Магнитное поле Земли у поверхности в основном «юг–север» (горизонтальная составляющая \(\sim 2\cdot10^{-5}\) Тл) плюс вертикальная «вниз» в северном полушарии. Самолёт летит горизонтально, так что вектор \([\mathbf{v}\times\mathbf{B}]\) имеет заметную составляющую вдоль крыльев.

Разность потенциалов между двумя точками проводника, движущегося поступательно,

где \(L\) — проекция отрезка на направление \([\mathbf{v}\times\mathbf{B}]\). Самый длинный такой отрезок на самолёте — от конца одного крыла до конца другого (у лайнера это 30–60 м, у фюзеляжа — длина порядка 40 м, но она почти параллельна \(\mathbf{v}\), и вклад мал). Нос–хвост дают напряжение лишь за счёт вертикальной компоненты \(B\) и короткой высоты киля; «верх–низ» — за счёт горизонтальной \(B\) и ещё более короткой высоты фюзеляжа.

Поэтому максимум — между концами крыльев.

Поле перпендикулярно и проводу, и скорости, поэтому

На длине \(l=0{,}3\) м

Тот же ответ даёт закон Фарадея. Дополним провод неподвижными рельсами до контура: за время \(dt\) заметается площадь \(l\,v\,dt\), \(\mathrm{d}\Phi=Blv\,dt\), \(\mathcal{E}=\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t=vBl\). Для разомкнутого провода это и есть напряжение между концами.

Знак: если \(\mathbf{B}\) из чертежа на нас, а \(\mathbf{v}\) вверх, \([\mathbf{v}\times\mathbf{B}]\) гонит положительные заряды влево. Левый конец положительный. На практике это холловская полярность того же поля.

Сила Лоренца на заряд \(q\) равна \(qvB\) и направлена поперёк тонкого размера \(b\). Заряды перетекают на грани площади \(a\times c\), пока электрическая сила \(qE\) не уравновесит лоренцеву:

Разность потенциалов между этими гранями

Брусок тонкий (\(b\ll a,c\)), поэтому поле внутри почти однородно и связано с поверхностной плотностью так же, как в плоском конденсаторе: разрыв нормальной компоненты \(D\) даёт \(\sigma=\varepsilon_0 E\) (снаружи поле быстро падает). Итак

Заметьте: в \(V\) вошла толщина \(b\), а в \(\sigma\) — нет. Плотность заряда фиксируется самим полем \(E=vB\), а напряжение — это это поле, умноженное на зазор.

Поле равномерно заряженного шара заряда \(-Ze\) на расстоянии \(x\) от центра (внутри)

и направлено к центру для положительного ядра. Сила, возвращающая ядро,

Сила Лоренца на ядро \(F_L=ZevB\) (облако тоже её чувствует, но оно размазано и в модели Томсона «прибито» к объёму атома; относительное смещение задаёт именно ядро). Равновесие:

Ядро ещё внутри облака при \(x<r\):

На границе возвращающая сила максимальна и равна \(ZevB\) как раз при этом \(v\). Быстрее — ядро вылетает, атом «срывается».

Энергия связи \(W\approx10^{-19}\) Дж задаёт размер облака внешнего электрона. По порядку

В системе иона есть поле \(E'=vB\). Работа на размере \(r\)

Тот же порог даёт задача 11.1.4: \(v<e/(4\pi\varepsilon_0 Br^2)\), и подстановка \(r\sim e^2/(4\pi\varepsilon_0 W)\) приводит к тому же \(v\sim W/(eBr)\).

Численно \(B=40\) Тл, \(r\sim2\cdot10^{-9}\) м:

Ион \(\mathrm{H}^-\) почти протон по массе, \(m\approx1{,}7\cdot10^{-27}\) кг. Ускоряющая разность

Округление размера \(r\) в полтора раза (борновский радиус слабо связанного электрона ближе к ангстрему) поднимает оценку к \(7\) МВ — как в книге. Порядок: несколько мегавольт.

