зад 1 Бистабильная система
Исследуйте механические свойства конструкции в виде ромба с пружиной. К середине каждой стороны ромба прикреплены грузы одинаковой массы. Считайте, что пружина подчиняется закону Гука. Массой пружины по сравнению с массой всей подвижной конструкции можно пренебречь. Используйте следующие обозначения:
\(2y\) — расстояние между верхним и нижним шарнирами конструкции;
\(2x\) — расстояние между левым и правым шарнирами конструкции;
\(k\) — коэффициент жёсткости пружины;
\(l_0\) — расстояние между левым и правым шарнирами конструкции при ненапряжённой пружине;
\(m\) — суммарная масса подвижных частей конструкции;
\(F\) — вертикальная сила, которую нужно приложить к верхнему шарниру для обеспечения равновесия конструкции при заданном значении \(y\).
В данной работе погрешности оценивать не нужно.
0. Запишите нечётный номер, указанный в нижней части направляющих конструкции.
Снимите с наибольшей точностью зависимость силы \(F\) от расстояния \(y\) во всём диапазоне возможных значений \(y\). Для каждого измерения \(F\) и \(y\) укажите соответствующую величину \(x\).
Постройте график полученной зависимости \(F(y)\).
Получите теоретическую зависимость между \(F\) и \(x, y, l_0, m, k\). Запишите эту зависимость в виде \(F = \dots\), где выражение справа от знака равенства содержит \(x, y, l_0, m, k\). При выводе теоретической зависимости трением пренебречь.
Используя полученную зависимость \(F(x, y, l_0, m, k)\), а также точки экспериментального графика \(F(y)\), определите величину \(l_0\).
Обозначьте \(W = y\left(2 - \dfrac{l_0}{x}\right)\). Проверьте, является ли функция \(F = F(W)\) линейной.
Постройте график зависимости \(F(W)\). С помощью этого графика определите коэффициент жёсткости пружины \(k\) и массу конструкции \(m\).
Оборудование: механическая система, закреплённая на столе; линейка; бутылка пластиковая 0,5 л массой 19 г; шприц 20 мл; стакан с водой 0,4 л; нитки; динамометр; миллиметровая бумага А4 для построения графиков; салфетки. Примечание: разбирать механическую систему (отвинчивать гайки, снимать пружину) запрещено!
▶ПодсказкаСкрыть
Удобно записать работу внешних сил при малом смещении верхнего шарнира и связать смещения \(\Delta x\) и \(\Delta y\) через условие постоянства длины стороны ромба.
▶ОтветСкрыть
4) \(l_0 \approx 83\) мм; 5) функция линейна, \(F = kW - \dfrac{mg}{2}\); 6) \(k = 26\) Н/м, \(m = 390\) г.
▶РешениеСкрыть
Измерения. Силу \(F\) создаём подвешенной на нити бутылкой, в которую шприцом наливаем известный объём воды: так сила регулируется точнее, чем динамометром во всём диапазоне \(y\) (динамометр сложно держать вертикально). Величину \(2y\) измеряем линейкой, \(2x\) — непосредственно или по теореме Пифагора, предварительно измерив сторону ромба \(a = 190\) мм. Пружина имеет начальное сжатие, её длина начинает расти только после того, как сила \(F\) превысит некоторое значение. Каждому значению \(F\) соответствуют два положения равновесия — верхнее устойчивое и нижнее неустойчивое, поэтому для каждой массы измеряем оба значения \(y\).
Теоретическая зависимость. Пусть сторона ромба равна \(a\): \(x^2 + y^2 = a^2\). При малом смещении верхнего шарнира вертикальная диагональ уменьшается на \(2\Delta y\), центр масс опускается на \(\Delta y\), горизонтальная диагональ (дополнительное растяжение пружины) увеличивается на \(2\Delta x\). Из условия постоянства стороны \((x+\Delta x)^2 + (y-\Delta y)^2 = a^2\) с точностью до малых первого порядка получаем \[\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{y}{x}.\] Суммарная работа внешних сил равна нулю: \[F\cdot 2\Delta y + mg\,\Delta y - k(2x - l_0)\cdot 2\Delta x = 0,\] откуда \[F = k(2x - l_0)\,\frac{y}{x} - \frac{mg}{2}.\]
Определение \(l_0\). Верхнее и нижнее положения равновесия соответствуют одной и той же силе \(F\): \[k(2x_в - l_0)\frac{y_в}{x_в} = k(2x_н - l_0)\frac{y_н}{x_н},\] откуда \[l_0 = \frac{2(y_в - y_н)}{\dfrac{y_в}{x_в} - \dfrac{y_н}{x_н}}.\] Для \(y_в = 174\) мм, \(x_в = 76\) мм, \(y_н = 108\) мм, \(x_н = 156\) мм (при \(F = 2{,}2\) Н) получаем \(l_0 \approx 83\) мм; для другой пары значений результат такой же.
Линейность. Так как \(2y - l_0\dfrac{y}{x} = y\left(2 - \dfrac{l_0}{x}\right) = W\), то \[F = kW - \frac{mg}{2},\] то есть функция \(F(W)\) линейна. Для построения используем значения нижнего положения равновесия: пружина в этом случае растянута во всём диапазоне измерений. Значения \(W\) приведены в таблице.
