ВсОШ, 2023/24, региональный этап, 11 класс, теоретический тур

Подсказка

Центр масс трёх досок движется равномерно — найдите, где он относительно доски \(a\) в начале и в конце. Сила трения пропорциональна длине перекрытия досок \(a\) и \(c\), поэтому относительное движение — четверть периода гармонических колебаний с амплитудой \(L\).

Ответ

\(\Delta x = \dfrac{2(\pi + 1)L}{3}\).

Решение

Пусть \(v_0\) — скорость досок \(a\) и \(b\) до соударения с доской \(c\), а \(m\) — масса каждой из досок. Поскольку трения между досками \(a\) и \(b\) нет, а доски \(b\) и \(c\) при ударе скрепляются — сразу после удара скорость доски \(a\) равна \(v_0\), а скорость досок \(b\) и \(c\) равна \(v_0/2\) из закона сохранения импульса.

Введём ось \(x\) по направлению скорости \(v_0\). Поскольку горизонтальная поверхность гладкая — центр масс системы движется с постоянной скоростью, равной \(v_\text{цм} = 2v_0/3\). В момент удара центр масс системы опережает центр доски \(a\) на величину \(l/3\), а к моменту, когда доска \(a\) целиком оказалась на доске \(c\), центр масс системы отстаёт от центра доски на ту же величину \(l/3\). Тогда для перемещения доски \(a\) получим: \[\Delta x = \Delta x_\text{цм} + \frac{2l}{3} = \frac{2(v_0\tau + l)}{3},\] где \(\tau\) — время движения доски \(a\) относительно досок \(b\) и \(c\). Далее объединим доски \(b\) и \(c\) в одно тело массой \(2m\) и будем характеризовать его индексом 2. Доску \(a\) будем характеризовать индексом 1. Пусть \(\vec F\) — сила трения, действующая на первое тело со стороны второго, а \(x\) — их относительное перемещение после удара. Отметим, что трение происходит только в области перекрытия досок \(a\) и \(c\). Величина силы трения скольжения прямо пропорциональна силе нормальной реакции шероховатой части поверхности опоры, и поэтому \(F_x = -\mu mgx/l\). Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел: \[m\vec a_1 = \vec F, \qquad 2m\vec a_2 = -\vec F,\] откуда:

\[\vec a_1 - \vec a_2 = \vec a_\text{отн} = \frac{\vec F}{m} + \frac{\vec F}{2m} = \frac{2\vec F}{3m}.\] Тогда получим уравнение движения для переменной \(x\): \[\ddot x = -\frac{2\mu g x}{3L}.\] Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой \(\omega_0 = \sqrt{2\mu g/3L}\). Его общее решение: \[x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0).\] Определим \(A\) и \(\varphi_0\) из начальных условий: \[\begin{cases} x(0) = A\sin\varphi_0 = 0\\[2pt] \dot x(0) = \dfrac{v_0}{2} = \omega A\cos\varphi_0 \end{cases} \;\Rightarrow\; \begin{cases} \varphi_0 = 0\\[2pt] A = \dfrac{v_0}{2\omega} \end{cases}\] Величина \(A\) имеет смысл амплитуды колебаний, которая также равна \(L\), поскольку относительное движение досок прекращается, когда доска \(a\) целиком оказывается на доске \(c\). Таким образом, имеем связь: \[\frac{v_0}{2\omega} = L.\] Время движения \(\tau\) является четвертью периода гармонических колебаний с циклической частотой \(\omega_0\), откуда: \[\tau = \frac{\pi}{2\omega}.\] Тогда для перемещения центра масс имеем: \[\Delta x_\text{цм} = \frac{2v_0\tau}{3} = \frac{2\pi L}{3},\] и окончательно находим: \[\Delta x = \Delta x_\text{цм} + \frac{2L}{3} = \frac{2(\pi + 1)L}{3}.\]

Подсказка

Проталкивая порцию \(d\nu\) в сосуд при постоянном давлении, насос совершает работу \(p\,dV = RT_0\,d\nu\). Запишите первое начало для всего газа, оказавшегося в сосуде, и уравнения состояния в начале и в конце.

Ответ

1) \(\dfrac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = \dfrac27 + \dfrac{5p_1}{7p_0}\);  2) \(T_1 = \dfrac{T_0}{\dfrac{2p_0}{7p_1} + \dfrac57}\).

