ВсОШ, 2025/26, заключительный этап, 9 класс, экспериментальный тур

Подсказка

Столбик движется равномерно, значит сумма сил вдоль трубки равна нулю. Выразите перепад давления через объёмный расход по формуле Пуазейля: расход равен \(vS\). Линейность \(v(\sin\alpha)\) и точка пересечения с осью даст \(\eta\) и \(F_0\).

Ответ

1) \(S \approx 11{,}6\) мм\(^2\);  4) \(v = \dfrac{\rho l g\pi r^4}{8L\eta S}\sin\alpha - \dfrac{F_0\pi r^4}{8L\eta S^2}\);  5) \(\eta \approx 9{,}3\cdot 10^{-6}\) Па\(\cdot\)с;  6) \(F_0 \approx 0{,}53\cdot 10^{-3}\) Н.

Решение

Столбик воды в трубке можно считать цилиндрическим, поэтому его объём \(V\) и длина \(l\) связаны соотношением \(V = Sl\), откуда \(S = \dfrac{V}{l}\). Экспериментальные данные по объёму и длине столбика приведены в таблице.

Используя несколько измерений, усредняем результаты: \(S \approx 11{,}6\) мм\(^2\).

Для измерения угла наклона выберем на прикреплённой к рейке линейке два деления на известном расстоянии \(b\) (в авторском эксперименте \(b = 250\) мм) друг от друга. Измеряя высоты этих точек над столом \(h_1\) и \(h_2\), получаем \(\sin\alpha = \dfrac{h_2 - h_1}{b}\). Скорость движения столбика определяется по формуле \(v = \dfrac{s}{t}\), где \(s\) — пройденное расстояние столбика, \(t\) — время движения. Для каждого угла наклона производим не менее трёх измерений и вычисляем среднюю скорость \(v_{\text{ср}}\).

Результаты измерений для столбика длиной \(l = 55\) мм:

для \(l = 78\) мм:

Построим графики \(v(\sin\alpha)\) для двух разных длин столбика \(l\):

Масса столбика воды \(m = \rho l S\). В установившемся режиме выполняется равенство сил вдоль оси трубки: \[\rho l S g\sin\alpha = \Delta P\,S + F_0.\] По условию для малых перепадов давления плотность воздуха считаем постоянной, следовательно объёмный расход воздуха через иглу связан со скоростью движения воды: \(Q = vS\). Согласно формуле Пуазейля: \[\Delta P = \dfrac{8L\eta Q}{\pi r^4} = \dfrac{8L\eta vS}{\pi r^4}.\] Подставляя в уравнение сил: \[\rho l S g\sin\alpha = \dfrac{8L\eta v S^2}{\pi r^4} + F_0.\] Отсюда выражаем скорость: \[v = \dfrac{\rho l g\pi r^4}{8L\eta S}\sin\alpha - \dfrac{F_0\pi r^4}{8L\eta S^2}.\] Видно, что зависимость \(v(\sin\alpha)\) должна быть линейной с угловым коэффициентом \(k = \dfrac{\rho l g\pi r^4}{8L\eta S}\) и пересечением с вертикальной осью \(v_0 = -\dfrac{F_0\pi r^4}{8L\eta S^2}\).

Из углового коэффициента графика \(\eta = \dfrac{\rho l g\pi r^4}{8LkS}\). Подстановка экспериментальных данных для \(l = 55\) мм даёт \(\eta \approx 9{,}3\cdot 10^{-6}\) Па\(\cdot\)с.

Из пересечения графика с вертикальной осью \(v_0 \approx -4{,}0\) мм/с: \[F_0 = \dfrac{8L\eta S^2}{\pi r^4}\,|v_0| \approx 0{,}53\cdot 10^{-3}~\text{Н}.\]

Подсказка

Ветвь со светодиодом при смене полярности омметра меняет сопротивление резко; ветвь с \(R\) зависит от положения ручки, ветвь с \(r\) — нет. Сравните напряжения на светодиоде и на резисторе \(r\) при двух подключениях батарейки.

Ответ

1) \(A\text{--}2\), \(B\text{--}1\), \(C\text{--}3\);  2) «плюс» светодиода находится снизу (см. рис. 1 решения);  3) \(r = (200 \pm 2)\) Ом, \(R_{\min} = (50 \pm 4)\) Ом, \(R_{\max} = (10{,}25 \pm 0{,}11)\) кОм;  4)–5) см. таблицу и график в решении.

Решение

Измерим сопротивления между парами выводов \(1\)–\(2\), \(1\)–\(3\) и \(2\)–\(3\), изменяя полярность подключения омметра и вращая ручку переменного резистора. При изменении полярности омметра сопротивление в ветви со светодиодом резко изменяется: в одном направлении прибор показывает конечное сопротивление, а в противоположном — очень большое (разрыв цепи). Это позволяет определить вывод, к которому подключен светодиод. Если при вращении ручки переменного резистора измеряемое сопротивление между двумя выводами изменяется, то соответствующая ветвь содержит переменный резистор \(R\). Ветвь, сопротивление которой не зависит от положения ручки, содержит резистор \(r\). Сопоставляя результаты измерений для всех трёх пар выводов, можем однозначно определить, какой элемент подключён к каждому выводу, и установить соответствие между выводами \(1\), \(2\), \(3\) ящика и выводами \(A\), \(B\), \(C\) на схеме.

