ВсОШ, 2023/24, региональный этап, 9 класс, теоретический тур

Подсказка

Нарисуйте график скорости от времени: путь — площадь под ним. Если лифт успевает разогнаться до \(v_0\), время подъёма линейно зависит от числа этажей. Для одного этажа проверьте, успевает ли он вообще набрать \(v_0\).

Ответ

1) \(t_3 = \dfrac{t_2 + t_4}{2} = 6{,}5\) с;  2) \(t_1 = \sqrt{2(t_4 - t_2)(2t_2 - t_4)} = 2\sqrt3 \approx 3{,}5\) с.

Решение

Лифт преодолевает необходимую дистанцию (\(n\) этажей высотой \(l_0\) каждый) за минимально возможное время \(t\), если разгоняется с ускорением \(a_0\) до скорости \(v_0\), далее двигается с постоянной скоростью \(v_0\) в течение времени \(t - 2v_0/a_0\) и тормозит до полной остановки за время \(v_0/a_0\).

Начертим соответствующий график скорости лифта от времени. Площадь под ним пропорциональна пройденному пути:

\[nl_0 = \frac{t + \left(t - \frac{2v_0}{a_0}\right)}{2}\,v_0.\] Откуда \[t(n) = \frac{nl_0}{v_0} + \frac{v_0}{a_0}.\] Однако эта формула верна лишь при \(t - 2v_0/a_0 > 0\), т. е. только в том случае, когда лифт успевает достичь максимальной скорости \(v_0\) по скорости. Это условие можно переписать в виде: \(n > \dfrac{v_0^2}{a_0 l_0}\).

Если лифт не успевает достичь максимальной скорости \(v_0\), то оптимальным по времени становится следующая стратегия зависимости скорости от времени. Необходимо половину времени ускоряться с \(a_0\) и половину времени замедляться с тем же по модулю ускорением. График зависимости скорости от времени представлен на рисунке.

В этом случае пройденный путь равен \[nl_0 = \frac{\frac{a_0 t}{2}\,t}{2}.\] Откуда \[t(n) = 2\sqrt{\frac{nl_0}{a_0}}.\] По условию, обе точки принадлежат случаю \(t(n) = \dfrac{nl_0}{v_0} + \dfrac{v_0}{a_0}\): \[\begin{cases} t_2 = \dfrac{2l_0}{v_0} + \dfrac{v_0}{a_0},\\[2mm] t_4 = \dfrac{4l_0}{v_0} + \dfrac{v_0}{a_0}. \end{cases}\] Тогда \[t_3 = \frac{3l_0}{v_0} + \frac{v_0}{a_0} = \frac{t_2 + t_4}{2} = 6{,}5\text{ с}.\] Из системы найдём \[n_\text{крит} = \frac{v_0^2}{a_0 l_0} = \frac{2(2t_2 - t_4)}{t_4 - t_2} = \frac43 > 1,\] то есть при подъёме на один этаж лифт не достигает максимально возможной скорости. Так что \[t_1 = 2\sqrt{\frac{l_0}{a_0}} = \sqrt{2(t_4 - t_2)(2t_2 - t_4)} = 2\sqrt3 \approx 3{,}5\text{ с}.\]

Подсказка

Сравните давления у дна двух сосудов. С поршнем уровни сравняются на высоте \(5H/4\) — проверьте, не опустится ли при этом граница жидкостей в левом сосуде до трубочки: от этого зависит ответ.

Ответ

1) \(\rho_2 = \rho_1\left(1 - \dfrac{H}{2h}\right)\);  2) при \(h < H\): \(m = \rho_1\dfrac{H}{2}S\); при \(\dfrac{5H}{4} > h > H\): \(m = \rho_1\dfrac{H(2H - h)}{2h}S\).

