ВсОШ, 2018/19, региональный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Уравновесьте линейку на опоре, подвешивая груз и шарик на разные её концы. Сравните условия равновесия до и после погружения шарика в воду: что меняется в силе, действующей на шарик?

Ответ

\(m_{\text{ц}} = (24 \pm 2)\) г;  \(m_{\text{в}} = (62 \pm 5)\) г.

Решение

Вначале найдём центр масс линейки. Для этого уравновесим её на горизонтальном стержне. По шкале линейки определим координату центра масс линейки. В дальнейших экспериментах в качестве точки опоры линейки мы будем выбирать точку, соответствующую положению её центра масс. Это позволит не учитывать массу линейки. Вблизи одного края линейки подвесим на нити груз известной массы \(m_{\text{г}}\), а вблизи другого — шарик (\(m_{\text{в}}\) — масса воды в шарике, \(m_{\text{т}}\) — масса помещённого в шарик тела). Уравновесим линейку так, чтобы плечи были как можно больше, а центр масс линейки располагался над стержнем.

Запишем условие равновесия: \[m_{\text{г}} g L_{\text{г}} = (m_{\text{в}} + m_{\text{т}}) g L_{\text{ш}}, \quad\text{откуда}\quad m_{\text{в}} + m_{\text{т}} = m_{\text{г}}\,\frac{L_{\text{г}}}{L_{\text{ш}}}.\] Измерим расстояния \(L_{\text{г}} = 145\) мм и \(L_{\text{ш}} = 85\) мм, откуда \[m_{\text{в}} + m_{\text{т}} = m_{\text{г}}\,\frac{L_{\text{г}}}{L_{\text{ш}}} = 85{,}3~\text{г}.\]

Повторим опыт, полностью погрузив шарик в воду. Вес воды, находящейся в шарике, полностью компенсируется силой Архимеда, поэтому условие равновесия выглядит следующим образом: \[m_{\text{г}} g L'_{\text{г}} = (m_{\text{т}} g - \rho_{\text{в}} g V_{\text{т}}) L'_{\text{ш}}, \quad\text{откуда}\quad m_{\text{т}} = m_{\text{г}}\,\frac{L'_{\text{г}}}{L'_{\text{ш}}} + \rho_{\text{в}} V_{\text{т}}.\] Проведём измерения: \(L'_{\text{г}} = 51\) мм, \(L'_{\text{ш}} = 155\) мм.

Для определения объёма тела прижмём его к поверхности шарика и через оболочку шарика линейкой измерим высоту \(h\) и диаметр \(d\) цилиндра: \(h = 48\) мм, \(d = 14\) мм. Тогда \[V_{\text{т}} = \frac{h\pi d^2}{4} = 7{,}4~\text{см}^3, \qquad m_{\text{т}} = 23{,}8~\text{г}, \qquad m_{\text{в}} = 85{,}3~\text{г} - 23{,}8~\text{г} = 61{,}5~\text{г}.\]

Оценим погрешность: \[\Delta m_{\text{т}} = \Delta\!\left(m_{\text{г}}\frac{L'_{\text{г}}}{L'_{\text{ш}}}\right) + \Delta(\rho_{\text{в}} V_{\text{т}}) \approx m_{\text{г}}\frac{L'_{\text{г}}}{L'_{\text{ш}}} \left(\frac{\Delta m_{\text{г}}}{m_{\text{г}}} + \frac{\Delta L'_{\text{г}}}{L'_{\text{г}}} + \frac{\Delta L'_{\text{ш}}}{L'_{\text{ш}}}\right) + \rho_{\text{в}} V_{\text{т}}\left(\frac{\Delta h}{h} + 2\,\frac{\Delta d}{d}\right)\] \[= 60\,\frac{51}{155}\left(\frac{1}{50} + \frac{1}{51} + \frac{1}{155}\right) + 1\cdot 7{,}4\left(\frac{1}{48} + 2\cdot\frac{1}{14}\right) = 2{,}1~\text{г}.\] \[\Delta m_{\text{в}} = \Delta\!\left(m_{\text{г}}\frac{L_{\text{г}}}{L_{\text{ш}}}\right) + \Delta m_{\text{т}} = 50\,\frac{145}{85}\left(\frac{1}{50} + \frac{1}{145} + \frac{1}{85}\right) + 2{,}1 = 5{,}4~\text{г}.\]

Окончательно получаем \(m_{\text{т}} = (24 \pm 2)\) г, \(m_{\text{в}} = (62 \pm 5)\) г.

Подсказка

Изменение напряжения при нагреве составляет доли процента от \(U_0\), поэтому прямое измерение плохо различимо. Подумайте, как измерить разность напряжений двух батареек, из которых одна нагревается, а другая остаётся при комнатной температуре.

Ответ

1) \(U_0 = 1{,}615\) В;  2) \(\Delta U < 0\);  3) см. график;  4) зависимость \(\Delta U(T)\) линейная, угловой коэффициент \(\approx 0{,}13\) мВ/°C (со знаком минус: \(\Delta U\) убывает с ростом \(T\));  5) уменьшается.

Решение

Измерим напряжение батарейки при комнатной температуре: \(U_0 = 1{,}615\) В.

При нагревании батарейку нужно положить в пакет, чтобы избежать её контакта с горячей водой. Изменение напряжения батарейки очень мало: при нагревании до 70 °C оно составляет всего около 5 мВ. Поэтому нужно собрать дифференциальную схему с двумя батарейками, включёнными так, как показано на рисунке, и греть одну из них. Тогда можно использовать вольтметр в диапазоне 200 мВ и измерять десятые доли мВ.

Результаты измерения зависимости \(U\) от \(T\) показаны на графике. Видно, что \(\Delta U < 0\), то есть напряжение батарейки уменьшается при повышении температуры.

Зависимость \(\Delta U\) от температуры линейная. Угловой коэффициент равен \(0{,}13\) мВ/°C.