Рамка едет поступательно, \(\mathbf{v}\) одно и то же во всех точках, \(\mathbf{B}\) однородно. В установившемся режиме ток равен нулю (иначе джоулево тепло бралось бы из ниоткуда: внешняя сила при поступательном движении работы над рамкой не совершает — сила Ампера на противоположных сторонах гасит друг друга). Значит, на каждый заряд

всюду внутри провода. Направление \(\mathbf{E}\) — поперёк скорости, в плоскости рамки: на передней и задней сторонах поле бежит вдоль провода, на боковых — тоже вдоль провода (там \([\mathbf{v}\times\mathbf{B}]\) как раз по стороне). Модуль один и тот же.

Циркуляция \(\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}\) по рамке равна нулю: два «поперечных» вклада противоположны. Это согласовано с \(\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t=0\).

Если рамка выедет из поля одним краем, однородность пропадёт, появится ток — это уже задача 11.1.9. Пока она целиком в однородном \(B\), поверхностные заряды сидят на углах так, чтобы \(E=vB\) было всюду вдоль провода, и ничего никуда не течёт.

Угол между нормалью к рамке и полем равен \(\omega t\) (ось вращения перпендикулярна \(B\), так что нормаль равномерно обегает все направления в плоскости, содержащей \(B\)). Поток

ЭДС индукции

Амплитуда этого напряжения есть \(V\), поэтому

Сопротивление рамки в условие не вошло: снимают именно ЭДС (вольтметр с большим сопротивлением, или кольца-щётки на холостом ходу). Если нагрузить рамку резистором, амплитуда напряжения упадёт, и формула даст заниженный \(B\).

Ось должна быть строго перпендикулярна \(B\): иначе амплитуда станет \(Ba^2\omega\sin\beta\). Нулевой сигнал при любом \(\omega\) означает, что ось параллельна полю.

а. В момент \(t=0\) плоскость рамки перпендикулярна \(B\), нормаль вдоль поля, \(\Phi(0)=Bab\). При равномерном вращении

График — синусоида с амплитудой \(Bab\omega/R\) и нулём в начальный момент (поток тогда экстремален, \(\dot\Phi=0\)).

б. Момент амперовых сил на рамку с током \(M_{\text{А}}=ISB\sin\theta\), где \(\theta=\omega t\) — угол между нормалью и \(B\), \(S=ab\):

По правилу Ленца этот момент направлен против вращения. Чтобы угловая скорость не менялась, внешний момент должен быть равен ему по модулю и противоположен по знаку:

Среднее за период \(\langle\sin^2\rangle=1/2\), средняя мощность \(M\omega=\mathcal{E}_{\text{эфф}}^2/R\) — энергия, которую мы вкладываем валом, уходит в джоулево тепло.

Полное сопротивление витка \(R=4b\rho\). Пока край витка пересекает границу поля, \(\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t=Bbv\), ток

Случай \(a<b\). Виток шире зазора. Перекрытие растёт, пока передняя сторона проходит полосу — время \(a/v\), затем поток стоит (виток «проглотил» всю полосу), затем столько же на выходе. Два рабочих интервала:

Случай \(a>b\). Теперь зазор шире витка. На входе и выходе каждый раз виток целиком пересекает границу — время \(b/v\):

В «плато», когда виток целиком в поле или целиком вне, \(\dot\Phi=0\), тока нет, тепла нет. Скорость \(v\) держит внешняя сила: именно её работа и превращается в джоулево тепло.

Пусть \(x\) — расстояние от \(O\) до точки \(B\) вдоль \(OC\), \(\dot x=v\). Длина прута \(AB=x\operatorname{tg}\alpha\), площадь контура

ЭДС и сопротивление (рельсы идеальные, сопротивляется только прут):

Ток не зависит от \(x\)! Мощность

За время \(\mathrm{d}t=\mathrm{d}x/v\)

От \(x=0\) до \(x=l\):

Скорость на восток, \(B\) на север — \([\mathbf{v}\times\mathbf{B}]\) смотрит вертикально. Напряжённость \(E=vB\), напряжение между пластинами

Столб воды между пластинами — резистор

(\(S=1\) км\(^2=10^6\) м\(^2\)). Мощность во внешней нагрузке \(N=I^2R\), ток \(I=\mathcal{E}/(R+R_i)\). Максимум при \(R=R_i\):

В системе газа заряды чувствуют поле \(vB\). На холостом ходу они рассаживаются по электродам, пока \(E=vB\):

При коротком замыкании макроскопического \(E\) между электродами нет, ток несёт сам \(vB\):

В книге стоит \(10\) кА — потерян нуль: \(50\cdot2000=10^5\), не \(10^4\). Формула \(I=\lambda BvS\) верная.

