ВсОШ, 2022/23, региональный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Сначала найдите коэффициент теплоотдачи контейнера по стационарному нагреву: мощность резистора равна потоку тепла в комнату. Затем по скорости остывания найдите теплоёмкость системы с гайкой и без неё.

Ответ

\(C_\text{г} \approx 29\) Дж/\(^\circ\)C.

Решение

Сначала определим теплоёмкость системы контейнер—резистор—термометр без гайки. Закроем контейнер, вставим термометр и зафиксируем его. К выводам резистора подключим три последовательно соединённые батарейки и мультиметр в режиме вольтметра. Во время нагревания измерений не проводим: дожидаемся прекращения роста температуры и фиксируем максимальную температуру \(t_{\max}\) и напряжение \(U\) на резисторе. Критерием установления служит изменение температуры менее чем на полградуса за две минуты. В авторском исполнении получено: комнатная температура \(t_к = 25\) \(^\circ\)C, \(t_{\max} = 37\) \(^\circ\)C, \(U = 2{,}43\) В.

В стационарном режиме теплота от нагревателя за время \(\Delta\tau\) равна теплоте, отданной контейнером в комнату. По закону Ньютона—Рихмана \[\frac{U^2}{R}\,\Delta\tau = \alpha\,(t_{\max} - t_к)\,\Delta\tau,\] откуда \(\alpha = 0{,}15\) Вт/\(^\circ\)C.

Отключаем батарейку и снимаем зависимость температуры \(t\) от времени \(\tau\) в окрестности 35 \(^\circ\)C при остывании. Результаты (без гайки и с гайкой) приведены в таблице.

Уравнение теплового баланса при остывании: \[C_к\,\Delta t_0 = \alpha\,(t_{35} - t_к)\,\Delta\tau,\] где \(C_к\) — теплоёмкость системы контейнер—резистор—термометр без гайки. По графику \(t(\tau)\) без гайки определяем \(\dfrac{\Delta t_0}{\Delta\tau} = 0{,}014\) \(^\circ\)C/с, и \(C_к = 107\) Дж/\(^\circ\)C.

С гайкой прямая остывания идёт более полого: \(\dfrac{\Delta t_0}{\Delta\tau} = 0{,}011\) \(^\circ\)C/с, и теплоёмкость контейнера вместе с гайкой \(C_{\text{кг}} = 136\) Дж/\(^\circ\)C.

Теплоёмкость гайки \(C_\text{г} = C_{\text{кг}} - C_к = 29\) Дж/\(^\circ\)C.

Примечание (из решения): при наличии резерва времени полезно убедиться, что коэффициент теплоотдачи контейнера одинаков с гайкой и без неё; если он различается, при расчёте теплоёмкостей следует использовать соответствующие значения.

Подсказка

Для плотности используйте закон Архимеда для палочки, плавающей вертикально: доля погружённой части равна отношению плотностей. Для трубки сравните моменты сил относительно точки опоры и условие плавания палочки с надетой трубкой.

Ответ

1) \(\rho \approx 0{,}74 \pm 0{,}01\) г/см\(^3\);  2) \(m = 0{,}42 \pm 0{,}05\) г (метод моментов сил), \(m = 0{,}45 \pm 0{,}08\) г (закон Архимеда).

Решение

В авторском комплекте масса цилиндра \(M = 1{,}02 \pm 0{,}02\) г (погрешность — две единицы последнего разряда весов, относительная погрешность 2%).

Плотность. Длина цилиндра \(L = 240 \pm 1\) мм, длина выступающей над водой части \(H = 62 \pm 1\) мм. По закону Архимеда \[\rho = \rho_0\,\frac{L - H}{L} = 1{,}00\cdot\frac{240 - 62}{240} = 0{,}74~\text{г/см}^3.\] Абсолютная погрешность числителя 2 мм, относительная \(2/178 \approx 1{,}1\%\); с учётом относительной погрешности \(L\) (\(0{,}4\%\)) получаем \(\Delta\rho/\rho = 1{,}5\%\), т.е. \(\rho = 0{,}74 \pm 0{,}01\) г/см\(^3\).

Масса трубки по правилу моментов. Положение центра масс палочки \(y = 120 \pm 1\) мм (палочка однородна). Трубка длиной \(z = 49 \pm 1\) мм надевается на край палочки заподлицо. Центр масс системы палочка—трубка находится в \(x = 92 \pm 1\) мм от того же торца. Правило моментов: \[mg\left(x - \frac{z}{2}\right) = Mg\,(y - x), \qquad m = M\,\frac{y - x}{x - z/2} = 0{,}42~\text{г}.\] Относительная погрешность: \(2/28 \approx 7\%\) от числителя, \(1{,}5/67{,}5 \approx 2\%\) от знаменателя; суммарно \(\approx 11\%\), т.е. \(\Delta m = 0{,}05\) г, \(m = 0{,}42 \pm 0{,}05\) г.

Масса трубки по закону Архимеда. Палочка с надетой трубкой плавает тяжёлым концом вниз, не касаясь дна; выступающая часть \(h = 42 \pm 1\) мм. Диаметры определяем методом прокрутки (десять оборотов нитью/линейками): \(10\pi d = 85 \pm 1\) мм, \(d = 2{,}71 \pm 0{,}03\) мм; \(10\pi D = 125 \pm 1\) мм, \(D = 3{,}98 \pm 0{,}03\) мм. Условие равновесия палочки: \[(m + M)\,g = \rho_0\,g\,\frac{\pi}{4}\left(D^2 z + d^2 (L - z - h)\right),\] откуда \[m = \rho_0\,\frac{\pi}{4}\left(D^2 z + d^2 (L - z - h)\right) - M = 0{,}45~\text{г}.\] Погрешности: \(d^2(L - z - h) = 1094 \pm 48\) мм\(^3\), \(D^2 z = 776 \pm 28\) мм\(^3\); погрешность суммы \(\approx 4{,}1\%\), погрешность слагаемого \(\rho_0\frac{\pi}{4}(\ldots)\) равна \(0{,}06\) г; с учётом \(M\) получаем \(m = 0{,}45 \pm 0{,}08\) г (относительная погрешность около 18%).

Для сравнения: непосредственное взвешивание даёт \(m = (0{,}44 \pm 0{,}02)\) г.