ВсОШ, 2020/21, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Масса цепочки связана с массой листа, из которого сделан рычаг, через правило моментов. Для \(T_x\) используйте равновесие половины цепочки в горизонтальном направлении.

Ответ

1) \(m \approx 9{,}5\) г;  4) \(A \approx 2{,}3\) мДж;  5) \(T_0 \approx 42\) мН;  6) \(h_ц \approx 14\) см;  7) \(h \approx 13\) см.

Решение

1. Масса листа формата А4: \(a = 29{,}7\) см, \(b = 21{,}0\) см, \(S = ab = 624\) см\(^2\), \(m_л = \sigma S = 5{,}0\) г. Из листа делается рычаг; уравновесив его на краю стола, находят положение центра тяжести. Подвешивают цепочку на край рычага и находят центр тяжести системы. Правило моментов относительно точки опоры: \(m_л g l_1 = m g l_2\), где \(l_1\) и \(l_2\) — расстояния от центров тяжести рычага и цепочки до точки опоры. Отсюда \(m = \dfrac{l_1}{l_2} m_л = \dfrac{91~\text{мм}}{48~\text{мм}} \cdot 5{,}0~\text{г} \approx 9{,}5\) г.

2. Измеряют углы \(\alpha\) при \(l\) от \(0\) до \(90\) см, шаг не более \(15\) см, с учётом того, что при \(l > 60\) см угол меняется быстрее и участок лучше промерить подробнее. Результаты (пары \(l\) см, \(\alpha^\circ\)): \(0;\,90\); \(10;\,88\); \(20;\,86\); \(30;\,84\); \(40;\,81\); \(50;\,76\); \(55;\,73\); \(60;\,70\); \(65;\,67\); \(70;\,64\); \(75;\,60\); \(80;\,55\); \(85;\,48\); \(90;\,37\).

3. В точке подвеса вертикальная составляющая силы натяжения \(T_y = \dfrac{mg}{2}\) (симметрия задачи и равновесие всей цепочки). Так как сила натяжения направлена по касательной к цепочке, \(T_x = \dfrac{mg}{2}\,\mathrm{ctg}\,\alpha\). По таблице вычисляют \(\mathrm{ctg}\,\alpha\) и \(T_x\) (при \(m = 9{,}5\) г \(\dfrac{mg}{2} \approx 47{,}5\) мН): \(l\) см: \(0\) — \(0{,}00\) — \(0{,}0\) мН; \(10\) — \(0{,}03\) — \(1{,}6\); \(20\) — \(0{,}07\) — \(3{,}3\); \(30\) — \(0{,}11\) — \(4{,}9\); \(40\) — \(0{,}16\) — \(7{,}4\); \(50\) — \(0{,}25\) — \(12{,}0\); \(55\) — \(0{,}31\) — \(14{,}0\); \(60\) — \(0{,}36\) — \(17{,}0\); \(65\) — \(0{,}42\) — \(20{,}0\); \(70\) — \(0{,}49\) — \(23{,}0\); \(75\) — \(0{,}58\) — \(27{,}0\); \(80\) — \(0{,}70\) — \(33{,}0\); \(85\) — \(0{,}90\) — \(42{,}0\); \(90\) — \(1{,}30\) — \(62{,}0\). По этим точкам строится гладкая кривая \(T_x(l)\).

4. Работа по увеличению расстояния между точками крепления равна площади под графиком \(T_x(l)\) в диапазоне от \(0\) до \(50\) см: \(A \approx 2{,}3\) мДж.

5. При \(l = 85\) см рассмотрим равновесие половины цепочки (см. рисунок): из равенства нулю суммы проекций сил на горизонтальное направление следует \(T_0 = T_x\). По графику \(T_x(85\text{~см}) \approx 42\) мН.

6. Если один конец цепочки закреплён, а другой равномерно перемещают в горизонтальном направлении, работа внешней силы идёт на увеличение потенциальной энергии цепочки: \(A_{внеш} = mg\,\Delta h\). При \(\alpha = 90^\circ\) (\(l = 0\)) центр тяжести находится на расстоянии \(L/4 = 25\) см ниже точек подвеса (\(L = 1{,}0\) м — длина цепочки). Работа внешней силы при \(l\) от \(0\) до \(85\) см равна площади под графиком \(T_x(l)\), по клеткам \(A_{внеш} \approx 10\) мДж. Отсюда \(h_ц = \dfrac{L}{4} - \dfrac{A_{внеш}}{mg} \approx 14\) см.

7. Если потянуть середину цепочки вниз, она принимает форму двух боковых сторон равнобедренного треугольника; центр тяжести лежит на середине высоты этого треугольника. Высота по теореме Пифагора: \(h = \dfrac{1}{2}\sqrt{(L/2)^2 - (l/2)^2} \approx 13\) см (можно и измерить непосредственно).

Подсказка

Напряжение на известном добавочном сопротивлении даёт силу тока через диод по закону Ома. По найденным точкам при одном токе \(I_x\) строится зависимость \(U_x(T)\), её наклон и есть ТКН.

Ответ

3) \(\eta \approx -1{,}87\) мВ/\(^\circ\)C.

Решение

1. Сопротивления магазина: \(R_{BC} = 5{,}00\) Ом, \(R_{CD} = 100\) Ом, \(R_{DE} = 200\) Ом, \(R_{EF} = 400\) Ом, \(R_{FG} = 800\) Ом (в разных установках могут отличаться в пределах \(10\,\%\)). Диод подключают в прямом направлении к контакту \(A\) и контактам \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) или \(G\) магазина. Пять точек ВАХ в пределах от \(5\) до \(15\) мА можно получить, например, при сопротивлениях магазина \(750\), \(950\), \(1150\), \(1350\), \(1550\) Ом. Напряжение измеряется вольтметром непосредственно на контактах, к которым подключён диод; сила тока рассчитывается через напряжение на одном из последовательно включённых резисторов (в решении — на \(R_{CD} = 100\) Ом). За время измерения одной ВАХ температура в термостате меняется не более чем на \(1\,^\circ\)C, этим можно пренебречь. Для ускорения остывания пластиковый стакан можно вынимать из пенопластового, но на время снятия ВАХ первоначальную конструкцию термостата необходимо восстанавливать.

В решении ВАХ сняты при \(65\), \(55\), \(45\), \(37\) и \(26\,^\circ\)C. Результаты (напряжение на диоде \(U_d\), напряжение на резисторе \(U_r\), сила тока \(I\)):

Фрагменты пяти ВАХ при разных температурах (слева направо — уменьшение температуры):

2. Из графиков находят напряжение на диоде при токе \(I = 10\) мА: \(T = 26\,^\circ\)C — \(U = 577\) мВ; \(37\,^\circ\)C — \(559\) мВ; \(45\,^\circ\)C — \(547\) мВ; \(55\,^\circ\)C — \(524\) мВ; \(65\,^\circ\)C — \(505\) мВ. По этим точкам строится график \(U_x(T)\).

3. По графику \(U_x(T)\) находят \(\eta = -1{,}87\) мВ/\(^\circ\)C, что согласуется со справочными данными для кремниевых полупроводниковых диодов.