ВсОШ, 2021/22, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Для эффективной массы сравните динамику грузов на нити через блок (с учётом \(m_{\text{эфф}}\)) и колебания блока с приклеенной гайкой. Для трения используйте, что тяговое усилие нити на карандаше меняется по экспоненте от угла обхвата.

Ответ

1) \(m_{\text{эфф}} = (15 \pm 5)\) г (динамический метод); по колебаниям получено \(m_{\text{эфф}} = (25 \pm 6)\) г (завышено из-за трения в подшипнике);  2) \(\mu = 0{,}17 \pm 0{,}02\) (динамический метод); статический метод даёт \(\mu = 0{,}13 \pm 0{,}04\).

Решение

Метод 1 (динамический). Пусть \(m_1\) — большая масса, \(m_2\) — меньшая, \(v = \omega r\) — скорость грузов (нить нерастяжима и не проскальзывает по блоку). Закон сохранения энергии системы блок+грузы, в котором трение в оси не учитывается, даёт \[(m_1 + m_2 + m_{\text{эфф}})\,a = (m_1 - m_2)\,g.\] Блок покоится, если \(|m_1 - m_2| < 0{,}4\) г. Далее измеряем время \(t\), за которое покоившийся груз \(m_1\) проходит расстояние \(L = (72{,}9 \pm 0{,}2)\) см от края стола до пола. Ускорение \(a = \dfrac{2L}{\langle t\rangle^2}\), \(\langle t\rangle = \dfrac{1}{3}(t_1 + t_2 + t_3)\) (по три измерения). Массы \(m_1 = N_{\text{1б}}M + N_{\text{1м}}m + m_{\text{с}}\), \(m_2 = N_{\text{2б}}M + m_{\text{с}}\), где \(N_{\text{1б}}\), \(N_{\text{1м}}\), \(N_{\text{2б}}\) — число больших и маленьких гаек.

Для линеаризации выберем координаты \[Y_1 = m_1 + m_2, \qquad X_1 = \frac{g\langle t\rangle^2}{2L}(m_1 - m_2),\] в которых \(Y_1 = X_1 - m_{\text{эфф}}\). Точки №8 и №12 с большими погрешностями на график не берём. По графику (ниже) \(m_{\text{эфф}} = (15 \pm 5)\) г. Наклон немного отличается от единицы, что объясняется трением в подшипнике.

Метод 2 (колебания). К краю блока приклеим большую гайку массой \(M\) на расстояние \(l\) от центра. Закон сохранения энергии при малом угле отклонения \(\alpha\) (\(\cos\alpha \approx 1 - \alpha^2/2\)): \[\frac12\left(m_{\text{эфф}} r^2 + Ml^2\right)\omega^2 + \frac12 Mgl\,\alpha^2 = \text{const}.\] Период колебаний \(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{m_{\text{эфф}} r^2 + Ml^2}{Mgl}}\), откуда \[m_{\text{эфф}} = M\left(\frac{T^2 g l}{4\pi^2 r^2} - \frac{l^2}{r^2}\right).\] Измерения: \(l = (4{,}5 \pm 0{,}1)\) см, \(r = (4{,}9 \pm 0{,}1)\) см, время \(n = 10\) колебаний. Результат \(m_{\text{эфф}} = (25 \pm 6)\) г немного завышен из-за трения в подшипнике.

Коэффициент трения. Нить, огибающая карандаш радиуса \(r_0\) по дуге угла \(\varphi\), при натяжениях \(T_0\) (с одной стороны) и \(T\) (с другой) связана условием \(dT = \mu T\,d\varphi\). При \(T - T_0 \ll T\) получаем \[\mu\varphi = \frac{T - T_0}{T}.\]

Динамический метод. Зафиксируем \(m_1 = 5M + 5m\), \(m_2 = 5M\). Измеряем время \(t\), за которое меньший груз проходит расстояние \(L_2 = (66{,}0 \pm 0{,}2)\) см от пола до карандаша. Закон сохранения энергии с учётом трения даёт \[(m_1 + m_2 + m_{\text{эфф}})\,a = (m_1 - m_2)\,g - \frac{m_1 + m_2}{2}\,\mu\varphi\,g,\] где \(a = \dfrac{2L_2}{\langle t\rangle^2}\). Перепишем: \[\left(1 + \frac{m_{\text{эфф}}}{m_1 + m_2}\right)\frac{2a}{g} = \frac{2(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} - \mu\varphi.\] Угол \(\varphi\) связан с горизонтальным смещением карандаша \(x\) соотношением \(\operatorname{tg}\varphi \approx x/L_1\), где \(L_1 = (47{,}5 \pm 0{,}1)\) см — расстояние от карандаша до боковой поверхности блока. График \(Y_2 = \left(1 + \dfrac{m_{\text{эфф}}}{m_1 + m_2}\right)\dfrac{2a}{g}\) от \(\varphi\) (график ниже) линеен; его угловой коэффициент \(k_2 = -\mu = -(0{,}17 \pm 0{,}02)\), откуда \(\mu = 0{,}17 \pm 0{,}02\).