Решение

Плотность \(\rho_2\) находим из условия равенства давлений жидкости у дна в левом и правом сосудах: \[\rho_2 g h + \rho_1 g\left(\frac32 H - h\right) = \rho_1 g H,\] \[\rho_2 = \rho_1\left(1 - \frac{H}{2h}\right).\] Уровни жидкости в двух половинках сосуда сравняются и станут равны \(\dfrac{5H}{4}\), т. е. в левом сосуде уровень опустится на \(\dfrac{H}{4}\), а в правом поднимется на \(\dfrac{H}{4}\). Следует также иметь в виду, что согласно условию \(h\) всегда больше \(\dfrac{H}{2}\) (\(h > \dfrac{H}{2}\)).

В зависимости от величины \(h\) в задаче возможны 2 случая.

1. \(h < H\), нижняя граница второй жидкости не опустится до уровня трубочки. В этом случае масса поршня находится из условия равенства давлений у дна сосуда: \[\frac{mg}{S} + \rho_2 g h + \rho_1 g\left(\frac{5H}{4} - h\right) = \rho_1 g\,\frac{5H}{4}.\] Откуда \[m = (\rho_1 - \rho_2)hS = \rho_1\frac{H}{2}S.\]

2. В случае \(\dfrac{5H}{4} > h > H\) нижний уровень жидкости с плотностью \(\rho_2\) в процессе опускания поршня дойдёт до трубочки, жидкость начнёт перетекать в правый сосуд и будет в нём всплывать вверх, так как \(\rho_2 < \rho_1\). Теперь, если считать от дна, жидкость с плотностью \(\rho_1\) в левом сосуде доходит до уровня \(\dfrac{H}{4}\), а столб жидкости с плотностью \(\rho_2\) имеет высоту \(H\). Из условия сохранения объёмов следует, что столб жидкости с \(\rho_1\) в правом сосуде теперь имеет высоту \(\left(\dfrac{9H}{4} - h\right)\), а высота столба жидкости с плотностью \(\rho_2\) равна \((h - H)\).

Отсюда получаем \[\frac{mg}{S} + \rho_2 g H + \rho_1 g\,\frac{H}{4} = \rho_1 g\left(\frac{9H}{4} - h\right) + \rho_2 g(h - H)\] или \[m = \rho_1(2H - h)S + \rho_2(h - 2H)S = \rho_1\frac{H(2H - h)}{2h}S.\]

Подсказка

Пустой сосуд нить не натягивает — значит, сила натяжения определяется только моментом веса содержимого относительно опоры. Меняться она может либо потому, что смещается центр масс содержимого, либо потому, что меняется его масса. Что должно случиться с тающей льдинкой, чтобы центр масс резко сместился?

Ответ

В конце утерянного участка оставшийся лёд всплыл (оторвался от дна);  1) \(m = 0{,}2\) кг;  2) \(P = 115\) Вт;  3) \(t_0 \approx -81\,^\circ\)C.

Решение

Отметим, что нить не натянута до помещения льда в сосуд. Это означает, что центр масс системы «рычаг + сосуд» находится по горизонтали на уровне опоры, что позволяет в уравнениях моментов исключать соответствующие слагаемые.

График имеет 4 участка. На первом, очевидно, лёд нагревается. На втором идёт плавление льда, и вода начинает стекать с льдинки в сосуд, равномерно распределяясь по его дну. Однако заканчивается этот участок раньше, чем лёд полностью успевает растаять, — в момент отрыва льдинки от дна. То есть в конце утерянного участка оставшийся лёд всплыл. Кстати, начало этого участка также не обязательно совпадает с моментом начала плавления, ведь вода может скапливаться в каких-то углублениях на льдинке и положение центра масс льда может оставаться какое-то время неизменным. Вообще, поведение на втором участке предсказать почти невозможно, поскольку процесс сильно зависит от формы куска льда, а также от того, как именно к нему будет подводиться тепло. На третьем участке в сосуде сначала тающий лёд, плавающий на поверхности воды, а потом вода, нагревающаяся до температуры кипения. На четвёртом участке вода уже достигла температуры кипения и испаряется. Изменение силы натяжения нити в начале связано с перераспределением веса содержимого по мере нагрева, а в конце — с изменением массы содержимого.

