зад 1 Немокрая вода
Характеристики некоторых веществ могут показаться неожиданными в сравнении с другими веществами, часто встречающимися в нашей жизни. В данной работе Вам предлагается, используя весьма ограниченный набор оборудования, придумать методы и определить некоторые физические характеристики одного из таких веществ, которое часто называют «сухой водой». Учтите, что количество этого вещества ограничено, и Вы должны тщательно продумывать свои действия, чтобы обойтись той порцией, что предоставлена в Ваше распоряжение. Дополнительная жидкость Вам выдаваться не будет! В целях её экономии рекомендуется при выполнении задания отливать небольшую часть в баночку с крышкой. Если в Вашем эксперименте жидкость оказалась в одном сосуде с водой, то обратите внимание на то, что обычная вода и «сухая вода» не смешиваются и разделены между собой. Для извлечения «сухой воды» из сосуда достаточно откачать её с помощью шприца.
Чтобы Вы могли работать спокойно, сообщаем, что исследуемые жидкость и её пары не токсичны, она не горючая, не вступает в какие-либо химические реакции с водой и оборудованием. При этом она весьма летучая (быстро испаряется), её температура кипения ниже 60 \(^\circ\)C.
Примите атмосферное давление равным \(p_0 = 100\) кПа и ускорение свободного падения равным \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\).
Задание. Перед началом выполнения работы укажите номер пакета с оборудованием. Обратите внимание, что оборудование указано к каждой части задачи отдельно. Использование оборудования из других частей запрещено. Пенопластовые стаканчики в перечень оборудования не входят и нужны для хранения холодной и горячей воды.
Часть 1. В данной части задачи требуется оценка погрешности только однократного измерения, проведение многократных измерений не требуется.
1.1. Определите плотность жидкости при комнатной температуре (комнатную температуру запишите).
1.2. Определите коэффициент объёмного теплового расширения жидкости в диапазоне температур приблизительно \([20\text{--}40]\) \(^\circ\)C. Обратите внимание на то, что сосуд, в который помещается исследуемая жидкость, также изменяет свой объём при изменении температуры. Считая, что плотность воды при изменении температуры от 20 \(^\circ\)C до 40 \(^\circ\)C уменьшается на \(\Delta\rho_{\text{в}} = 7{,}0\) кг/м\(^3\), учтите влияние объёмного расширения сосуда, в который будет помещена «сухая вода» во время опыта по измерению её коэффициента объёмного расширения. Для получения результата достаточно использовать измерения при двух разных температурах.
Примечание. Коэффициент объёмного теплового расширения \(\beta\) — физическая величина, характеризующая относительное изменение объёма тела с увеличением температуры на 1 К при постоянном давлении: \[\beta = \frac{\Delta V}{V\,\Delta T},\] где \(V\) — объём жидкости, \(\Delta V\) — приращение объёма жидкости при изменении температуры на малую величину \(\Delta T\).
Оборудование: «сухая вода» в бутылке, весы электронные, баночка с крышкой, термометр электронный, штатив с лапкой и муфтой, мерный цилиндр 250 мл, ведёрко для слива воды, горячая вода (по требованию), вода при комнатной температуре (по требованию), шприц 10 мл, шприц 1 мл, линейка 30 см, силиконовая трубка большого сечения, поднос, салфетки для поддержания чистоты на рабочем месте.
Часть 2. В данной части задачи требуется оценка погрешности только однократного измерения, проведение нескольких серий измерений не требуется.
2.1. Определите динамическую вязкость \(\eta\) «сухой воды» при комнатной температуре. Для определения \(\eta\) можно воспользоваться исследованием объёмного расхода \(Q\) жидкости при течении её через цилиндрический канал. Объёмный расход при ламинарном течении описывается формулой Пуазейля (см. рис. 1): \[Q = \frac{\pi D^4(\Delta p + \rho g h)}{128\,\eta\, l},\] где \(D\) — диаметр канала, \(\Delta p\) — разность давлений на концах канала, \(l\) — длина канала, \(Q\) — объёмный расход жидкости, измеряемый в м\(^3\)/с, \(h\) — разность высот начала и конца канала, \(\rho\) — плотность жидкости. Для получения результата снимите не менее 5 экспериментальных точек при разных объёмных расходах жидкости. Произведите графическую обработку измерений.
