зад 1 Тепловое сопротивление
Оборудование: установка (см. рис.), струбцина для фиксации установки на столе, два куска проволоки, канцелярская кнопка, два стакана разного размера, пластиковая бутылка, термометр, два мультиметра, источник питания, три пары проводов «банан–крокодил», шприц, горячая вода и вода примерно комнатной температуры по требованию.
Погрешность мультиметра и термометра считайте равной трём единицам последнего разряда.
Расстояние \(L\) указано на установке с точностью 2 мм, радиус средней части колёсика \(r = (3{,}50 \pm 0{,}05)\) мм. Масса пластиковой бутылки \(m_0 = (16{,}2 \pm 0{,}2)\) г. Выданные куски проволоки сделаны из одного и того же неизвестного сплава, имеют длины \(l_1 = (100{,}0 \pm 0{,}2)\) см, \(l_2 = (150{,}0 \pm 0{,}2)\) см и одинаковый диаметр \(d = (0{,}150 \pm 0{,}002)\) мм. Плотность воды \(\rho = 1{,}00\) г/см\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\).
Относительным удлинением \(\varepsilon = \Delta l / l\) называется отношение изменения длины проволоки \(\Delta l\) к её начальной длине \(l\).
Модуль Юнга \(E\) характеризует упругие свойства материала проволоки и связывает её относительное удлинение \(\varepsilon\) с растягивающей силой \(F\): \[F = ES\varepsilon,\] где \(S\) — площадь поперечного сечения проволоки.
Коэффициент теплового расширения \(\beta\) характеризует изменение линейных размеров тела при изменении температуры. Длина проволоки \(l(t + \Delta t)\) при температуре \(t + \Delta t\) связана с её длиной \(l(t)\) при температуре \(t\) формулой \[l(t + \Delta t) = l(t) \cdot (1 + \beta \Delta t).\]
Важно! Для уменьшения вклада трения перед выполнением экспериментов убедитесь, что колёсико не касается транспортира и головки винта. Не прикладывайте к проволоке силу, превышающую \(3{,}0\) Н, так как это может привести к необратимым её деформациям.
Снимите зависимость относительного удлинения проволоки \(\varepsilon\) от растягивающей её силы \(F\). Постройте график полученной зависимости. Определите модуль Юнга \(E\) материала проволоки и оцените его погрешность.
Снимите зависимость относительного удлинения участка проволоки \(\varepsilon\) и напряжения \(U\) на его концах от силы тока \(I\), который течёт через него. То есть для каждого значения силы тока \(I\) определите значение \(\varepsilon\) и \(U\). Проведите эксперимент, сначала увеличивая силу тока в диапазоне от 0 А до 2 А, и затем, не выключая источник, уменьшая силу тока в том же диапазоне. Предложите две величины, выраженные через \(U\), \(I\) и \(\varepsilon\), зависимость между которыми предположительно линейна. Постройте график этой зависимости.
Предложите метод, позволяющий определить коэффициент теплового расширения \(\beta\) проволоки. Проведите серию измерений, необходимых для определения \(\beta\). Обработайте результаты измерений при помощи линеаризованного графика. Найдите значение \(\beta\) и оцените его погрешность.
▶ПодсказкаСкрыть
При нагреве проволоки и удлинение, и относительное изменение сопротивления пропорциональны \(\Delta t\). Какую величину, измеренную током и напряжением, стоит сравнить с \(\varepsilon\), чтобы получилась прямая, наклон которой даёт \(\beta/\alpha\)?
▶ОтветСкрыть
1) \(E = (113 \pm 7)\) ГПа; 2) \(\beta/\alpha = (4{,}4 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-3}\); 3) \(\beta = (1{,}7 \pm 0{,}2)\cdot 10^{-5}\) °C\(^{-1}\).