Массу льда можно найти по третьему отрезку графика из правила моментов (\(x\) — длина \(\frac18\) части рычага): \[T_3\cdot 2x = mg\cdot 3x;\] \(T_3 = 3\) Н. Откуда \(m = 0{,}2\) кг.

Мощность нагрева легко посчитать по четвёртому отрезку, зная массу, испарившуюся за известный промежуток времени. Хорошие точки на графике — \((1600\text{ с};\ 3\text{ Н})\), а также \((3200\text{ с};\ 1{,}8\text{ Н})\). Из них получаем \(\Delta T = 1{,}2\) Н, \(\Delta m = \dfrac{2\Delta T}{3g} = 0{,}08\) кг, \(\Delta\tau = 1600\) с. Откуда: \[P = \frac{L\Delta m}{\Delta\tau} = 115\text{ Вт}.\] Зная мощность, несложно посчитать начальную температуру льда (\(\tau_3 = 1600\) с — момент, когда вода закипела, начало четвёртого участка): \[t_0 = \frac{cm\Delta t_\text{воды} + \lambda m - P\tau_3}{c_\text{льда}m} \approx -81\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Перерисуйте схему так, чтобы были видны параллельные и последовательные соединения. Амперметр, включённый параллельно вольтметру, находится под тем же напряжением. Перебирайте варианты расстановки и ищите противоречие с тем, во сколько раз отличаются показания.

Ответ

1) Приборы 1, 2 и 4 — вольтметры, 3 и 5 — амперметры;  2) \(R_\text{А} = 10\) кОм, \(R_V = 50\) кОм.

Решение

Перерисуем электрическую схему.

Приборы 3 и 4 соединены параллельно, а по условию нет двух вольтметров или амперметров с одинаковыми показаниями. Поэтому один из приборов 3 и 4 должен быть вольтметром, а второй — амперметром. Давайте для определённости будем считать 3 амперметром, а 4 — вольтметром.

Предположим, что прибор номер 1 — амперметр. Через прибор 1 протекает ток, равный сумме токов через приборы 3 и 4. Тогда из двух амперметров 1 и 3 больший ток протекает через амперметр 1. Значит, через амперметр 1 протекает ток \(I_1 = 520\) мкА, а через амперметр 3 протекает ток \(I_3 = 200\) мкА. Соответственно через вольтметр 4 протекает ток \(I_1 - I_3 = 320\) мкА. Найдём внутреннее сопротивление амперметра. Амперметр 3 включён в схему параллельно вольтметру 4, значит, напряжение на амперметре 3 равно напряжению на вольтметре 4. Тогда внутреннее сопротивление амперметров \(R_A = \dfrac{U_4}{I_3}\). Напряжение на амперметре 1 равно \(U_1 = I_1 R_A = \dfrac{U_4 I_1}{I_3}\). Известно, что в схеме всего 2 амперметра. Если приборы 1 и 3 — амперметры, тогда прибор 2 должен быть вольтметром. Он показывает сумму напряжений на амперметрах 1 и 3, равную \(U_1 + U_4 = \dfrac{U_4(I_1 + I_3)}{I_3} = 3{,}6U_4\). Но по условию задачи в схеме нет двух вольтметров, показания которых различаются в 3,6 раза. Тогда мы приходим к противоречию с предположением, что прибор 1 — амперметр. Следовательно, прибор 1 — вольтметр.

