зад 1 Газировка (II)
Некоторые газы хорошо растворяются в жидкостях. Например, углекислый газ прекрасно растворяется в воде, что используется при приготовлении всем хорошо знакомой газировки. При постоянной температуре и не слишком больших давлениях количество газа, растворённого в жидкости, прямо пропорционально парциальному давлению этого газа над жидкостью (закон Генри): \[\nu = \alpha V p,\] где \(V\) — объём жидкости, \(p\) — парциальное давление газа, \(\alpha\) — коэффициент, зависящий от температуры и измеряемый в моль/(Па\(\cdot\)м\(^3\)).
Убедитесь, что силы трения поршня о стенки корпуса шприца малы по сравнению с силой атмосферного давления на поршень. Опишите, как вы это сделали.
Определите давление газа в бутылке газированной воды.
Определите величину \(\alpha\) для углекислого газа и воды при комнатной температуре.
Считайте, что внутри бутылки находятся углекислый газ в газообразном состоянии и вода с растворённым в ней углекислым газом. При аккуратном открытии бутылки (не трясите её и не взбалтывайте перед этим!) за малый промежуток времени изменение концентрации газа в растворе незначительно.
Оборудование: 1) две бутылки минеральной газированной воды; 2) шприц 20 мл; 3) заглушка на шприц; 4) одноразовый стакан 200 мл; 5) одноразовая пластиковая тарелка и салфетки для поддержания рабочего места в чистоте.
Примечания: 1) Рекомендуется одну бутылку использовать для пробных экспериментов, а вторую для итоговых. Не рекомендуется трясти бутылку перед тем, как её открывать. 2) Если вода находится в спокойном состоянии, то концентрация растворённого в ней газа приходит в равновесное состояние за относительно длительное время, но, если воду перемешивать или взбалтывать (в закрытой бутылке), равновесное состояние устанавливается гораздо быстрее (несколько минут).
▶ПодсказкаСкрыть
Набранная в шприц газировка при установлении равновесия выделяет газ в объём под поршнем. Сравните количество растворённого газа до и после равновесия, учитывая, что газ в шприце находится при атмосферном давлении.
▶ОтветСкрыть
1) трение мало: сжатие воздуха в пустом шприце с заглушкой показывает, что сила трения поршня несущественна; 2) \(p \approx 2{,}85\) атм; 3) \(\alpha = (3{,}7 \pm 0{,}7)\cdot 10^{-4}\) моль/(Па\(\cdot\)м\(^3\)).
▶РешениеСкрыть
1. Силу трения поршня о стенки можно считать несущественной по сравнению с силой давления газа на поршень. Убедиться в этом можно, сжимая воздух в пустом шприце, закрытом заглушкой.
2. Открываем бутылку и аккуратно набираем в пустой шприц газировку (около 5 мл), сразу закрываем кончик заглушкой. Концентрация растворённого углекислого газа соответствует давлению в бутылке. Встряхиваем шприц, чтобы ускорить переход системы в равновесие; поршень должен свободно перемещаться, обеспечивая давление внутри шприца, равное атмосферному \(p_0\). В равновесии под поршнем давление углекислого газа равно \(p_0\), а объём газа в шприце увеличивается на \(V_г\).
Для порции воды объёма \(V_в\) число молей растворённого газа до установления равновесия \(\nu_0 = \alpha V_в p\), где \(p\) — давление газа в бутылке. После установления равновесия в воде находится \(\nu_в = \alpha V_в p_0\) моля газа, в газовой фазе \(\nu_г = \dfrac{V_г p_0}{RT}\). Приравнивая \(\nu_0 = \nu_в + \nu_г\), получаем \[\alpha V_в p = \alpha V_в p_0 + \frac{V_г p_0}{RT}, \qquad \alpha = \frac{V_г\,p_0}{RT\,V_в\,(p - p_0)}.\] Измерения повторяем несколько раз, каждый раз аккуратно открывая и сразу закрывая бутылку.
Давление газа в бутылке определяем так: выдвигаем поршень шприца в положение 20 мл, ставим заглушку и помещаем шприц в бутылку с водой, сразу закрыв пробку бутылки. Встряхивая бутылку, наблюдаем за поршнем, пока через 5–10 мин в бутылке не установится давление \(p\), а объём воздуха в шприце уменьшится от \(V_1\) до \(V_2 = V_1\,p/p_0\).
Отсюда \(p = p_0 V_1 / V_2\). Потери газа при повторных измерениях заметны (около 5% на каждое последующее измерение), поэтому это измерение лучше выполнять однократно.
Результаты для бутылки (\(0{,}5\) л) минеральной воды «Aqua minerale»: \(V_1 = (20{,}0 \pm 0{,}5)\) мл, \(V_2 = (7{,}0 \pm 0{,}5)\) мл, \(p = (2{,}85 \pm 0{,}25)\) атм. Измерения при \(T = 298\) К:
Систематическая погрешность оценивается как \[\frac{\Delta\alpha}{\alpha} \approx \sqrt{\left(\frac{\Delta V_г}{V_г}\right)^2 + \left(\frac{\Delta V_в}{V_в}\right)^2 + \left(\frac{\Delta(p-p_0)}{p-p_0}\right)^2} \approx 0{,}15.\] Случайная погрешность по данным таблицы \(\Delta\alpha \approx 0{,}15\cdot 10^{-4}\) моль/(Па\(\cdot\)м\(^3\)). Окончательно \(\alpha = (3{,}7 \pm 0{,}7)\cdot 10^{-4}\) моль/(Па\(\cdot\)м\(^3\)).