Решение

Пусть \(V\) — объём сосуда, \(\nu_0\) — начальное количество вещества в сосуде, а \(\Delta\nu\) — количество вещества, переместившееся в сосуд из атмосферы. Запишем уравнения состояния газа в сосуде до и после закачивания: \[p_0V = \nu_0RT_0, \qquad p_1V = (\nu_0 + \Delta\nu)RT_1.\] Пусть давление воздуха внутри насоса равняется \(p_\text{в}\), а \(dV_\text{в}\) — объём, занимаемый порцией воздуха в количестве вещества \(d\nu\) внутри насоса. При закачивании указанной порции воздуха в сосуд насос совершает механическую работу \(\delta A_\text{н}\), равную: \[\delta A_\text{н} = p_\text{в}\,dV_\text{в}.\] Но из уравнения Менделеева–Клапейрона \(p_\text{в}\,dV_\text{в} = RT_0\,d\nu\), поэтому: \[\delta A_\text{н} = RT_0\,d\nu.\] Таким образом, полная механическая работа насоса \(A_\text{н}\) составляет: \[A_\text{н} = \Delta\nu RT_0.\] Запишем первое начало термодинамики для системы, состоящей из изначально находившегося в сосуде газа и закачанного в него насосом: \[A_\text{н} + U_0 + U_1 = U_\text{к}.\] Здесь \(U_0 = \nu_0C_VT_0\) — начальная внутренняя энергия воздуха, изначально находившегося в сосуде, \(U_1 = \Delta\nu C_VT_0\) — сумма внутренних энергий закачиваемого воздуха на этапе закачивания в сосуд, а \(U_\text{к} = (\nu_0 + \Delta\nu)C_VT_1\) — конечная внутренняя энергия рассматриваемой системы. Молярная теплоёмкость воздуха при постоянном объёме равна \(C_V = 5R/2\). Отсюда: \[\Delta\nu RT_0 + \frac{5\nu_0RT_0}{2} + \frac{5\Delta\nu RT_0}{2} = \frac{5(\nu_0 + \Delta\nu)RT_1}{2}.\] Таким образом: \[\frac{T_1}{T_0} = \frac{5\nu_0 + 7\Delta\nu}{5(\nu_0 + \Delta\nu)} = \frac{p_1}{p_0}\,\frac{\nu_0}{(\nu_0 + \Delta\nu)} \;\Rightarrow\; \frac{\Delta\nu}{\nu_0} = \frac57\left(\frac{p_1}{p_0} - 1\right).\] Для отношения количеств вещества воздуха в сосуде после завершения процессов с насосом и до их начала имеем: \[\frac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = 1 + \frac{\Delta\nu}{\nu_0},\] откуда: \[\frac{\nu_\text{к}}{\nu_0} = \frac27 + \frac{5p_1}{7p_0}.\] Для отношения температур \(T_1/T_0\) имеем: \[\frac{T_1}{T_0} = \frac{p_1}{p_0}\,\frac{\nu_0}{\nu_\text{к}}.\] Таким образом: \[T_1 = \frac{T_0}{\dfrac{2p_0}{7p_1} + \dfrac57}.\]

Подсказка

Из равновесия всей системы (нить с грузом) \(\vec T + m\vec g + \lambda L\vec E = 0\) находятся проекции поля через натяжение \(T\) в точке крепления. Вторая связь — между натяжениями на концах нити: мысленно протяните нить вдоль самой себя на \(dl\) и приравняйте работу натяжений изменению энергии нити в поле.

Ответ

\(E = \dfrac{mg}{\lambda L}\sqrt{1 + \left(\dfrac{L - H}{L - S}\right)^2}\).

Решение

Пусть \(\vec T\) — сила, действующая на нить в точке её крепления, равная по модулю силе натяжения нити в данной точке. Тогда, поскольку система расположена в равновесии: \[\vec T + m\vec g + \lambda L\vec E = 0.\] Введём систему координат \(xy\), где ось \(x\) направлена вправо, а ось \(y\) — вертикально вверх. Тогда из условия равновесия: \[E_y = \frac{mg}{\lambda L}, \qquad E_x = \frac{T}{\lambda L}.\] Свяжем силы натяжения нити \(T_0 = mg\) в точке крепления груза и \(T\) в точке крепления нити. Приведём два способа получения данной связи.

