зад 1 Пружина на весах
Оборудование. Пружина «Slinky», электронные весы, деревянная линейка 40 см, деревянная линейка 20 см, 2 деревянных прямоугольных бруска, малярный скотч, миллиметровая бумага для графиков.
Задание. Запишите номер установки.
Измерьте зависимость веса пружины \(P\), установленной на весы одним из оснований, от вертикальной координаты \(x\) верхнего витка пружины. Полученные данные представьте в виде: \(\Delta P = P - P_0\), где \(P_0\) — вес всей пружины, и \(\Delta x = x - x_0\), где \(x_0\) — вертикальная координата верхнего витка пружины, когда вся пружина покоилась на весах.
Предложите теоретическую зависимость \(\Delta P(\Delta x)\) для большого числа витков, которые изменили своё положение.
На основании полученных данных пункта 1 с помощью графика проверьте соответствие теории и эксперимента.
Используя результаты пунктов 2 и 3, определите коэффициент жёсткости одного витка пружины и оцените его погрешность.
Оцените момент силы, создаваемый пружиной при повороте одного её конца относительно другого на один оборот вокруг оси симметрии цилиндрической части пружины. Опишите свой метод.
Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Проверьте выданную вам пружину: не должно быть слипшихся витков, все витки должны быть ровными и в нерастянутом состоянии плотно прилегать друг к другу.
▶ПодсказкаСкрыть
Если поднимать верхний виток, то каждый виток над ним растягивается на величину, пропорциональную числу витков выше него. Сравните, как растёт \(\Delta P\) с \(\Delta x\), и подумайте, как связать результат с жёсткостью одного витка.
▶ОтветСкрыть
\(k = (34{,}2 \pm 1{,}8)\) Н/м (жёсткость одного витка); момент сил при повороте на один оборот \(M = 1{,}0\cdot 10^{-2}\) Н\(\cdot\)м.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(m\) — масса одного витка, \(k\) — его жёсткость. Изменение высоты верхнего витка \(\Delta x_1 = mg(n - 1/2)/k\), где \(n\) — число витков с ненулевой деформацией; \(i\)-го сверху витка \(\Delta x_i = mg(n - i)/k\). Суммарное изменение длины пружины \[\Delta x = \sum_{i=1}^{n} \Delta x_i = \frac{mg}{k}\sum_{i=1}^{n}(n-i) = \frac{mgn^2}{2k}.\] Изменение показаний весов \(|\Delta P| = mgn\), поэтому \[(\Delta P)^2 = 2kmg\,\Delta x \quad\text{или}\quad |\Delta P| = \sqrt{2kmg}\,\sqrt{\Delta x}.\] Графики \((\Delta P)^2(\Delta x)\) и \(|\Delta P|(\sqrt{\Delta x})\) получаются линейными, эксперимент подтверждает теорию. Масса одного витка \(m = M/n\), где \(M = 20{,}37\) г — масса всей пружины, \(n = 37\) — число витков. Из углового коэффициента \(\beta_1 = (\Delta P)^2/\Delta x\) находим \(k = \beta_1/(2mg)\); погрешность \(k\) оценивается по относительным погрешностям \(\beta_1\) и \(m\). Получаем \(k = (34{,}2 \pm 1{,}8)\) Н/м.
Момент сил оценивают так: один виток закрепляют скотчем на конце деревянной линейки 40 см, пружину кладут боковой стороной на стол, свободный конец линейки лежит на весах. Закручивают свободный конец пружины относительно закреплённого. Момент сил, создаваемый пружиной, уравновешивается моментом реакции весов: \(M = mgl\), где \(m = 2{,}51\) г — показания весов, \(l = 41\) см — длина линейки. При повороте на один оборот \(M = 1{,}0\cdot 10^{-2}\) Н\(\cdot\)м. Так как это оценка, погрешность не вычисляется.
зад 2 Оптический «сэндвич»
Оборудование. Фонарик, установка для фиксации фонарика, две одинаковые линзы Френеля, экран, четыре канцелярских зажима, мерная лента, шприц 5 мл с глицерином (показатель преломления глицерина \(n_\text{г} = 1{,}47\)), 10 салфеток для поддержания чистоты. Ножницы и скотч — по требованию.