2.2. Переход от ламинарного течения к турбулентному определяется параметрами течения жидкости. Безразмерное число, характеризующее параметры движения, называется числом Рейнольдса и может быть рассчитано для течения жидкости через цилиндрический канал как: \[\mathrm{Re} = \frac{Q\rho}{D\eta}.\] В выбранном Вами методе измерений для максимальной скорости течения проверьте, что число Рейнольдса не превышает критическое значение \(\mathrm{Re}_{\text{кр}} = 200\), то есть течение является ламинарным. Вычисления занесите в работу. При необходимости измените параметры установки и проведите эксперимент (пункты 2.1 и 2.2) заново.
Оборудование: «сухая вода» в бутылке, баночка с крышкой, штатив с лапкой и муфтой, секундомер, весы, шприц 1 мл, шприц 10 мл, линейка 30 см, силиконовая трубка малого сечения с штуцером (розовая игла), поднос, салфетки для поддержания чистоты на рабочем месте. Обратите внимание, что в крышке банки есть отверстие, в которое может быть вставлен конец силиконовой трубки.
Часть 3. В данной части задачи требуется оценить как погрешность однократного измерения, так и случайную погрешность. Проведите не менее трёх измерений требуемой величины.
3. Определите молярную массу «сухой воды».
Оборудование: «сухая вода» в бутылке, баночка с крышкой, штатив с лапкой и муфтой, шприц 1 мл, шприц 50 мл, резиновая пробочка для носика шприца 50 мл, мерный цилиндр 250 мл, ведёрко для слива воды, горячая вода (по требованию), вода при комнатной температуре (по требованию), термометр электронный, весы электронные, поднос, салфетки для поддержания чистоты на рабочем месте.
Примечание. Резиновая пробочка предназначена для герметизации внутреннего объёма шприца, надевается на носик шприца. При небольшой разнице давлений она может быть проткнута иглой шприца 1 мл и после извлечения иглы сохранять герметичность.
Часть 4. В данной части задачи требуется оценка погрешности только однократного измерения, проведение многократных измерений не требуется.
Связь давления насыщенного пара с абсолютной температурой описывается уравнением Клапейрона–Клаузиуса. При предположениях о независимости удельной теплоты парообразования \(L\) от температуры и о малости плотности пара по сравнению с плотностью жидкости уравнение принимает вид: \[\ln\frac{p_{\text{н}1}}{p_{\text{н}2}} = -\frac{L\mu}{R}\left(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}\right),\] где \(p_{\text{н}1}\) и \(p_{\text{н}2}\) — давления насыщенного пара при температурах \(T_1\) и \(T_2\) соответственно, \(\mu\) — молярная масса жидкости, \(R\) — универсальная газовая постоянная.
4. Вычислите значение \(L\) для «сухой воды». Для этого определите две точки зависимости давления насыщенного пара «сухой воды» от температуры. Выберите точки, позволяющие вычислить \(L\) с максимальной точностью.
Оборудование: «сухая вода» в бутылке, баночка с крышкой, штатив с лапкой и муфтой, шприц 1 мл, шприц 50 мл, резиновая пробочка для носика шприца 50 мл, мерный цилиндр 250 мл, ведёрко для слива воды, горячая вода (по требованию), вода при комнатной температуре (по требованию), термометр электронный, поднос, салфетки для поддержания чистоты на рабочем месте.
Часть 5. В данной части задачи требуется оценить как погрешность однократного измерения, так и случайную погрешность. Проведите не менее трёх измерений требуемой величины.
5. Определите показатель преломления \(n\) жидкости.
Оборудование: «сухая вода» в бутылке, баночка с крышкой, кювета пластиковая, линейка деревянная 50 см, линейка пластмассовая 30 см, лист бумаги А4, штатив с лапкой и муфтой, салфетки для поддержания чистоты на рабочем месте.
