ВсОШ, 2021/22, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Измерьте напряжения и токи между всеми парами выводов. Что означает нулевое напряжение между двумя выводами в схеме «треугольник»? Внутреннее сопротивление мультиметра в режиме вольтметра может оказаться сравнимым с \(r\) и \(R\) — учтите это при обработке.

Ответ

1) «звезда»;  2) «1» — «C», «2» — «A», «3» — «B»;  3) \(\mathcal{E} \approx 19\)–\(20\) В, \(r \approx 510\) кОм, \(R \approx 1{,}8\) МОм (контрольные значения организаторов: \(\mathcal{E} = 20\) В, \(r = 510\) кОм, \(R = 1{,}8\) МОм).

Решение

1. Измерим напряжения: \(U_{AB} = 0{,}00\) В, \(U_{AC} = 12{,}7\) В, \(U_{BC} = 6{,}82\) В. В схеме «треугольник» между выводами \(A\) и \(B\) был бы резистор практически нулевого сопротивления, и два других напряжения совпадали бы (или были очень близки), что не наблюдается. Значит, элементы соединены «звездой».

2. Так как \(U_{AB} = 0\), источник подключён к выводу \(C\) (т.е. \(C \to 1\)). Напряжение между \(A\) и \(C\) больше, значит резистор, подключённый к выводу \(A\), имеет меньшее сопротивление (\(A \to 2\), \(r\)). Соответственно \(B \to 3\) (\(R\)).

3. Различие \(U_{AC} \neq U_{BC}\) показывает, что внутреннее сопротивление вольтметра пренебрегать нельзя. Кроме того, омметр даже в режиме 2 МОм, подключённый к выводам \(A\) и \(B\), зашкаливает, т.е. \(r + R > 2\) МОм.

Вариант с микроамперметром (предел 200 мкА, серия 830): переводим мультиметр в режим микроамперметра и измеряем ток между парами выводов: \(I_{AB} = 0\), \(I_{AC} = 37{,}7\) мкА, \(I_{BC} = 10{,}6\) мкА. Пусть \(R_V\) — сопротивление прибора в режиме вольтметра. Тогда \[U_{AC} = \frac{\mathcal{E} R_V}{R_V + r}, \qquad U_{BC} = \frac{\mathcal{E} R_V}{R_V + R},\] и \(\mathcal{E} = I_{AC}\, r = I_{BC}\, R\). Отсюда \(\dfrac{R}{r} = \dfrac{I_{AC}}{I_{BC}} \approx 3{,}56\) и \(\dfrac{R_V + R}{R_V + r} = \dfrac{U_{AC}}{U_{BC}} \approx 1{,}86\), откуда \(r \approx 0{,}52\,R_V\). Тогда \(U_{AC} = \mathcal{E}/(1 + 0{,}52)\), т.е. \(\mathcal{E} \approx 19{,}3\) В, и \[r = \frac{\mathcal{E}}{I_{AC}} \approx 511~\text{кОм}, \qquad R = \frac{\mathcal{E}}{I_{BC}} \approx 1{,}82~\text{МОм}.\] Для варианта с пределом 2000 мкА (серии 832, 838) ход решения тот же, с другими показаниями: \(\mathcal{E} \approx 19{,}7\) В, \(r \approx 520\) кОм, \(R \approx 1{,}8\) МОм.

Подсказка

Масса стержня уравновешивается моментами сил относительно точки крепления нити. Подумайте, как найти положение центра масс стержня, и как изменится равновесие, если стержень погрузить в воду. Геометрию стержня (длину и диаметр) измерьте миллиметровой бумагой.

Ответ

\(M\) определяется по формуле из решения; оценка по критериям — \(M\) в интервале \(20{,}8\)–\(28{,}2\) г (4 балла), относительная погрешность результата около \(13\%\).

Решение

Имея полоску миллиметровой бумаги, можно измерить длину \(L\) цилиндра (прикладыванием к бумаге, \(\Delta_L = 1\) мм) и его диаметр \(D\) методом прокатывания: за \(N\) оборотов по полоске цилиндр перемещается на \(S\), откуда \(D = \dfrac{S}{N\pi}\). Объём цилиндра \(V = \dfrac{\pi L D^2}{4}\).

Опыт 1. Концы нити с помощью канцелярских зажимов закрепляем на краю стола, к середине нити крепим исследуемый стержень. Горизонтальное положение равновесия получается при креплении нити не к середине стержня. Измеряем расстояние \(X\) от места крепления нити до ближайшего конца стержня.

Опыт 2. Повторяем опыт, но стержень полностью погружаем в воду (не касаясь стенок и дна кюветы), и снова добиваемся горизонтального равновесия, изменив точку крепления нити. Измеряем расстояние \(Y\) от места крепления до ближайшего конца стержня.

Суммарный момент всех сил относительно точки крепления нити равен нулю в обоих опытах. Из первого опыта центр масс стержня находится на расстоянии \(X\) от одного из концов, а во втором — с учётом выталкивающей силы: \[mg(X - Y) - \rho g V\left(\frac{L}{2} - Y\right) = 0,\] откуда \[m = \rho\,\frac{L/2 - Y}{X - Y}\,V.\]

Погрешность. По официальной оценке относительная погрешность результата \(\varepsilon_m = \varepsilon_{L/2-Y} + \varepsilon_{X-Y} + 2\varepsilon_S + \varepsilon_L \approx 0{,}13\).

Данные для московских установок (критерии): длина \(14{,}9\)–\(15{,}1\) см; диаметр \(0{,}98\)–\(1{,}04\) см; центр масс — \(4{,}9\)–\(5{,}3\) см от тяжёлого края; \(M\) в интервале \(20{,}8\)–\(28{,}2\) г (4 балла), \(17{,}0\)–\(32{,}0\) г (2 балла).