, чтобы напряжения ящика и омметра складывались, вольтметр покажет \[U_5 = \frac{(U + U_0)R_V}{R_V + r_0 + R} = (2{,}90 \pm 0{,}04)~\text{В}. \tag{2}\] Решая систему уравнений (1), (2), получаем \[r_0 = \frac{R_V(U_4 + U) - U_5(R + R_V)}{U_5 - U_4} = (1{,}0 \pm 0{,}2)~\text{МОм}.\] Подставляя \(r_0\) в (1), получаем \[U_0 = U_4\left(1 + \frac{r_0}{R_V}\right) = (300 \pm 30)~\text{мВ}.\] При измерении больших сопротивлений необходимо избегать соприкосновения пальцев рук с контактами приборов: сопротивление тела человека меньше или сравнимо с 1 МОм и может существенно исказить результат.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2016/17, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.