▶ПодсказкаСкрыть
Плотность найдите как отношение массы к объёму шприца. Коэффициент расширения сравните с расширением воды: объём шприца тоже меняется, и удлинение столба в тонкой трубке отражает разность этих расширений. Для вязкости используйте линейный график логарифма «движущей силы» от времени; для молярной массы — уравнение Менделеева–Клапейрона для газа, полученного полным выкипанием порции при постоянном давлении.
▶ОтветСкрыть
1.1) \(\rho = (1{,}63 \pm 0{,}03)\) г/см\(^3\); 1.2) \(\beta = (2{,}0 \pm 0{,}1)\cdot 10^{-3}\) °C\(^{-1}\); 2.1) \(\eta = (5{,}8 \pm 1{,}2)\cdot 10^{-4}\) Па\(\cdot\)с; 2.2) \(\mathrm{Re}_{\max} = 150 < 200\) (течение ламинарное); 3) \(\mu = (330 \pm 30)\) г/моль; 4) \(L = (76 \pm 13)\) Дж/г; 5) \(n = (1{,}27 \pm 0{,}02)\).
▶РешениеСкрыть
Часть 1.1. Шприц объёмом 10 мл поставлен на весы, показания обнулены. «Сухая вода» перелита в баночку; из баночки набран объём \(V = (9{,}8 \pm 0{,}1)\) мл; показания весов \(m = (15{,}94 \pm 0{,}16)\) г. Плотность \[\rho = \frac{m}{V} = (1{,}63 \pm 0{,}03)~\text{г/см}^3,\] погрешность найдена как сумма относительных погрешностей массы и объёма.
Часть 1.2. Сначала определяем сечение толстой силиконовой трубки. Набрав в шприц 1 мл воды и надев трубку, отмечаем на трубке положения мениска при \(v_{1\text{б}} = (0{,}96 \pm 0{,}01)\) мл и \(v_{2\text{б}} = (0{,}12 \pm 0{,}01)\) мл; расстояние между отметками \(l_{\text{б}} = (11{,}5 \pm 0{,}1)\) см. Тогда \[s_{\text{б}} = \frac{v_{1\text{б}} - v_{2\text{б}}}{l_{\text{б}}} = (7{,}30 \pm 0{,}24)~\text{мм}^2.\] Далее шприц 10 мл с водой (объём \(V_0 = (10{,}5 \pm 0{,}2)\) мл), подсоединённый к трубке, помещаем в холодную воду (\(T_{\text{хв}} = (18{,}8 \pm 0{,}3)\) \(^\circ\)C), затем в горячую воду (\(T_{\text{гв}} = (31{,}8 \pm 0{,}3)\) \(^\circ\)C). Мениск практически не сдвигается: объёмные коэффициенты расширения пластикового шприца и воды одинаковы. Тогда \[\beta_{\text{воды}} = \frac{\Delta\rho_{\text{в}}}{\rho_{\text{в}}(T_{40} - T_{20})} = 0{,}35\cdot 10^{-3}~\text{°C}^{-1}.\] Повторяем опыт с «сухой водой» при изменении температуры от \(T_{\text{cн}} = (16{,}8 \pm 0{,}3)\) \(^\circ\)C до \(T_{\text{hн}} = (35{,}0 \pm 0{,}3)\) \(^\circ\)C: мениск в толстой трубке смещается от носика на \(l_{\text{н}} = (4{,}4 \pm 0{,}1)\) см. Баланс объёмов \(l_{\text{н}}\,s_{\text{б}} = (\beta - \beta_{\text{воды}}) V_0 (T_{\text{hн}} - T_{\text{cн}})\), откуда \[\beta = \frac{l_{\text{н}}\,s_{\text{б}}}{(T_{\text{hн}} - T_{\text{cн}})V_0} + \beta_{\text{воды}} = (2{,}0 \pm 0{,}1)\cdot 10^{-3}~\text{°C}^{-1}.\]
Табличное значение \(\beta_{\text{табл}} = 1{,}84\cdot 10^{-3}\) °C\(^{-1}\).