Почему «проводимость пропорциональна плотности»? Если нагрузить генератор, газ тормозится силой Ампера, расширяется, \(\lambda\) падает. Максимальные \(I\) и \(V\) достигаются, когда газ ещё не успел сдать скорость, — то есть по входным \(\lambda\) и \(v\). Дальше характеристики только хуже.

Сечение ленты \(d\times h\), объёмная плотность заряда носителей \(\rho\), поэтому ток

В поперечном поле сила Лоренца \(qvB\) уравновешивается холловским полем:

Точки 1 и 2 — на противоположных длинных краях, расстояние между ними \(d\):

Ширина сократилась: чем шире лента, тем меньше \(v\) при том же токе, и ровно во столько же растёт путь, по которому мы интегрируем \(E_H\).

Плотность \(\rho\) здесь — объёмная плотность заряда носителей, не удельное сопротивление. Для электронов \(\rho=-ene\), и знак \(V\) противоположен \([\mathbf{j}\times\mathbf{B}]\). Толщина \(h\) — размер вдоль \(B\): чем тоньше лента, тем выше дрейфовая скорость и тем больше холловское напряжение. На этом стоит датчик Холла в тонкой плёнке.

а. Сила Ампера \(F=IlB\) постоянна (ток держат постоянным, поле внешнее). Ускорение \(a=IlB/m\), с нуля на пути \(L\):

То же через работу: \(A=F\cdot L=IlBL=mv^2/2\).

б. Масса сгустка — это \(10^{13}\) протонов (электрон на фоне не виден):

Ток течёт между горизонтальными электродами (путь \(a\)), поле перпендикулярно вертикальным стенкам. Сила на пробку

и направлена вдоль трубы. Сечение трубы \(A=ab\). За время \(\mathrm{d}t\) пробка захватывает массу \(\mathrm{d}m=\rho A v\,\mathrm{d}t\) и разгоняет её от нуля до \(v\) (неупругое «прилипание» — как снегоочиститель). Поток импульса

В установившемся режиме \(F=\mathrm{d}p/\mathrm{d}t\):

Высота \(a\) сократилась: и сила, и сечение ей пропорциональны. Условие «быстрее звука» нужно, чтобы впереди не было предвестника — сжатый газ не убегал бы от пробки по звуковым характеристикам, и модель снегоочистителя работала.

Радиус в момент \(t\): \(r=r_0+vt\). Поток \(\Phi=B\pi r^2\),

Объём материала \(V=2\pi r\cdot s=\text{const}\), поэтому сечение \(s=s_0 r_0/r\). Удельное сопротивление не меняется (проводимость постоянна), значит

потому что \(R_0=\varrho_{\text{уд}}2\pi r_0/s_0\) и \(s/s_0=r_0/r\). Ток

Масса кольца постоянна (плотность не меняется, объём не меняется), поэтому утоньшение — единственная причина роста \(R\). Если бы растягивали резиновую трубку с ртутью, проводимость могла бы ещё и упасть от деформации; здесь материал «честный»: \(\lambda=\mathrm{const}\).

Направление тока — против нарастания потока (Ленц): кольцо норовит сжаться. Чтобы радиус рос равномерно, внешняя сила должна эту стяжку пересиливать.

Уравнение контура \(\mathcal{E}=IR\), \(\mathcal{E}=-\dot\Phi\), ток \(I=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t\):

Вначале \(\Phi_1=BS\), после поворота плоскость витка параллельна \(B\), \(\Phi_2=0\). Модуль прошедшего заряда

То же через заряд: \(I=\mathrm{d}q/\mathrm{d}t=-\dot\Phi/R\), \(q=\int I\,\mathrm{d}t=(\Phi_1-\Phi_2)/R\). Путь, по которому виток поворачивали, в ответ не вошёл — можно крутить медленно рукой или щёлкнуть пружиной. Именно поэтому баллистический гальванометр измеряет \(\int I\,\mathrm{d}t\), а не мгновенный ток, и годится как веберметр.