зад 2 Упругая лента
Изгиб подвешенной за концы резиновой ленты определяется равновесием упругих сил и сил тяжести. Для однородно растянутой ленты её натяжение \(T = ES\,\Delta L/L\), где \(E\) — модуль Юнга, \(S\) и \(L\) — площадь сечения и длина ленты в нерастянутом виде, \(\Delta L\) — её удлинение. Закрепим концы ленты на одной горизонтали на расстоянии, равном её длине \(L\) в нерастянутом виде (рис. 1). Провисшая под собственным весом лента образует с горизонталью некоторый угол \(\varphi\), а середина ленты ниже этой горизонтали на некоторое расстояние \(h\), называемое стрелой прогиба.
При помощи предложенного оборудования измерьте стрелы прогиба \(h\) не менее чем для 10 значений длины ленты в ненатянутом виде \(L\) в диапазоне от 30 до 120 см. Результаты представьте в виде таблицы и графика \(h(L)\).
Используя полученные вами в п. 1 экспериментальные результаты, считая, что \(h = A L^n\), при использовании графической обработки определите значение \(n\) (\(n\) — не обязательно целое число). Сравните полученный результат с теоретической моделью в п. 1. Оцените погрешность определения \(n\).
При \(\varphi \ll 1\) или \(h \ll L\) ленту можно считать почти однородно растянутой по дуге окружности. Выведите в этом приближении теоретическое выражение для зависимости \(h\) от \(L\), считая заданными плотность резины \(\rho\), модуль Юнга \(E\), ускорение свободного падения \(g\). В пределе малых углов можно использовать приближения \[\sin\varphi \approx \varphi - \frac{\varphi^3}{6}; \qquad \cos\varphi \approx 1 - \frac{\varphi^2}{2}; \qquad \operatorname{tg}\varphi \approx \varphi + \frac{\varphi^3}{3}.\] Сравните полученную формулу с результатом, полученным в п. 2.
Используя теоретическую зависимость, выведенную в п. 3, и результаты, полученные в п. 1, определите значение модуля Юнга \(E\). Плотность резины \(\rho = 1{,}25\) г/см\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Оцените погрешность определения \(E\).
Оборудование: дюралевый уголок длиной 150 см; два бруска 15\(\times\)10\(\times\)3 см как опоры; тонкая резиновая лента длиной 140 см и шириной 2–3 см (отрезать от резинового медицинского бинта); два зажима для фиксации ленты на уголке (из гвоздя и кольцевой «денежной» резинки, или короткая деревянная линейка и канцелярская клипса); мерная лента; миллиметровая бумага для построения графиков; скотч.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите натяжение ленты через её вес и угол \(\varphi\) в нижней точке, затем используйте малость угла, чтобы связать \(\varphi\) с \(h\) и \(L\). Для степенной зависимости удобно строить график в логарифмических координатах.
▶РешениеСкрыть
1. Длиной ленты считается длина участка между зажимами. Мерной лентой размечаем уголок и резиновую ленту, фиксируем ленту зажимами и поворачиваем уголок так, чтобы лента могла свободно провисать. К вертикальной стенке уголка скотчем прикрепляем миллиметровую бумагу и для набора значений \(L\) измеряем стрелу прогиба \(h\). Результаты заносим в таблицу с дополнительными столбцами для обработки.
2. Строим график зависимости \(\ln h(\ln L)\). По угловому коэффициенту определяем \(n\). С учётом разброса экспериментальных данных по этому же графику оцениваем погрешность \(n\).
3. При \(\varphi \ll 1\) или \(h \ll L\) лента имеет постоянную линейную плотность и растянута по дуге окружности радиуса \(R\). Горизонтальная проекция натяжения неизменна: \(T\cos\varphi = T_0\), где \(T_0\) — натяжение в нижней точке. Отсюда при малом \(\varphi\) получаем \(T \approx T_0\). Из равновесия по вертикали \(2T\sin\varphi = \rho g L S\), откуда \[T \approx \frac{\rho g L S}{2\varphi}.\] Относительное удлинение \[\frac{\Delta L}{L} = \frac{2R(\varphi - \sin\varphi)}{2R\sin\varphi} \approx \frac{\varphi^2}{6}.\] Подставляя в \(T = ES\,\Delta L/L\), находим \[E = \frac{3\rho g L}{\varphi^3}.\] Поскольку \(h = R(1 - \cos\varphi)\), а \(L = 2R\sin\varphi\), то \(\varphi \approx 4h/L\), и \[h = \left(\frac{3\rho g L^4}{64E}\right)^{1/3}.\] Это соответствует \(n = 4/3 \approx 1{,}33\) в п. 2 и сравнивается с результатом графической обработки.
4. Для определения модуля Юнга строим график зависимости \(h\) от \(L^{4/3}\): его наклон \(k = \left(\dfrac{3\rho g}{64E}\right)^{1/3}\) даёт \(E = \dfrac{3\rho g}{64\,k^3}\). Другая возможность — вычислить \(E\) по полученной формуле для каждого \(L\) с последующим усреднением.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2019/20, региональный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.