Подключим батарейку (две батарейки типа ААА, соединённые последовательно) к паре выводов \(1\)–\(2\). При подключении «плюса» батарейки к выводу \(1\) светодиод не горит ни при каких сопротивлениях переменного резистора. При подключении «плюса» к выводу \(2\) светодиод горит, и его яркость меняется с сопротивлением переменного резистора. Это возможно тогда и только тогда, когда эта пара выводов соответствует паре выводов \(A\)–\(B\). Вывод \(C\) однозначно соответствует выводу \(3\). Подключим батарейку к паре выводов \(1\)–\(3\): при подключении «плюса» к выводу \(3\) светодиод горит, его яркость не зависит от сопротивления. Таким образом, вывод \(1\) соответствует выводу \(B\), от которого идёт светодиод. Вывод \(A\) соответствует выводу \(2\) по методу исключения.

\(A\)–\(2\); \(B\)–\(1\); \(C\)–\(3\).

Полярность светодиода определяется по направлению тока, при котором омметр показывает конечное сопротивление. В этом направлении ток проходит от анода к катоду светодиода (см. рис. 1 решения). Ранее было обнаружено, что светодиод горит, если ток через него проходит к выводу \(1\). Значит, «плюс» светодиода находится снизу (см. рис. 1).

Известно, что светодиод имеет монотонно возрастающую вольт-амперную характеристику, причём до определённого момента сила тока через светодиод пренебрежимо мала, а затем начинает значительно расти (и в этой ситуации светодиод горит). Подключим «плюс» батарейки к выводу \(3\), «минус» к выводу \(1\) (см. рис. 2 решения). Подключим вольтметр в режиме \(2000\) мВ к выводам \(2\)–\(3\) и измерим напряжение \(U_V\): \[U_V = (1137 \pm 11)~\text{мВ}.\] С высокой точностью вольтметр можно считать идеальным. В таком случае через резистор \(R\) ток не протекает, и \(U_V\) — это напряжение на резисторе \(r\). Запишем второе правило Кирхгофа для контура, через который течёт ток: \(\varepsilon = U(I) + U_V\), где \(U(I)\) — напряжение на светодиоде, \(I\) — сила тока. По закону Ома для резистора \(r\) также справедливо \(U_V = Ir\).

Подключим «плюс» батарейки к выводу \(2\), «минус» к выводу \(1\). Не изменяя подключения вольтметра, будем измерять напряжение на той же паре выводов \(2\)–\(3\), но теперь это напряжение на переменном резисторе \(R\). Аналогично, \(\varepsilon = U(I) + U_V'\). Изменяя сопротивление переменного резистора, можно добиться того, что при некотором сопротивлении \(R'\) измеряемое напряжение совпадает с измеренным ранее в пределах погрешности: \(U_V' = (1142 \pm 11)\) мВ. Тогда на светодиоде падают одинаковые напряжения, и, поскольку \(U(I)\) строго возрастающая функция при свечении светодиода, сила тока одинакова. Тогда \(Ir = IR'\), откуда \(r = R'\).

Отключим батарейку, а мультиметр переведём в режим омметра с пределом измерений \(2000\) Ом. Показания омметра \(R_\Omega = r + R' = 2r\). Измерено значение \(R_\Omega = (400 \pm 4)\) Ом. Получаем \(r = (200 \pm 2)\) Ом.

Не меняя подключения омметра, изменим сопротивление переменного резистора до минимального значения. Показания омметра: \(R_{\Omega 1} = (250 \pm 3)\) Ом. С другой стороны, \(R_{\Omega 1} = r + R_{\min}\). Получаем \(R_{\min} = (50 \pm 4)\) Ом.

Повернём переменный резистор до максимального сопротивления. Сменим диапазон работы омметра до \(20\) кОм. Показания омметра \(R_{\Omega 2} = (10{,}45 \pm 0{,}11)\) кОм. С другой стороны, \(R_{\Omega 2} = r + R_{\max}\). Получаем \(R_{\max} = (10{,}25 \pm 0{,}11)\) кОм.

Итак, \(r = (200 \pm 2)\) Ом, \(R_{\min} = (50 \pm 4)\) Ом, \(R_{\max} = (10{,}25 \pm 0{,}11)\) кОм.

Немного поворачивая ручку переменного резистора, будем изменять его сопротивление. Для различных сопротивлений переменного резистора выполняем следующие действия: 1) измеряем омметром сопротивление \(R_\Omega\) между выводами \(2\)–\(3\); 2) подключаем «плюс» батарейки к выводу \(2\), «минус» к выводу \(1\); 3) измеряем вольтметром напряжение \(U\) между выводами \(1\)–\(3\) (это напряжение на светодиоде); 4) измеряем вольтметром напряжение \(U_V\) между выводами \(2\)–\(3\) (режим с пределом \(2000\) мВ); 5) отключаем батарейку; 6) пересчитываем силу тока по закону Ома для переменного резистора: \(I = \dfrac{U_V}{R_\Omega - r}\). Результаты измерений:

По полученным точкам построен график вольт-амперной характеристики светодиода: