зад 1 Шприц
Вам выдан шприц объёмом 10 мл без иглы. Масса цилиндрической части без поршня равна \(m_1\), масса поршня — \(m_2\) (см. рисунок). Координату центра масс системы «цилиндр + поршень + содержимое» будем обозначать \(x_{Ci}\) и отсчитывать вдоль шкалы шприца в мл.
Измерьте зависимость (не менее 10 точек) координаты центра масс системы \(x_{C1}\) (в мл) от показаний шприца \(V\) — объёма воздуха в нём (в мл). Постройте график зависимости \(x_{C1}(V)\) и определите по нему отношение масс \(m_1/m_2\).
Повторите измерения, заполняя шприц водой объёмом \(V\). Для каждого значения \(V\) определите координату центра масс \(x_{C2}\) (не менее 10 точек). Постройте график зависимости \(x_{C2}(V)\) на той же координатной плоскости, что и в пункте 1. Определите минимальное значение \(x_{C2}^{\min}\).
Получите выражение, связывающее между собой \(x_{C1}(V)\) и \(x_{C2}(V)\) — координаты центра масс шприца в случаях, когда внутри него \(V\) мл воздуха или воды соответственно. В полученном выражении должны содержаться лишь \(m_1\), \(m_2\), \(V\), \(x_{C1}\), \(x_{C2}\) и плотность воды \(\rho_0\).
Зависимость, полученную в пункте 3, можно привести к виду \(Y = kX\), где \(Y\) и \(X\) — переменные, зависящие от измеряемых параметров (\(V\), \(x_{C1}\), \(x_{C2}\)), а \(k\) — постоянный коэффициент, связанный с массами \(m_1\) и \(m_2\). Предложите соответствующие переменные \(Y\) и \(X\). Постройте линейный график \(Y(X)\) и по его параметрам определите массы \(m_1\) и \(m_2\).
Плотность воды \(\rho_0 = 1000\) кг/м\(^3\), массой воздуха пренебречь. Вынимать поршень шприца из цилиндра запрещено. Оценивать погрешность в этой задаче не требуется.
Оборудование: шприц 10 мл без иглы; нить; кусочек малярного скотча; стакан с водой; масштабно-координатная бумага для построения графиков.
▶ПодсказкаСкрыть
Центр масс системы — это средневзвешенная координата масс её частей. Выдвижение поршня на \(V\) смещает центр масс поршня на \(V\). Для воды учтите, что её масса \(\rho_0 V\) сосредоточена в центре масс на половине объёма.
▶ОтветСкрыть
1) \(m_1/m_2 \approx 1{,}0\); 2) \(x_{C2}^{\min} \approx 5{,}2\) мл; 3) \((m_1 + m_2)(x_{C1} - x_{C2}) = \rho_0 V\left(x_{C2} - \dfrac{V}{2}\right)\); 4) \(Y = \rho_0 V\left(x_{C2} - \dfrac{V}{2}\right)\), \(X = x_{C1} - x_{C2}\), угловой коэффициент \(m_1 + m_2 \approx 5{,}9\) г, \(m_1 = m_2 \approx 3{,}0\) г.
▶РешениеСкрыть
Все расстояния измеряем по шкале шприца. Координаты центров масс определяем, подвесив шприц в горизонтальном положении на нити (точку подвеса закрепляем скотчем к столу). Пусть центр масс цилиндра находится в координате \(x_1\), а центр масс поршня при нулевых показаниях шприца — в координате \(x_2\). При выдвижении поршня на \(V\) центр масс поршня сместится в координату \(x_2 + V\). Тогда \[x_{C1}(V) = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} + \frac{m_2}{m_1 + m_2}\,V.\] Это линейная зависимость. Снимем её график (рис.): в таблице измерений \(V = 0, 1, \dots, 9\) мл соответствуют \(x_{C1} = 5{,}6;\ 6{,}2;\ 6{,}8;\ 7{,}2;\ 7{,}6;\ 8{,}2;\ 8{,}8;\ 9{,}2;\ 9{,}6;\ 10\) мл. Из углового коэффициента \(k = \dfrac{m_2}{m_1 + m_2} \approx 0{,}49\) определяем \(\dfrac{m_1}{m_2} \approx 1{,}0\).
В случае, когда внутри шприца находится \(V\) мл воды, координата его центра масс вычисляется сложнее: к суммарной массе \(m_1 + m_2\) добавляется масса воды \(\rho_0 V\), центр масс которой находится в координате \(V/2\): \[x_{C2}(V) = \frac{m_1x_1 + m_2(x_2 + V) + \rho_0 V\cdot\dfrac{V}{2}}{m_1 + m_2 + \rho_0 V}.\] Снимем зависимость \(x_{C2}(V)\): при \(V = 0, 1, \dots, 10\) мл получаем \(x_{C2} = 5{,}6;\ 5{,}4;\ 5{,}2;\ 5{,}2;\ 5{,}4;\ 5{,}6;\ 5{,}8;\ 6{,}2;\ 6{,}4;\ 6{,}8;\ 7{,}2\) мл. Минимальное значение \(x_{C2}^{\min} \approx 5{,}2\) мл. Оба графика (рис.) построены на одной координатной плоскости.
Пусть шприц собственной массы \(m_1 + m_2\) заполнен \(V\) мл воды. Центр масс самого шприца (без воды) находится в координате \(x_{C1}(V)\), центр масс воды — в координате \(V/2\). Шприц подвешен за нить в координате центра масс системы «шприц + вода» \(x_{C2}(V)\). Правило моментов относительно точки подвеса (момент силы натяжения нити равен нулю): \[(m_1 + m_2)(x_{C1} - x_{C2}) = \rho_0 V\left(x_{C2} - \frac{V}{2}\right).\] Это и есть искомое выражение.