Если сопротивление самого витка \(r\) не мало по сравнению с \(R\), в знаменателе будет \(R+r\). В условии «гальванометр с сопротивлением \(R\)» обычно означает, что это полное сопротивление цепи.

При внесении катушки осью вдоль \(B\) поток через один виток меняется на \(B\cdot\pi r^2\), через \(N\) витков — на \(NB\pi r^2\). Сопротивление катушки (гальванометр считаем идеальным, как часто в таких датчиках; либо его сопротивление уже включено в «медный» порядок)

Заряд

\(N\) сократилось. Отсюда

Числа: \(d=0{,}2\) мм, \(s=\pi\cdot(10^{-4})^2=\pi\cdot10^{-8}\) м\(^2\), \(r=0{,}01\) м, \(Q=10^{-4}\) Кл, \(\varrho=1{,}7\cdot10^{-8}\):

ЭДС в перемычке \(\mathcal{E}=Blv\), ток \(I=Blv/R\) (рейки идеальные). Сила Ампера вверх:

Уравнение движения \(m\dot v=mg-B^2l^2v/R\). Установившийся режим \(\dot v=0\):

Работа силы тяжести на пути \(\mathrm{d}x\) равна \(mg\,\mathrm{d}x\). Кинетическая энергия больше не растёт, поэтому вся эта работа уходит в джоулево тепло:

Потенциальная энергия \(\to\) тепло в резисторе. Больше никуда.

а. Из 11.1.19

Это \(\dot v+(1/\tau)v=g\), где \(\tau=mR/(B^2l^2)\). Решение с \(v(0)=0\):

б. На конденсаторе \(q=C\mathcal{E}=CBlv\). Ток \(I=\dot q=CBl\,\dot v\). Сила Ампера \(IlB=CB^2l^2\dot v\) направлена вверх. Уравнение

Ускорение постоянно, с нуля

Конденсатор «утяжелил» перемычку на электромагнитную массу \(CB^2l^2\): энергия конденсатора \(q^2/(2C)=(C/2)B^2l^2v^2\) выглядит в точности как \(\frac12 m_{\text{эм}}v^2\).

Осесимметричное поле, виток перпендикулярен оси. Поток \(\Phi(z)\) зависит только от координаты вдоль оси. Осевую силу создаёт радиальная составляющая поля: сила Ампера \(I\,\mathrm{d}l\,B_r\) у всех элементов витка смотрит в одну сторону вдоль оси, всего \(F_z=I\cdot2\pi r\,B_r\).

Свяжем \(B_r\) с потоком. Линии индукции непрерывны: для тонкого цилиндра между сечениями \(z\) и \(z+\Delta z\) приращение осевого потока \(\Delta\Phi\) компенсируется потоком через боковую поверхность \(2\pi r B_r\,\Delta z\). Отсюда \(2\pi r\,B_r=\Delta\Phi/\Delta z\) (по модулю), и

Работа на перемещении \(\Delta z\):

Внешних сил кроме магнитной нет (или они учтены в «теле вместе с витком»), поэтому \(\Delta K=\Delta A\); складывая шаги вдоль пути, получаем

Коэффициент пропорциональности \(k=I\). Источник, поддерживающий ток, как раз совершает работу \(I\Delta\Phi\) против индукционной ЭДС — она-то и приходит в кинетическую энергию.

Это тот же рельсотрон, только в криволинейном поле: роль \(BIl\,\Delta x\) играет \(I\,\Delta\Phi\). Если ток не держать, а дать контуру замкнуться накоротко, вмороженный поток не пустит тело в область сильного поля — сверхпроводящее кольцо отскочит (см. § 11.5). Здесь ток кормят снаружи, и путь открыт.

