ВсОШ, 2025/26, региональный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Центр масс системы — это средневзвешенная координата масс её частей. Выдвижение поршня на \(V\) смещает центр масс поршня на \(V\). Для воды учтите, что её масса \(\rho_0 V\) сосредоточена в центре масс на половине объёма.

Ответ

1) \(m_1/m_2 \approx 1{,}0\);  2) \(x_{C2}^{\min} \approx 5{,}2\) мл;  3) \((m_1 + m_2)(x_{C1} - x_{C2}) = \rho_0 V\left(x_{C2} - \dfrac{V}{2}\right)\);  4) \(Y = \rho_0 V\left(x_{C2} - \dfrac{V}{2}\right)\), \(X = x_{C1} - x_{C2}\), угловой коэффициент \(m_1 + m_2 \approx 5{,}9\) г, \(m_1 = m_2 \approx 3{,}0\) г.

Решение

Все расстояния измеряем по шкале шприца. Координаты центров масс определяем, подвесив шприц в горизонтальном положении на нити (точку подвеса закрепляем скотчем к столу). Пусть центр масс цилиндра находится в координате \(x_1\), а центр масс поршня при нулевых показаниях шприца — в координате \(x_2\). При выдвижении поршня на \(V\) центр масс поршня сместится в координату \(x_2 + V\). Тогда \[x_{C1}(V) = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2} + \frac{m_2}{m_1 + m_2}\,V.\] Это линейная зависимость. Снимем её график (рис.): в таблице измерений \(V = 0, 1, \dots, 9\) мл соответствуют \(x_{C1} = 5{,}6;\ 6{,}2;\ 6{,}8;\ 7{,}2;\ 7{,}6;\ 8{,}2;\ 8{,}8;\ 9{,}2;\ 9{,}6;\ 10\) мл. Из углового коэффициента \(k = \dfrac{m_2}{m_1 + m_2} \approx 0{,}49\) определяем \(\dfrac{m_1}{m_2} \approx 1{,}0\).

В случае, когда внутри шприца находится \(V\) мл воды, координата его центра масс вычисляется сложнее: к суммарной массе \(m_1 + m_2\) добавляется масса воды \(\rho_0 V\), центр масс которой находится в координате \(V/2\): \[x_{C2}(V) = \frac{m_1x_1 + m_2(x_2 + V) + \rho_0 V\cdot\dfrac{V}{2}}{m_1 + m_2 + \rho_0 V}.\] Снимем зависимость \(x_{C2}(V)\): при \(V = 0, 1, \dots, 10\) мл получаем \(x_{C2} = 5{,}6;\ 5{,}4;\ 5{,}2;\ 5{,}2;\ 5{,}4;\ 5{,}6;\ 5{,}8;\ 6{,}2;\ 6{,}4;\ 6{,}8;\ 7{,}2\) мл. Минимальное значение \(x_{C2}^{\min} \approx 5{,}2\) мл. Оба графика (рис.) построены на одной координатной плоскости.

Пусть шприц собственной массы \(m_1 + m_2\) заполнен \(V\) мл воды. Центр масс самого шприца (без воды) находится в координате \(x_{C1}(V)\), центр масс воды — в координате \(V/2\). Шприц подвешен за нить в координате центра масс системы «шприц + вода» \(x_{C2}(V)\). Правило моментов относительно точки подвеса (момент силы натяжения нити равен нулю): \[(m_1 + m_2)(x_{C1} - x_{C2}) = \rho_0 V\left(x_{C2} - \frac{V}{2}\right).\] Это и есть искомое выражение.

Зависимость \(Y(X)\), где \(Y = \rho_0 V\left(x_{C2} - \dfrac{V}{2}\right)\), \(X = x_{C1} - x_{C2}\), является прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом \(m_1 + m_2\). Пересчёт значений (для \(V = 1, \dots, 10\) мл) даёт \(Y = 4{,}9;\ 8{,}4;\ 11{,}1;\ 13{,}6;\ 15{,}5;\ 16{,}8;\ 18{,}9;\ 19{,}2;\ 20{,}7\) мл\(\cdot\)г при \(X = 0{,}8;\ 1{,}6;\ 2{,}0;\ 2{,}2;\ 2{,}6;\ 3{,}0;\ 3{,}0;\ 3{,}2;\ 3{,}2\) мл.

По графику найдём угловой коэффициент \(m_1 + m_2 \approx 5{,}9\) г. Тогда \[m_1 = m_2 = \frac{m_1 + m_2}{2} \approx 3{,}0~\text{г}.\]

Подсказка

Омметр между крайними выводами потенциометра и ползунком даёт сопротивление параллельного соединения двух плеч. Максимум показаний — когда плечи равны. Для ВАХ подумайте, какой ток проходит через неизвестный элемент и как его измерить по напряжению на известном участке.

Ответ

1) \(R_0 = 4R_{\max} = (108{,}8 \pm 1{,}2)\) Ом;  2) таблица измерений и 3) график ВАХ — см. решение (значения из официального решения).

Решение

1) Соединим крайние выводы потенциометра (А и В) и подключим омметр к выводам А и Б. Обозначим полное номинальное сопротивление потенциометра \(R_0\), а сопротивление между контактами Б и В — \(R_x\). Тогда показания омметра \[R_\Omega = \frac{R_x(R_0 - R_x)}{R_0} = R_x - \frac{R_x^2}{R_0}.\] Максимум \(R_\Omega\) наблюдается при \(R_x = R_0/2\). Поворачивая ручку потенциометра, измеряем максимальные показания прибора: \(R_{\max} = (27{,}2 \pm 0{,}3)\) Ом. Тогда \(R_0 = 4R_{\max} = (108{,}8 \pm 1{,}2)\) Ом.

2) Соберём электрическую цепь по схеме (рис.). Напряжение на неизвестном элементе равно напряжению, измеренному вольтметром, подключённым к выводам А и В; ток через неизвестный элемент равен току через \(R_x\): \[I_{\text{НЭ}} = \frac{U_x}{R_x},\] где \(U_x\) — напряжение на \(R_x\), которое измеряем, подключая вольтметр к выводам Б и В.

Текущее значение \(R_x\) определяем, подключив источник напряжения к выводам А и В. Из отношения напряжений на \(R_0\) и \(R_x\): \[\frac{U'_{\text{АВ}}}{R_0} = \frac{U'_{\text{БВ}}}{R_x} \;\Rightarrow\; R_x = \frac{U'_{\text{БВ}}}{U'_{\text{АВ}}}\,R_0, \qquad I_{\text{НЭ}} = \frac{U_x\,U'_{\text{АВ}}}{U'_{\text{БВ}}\,R_0}.\] Результаты измерений (напряжение на НЭ \(U_{\text{НЭ}}\), \(U_x\), \(U'_{\text{АВ}}\), \(U'_{\text{БВ}}\), ток \(I_{\text{НЭ}}\) и его погрешность \(\Delta I_{\text{НЭ}}\)) приведены в таблицах рис. 3 и рис. 4.

3) По точкам таблицы строим ВАХ \(I_{\text{НЭ}}(U_{\text{НЭ}})\) (ток в миллиамперах); характеристика нелинейная, при напряжении около \(0{,}05\) В ток обращается в ноль.