Статический метод (менее точный). Двигаем карандаш по горизонтали, пока нить перестанет по нему скользить, и фиксируем расстояние \(x\). В этом положении ускорение равно нулю, и \[\mu\varphi = \frac{2(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2}.\] График \(Y_3 = \dfrac{2(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2}\) от \(\varphi\) проходит через начало координат, его угловой коэффициент \(k_3 = \mu = (0{,}13 \pm 0{,}04)\).

Схема установки (высота падения \(L\) показана на рисунке).

Подсказка

Сопротивления найдите делителем напряжения: при известном \(R_0\) по показаниям вольтметра в разных подключениях. Вольт-амперную характеристику снимайте по закону Ома через \(R_0\) (ток через него равен току через нелинейный элемент).

Ответ

1) \(R_0 = (2{,}00 \pm 0{,}03)\) кОм;  2) контакт «\(B\)» — отрицательный полюс источника; «\(A\)» соединён с резистором \(R_2\), «\(C\)» — с резистором \(R_1\);  3) \(R_1 = 355\) Ом, \(R_2 = 9{,}95\) кОм, диапазон напряжений \(19{,}6\)–\(43{,}0\) В;  4) ВАХ нелинейного элемента (график в решении);  5) \(R_{\text{д}1} = (-1{,}34 \pm 0{,}04)\) кОм;  6) \(R_{\text{д}2} = (-540 \pm 10)\) Ом.

Решение

Сопротивление \(R_0\). Омметром \(R_0 = (2{,}00 \pm 0{,}03)\) кОм.

Полярность и схема. Вольтметром измерены \(U_{AB} = +22{,}7\) В, \(U_{AC} = 0{,}00\) В, \(U_{CB} = +22{,}9\) В. Значит, контакт «\(B\)» соответствует отрицательному полюсу источника, а «\(A\)» и «\(C\)» соединены с резисторами. Омметром \(R_1 + R_2 = 10{,}3\) кОм.

Сопротивления. Подключим \(R_0\) между «\(C\)» и «\(B\)» и измерим \(U_{CB1} = 19{,}21\) В, \(U_{AC1} = 3{,}41\) В (вольтметр не даёт тока через \(R_A\)). Тогда \[R_C = R_0\frac{U_{AC1}}{U_{CB1}} = 355~\text{Ом}.\] Подключив \(R_0\) между «\(A\)» и «\(B\)», получаем \(U_{AB2} = 3{,}80\) В, \(U_{AC2} = 18{,}90\) В, и \[R_A = R_0\frac{U_{AC2}}{U_{AB2}} = 9{,}95~\text{кОм}.\] Итак, \(R_1 = R_C = 355\) Ом (меньший резистор подключён к «\(C\)»), \(R_2 = R_A = 9{,}95\) кОм (больший — к «\(A\)»). Схема приведена на рисунке.

Напряжение источника при выключенном состоянии \(19{,}6\) В, при максимальном \(43{,}0\) В, диапазон \(19{,}6\)–\(43{,}0\) В.

ВАХ. Нелинейный элемент подключаем зелёным проводом к «\(B\)», жёлтым — к «\(A\)». Ток определяем по напряжению на \(R_0\) по закону Ома. При напряжении от 22 до примерно 33 В ток не течёт (состояние «закрытое»). При напряжении открытия около 33 В элемент скачком открывается, напряжение на нём падает до значений около 30 В или 26 В (в зависимости от подключения). Далее наблюдаются плавные изменения, в которых падение напряжения сопровождается ростом тока. Участок ВАХ от \(R_1\): примерно от 23 до 28 В и от 8 до 1 мА; участок от \(R_2\): от \(27{,}0\) до \(29{,}5\) В и от \(1{,}3\) до \(0{,}15\) мА. По найденным значениям строится ВАХ (график ниже).

Дифференциальное сопротивление. При напряжении \(27{,}0\) В есть два участка ВАХ; на одном элемент «закрыт» и сопротивление очень велико, на другом по измерениям с обоими резисторами строим отдельный график и проводим касательную: \(R_{\text{д}1} = (-1{,}34 \pm 0{,}04)\) кОм. При токе \(5{,}0\) мА значение определяется только по измерениям с резистором \(R_1\): \(R_{\text{д}2} = (-540 \pm 10)\) Ом. Знак минус означает, что с ростом напряжения ток через элемент растёт, а напряжение на нём падает.