ВсОШ, 2017/18, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Плотность крупы находится из массы и объёма шприца с пшеном, но зерно на дне мешка уплотнено: нужно прижать его поршнем. Плотность зерна получается делением плотности крупы на плотность упаковки; какая решётка даёт упаковку шариков?

Ответ

1) \(\rho_\text{кр} \approx 0{,}83\) г/см\(^3\);  2) \(\rho_\text{зер} \approx 1{,}2\) г/см\(^3\) (объёмно-центрированная кубическая упаковка, \(k \approx 0{,}68\); для гранецентрированной \(\rho_\text{зер} \approx 1{,}1\) г/см\(^3\));  3) \(\rho_\text{др}\approx 1{,}2\)–\(1{,}3\) г/см\(^3\) (в решении).

Решение

Измеряем массу \(M\) пустого шприца. Насыпаем в шприц пшено, измеряем массу \(m_\text{общ}\) шприца с пшеном и объём \(V\), занимаемый крупой. Чтобы смоделировать состояние зерна на дне мешка, прижимаем зерно поршнем шприца. Плотность крупы \(\rho_\text{кр} = \dfrac{m_\text{общ} - M}{V} \approx 0{,}83\) г/см\(^3\). Если зерно насыпать в шприц и не уплотнять, измеренная плотность окажется на 10–15% меньше (\(\rho_\text{кр} \approx 0{,}7\) г/см\(^3\)).

Предположим, что крупа подобна кристаллической структуре, элементарная ячейка которой — куб, в вершинах и в центре которого находятся центры зёрен (объёмно-центрированная кубическая решётка). Найдём плотность упаковки \(k = \dfrac{V_0}{V_\text{я}}\), где \(V_0 = N V_\text{ш}\) — объём, занимаемый зёрнами, \(N\) — число зёрен на одну ячейку, \(V_\text{я} = a^3\). Ребро куба связано с радиусом зерна: \(a\sqrt{3} = 4r\). Зёрна из вершин принадлежат ячейке по \(1/8\), а центральное — целиком: \(N = 8\cdot\dfrac{1}{8} + 1 = 2\). Тогда \(k = \dfrac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0{,}68\) и \(\rho_\text{зер} = \dfrac{\rho_\text{кр}}{k} \approx 1{,}2\) г/см\(^3\). Для гранецентрированной решётки \(k = 0{,}74\) и \(\rho_\text{зер} \approx 1{,}1\) г/см\(^3\) (это наиболее плотная упаковка наряду с гексагональной). Для простой кубической решётки \(k = 0{,}52\) и \(\rho_\text{зер} \approx 1{,}6\) г/см\(^3\).

Измеряем массу \(m_1\) 5–6 драже. Далее насыпаем в шприц немного пшена так, чтобы у дна образовалась «подушка» из зерна, и бросаем на неё одно драже. Аккуратно досыпаем зерно, заполняя промежутки между драже и стенками, и так продолжаем, пока общий объём не станет 20 мл (сверху должен быть слой зерна). Измеряем массу \(m_2\) шприца с драже и пшеном. Масса пшена \(m_\text{пш} = m_2 - m_1 - M\). Так как зёрна пшена много меньше драже, считаем, что крупа заполнила все промежутки, и их объём \(V_\text{пр} = \dfrac{m_\text{пш}}{\rho_\text{кр}}\). Тогда объём самого драже \(V_\text{др} = V_\text{общ} - V_\text{пр}\), а его плотность \(\rho_\text{др} = \dfrac{m_1}{V_\text{др}} \approx (1{,}2\text{--}1{,}3)\) г/см\(^3\). Измерения повторяем не менее двух раз.

Подсказка

Ветви ВАХ при разной полярности различаются: где ток идёт и где зависимость линейна? Подумайте, какой элемент закрыт при одной полярности и как по наклонам прямых найти два сопротивления.

Ответ

Ящик содержит диод и два резистора; по наклонам участков ВАХ найдены сопротивления. Модель 1 (диод параллельно \(R_1\), последовательно с ним \(R_2\)): \(R_1 \approx 3{,}95\) кОм, \(R_2 \approx 0{,}55\) кОм. Модель 2 (диод последовательно с \(R_2\), эта цепочка параллельна \(R_1\)): \(R_1 \approx 4{,}5\) кОм, \(R_2 \approx 0{,}63\) кОм.

Решение

Соберём электрическую цепь: ЧЯ подключаем к батарейке последовательно с известным резистором \(R\), а переменный резистор включаем делителем, чтобы менять напряжение в широком диапазоне. Вольтметр поочерёдно измеряет напряжение на \(R\) (по закону Ома это ток через ЧЯ) и напряжение на самом ЧЯ. По полученным данным строим ВАХ ЧЯ для обеих полярностей его подключения.

Характерный изгиб ВАХ и разный вид графика при различной полярности говорят о наличии диода. Ветвь для отрицательных напряжений соответствует закрытому состоянию диода. Поскольку ток при этом течёт и зависимость \(I(U)\) линейна, делаем вывод, что параллельно диоду присоединён резистор. Правая ветвь ВАХ после открытия диода идёт не слишком круто вверх, что свидетельствует о наличии резистора, соединённого последовательно с диодом.

Обратные наклоны прямых: \(r_1 = 4{,}5\) кОм, \(r_2 = 0{,}55\) кОм.

Возможны две схемы. Схема 1: диод параллельно \(R_1\), последовательно с ними \(R_2\). При \(U<0\) ток через диод не идёт, поэтому \(R_\text{общ} = R_1 + R_2\) из закона Ома. При \(U>0\) на участке \(BC\) отношение \(\Delta U/\Delta I = R_2\), отсюда \(R_1 = R_\text{общ} - R_2\). Схема 2: \(R_1\) параллельно цепочке «диод + \(R_2\)». При \(U<0\) сопротивление \(R_1\) находится из закона Ома. При \(U>0\) на участке \(BC\) \(\Delta U/\Delta I = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\), отсюда \(R_2 = \dfrac{R_1R_{12}}{R_1 - R_{12}}\), где \(R_{12} = \Delta U/\Delta I\) на участке \(BC\).

Результаты: модель 1 — \(R_1 = 3{,}95\) кОм, \(R_2 = 0{,}55\) кОм; модель 2 — \(R_1 = 4{,}5\) кОм, \(R_2 = 0{,}63\) кОм.