зад 1 Термодинамический чёрный ящик
Внутри выданной вам бутылки находится герметичный пакет, частично заполненный воздухом. Ваша задача — определить количество воздуха (в молях) в пакете, не вскрывая бутылку. Откручивать крышку и вырывать трубочки тоже запрещено!
Из крышки бутылки выходят две трубки: длинная идёт от самого дна бутылки, а короткая — от самого верха. Считайте, что давление воздуха внутри пакета всегда равно давлению среды, окружающей пакет. Атмосферное давление считайте равным \(P_0 = (100 \pm 1)\) кПа. Подробно опишите, как вы проводили эксперимент. Какие действия предприняли для повышения точности?
ВНИМАНИЕ. 1. На первой странице чистовика укажите номер выданной вам бутылки. 2. Если вы повредите пакет, находящийся внутри бутылки, то не сможете сделать работу. Замена оборудования не производится.
Оборудование. Бутылка с запаянным пакетом внутри, мультиметр с термопарой, шприц, скотч, ножницы, миллиметровка А5, пробирка, стакан с водой, горячая вода (по требованию), поднос, салфетки для поддержания порядка на рабочем месте.
▶ПодсказкаСкрыть
Пакет с воздухом находится при постоянном давлении, поэтому его объём пропорционален температуре. Изменение объёма воздуха можно измерять по уровню воды в пробирке, а температуру — термопарой. Какую величину надо знать, чтобы перейти от объёма к количеству вещества?
▶ОтветСкрыть
\(\nu = (3{,}5 \pm 0{,}6)\) ммоль.
▶РешениеСкрыть
Для начала изготовим из пробирки мензурку. От листа миллиметровки отрежем полоску, нарисуем на ней шкалу в сантиметрах. Получившуюся шкалу с помощью скотча прикрепим к пробирке. Далее наберём полный шприц воды и нальём немного воды в пробирку так, чтобы она закрыла нижнюю нецилиндрическую часть. Отметим начальный уровень воды \(h_0\) в пробирке, затем долём в неё определённый объём воды \(V\) из шприца и отметим конечный уровень воды \(h\) в пробирке: \[h_0 = 0{,}0~\text{см}, \quad h = 12{,}6~\text{см}, \quad V = 20{,}0~\text{мл} \quad\Rightarrow\quad S = \frac{V}{h - h_0} = 1{,}59~\text{см}^2.\]
Измерим площадь сечения трубки (без учёта внутренней полости). Для этого обернём трубку полоской миллиметровки и измерим длину окружности (можно сделать два оборота): \[L = 4{,}0~\text{см} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{L}{4\pi}, \qquad S_{\text{тр}} = \pi r^2 = \frac{L^2}{16\pi} = 0{,}32~\text{см}^2.\]
Разобранный шприц присоединяем к длинной трубке и, используя его в качестве воронки, заполняем бутылку горячей водой до тех пор, пока вода не начнёт выливаться из короткой трубки. Теперь отсоединяем шприц от длинной трубки, собираем его, заполняем водой и присоединяем к короткой. В дальнейшем шприц будет играть роль заглушки. Внутрь длинной трубки вставляем термопару так, чтобы её конец уходил внутрь бутылки примерно до её середины. Это позволит измерять температуру воды в бутылке без риска повредить пакет термопарой. Второй конец длинной трубки помещаем в пробирку, предварительно прикреплённую скотчем к бутылке и заполненную водой.
Удаляем воздух из длинной трубки: для этого выдавливаем некоторое количество воды из шприца, присоединённого к короткой трубке.
