ВсОШ, 2022/23, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Считайте воздух в системе идеальным газом при постоянной температуре: объём, занятый воздухом в шприцах и трубке, связан с давлением законом Бойля–Мариотта. Ищите линейную зависимость, в которой сдвиг поршня малого шприца фиксирует одно и то же избыточное давление.

Ответ

\(V_0 = (4{,}5 \pm 0{,}6)\) мл.

Решение

Для начала увеличим точность шкалы шприца объёмом \(20\) мл: приклеим к нему бумажную шкалу, совместив нулевое деление шприца с основным делением бумажной шкалы. Цену деления приклеенной шкалы определим по делениям \(0\) и \(20\) мл шкалы шприца. Дальше будем пользоваться наклеенной шкалой. Выдвинем поршень шприца \(20\) мл до отметки \(V_1\). Поршень шприца \(5\) мл вдвинем до упора в крайнее положение. При перемещении этого поршня в крайнее положение ощущается лёгкий толчок («щелчок»): внутренний диаметр шприца на небольшом участке немного увеличен, и поршень как бы «фиксируется». Чтобы начать выдвигать поршень из этой точки, нужно приложить «избыточное» усилие, которое, как показывают дальнейшие опыты, с хорошей точностью постоянно.

Соединим шприцы прозрачной трубкой, плотно надетой на носик каждого шприца. Плавно вдвигаем поршень большого шприца до момента, когда поршень малого шприца под действием избыточного давления в трубке «выскакивает» из крайнего положения и тоже приходит в движение. Определим объём \(V_2\) большого шприца, при котором это происходит. Пусть поршень в малом шприце приходит в движение при давлении в трубке, превышающем атмосферное давление \(P_0\) на величину \(\Delta P\). Тогда по закону Бойля–Мариотта \[P_0(V_1 + V_0) = (P_0 + \Delta P)(V_2 + V_0),\] где \(V_0\) — внутренний объём трубки. После преобразований \[V_1 - V_2 = \frac{\Delta P}{P_0 + \Delta P}\,(V_1 + V_0).\] Если модель верна, то график зависимости \(\Delta V = V_1 - V_2\) от \(V_1\) линеен, а продолжение прямой \(\Delta V(V_1)\) пересекает ось \(V_1\) в точке \(V_1 = -V_0\).

Для повышения точности каждый опыт проводим три раза и усредняем: \[\Delta V_{\text{ср}} = V_1 - \frac{V_{21} + V_{22} + V_{23}}{3}.\]

График \(\Delta V_{\text{ср}}(V_1)\) даёт \(V_0 \approx 4{,}5\) мл, как точка пересечения продолжения прямой с осью абсцисс.

Погрешность измерения объёма равна цене деления, \(\Delta V \approx 0{,}2\) мл. Разброс значений укладывается в приборную погрешность, то есть \(\Delta V_{\text{приб}} \approx \Delta V_{\text{случ}}\), поэтому полная погрешность \[\Delta V_{\text{полн}} = \sqrt{\left(\frac{\Delta V_{\text{приб}}}{3}\right)^2 + \Delta V_{\text{случ}}^2} \approx \Delta V_{\text{приб}} = 0{,}2~\text{мл}.\] Для оценки погрешности \(V_0\) проведём две вспомогательные прямые через края крестов ошибок: \[\Delta V_0 = \frac{V_{0\,\text{макс}} - V_{0\,\text{мин}}}{2} = \frac{5{,}0 - 3{,}8}{2} = 0{,}6~\text{мл}.\] Окончательный результат \(V_0 = (4{,}5 \pm 0{,}6)\) мл.

Подсказка

Соединяя выводы попарно и измеряя сопротивление между ними, получаете параллельные комбинации резисторов. Из трёх таких измерений для каждого треугольника или звезды находятся сопротивления по отдельности.

Ответ

1) наименьшее сопротивление у резистора \(R_1\);  2) \(R_1 = 0{,}199 \pm 0{,}004\) кОм, \(R_2 = 0{,}98 \pm 0{,}09\) кОм, \(R_3 = 34 \pm 1\) кОм, \(R_4 = 0{,}33 \pm 0{,}01\) кОм, \(R_5 = 20{,}5 \pm 0{,}4\) кОм, \(R_6 = 97 \pm 8\) кОм;  3) соединить выводы \(А\), \(В\), \(Г\) и \(Д\) и измерять сопротивление между ними и выводом \(Б\).