Часть 2.1. Тонкая трубка: шприц 1 мл с розовой иглой, отметки на трубке при \(v_1 = (0{,}98 \pm 0{,}01)\) мл и \(v_2 = (0{,}50 \pm 0{,}01)\) мл, расстояние \(l = (59{,}3 \pm 0{,}2)\) мм. Площадь сечения \[s = \frac{v_1 - v_2}{l} = (0{,}81 \pm 0{,}04)~\text{мм}^2.\]
Высота шкалы шприца 10 мл: \(H = (5{,}7 \pm 0{,}1)\) см, соответствующая \(V_{10} = (10{,}0 \pm 0{,}2)\) мл. Установка показана на рисунке: шприц с «сухой водой» подсоединён розовой иглой к силиконовой трубке, конец которой опущен в банку с крышкой; поршень выдёргивается, и жидкость течёт по трубке. Разность высот начала шкалы и конца трубки \(h_0 = (1{,}2 \pm 0{,}2)\) см.
Давление на концах трубки определяется высотой столба жидкости в шприце \(h = V\,H/V_{10}\). По формуле Пуазейля \[\frac{dV}{dt} = -\frac{s^2\rho g\left(V\frac{H}{V_{10}} + h_0\right)}{8\pi\eta l}.\] Разделяя переменные и интегрируя, получаем \[\ln\left(V\frac{H}{V_{10}} + h_0\right) = -\frac{H s^2 \rho g}{8 V_{10}\pi\eta l}\,t + \text{const}.\] Введём \(y = V\dfrac{H}{V_{10}} + h_0\). Погрешность времени \(\sigma_t = 1\) с; погрешность \(\ln y\) равна относительной погрешности \(y\).
Точки хорошо описываются линейной функцией; модуль углового коэффициента \[k = \frac{H s^2 \rho g}{8 V_{10}\pi\eta l} = (6{,}4 \pm 0{,}2)\cdot 10^{-3}~\text{с}^{-1}.\]
Полная длина трубки \(l = (63{,}5 \pm 1{,}0)\) см (погрешность 1 см, так как гидродинамическое сопротивление иглы неизвестно). Динамическая вязкость \[\eta = \frac{H s^2\rho g}{8 V_{10}\pi k l} = (5{,}8 \pm 1{,}2)\cdot 10^{-4}~\text{Па}\cdot\text{с}.\] Погрешность: \(\sigma_\eta = \eta\left(\dfrac{\sigma_H}{H} + \dfrac{2\sigma_s}{s} + \dfrac{\sigma_\rho}{\rho} + \dfrac{\sigma_k}{k} + \dfrac{\sigma_l}{l}\right) \approx 1{,}2\cdot 10^{-4}\) Па\(\cdot\)с. Табличное значение \(\eta_{\text{табл}} = \nu\rho = 0{,}39\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}6\cdot 10^{3} = 6{,}2\cdot 10^{-4}\) Па\(\cdot\)с (для 25 \(^\circ\)C).
Часть 2.2. Проверим ламинарность для точки с максимальным объёмным расходом: \[\mathrm{Re}_{\max} = \frac{Q_{\max}\rho}{D\eta} = \frac{(9 - 8{,}4)\cdot 10^{-6}\cdot 1{,}6\cdot 10^{3}}{11\cdot 5{,}8\cdot 10^{-4}\cdot 10^{-3}} = 150 < \mathrm{Re}_{\text{кр}}.\] Течение ламинарное.
Часть 3. Молярную массу найдём, превращая порцию жидкости в газ при известных давлении и температуре. Шприц 60 мл служит сосудом с поршнем, на который с другой стороны действует атмосферное давление. Проверка трения поршня: набрав 60 мл воздуха, закрыв носик и отпустив поршень, получаем остановку при \(V_{\text{кон}} = 59\) мл. Давление в шприце при движении поршня в сторону увеличения объёма \[p'_0 = p_0\frac{V_{\text{нач}}}{V_{\text{кон}}} \approx p_0 + \Delta p_0 = (102 \pm 2)~\text{кПа}.\] Погрешности \(p_0\) и \(p'_0\) принимаем равными 2 кПа.