▶РешениеСкрыть
E1. Модуль Юнга. В работе использована неизолированная медная проволока. Относительное удлинение \(\varepsilon\) считалось по углу поворота стрелки \(\varphi\) (колёсико радиусом \(r\), плечо \(L\)), сила \(F = \rho V g + m_0 g\), где \(V\) — объём налитой воды; погрешность \(\Delta\varepsilon = (\pi/180^\circ)\cdot 1^\circ\cdot r/L = 6\cdot 10^{-5}\), погрешность силы — \(\Delta F = (0{,}5~\text{мл}/20~\text{мл})\cdot F\). Таблица измерений:
График \(\varepsilon(F)\) в пределах погрешности линеен; наблюдаемый сдвиг по оси \(F\) может быть связан с трением между колёсиком и осью.
Угловой коэффициент сглаживающей прямой \(k_1 = 1/(ES) = (0{,}50 \pm 0{,}03)\cdot 10^{-3}\) Н\(^{-1}\), где \(S = \pi d^2/4\). Тогда модуль Юнга \(E = 1/(k_1 S) = (113 \pm 7)\) ГПа (табличное значение для меди \(E_{\text{Cu}} = 118\) ГПа).
E2. Нагревание током. Проволоку подключают по схеме: источник, амперметр последовательно с куском проволоки, вольтметр параллельно проволоке. К свободному концу длинного куска проволоки подвешивают пустую бутылку и наливают около 100 мл воды, чтобы преодолеть зону застоя, связанную с трением в оси колёсика. Ток увеличивают, затем уменьшают («нагревание» и «остывание»). При объёме воды \(V > 60\) мл гистерезис проявляется всегда.
Сопротивление \(R = U/I\), относительное удлинение \(\varepsilon\) — по углу. Таблица данных:
Так как \(R = R_0(1 + \alpha\Delta t)\), то \(\Delta R/R_0 = \alpha\Delta t\), а \(\varepsilon = \beta\Delta t\). Значит, график \(\varepsilon\) от \(\Delta R/R_0\) линеен, и угловой коэффициент равен \(\beta/\alpha\). Погрешность \(\Delta R\) около \(0{,}04\) Ом, основной вклад даёт амперметр в режиме «10 А». На графике отчётливо виден гистерезис, связанный со сменой направления силы трения в колёсике. Угловые коэффициенты \(k_{\text{наг}} = (4{,}3 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-3}\) и \(k_{\text{ост}} = (4{,}4 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-3}\) совпадают в пределах погрешности.
\[\frac{\beta}{\alpha} = \frac{k_{\text{наг}} + k_{\text{ост}}}{2} = (4{,}4 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-3}.\]
Можно выбрать и другие линеаризующие координаты. Считая мощность теплопотерь \(W_{\text{пот}} = k_{\text{пот}}\Delta t\), получаем уравнение теплового баланса \(IU = W_{\text{пот}} = k_{\text{пот}}\Delta t\), поэтому зависимость \(\varepsilon\) от \(IU\) также должна быть линейной. Гистерезис и здесь виден, угловые коэффициенты совпадают в пределах погрешности.
E3. Температурный коэффициент сопротивления и \(\beta\). Для независимого определения \(\alpha\) короткий кусок проволоки помещают в горячую воду, подают напряжение порядка 200 мВ и измеряют ток и напряжение при разных температурах. Проволока должна не касаться витков друг друга (витки закрепляют в маленьком стаканчике, через отверстия канцелярской кнопки). Схема измерения:
Таблица данных:
График \(\Delta R/R_0\) от \(t\) линеен, его угловой коэффициент \(k_4 = (3{,}60 \pm 0{,}06)\cdot 10^{-3}\) °C\(^{-1}\) совпадает с температурным коэффициентом сопротивления \(\alpha = k_4\) (табличное значение для меди \(\alpha_{\text{Cu}} = 3{,}93\cdot 10^{-3}\) °C\(^{-1}\)).
С учётом \(\beta/\alpha = (4{,}4 \pm 0{,}4)\cdot 10^{-3}\) получаем \[\beta = (1{,}7 \pm 0{,}2)\cdot 10^{-5}~\text{°C}^{-1}\] (табличное значение для меди \(\beta_{\text{Cu}} = 1{,}7\cdot 10^{-5}\) °C\(^{-1}\)).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2023/24, заключительный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.