Вода в бутылке остывает, вместе с ней остывает и воздух, зажатый в пакете; его объём уменьшается, и в бутылку затягивается вода из пробирки. Снимаем зависимость уровня воды в пробирке от температуры воздуха. Из уравнения состояния для воздуха в пакете при постоянном давлении
\[P\,(S - S_{\text{тр}})\,\Delta h = \nu R T\] где \(P\) — атмосферное давление, \(\Delta h\) — изменение уровня воды в пробирке. Экспериментальные данные:
По графику наклон \[k = \frac{\nu R}{P\,(S - S_{\text{тр}})} = 0{,}234~\text{°C/см}.\] Тогда
\[\nu = \frac{k\,P\,(S - S_{\text{тр}})}{R} = \frac{0{,}234 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{5} \cdot (1{,}59 - 0{,}32)\cdot 10^{-4}}{8{,}31}~\text{моль} = 3{,}5~\text{ммоль}.\]
Оценим погрешность. Погрешности определения температуры и высоты \(\sigma_T = 3\) °C и \(\sigma_h = 0{,}1\) см. Из графика \(\sigma_k = (k_{\max} - k_{\min})/2 = 0{,}02\) °C/см. \[\Delta S = \left(\frac{0{,}2}{12{,}6} + \frac{0{,}5}{20}\right)\cdot 1{,}59~\text{см}^2 = 0{,}065~\text{см}^2, \qquad \Delta S_{\text{тр}} = 2\varepsilon_L\, S_{\text{тр}} = 2\cdot\frac{0{,}1}{4{,}0}\cdot 0{,}32 = 0{,}016~\text{см}^2,\] \[\Delta(S - S_{\text{тр}}) = 0{,}08~\text{см}^2, \qquad \varepsilon_\nu = \varepsilon_P + \varepsilon_{S - S_{\text{тр}}} + \varepsilon_k = \frac{1}{100} + \frac{0{,}08}{1{,}27} + \frac{0{,}02}{0{,}23} = 0{,}16,\] \[\sigma_\nu = 0{,}16 \cdot 3{,}5~\text{ммоль} = 0{,}6~\text{ммоль}.\]
Окончательно получаем \(\nu = (3{,}5 \pm 0{,}6)\) ммоль.
зад 2 Термоэлектронная эмиссия
При сильном нагреве металла некоторые электроны приобретают достаточную энергию для того, чтобы из него вылететь. Этот процесс называется термоэлектронной эмиссией. Количество вылетевших электронов в единицу времени зависит от температуры металла: \[n = A\,e^{-W/(kT)},\] где \(A\) — константа, \(W\) — энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы перенести его из металла в вакуум (работа выхода), \(k = 1{,}38\cdot 10^{-23}\) Дж/К — постоянная Больцмана. Определите значение работы выхода для материала, из которого изготовлена спираль лампочки с красными выводами. Ответ выразите в электронвольтах.
Примечание. 1. Выданные вам мультиметры можно использовать только в качестве вольтметров или омметров. 2. Сопротивление нити лампочки линейно зависит от температуры: \(R = R_0\,(1 + \alpha\,(T - T_0))\), где \(\alpha = (4{,}5 \pm 0{,}1)\cdot 10^{-3}\) К\(^{-1}\). 3. Внутри колбы лампочки находятся две независимые спирали. Выводы одной спирали красного цвета, а к другой припаян один чёрный провод. Используйте красную спираль в качестве излучающего электрода, подавая на неё напряжение в диапазоне от \(7{,}0\) до \(9{,}0\) В. 4. Считайте, что внутри лампочки находится вакуум. 5. Считайте, что в случае поддержания постоянной разности потенциалов между излучающим электродом и принимающим доля электронов, вылетевших с излучающего электрода и долетевших до принимающего, не зависит от температуры излучающего электрода. Под потенциалом излучающего электрода понимается среднее значение его потенциала. 6. Для исключения влияния внешних полей следует обернуть лампочку фольгой и соединить фольгу с минусом источника. 7. 1 электронвольт (эВ) = \(1{,}60\cdot 10^{-19}\) Дж. 8. На источнике тока установите ручку выбора диапазона напряжений в положение «0–15V» (крайнее правое положение). Когда ручка в этом положении, вы можете регулировать выходное напряжение в указанном диапазоне ручками «грубо» и «плавно». Не стоит пользоваться индикаторами, встроенными в источник.