Решение

Измеряем сопротивления \(R_a\), \(R_б\), \(R_в\) при разных парах замкнутых выводов:

1. \(R_a\) между замкнутыми выводами \(БД\) и замкнутыми \(ВГ\): параллельное соединение \(R_3\) и \(R_5\), \(\dfrac{1}{R_a} = \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_5}\);

2. \(R_б\) между замкнутыми \(БГ\) и выводом \(В\): параллельное соединение \(R_3\) и \(R_6\), \(\dfrac{1}{R_б} = \dfrac{1}{R_3} + \dfrac{1}{R_6}\);

3. \(R_в\) между замкнутыми \(ВД\) и выводом \(Г\): параллельное соединение \(R_5\) и \(R_6\), \(\dfrac{1}{R_в} = \dfrac{1}{R_5} + \dfrac{1}{R_6}\).

Отсюда \[\frac{1}{R_3} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_б} - \frac{1}{R_в}\right), \quad \frac{1}{R_5} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_в} - \frac{1}{R_б}\right), \quad \frac{1}{R_6} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_в} + \frac{1}{R_б} - \frac{1}{R_a}\right).\]

Теперь соединим выводы \(Б\), \(В\) и \(Г\). Получится треугольник из резисторов: две стороны — резисторы \(R_1\) и \(R_4\), третья — параллельное соединение \(R_2\) и \(R_5\). Измеряя сопротивления между разными парами выводов, видим, что \(R_1\), \(R_2\) и \(R_4\) заметно меньше остальных. Для повышения точности к резистору \(R_2\) присоединим параллельно максимально сравнимый с ним, то есть обладающий наименьшим сопротивлением из оставшихся. Получаем эквивалентную схему:

Измерения:

1. соединим \(Б\) и \(Д\), измерим \(R_x\) между ними и выводом \(А\): \(\dfrac{1}{R_x} = \dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_1}\);

2. вместо \(Б\) и \(Д\) соединим \(Б\) и \(А\), измерим \(R_y\) между ними и выводом \(Д\): \(\dfrac{1}{R_y} = \dfrac{1}{R_4} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_5}\);

3. вместо \(Б\) и \(А\) соединим \(Д\) и \(А\), измерим \(R_z\) между ними и выводом \(Б\): \(\dfrac{1}{R_z} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_5}\).

Тогда \[\frac{1}{R_1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_z} - \frac{1}{R_y}\right), \quad \frac{1}{R_4} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_x} + \frac{1}{R_y} - \frac{1}{R_z}\right), \quad \frac{1}{R_2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{R_z} + \frac{1}{R_y} - \frac{1}{R_x}\right) - \frac{1}{R_5}.\]

Результаты измерений и расчётов (авторские значения могут отличаться от выданного оборудования):

Как видно из таблицы, наименьшим сопротивлением обладает резистор \(R_1\).

Для ответа на третий вопрос рассчитываем для каждого резистора величину, обратную его сопротивлению, и смотрим, какие из них дают в сумме \(\dfrac{1}{167~\text{Ом}}\). Подходят \(R_1\) и \(R_2\), то есть нужно соединить выводы \(А\), \(В\), \(Г\) и \(Д\) и измерять сопротивление между ними и выводом \(Б\). Число, очень близкое к \(167\) Ом, получается и при измерении \(R_z\).

Погрешность измеряемых сопротивлений составляет \(1\%\), поэтому погрешности величин \(1/R\) тоже \(1\%\). Абсолютные погрешности величин \(1/R\) складываются: \[\Delta\!\left(\frac{1}{R_1}\right) = \frac{1}{2}\left(\Delta\!\left(\frac{1}{R_x}\right) + \Delta\!\left(\frac{1}{R_y}\right) + \Delta\!\left(\frac{1}{R_z}\right)\right),\] откуда \(\varepsilon(R_1) = \Delta\!\left(\frac{1}{R_1}\right) R_1\) и \(\Delta(R_1) = \Delta\!\left(\frac{1}{R_1}\right) R_1^2\). Для остальных сопротивлений погрешность вычисляется аналогично.