Первый способ. Воспользуемся методом виртуальных перемещений. Мысленно поместим нить в гладкую трубку, повторяющую форму нити. Это не изменит силу натяжения, потому что нить с трубкой не взаимодействует. Сдвинем нить вдоль трубки на величину \(dl\) в направлении от точки крепления груза к точке крепления нити. Тогда изменение формы нити эквивалентно перемещению участка нити длиной \(dl\) из точки крепления груза в точку крепления нити, поскольку форма остальной части нити не изменится. Поскольку сила натяжения невесомой нити направлена вдоль нити, работа сил, приложенных к концам нити, на указанном виртуальном перемещении равна: \[\delta A = T\,dl - T_0\,dl = T\,dl - mg\,dl.\] Совершаемая силами натяжения работа равна изменению потенциальной энергии нити в электростатическом поле: \[\delta A = dW_p.\] Поскольку перемещение нити эквивалентно перемещению её участка длиной \(dl\) из точки крепления груза в точку крепления нити — изменение потенциальной энергии нити в электростатическом поле равно изменению потенциальной энергии соответствующего участка нити: \[dW_p = \lambda\,dl\,(\varphi - \varphi_0) = \lambda\,dl\,\Delta\varphi,\] где \(\varphi\) и \(\varphi_0\) — потенциалы электростатического поля в точках крепления нити и груза соответственно. Для изменения потенциала \(\Delta\varphi\) имеем: \[\Delta\varphi = -E_x(x - x_0) - E_y(y - y_0).\] Поскольку \(x - x_0 = -S\), а \(y - y_0 = H\), для изменения потенциала \(\Delta\varphi\) находим: \[\Delta\varphi = E_xS - E_yH.\] Таким образом: \[T - mg = \lambda(E_xS - E_yH).\]

Второй способ. Рассмотрим бесконечно малый элемент нити длиной \(dl\). Условие его равновесия записывается следующим образом: \[\left(\vec T + d\vec T\right) - \vec T + \vec E\lambda\,dl = 0.\] Проецируя на направление касательной к нити, получим: \[dT + \lambda E_\parallel\,dl = 0.\] Пусть касательная к нити образует угол \(\varphi\) с вертикалью. Тогда для \(E_\parallel\) имеем:

\[E_\parallel = E\cos\varphi - E\sin\varphi,\] откуда: \[dT + E_y\lambda\,dl\cos\varphi - E_x\lambda\,dl\sin\varphi = 0.\] Но при этом \(dl\cos\varphi = dy\), а \(dl\sin\varphi = -dx\), откуда: \[dT + E_y\lambda\,dy + E_x\lambda\,dx = 0.\] Суммируя, получим: \[T - T_0 = T - mg = -E_y\lambda(y - y_0) - E_x\lambda(x - x_0).\] Поскольку \(y - y_0 = H\), а \(x - x_0 = -S\), получим: \[T - mg = \lambda(E_xS - E_yH).\]

Но поскольку \(T = \lambda LE_x\): \[\lambda LE_x - mg = \lambda(SE_x - HE_y) = \lambda SE_x - \lambda H\cdot\frac{mg}{\lambda L} \;\Rightarrow\; E_x = \frac{mg}{\lambda L}\,\frac{L - H}{L - S}.\] Для напряжённости электростатического поля имеем: \[E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2},\] откуда: \[E = \frac{mg}{\lambda L}\sqrt{1 + \left(\frac{L - H}{L - S}\right)^2}.\]

Подсказка

Частица идёт по винтовой линии с постоянной по модулю скоростью. В самом начале \(r \approx vt\); а прямая \(r = v_\parallel t\) лежит не выше графика и касается его в моменты, кратные периоду обращения.

Ответ

1) \(v \approx 7\text{ км/с}\);  2) \(\alpha \approx 74^\circ\) или \(\alpha \approx 106^\circ\);  3) \(B \approx 35\text{ мТл}\);  4) \(L_{AB} \approx 5{,}0\text{ см}\).

Решение

Постоянное магнитное поле не совершает работы над заряженной частицей, и поэтому, если пренебречь излучением, модуль скорости частицы не изменяется. Поэтому величина скорости частицы равна величине скорости при \(t = 0\).

Отметим, что при конечных ускорениях всегда существует такой «малый» интервал времени после начала движения, на котором скорость удаления частицы от начального положения примерно равна начальной скорости, то есть можно считать, что \(r \approx vt\). Поэтому для нахождения скорости частицы проведём касательную к графику функции в начале координат (верхняя прямая на графике). Величина скорости при этом численно равна тангенсу угла наклона этой прямой: \[v = \frac{9{,}8\text{ см}}{14\text{ мкс}} \approx 7\text{ км/с}.\]