Поршень ставится на отметку 0 мл, на носик надевается резиновая пробочка. В шприц 1 мл набирается \(0{,}2\)–\(0{,}3\) мл «сухой воды», которая вводится через пробочку в большой шприц. Показания весов \(m = (0{,}57 \pm 0{,}02)\) г — масса «сухой воды». Шприц опускают в горячую воду в мерном цилиндре (температура выше температуры кипения); после испарения при тепловом равновесии измеряем \(V = (50{,}0 \pm 0{,}5)\) мл и \(T = (69{,}5 \pm 0{,}3)\) \(^\circ\)C \(= (342{,}7 \pm 0{,}3)\) К. Уравнение Менделеева–Клапейрона \(p'_0 V = \dfrac{m}{\mu}RT\) даёт \[\mu = \frac{m\,R\,T}{p'_0 V} = 319~\text{г/моль}.\] Систематическая погрешность \(\approx 21\) г/моль. Повторные опыты:
Случайная погрешность \(\sigma_{\text{случ}} = 10\) г/моль, окончательно \(\mu = (330 \pm 30)\) г/моль (табличное значение 316 г/моль).
Часть 4. Давление пара при температурах ниже температуры кипения измеряем в шприце с воздухом: \(p'_0 = p_{\text{нп}} + p_{\text{в}}\). Шприц заполняем воздухом до \(V_0 = (30{,}0 \pm 0{,}5)\) мл при \(T_0 = (22{,}2 \pm 0{,}3)\) \(^\circ\)C \(= (295{,}4 \pm 0{,}3)\) К, вводим \(\approx 0{,}3\) мл «сухой воды», жидкость испаряется, поршень смещается и останавливается при объёме \(V_{\text{в}} = (49{,}0 \pm 0{,}5)\) мл после выравнивания температуры. По закону Бойля–Мариотта \(p_{\text{в}} = p_0 \dfrac{V_0}{V_{\text{в}}}\), поэтому \[p_{\text{нп}} = p'_0 - p_0\frac{V_0}{V_{\text{в}}} = p_0\left(1 - \frac{V_0}{V_{\text{в}}}\right) + \Delta p_0 = (40{,}8 \pm 2{,}4)~\text{кПа}.\] Вторая точка — при температуре кипения, когда \(p_{\text{нп}} = p_0\): \(T_{\text{кип}} = (50{,}8 \pm 0{,}3)\) \(^\circ\)C \(= (332{,}0 \pm 0{,}3)\) К (определяется по кипению жидкости в банке, плавающей в горячей воде). Это точка одновременно точная и близкая по температуре к комнатной. Тогда по формуле (4) \[L = \frac{R}{\mu}\,\frac{T_0 T_{\text{кип}}}{T_{\text{кип}} - T_0}\,\ln\frac{p_0}{p_{\text{нп}}} = (76 \pm 13)~\text{Дж/г}.\]
Погрешность \(\sigma_L = 13\) Дж/г. Табличное значение \(L_{\text{табл}} = 88\) Дж/г при \(T_{\text{кип.табл}} = 49{,}2\) \(^\circ\)C.
Часть 5. Кювета заполняется жидкостью, на листе бумаги рисуется контрастная точка, кювету ставят на неё так, чтобы точка оказалась под плоской частью дна. Свет, рассеянный точкой, внутри кюветы распространяется в конусе с половинным углом \(\alpha_{\text{кр}} = \arcsin(1/n)\). Крайний луч выходит из боковой стенки под углом \(\gamma\); закон преломления даёт \(n\cos\alpha_{\text{кр}} = \sqrt{n^2-1} = \sin\gamma\), откуда \[n = \sqrt{1 + \sin^2\gamma}.\]
Линейками измеряем горизонтальное расстояние от края стола до кюветы \(x = (36{,}1 \pm 0{,}2)\) см и вертикальное расстояние \(y = (45{,}5 \pm 1{,}0)\) см. Тогда \[\gamma = \arctan\frac{y}{x} = 51{,}6^\circ,\] с систематической погрешностью \(0{,}8^\circ\) (метод границ) и случайной \(\approx 2^\circ\): \(\gamma = (51{,}6 \pm 3{,}0)^\circ\). Итог: \(n = (1{,}27 \pm 0{,}02)\) (табличное значение \(n_{\text{табл}} = 1{,}264\)).
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2023/24, заключительный этап, 11 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.