Задание. Линза Френеля может быть изготовлена следующим образом: из сегмента прозрачного шара вырезают плоские «неработающие» части. Оставшиеся части переносят на одну плоскость, как показано на рисунке. Оптические свойства такой линзы почти идентичны свойствам обычной линзы, т. к. все кольца имеют одинаковую оптическую силу и расположены в одной плоскости.
Рассмотрим тонкую линзу, у которой одна сторона плоская, а другая имеет радиус кривизны \(R\). В воздухе её оптическая сила рассчитывается по формуле \[D = \frac{n - 1}{R},\] где \(n\) — показатель преломления материала линзы; знак «плюс» соответствует плоско-выпуклой линзе, а знак «минус» — плоско-вогнутой.
Если между двумя линзами Френеля капнуть немного жидкости, а затем прижать их друг к другу с помощью зажимов, то получившийся «сэндвич» тоже будет обладать свойствами тонкой линзы.
Определите фокусное расстояние одной линзы \(F_0\). Приведите схему установки и опишите метод нахождения фокусного расстояния.
2a) Измерьте фокусное расстояние \(F_1\) «сэндвича», в котором линзы Френеля прижаты плоскими сторонами. 2b) Измерьте фокусное расстояние \(F_2\) «сэндвича», в котором ребристая сторона одной линзы прижата к плоской стороне другой.
Найдите радиус кривизны неплоской поверхности линзы Френеля.
Определите показатель преломления пластика, из которого изготовлены линзы Френеля.
Определите фокусное расстояние \(F_3\) «сэндвича», в котором линзы Френеля прижаты рёбристыми сторонами.
В этой задаче погрешности оценивать не нужно. Небольшие пятна глицерина можно протереть сухой салфеткой. Если пролили много — попросите у организаторов влажную тряпку. Приклеивать скотч к линзам Френеля запрещено!
▶ПодсказкаСкрыть
Оптические силы тонких линз, сложенных вплотную, складываются. Симметричный метод Бесселя: при расположении линзы ровно посередине между фонариком и экраном \(F = L/4\), где \(L\) — расстояние фонарик — экран.
▶ОтветСкрыть
На авторской установке (значения из официального решения): \(F_0 \approx 21{,}3\) см; \(F_1 \approx 10{,}6\) см; \(F_2 \approx 19{,}1\) см; \(R \approx 11{,}3\) см; \(n \approx 1{,}53\); \(F_3 \approx 92\) см.
▶РешениеСкрыть
1) Симметричный метод Бесселя: подбирают расстояние \(L\) между фонариком и экраном, при котором резкое изображение получается, когда линза посередине между ними. Тогда \(F_0 = L/4\).
2) Если линзы Френеля прижаты плоскими сторонами, глицерин между ними образует линзу с очень большим радиусом кривизны, и её оптическая сила мала. Поэтому \(F_1 \approx F_0/2\).
Если глицерин зажат между гладкой и ребристой сторонами, он образует рассеивающую плоско-вогнутую линзу с радиусом кривизны \(R\) неплоской поверхности. Оптическая сила системы трёх линз \[\frac{1}{F_2} = \frac{2}{F_0} - \frac{n_\text{г} - 1}{R} \quad\Rightarrow\quad R = \frac{n_\text{г} - 1}{\dfrac{2}{F_0} - \dfrac{1}{F_2}}.\] На авторской установке \(R \approx 11{,}3\) см.
3) Из формулы \(D = (n-1)/R\) для плоско-выпуклой линзы \(F_0 = R/(n-1)\), откуда \[n = 1 + \frac{R}{F_0} \approx 1{,}53.\]
4) Фокусное расстояние \(F_3\) «сэндвича» из линз, прижатых рёбристыми сторонами, велико (около \(92\) см), поэтому на парте его не получить; его находят расчётом. Глицерин между рёбристыми сторонами образует двояковогнутую линзу, которую можно представить как систему двух плоско-вогнутых. Тогда \[\frac{1}{F_3} = \frac{2}{F_0} - \frac{2(n_\text{г} - 1)}{R}, \qquad F_3 \approx 92 \text{ см}.\]
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2025/26, региональный этап, 10 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.