Направим ось \(z\) вдоль вектора индукции магнитного поля, выбирая для простоты начало координат так, чтобы \(z = 0\) при \(t = 0\). Обозначим \(v_\parallel\) проекцию вектора скорости частицы на ось \(z\), а \(v_\perp\) — величину перпендикулярной этой оси составляющей. Так как сила Лоренца, действующая на частицу, не имеет составляющей вдоль оси \(z\), \[z(t) = v_\parallel t.\] В сечении, перпендикулярном оси \(z\), движение частицы происходит по окружности с постоянной скоростью \(v_\perp\). Радиус этой окружности равен \[R = \frac{mv_\perp}{qB},\] где \(B\) — модуль вектора магнитной индукции, а время одного оборота \[T = \frac{2\pi R}{v_\perp} = \frac{2\pi m}{qB}.\] Таким образом, траектория частицы представляет собой винтовую линию с шагом \(h = v_\parallel T\) и радиусом \(R = v_\perp T/(2\pi)\). Выбирая оставшиеся оси координат максимально удобным способом, можно записать, что \[x(t) = R\cos(2\pi t/T), \qquad y(t) = R\sin(2\pi t/T),\] откуда, учитывая, что в момент \(t = 0\) частица находилась в точке с координатами \(x = R\), \(y = z = 0\), получим формулу зависимости модуля её перемещения от времени: \[r(t) = \sqrt{(x(t) - R)^2 + y(t)^2 + z(t)^2} = \sqrt{v_\parallel^2t^2 + 4R^2\sin^2(\pi t/T)}.\]

Возьмём теперь выражение для \(r(t)\) и поделим его на \(t\): \[\frac{r(t)}{t} = \sqrt{v_\parallel^2 + 4R^2\cdot\left(\frac{\sin(\pi t/T)}{t}\right)^2}.\] Второе слагаемое в подкоренном выражении при любом \(t\) не может быть меньше нуля, следовательно \(r(t)/t \geqslant v_\parallel\). Это значит, что прямая, идущая в координатах \(r\)–\(t\) из начала, имеющая общие точки с приведённым в условии графиком и обладающая наименьшим угловым коэффициентом, является прямой \(r = |v_\parallel|t\). Соответственно, для того чтобы определить \(v_\parallel\), проведём касательную из начала координат к нижней части графика (нижняя прямая на рисунке). Точки касания соответствуют ситуации, когда частица находится на прямой, проходящей через начальную точку и параллельной линиям магнитного поля. Тангенс наклона такой прямой численно равен \(|v_\parallel|\): \[|v_\parallel| = \frac{7{,}6\text{ см}}{40\text{ мкс}} = 1{,}9\text{ км/с}.\] Отсюда находим, что \[\cos\alpha = \frac{v_\parallel}{v} = \pm\frac{1{,}9}{7} \approx \pm0{,}271 \quad\Rightarrow\quad \alpha \approx 74^\circ \quad\text{или}\quad \alpha \approx 106^\circ.\]

Точки касания нижней прямой располагаются через равные промежутки времени, равные времени \(T\) прохода частицей одного витка винтовой линии. Для увеличения точности возьмём крайнюю (третью) точку касания и определим значение \(T\): \[T = 34\text{ мкс}/3 \approx 11{,}3\text{ мкс}.\] Отсюда получим, что \[B = \frac{2\pi m}{qT} = \frac{2\cdot3{,}14\cdot10^{-26}\text{ кг}}{1{,}6\cdot10^{-19}\text{ Кл}\cdot11{,}3\cdot10^{-6}\text{ с}} \approx 35\text{ мТл}.\]

Между положениями \(A\) и \(B\) прошло время, равное \[t_{AB} = 39\text{ мкс} - 14\text{ мкс} = 25\text{ мкс}.\] За это время частица сместилась вдоль линий магнитного поля на расстояние \[\Delta z = |v_\parallel|t_{AB} = 4{,}75\text{ см}.\] В проекции на перпендикулярную магнитному полю плоскость частица движется по окружности с радиусом \[R = (v_\perp T)/2\pi = T/2\pi\cdot\sqrt{v^2 - v_\parallel^2} \approx 1{,}21\text{ см}.\] Её смещение в этой плоскости равно \[\Delta l = 2R\sin(\pi t_{AB}/T) \approx 1{,}50\text{ см}.\] Отсюда получим значение расстояния \(AB\): \[L_{AB} = \sqrt{\Delta l^2 + \Delta z^2} \approx 5{,}0\text{ см}.\]

Подсказка

По обратимости хода лучей две точки должны быть действительными изображениями друг друга, а третья — давать мнимое изображение в одну из них. Запишите формулу линзы для двух источников, считая расстояния вдоль оси равными расстояниям вдоль \(MN\), умноженным на \(\cos\alpha\).