Оборудование. Лампа с двумя нитями накала, регулируемый источник тока, батарейка 9 В, резистор сопротивлением \(r = 4{,}7\) Ом (\(\pm 5\%\)), два резистора сопротивлением \(R = 1\) кОм (\(\pm 1\%\)), два мультиметра, кусочек фольги, макетная плата, соединительные провода.
▶ПодсказкаСкрыть
Ток эмиссии очень мал, поэтому его удобно измерять вольтметром, подключённым к большому сопротивлению. Чтобы найти \(W\), постройте зависимость логарифма тока от \(1/T\).
▶ОтветСкрыть
\(W = (3{,}8 \pm 0{,}4)\) эВ.
▶РешениеСкрыть
При нагреве одной из нитей накала некоторые электроны приобретают достаточную энергию, чтобы из неё вылететь. Приложив напряжение между спиралями, мы можем добиться того, чтобы вылетевшие электроны попадали на вторую спираль. Для определения работы выхода нужно измерить зависимость эмиссионного тока от температуры нити накала: \[n = A_1\,e^{-W/kT} \quad\Rightarrow\quad I_{\text{эм}} = A_1\,e^{-W/kT} \quad\Rightarrow\quad \ln I_{\text{эм}} = \ln A_1 - \frac{W}{k}\cdot\frac{1}{T}.\] Чтобы определить работу выхода \(W\), нужно построить график зависимости \(\ln I_{\text{эм}}\) от \(1/T\) и вычислить его угловой коэффициент.
Для измерений следует использовать схему, изображённую на рисунке.
\(\mathcal{E}_1\) — регулируемый источник тока. Примем потенциал его минуса за 0 В. Вольтметр \(V_1\) используется попеременно для измерения напряжения на нити накала лампочки и на резисторе сопротивлением \(r = 4{,}7\) Ом, который нужен для определения силы тока через лампочку. Нить накала лампочки должна быть подключена напрямую к минусу источника, так как туда же подключается экран вокруг лампочки. Если между лампой и минусом источника будут стоять резисторы, то это приведёт к заметному изменению разности потенциалов между экраном и нитью лампы во время опытов, что может внести дополнительные изменения в эмиссионный ток.
Потенциал разных точек нити накала линейно изменяется от \(0\) до \(U_1\), значит, средний потенциал нити накала равен \(U_1/2\). Так как необходимо обеспечить постоянную разгонную разность потенциалов, параллельно нити накала подключены два одинаковых высокоомных резистора, потенциал точки между которыми будет в точности равен среднему потенциалу нити накала.
Так как эмиссионный ток очень маленький, для его измерения будем использовать второй вольтметр в качестве наноамперметра. В качестве \(\mathcal{E}_2\) — батарейка 9 В. Малый ток определяется по формуле \[I_{\text{эм}} = \frac{U_2}{R_V}.\] Внутреннее сопротивление мультиметра в режиме вольтметра \(R_V\) можно измерить другим мультиметром, переключив его в режим омметра: \(R_V = 1\) МОм. Температуру лампочки определяем по её сопротивлению, используя формулу из условия. Сопротивление лампочки при комнатной температуре \(R_0 = 2{,}5\) Ом измеряем при маленьких токах через неё, например омметром. Комнатную температуру оценим как \(T_0 = (300 \pm 5)\) К. Как показывает значение температуры спирали лампы, точность нашей оценки является достаточной.
Результаты измерений представлены в таблице.
Построим график \(\ln I_{\text{эм}}\) от \(1/T\).
Умножая угловой коэффициент графика на постоянную Больцмана \(k\), получаем ответ \(W = (3{,}8 \pm 0{,}4)\) эВ.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2018/19, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.