По угловому коэффициенту прямой \(k = 26\) Н/м, по пересечению с осью ординат \(m = 390\) г.
зад 2 Терморезистор
Терморезистор (термистор, термосопротивление) — полупроводниковый прибор, электрическое сопротивление которого зависит от его температуры. Вам необходимо найти зависимость сопротивления данного терморезистора от его температуры. В процессе исследования терморезистор будет нагреваться, поэтому он закреплён внутри зажима для бумаги. Перед выполнением измерений убедитесь, что терморезистор не касается внутренних поверхностей зажима, а выводы зажаты через изоляцию. В оборудовании используются маркированные резисторы, на которых указана максимальная рассеиваемая мощность и их сопротивление. Например, надпись «5W30RJ» означает: 5 Ватт, 30 Ом. В качестве источника питания используется регулируемый адаптер; индикатор на адаптере не является измерительным прибором. В данной работе погрешности оценивать не нужно.
0. Запишите номер терморезистора, указанный на зажиме, и комнатную температуру, указанную организаторами в аудитории.
После изменения параметров цепи температура терморезистора стабилизируется примерно через 2 минуты. Используя выданное оборудование, исследуйте зависимость силы тока, протекающего через терморезистор, от напряжения на нём для стабилизированных состояний терморезистора. Предложите электрические схемы для исследования данной зависимости в диапазонах \((0; 0{,}10)\) А, \((0{,}10; 0{,}40)\) А и \((0{,}40; 1{,}0)\) А. Допустимая сила тока через данный терморезистор не должна превышать \(I_{\max} = 1{,}0\) А. Мультиметр разрешается использовать только в режиме вольтметра. В процессе проведения эксперимента нельзя допускать, чтобы тепловая мощность тока в резисторе превышала 50% его максимальной мощности.
Постройте график исследованной зависимости \(I(U)\).
Известно, что при температуре \(95\,^\circ\)C сопротивление выданного терморезистора \(3{,}5\) Ом. Найдите, при каких температурах терморезистора его сопротивление равно \(2\) Ом, \(10\) Ом и \(15\) Ом соответственно. Можно считать, что коэффициент теплоотдачи при проведении измерений постоянен.
Оборудование: зажим с терморезистором внутри, мультиметр в режиме вольтметра, спаянные сопротивления и разъём для источника, источник питания (регулируемый адаптер), два провода с крокодилами, миллиметровка для построения графиков.
▶ПодсказкаСкрыть
Напряжение на терморезисторе мультиметром измеряется напрямую, а ток находится по известному последовательному резистору. Для стабилизированного состояния мощность \(P = IU\) связана с температурой законом Ньютона–Рихмана \(P = \alpha(T - T_0)\).
▶ОтветСкрыть
2) см. график в решении; 3) \(T_{15} \approx 32\,^\circ\)C, \(T_{10} \approx 54\,^\circ\)C, \(T_{2} \approx 126\,^\circ\)C (при \(\alpha \approx 0{,}0077\) Вт/\(^\circ\)C).
▶РешениеСкрыть
Комнатная температура в аудитории \(T_0 = 22\,^\circ\)C. Диапазон напряжения адаптера — от 3,90 В до 12,0 В.
Мультиметр один, поэтому напряжение на терморезисторе мы измеряем им в режиме вольтметра напрямую с терморезистора, а силу тока находим, измеряя напряжение на известном сопротивлении: \(I_{тр} = U_{AB}/R_{AB}\). Разрывать цепь во время измерений нельзя, иначе стационарный режим терморезистора не установится.
Схема 2 (резистор \(10\) Ом) самая простая, но через этот резистор не должен протекать ток, превышающий значение, при котором его мощность больше 50% максимальной: \[I_{2\max} = \sqrt{\frac{0{,}5P_{\max}}{R}} \approx 0{,}71~\text{А},\] такой ток недостаточен для получения всей зависимости. Схема 1 (два резистора \(10\) Ом параллельно, \(5\) Ом) позволяет пропускать через терморезистор ток до \(1\) А. Схемы 3 и 4 — делители напряжения с резисторами \(2{,}2\) Ом и \(10\) Ом — дают малые токи. Напряжение на адаптере в каждой схеме подбирается так, чтобы перекрывать соседний диапазон токов.
Мощность и сопротивление терморезистора: \(N_{тр} = I_{тр}U_{тр}\), \(R_{тр} = U_{тр}/I_{тр}\). Значения показаний и расчётов:
Для коэффициента теплоотдачи используем закон Ньютона–Рихмана: \[P_{95} = \alpha(95\,^\circ\text{C} - 22\,^\circ\text{C}).\] Мощность, рассеиваемая резистором \(3{,}5\) Ом в точке пересечения его ВАХ с найденной зависимостью, \(P_{95} = 0{,}40~\text{А}\cdot 1{,}4~\text{В} = 0{,}56\) Вт, откуда \[\alpha = 0{,}0077~\text{Вт}/\,^\circ\text{C}.\] Точки пересечения ВАХ резисторов \(2\) Ом, \(10\) Ом и \(15\) Ом с исследуемой зависимостью дают ток и напряжение; их произведение — мощность, по которой с учётом \(\alpha\) находим температуру: \(T_{15} \approx 32\,^\circ\)C, \(T_{10} \approx 54\,^\circ\)C, \(T_{2} \approx 126\,^\circ\)C.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2022/23, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.