Ответ

1) собирающая;  2) возможны оба варианта — и справа, и слева от \(B\);  3) \(d = l/3\);  4) \(\alpha = \arccos\dfrac{9F}{4l}\), или \(\alpha \approx \sqrt{\dfrac{4l - 9F}{2l}}\).

Решение

Если линза рассеивающая, то, независимо от положения источника, его изображение будет мнимым, расположенным между источником и оптическим центром линзы. После перемещения источника в точку, где ранее было расположено его изображение, новое изображение окажется снова между источником и оптическим центром линзы. Получится бесконечная цепочка изображений. Таким образом, три точки с указанным свойством в случае рассеивающей линзы существовать не могут.

Линза может быть только собирающей.

Мнимое изображение в собирающей линзе всегда расположено дальше от линзы, чем источник, поэтому не может быть, что точки \(A\), \(B\) и \(C\) являются мнимыми изображениями друг друга. Но, в соответствии с принципом обратимости хода световых лучей, при помещении источника в точку действительного изображения, его новое изображение совпадает с предыдущим положением источника. Поэтому описанным в условии свойством три точки могут обладать только в том случае, если две из них являются действительными изображениями друг друга, а при помещении источника в третью он даёт мнимое изображение в одной из точек этой пары. Пусть, например, собирающая линза расположена так, что точка \(A\) находится за её фокальной плоскостью. Тогда изображение \(A\) будет действительным и будет расположено по другую сторону от плоскости линзы. При перемещении источника в точку этого изображения, новое изображение вернётся в точку \(A\). Оставшееся, третье положение источника, должно давать мнимое изображение в одной из первых двух точек. Значит, оно должно располагаться между этой точкой (своим изображением) и оптическим центром линзы \(O\) ближе фокальной плоскости линзы. В этом случае линза могла быть расположена двумя способами (см. рисунок): а) оптический центр линзы находится между точками \(B\) и \(C\), причём источник в точке \(B\) даёт мнимое изображение в точке \(A\); б) оптический центр линзы находится между точками \(A\) и \(B\), причём источник в точке \(B\) даёт мнимое изображение в точке \(C\).

Таким образом, оптический центр линзы мог располагаться как справа, так и слева от точки \(B\).

Если же источник сначала расположить между фокальной плоскостью и плоскостью линзы, то изображение будет получаться мнимым. При помещении источника в точку изображения новое изображение должно получиться действительным (по другую сторону плоскости линзы). И при перемещении источника в оставшуюся, третью точку, изображение окажется на месте, где источник располагался ранее. Этот вариант идентичен представленному ранее и отдельного рассмотрения не требует.

Рассмотрим только способ а) размещения линзы, так как способ б) аналогичен. Источник, расположенный в точке \(B\) на расстоянии меньшем фокусного, даёт мнимое изображение в точке \(A\). При помещении источника в точку \(A\) возникает действительное изображение в точке \(C\), при помещении источника в точку \(C\) — действительное изображение в точке \(A\). Обозначим расстояние между оптическим центром линзы и источником, угол между главной оптической осью линзы и прямой и фокусное расстояние линзы за \(d\), \(\alpha\) и \(F\) соответственно. Запишем формулу тонкой линзы для варианта расположения источника в точке \(B\): \[\frac{1}{d\cos\alpha} - \frac{1}{(l + d)\cos\alpha} = \frac1F.\] Запишем формулу тонкой линзы для варианта расположения источника в точке \(A\): \[\frac{1}{(l + d)\cos\alpha} + \frac{1}{(l - d)\cos\alpha} = \frac1F.\] Решая систему, находим \(d\) и \(\alpha\).

Расстояние между оптическим центром линзы и точкой \(B\) равно \(d = l/3\).

Решение системы уравнений даёт: \(\cos\alpha = \dfrac{9F}{4l}\), откуда \(\alpha = \arccos\dfrac{9F}{4l}\). Поскольку в условии сказано, что угол \(\alpha\) является малым, то допустимо на любом этапе вычислений использовать приближённое равенство \(\cos\alpha \approx 1 - \alpha^2/2\). Тогда приходим к формуле \(\alpha \approx \sqrt{\dfrac{4l - 9F}{2l}}\). Отметим, что малость угла означает, что с точностью до поправок порядка \(\alpha^2\) параметры системы связаны соотношением \(l \approx \dfrac94F\).

Угол между главной оптической осью линзы и прямой \(MN\) равен \(\alpha = \arccos\dfrac{9F}{4l}\) или \(\alpha \approx \sqrt{\dfrac{4l - 9F}{2l}}\).