Зависимость \(Y(X)\), где \(Y = \rho_0 V\left(x_{C2} - \dfrac{V}{2}\right)\), \(X = x_{C1} - x_{C2}\), является прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом \(m_1 + m_2\). Пересчёт значений (для \(V = 1, \dots, 10\) мл) даёт \(Y = 4{,}9;\ 8{,}4;\ 11{,}1;\ 13{,}6;\ 15{,}5;\ 16{,}8;\ 18{,}9;\ 19{,}2;\ 20{,}7\) мл\(\cdot\)г при \(X = 0{,}8;\ 1{,}6;\ 2{,}0;\ 2{,}2;\ 2{,}6;\ 3{,}0;\ 3{,}0;\ 3{,}2;\ 3{,}2\) мл.
По графику найдём угловой коэффициент \(m_1 + m_2 \approx 5{,}9\) г. Тогда \[m_1 = m_2 = \frac{m_1 + m_2}{2} \approx 3{,}0~\text{г}.\]
зад 2 Конус
Оборудование: обрезанный конус со шпажкой, на котором нанесены пометки с шагом 1 см, весы электронные, пластиковый прозрачный стаканчик объёмом 200 мл, две линейки 30 см, штатив с лапкой, шприц 20 мл, трубка, салфетки для поддержания чистоты на рабочем месте, сосуд с водой, лист миллиметровой бумаги для построения графика(ов). Объём полного (необрезанного) конуса определяется по формуле \[V = kL_0^3,\] где \(k\) — постоянный для данного конуса коэффициент, \(L_0\) — длина образующей конуса (см. рис. 1). Используя выданное оборудование, Вам необходимо определить:
величину длины образующей полного (необрезанного) конуса \(L_0\);
значение коэффициента \(k\);
массу полного конуса \(M\).
При выполнении работы необходимо придерживаться следующих обозначений:
\(m\) — масса выданного обрезанного конуса;
\(l\) — длина образующей обрезанного конуса.
Примечания. Масса шпажки составляет \(1{,}45\) г, плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\). Образующей полного (необрезанного) конуса называется отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на окружности его основания. Вынимать шпажку из конуса запрещено.
▶ПодсказкаСкрыть
Длину недостающей части образующей можно измерить линейками. Объём погружённой части конуса найдите по силе Архимеда, а зависимость показаний весов от \((l_0 + l_x)^3\) должна быть линейной.
▶ОтветСкрыть
1) \(L_0 \approx 20{,}8\) см; 2) \(k \approx 0{,}035\); 3) \(M \approx 5{,}4\) г.
▶РешениеСкрыть
1) Вдоль образующей конуса прикладываем две линейки и определяем длину отсутствующей части образующей (рис. 2): \(l_0 = 5{,}8\) см. Длина образующей выданного (усечённого) конуса \(l = 15\) см, поэтому \(L_0 = l + l_0 = 20{,}8\) см.
2) Объём погружённой части конуса определяем методом гидростатического взвешивания (по силе Архимеда). Конус опускаем в стаканчик с водой на максимально возможную глубину, а шпажку зажимаем в лапке штатива, не касаясь стенок стаканчика. Показания весов \(M_{\text{В}}\) при погружении на длину \(l_x\) образующей под водой связаны с объёмом погружённой части: \[F_{\text{Арх}} = \rho g k (l_0 + l_x)^3 - \rho g k l_0^3, \qquad M_{\text{В}} = \rho k\big((l_0 + l_x)^3 - l_0^3\big).\] Зависимость \(M_{\text{В}}\) от \((l_0 + l_x)^3\) — прямая с угловым коэффициентом \(\rho k\). Измерения (номер опыта, \(l_x\), см; \(M_{\text{В}}\), г; \((l_0 + l_x)^3\), см\(^3\)): \(1)~1{,}0;\ 2{,}85;\ 314\); \(2)~2{,}0;\ 8{,}43;\ 475\); \(3)~3{,}0;\ 16{,}55;\ 682\); \(4)~4{,}0;\ 23{,}82;\ 941\); \(5)~5{,}0;\ 35{,}29;\ 1260\); \(6)~6{,}0;\ 49{,}41;\ 1643\); \(7)~7{,}0;\ 66{,}90;\ 2097\); \(8)~8{,}0;\ 83{,}21;\ 2628\); \(9)~9{,}0;\ 103{,}51;\ 3242\).
По графику угловой коэффициент \(\rho k = 0{,}035\) г/см\(^3\). При \(\rho = 1\) г/см\(^3\) получаем \(k \approx 0{,}035\).
3) Объём полного конуса \(V = kL_0^3 = 0{,}035\cdot 20{,}8^3 \approx 315\) см\(^3\). Массу выданного обрезанного конуса со шпажкой \(m_{к+ш} = 6{,}73\) г; без шпажки \(m = 6{,}73 - 1{,}45 = 5{,}28\) г. Считая материал конуса однородным, масса полного конуса \[M = m\cdot\frac{L_0^3}{L_0^3 - l_0^3} \approx 5{,}28\cdot\frac{20{,}8^3}{20{,}8^3 - 5{,}8^3} \approx 5{,}4~\text{г}.\]
Источник: Всероссийская олимпиада школьников по физике, 2025/26, региональный этап, 8 класс, экспериментальный тур — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.