Через вольтметр 1 течёт ток, равный сумме токов через амперметр 3 и вольтметр 4. Поэтому напряжение на вольтметре 1 больше, чем на вольтметре 4. Если 2 — вольтметр, то напряжение на нём равно сумме напряжений на 1 и 4. Если 5 — вольтметр, то ток через него равен сумме токов через 1 и 2, значит, напряжение на 5 больше, чем напряжение на 1 и 4. В любом случае получаем, что самое маленькое напряжение из всех вольтметров (равное 2 В) показывает вольтметр 4, а вольтметр 1 показывает среднее значение \(U_1 = 12\) В. Напряжение на приборе 2 равно сумме напряжений на вольтметрах 1 и 4. Тогда \(U_2 = U_1 + U_4 = 14\) В. Если предположить, что прибор 2 — амперметр, то сила тока через него должна быть равна \(\dfrac{U_2}{R_A} = \dfrac{U_2 I_3}{U_4} = 7I_3\). Но это не соответствует условиям задачи: по условию показания двух амперметров отличаются в \(\dfrac{520}{200} = 2{,}6\) раза. Следовательно, прибор 2 — вольтметр и его показания \(U_2 = 14\) В, а прибор 5 — амперметр. Мы узнали, на каких местах в схеме стоят амперметры и вольтметры.

Приборы 1, 2 и 4 — вольтметры, 3 и 5 — амперметры.

Теперь найдём внутренние сопротивления приборов. Сила тока через амперметр 5 равна сумме токов через амперметр 3, вольтметр 4 и вольтметр 2. Следовательно, сила тока в амперметре 3 меньше, чем в амперметре 5: \(I_3 = 200\) мкА, \(I_5 = 520\) мкА. Тогда сопротивление амперметров \[R_\text{А} = \frac{U_4}{I_3} = 10\text{ кОм}.\] Сила тока через вольтметр 1 равна сумме токов через амперметр 3 и вольтметр 4: \[I_1 = \frac{U_1}{R_V} = I_3 + \frac{U_4}{R_V}.\] Преобразуем это выражение: \(\dfrac{U_1 - U_4}{R_V} = I_3\), и выразим из него сопротивление вольтметров \[R_V = \frac{U_1 - U_4}{I_3} = 50\text{ кОм}.\]

Подсказка

Луч преломляется только на линзе — точки излома лежат в плоскостях линз. Луч, который нигде не преломился, прошёл через оптические центры. Параллельные лучи после линзы пересекаются (сами или продолжениями) в её фокальной плоскости.

Ответ

Плоскости линз — прямые через точку \(L\) и точки излома верхнего луча; оптические центры — точки пересечения этих прямых с непреломлённым нижним лучом; левая линза собирающая, правая — рассеивающая; фокусы — построение в решении.

Решение

Проведём две прямые, проходящие через точку \(L\) и точки преломления верхнего луча. Таким образом восстановим положения линз.

Поскольку нижний луч не преломляется, он должен проходить через оптические центры обеих линз (\(O_1\) и \(O_2\) на рисунке), следовательно, левая линза является собирающей, а правая — рассеивающей.

Параллельные лучи после прохождения через собирающую линзу сходятся в фокальной плоскости (точка \(A\)). Проведём прямую, параллельную левой линзе и проходящую через точку \(A\), затем опустим из оптического центра \(O_1\) собирающей линзы перпендикуляр на фокальную плоскость. Таким образом можем найти положение заднего фокуса \(F_1\) левой линзы; для нахождения переднего фокуса \(F_1\) отложим такое же расстояние от оптического центра \(O_1\).

Для нахождения фокусов рассеивающей линзы выполним дополнительные построения — проведём через оптический центр линзы \(O_2\) прямую, параллельную падающему лучу. Точка пересечения этой прямой и продолжения преломлённого луча принадлежит фокальной плоскости рассеивающей линзы (точка \(B\)). Проведём прямую, параллельную правой линзе и проходящую через точку \(B\), затем опустим из оптического центра \(O_2\) рассеивающей линзы перпендикуляр на фокальную плоскость. Таким образом можем найти положение переднего фокуса \(F_2\) правой линзы; для нахождения заднего фокуса \(F_2\) отложим такое же расстояние от оптического центра \(O_2\).