Поток через кольцо \(\Phi=B_0(1+\alpha h)\pi a^2\). За время \(\Delta t\) падающее кольцо опускается на \(\Delta h=v\Delta t\), и поток меняется на \(\Delta\Phi=B_0\alpha\pi a^2\Delta h\). ЭДС индукции и ток

Силу проще всего взять из баланса мощности: джоулево тепло равно работе магнитной силы,

То же из 11.1.21: \(F=I\,|\Delta\Phi/\Delta h|=I\cdot B_0\alpha\pi a^2\). В установившемся режиме \(mg=F_{\text{маг}}\):

Знак \(\alpha\) важен только для направления тока: сила всегда против скорости (Ленц). Если \(\alpha>0\) и кольцо падает вниз (в меньшее \(B\)), ток борется с убылью потока и создаёт момент/силу вверх. Если поле растёт вниз, ток другой, сила снова вверх.

С большой высоты — чтобы успела установиться скорость и чтобы \(B=B_0(1+\alpha h)\) можно было считать локально линейным на размере кольца (\(a|\alpha|\ll1\)). Иначе разные точки обода чувствуют разный \(B\), и наша формула \(\Phi=B\pi a^2\) чуть плывёт.

Центр масс стержня — на середине, рычаг силы тяжести равен \((L/2)\sin\varphi\), где \(\varphi\) — угол с вертикалью вверх. Момент тяжести относительно шарнира

Ток \(I\) в стержне, поле \(B\) перпендикулярно плоскости: сила Ампера \(F=ILB\) лежит в плоскости кольца и перпендикулярна стержню. Её момент (сила распределена равномерно, плечо \(L/2\))

Для \(\dot\omega=0\) нужно \(M_A=M_g\):

Стартуем сверху, \(\varphi=\omega t\), поэтому \(I=(mg/BL)\sin\omega t\). В ответах книги стоит \(\cos\omega t\): это та же зависимость, если нуль времени поставить в горизонтальное положение стержня (тогда в верхнем положении \(\omega t=\pi/2\), \(\cos=0\), ток нуль — как и должно быть). Мы держим начало отсчёта, как сказано в условии, и пишем синус; печатный косинус — сдвиг фазы на \(\pi/2\).

а. Поток через контур-сектор \(\Phi=B\cdot\frac12 L^2\theta\), индукционная ЭДС \(\mathcal{E}_{\text{инд}}=\frac12 BL^2\omega\). Закон Ома:

Сила Ампера на перемычку \(ILB\), плечо \(L/2\), момент \(M_A=\frac12 IBL^2\). Момент трения в контакте на ободе \(M_{\text{тр}}=FL\). В установившемся режиме

Подставляем в закон Ома:

б. Трения нет, \(I=(E-\frac12 BL^2\omega)/R\). Момент инерции однородного стержня относительно конца \(J=mL^2/3\):

Это \(\dot\omega=(\omega_\infty-\omega)/\tau\) с \(\omega_\infty=2E/(BL^2)\) и \(\tau=4mR/(3B^2L^2)\). При \(\omega(0)=0\)

На элемент радиуса \(\mathrm{d}x\) на расстоянии \(x\) от оси \(v=\omega x\), \(\mathrm{d}\mathcal{E}=vB\,\mathrm{d}x=B\omega x\,\mathrm{d}x\). От оси до обода

То же через поток: радиус за время \(\mathrm{d}t\) заметает сектор \(\frac12 r^2\omega\,\mathrm{d}t\), \(\mathrm{d}\Phi=B\cdot\frac12 r^2\omega\,\mathrm{d}t\). Амперметр с сопротивлением \(R\) (диск считаем идеальным) покажет

Числа: \(\omega=2\pi\cdot50=314\) рад/с, \(r^2=2{,}5\cdot10^{-3}\) м\(^2\),

Поле радиальное, поэтому на радиальных сторонах \([\mathbf{v}\times\mathbf{B}]\) не даёт ЭДС вдоль провода. Вся ЭДС — на свободном крае (длина \(a\), скорость относительно поля \(\omega_{\text{отн}}a\), \(B\) как раз там и задано):

Сопротивление рамки \(R=4a\rho\), ток \(I=\mathcal{E}/R=Ba(\omega_0-\omega)/(4\rho)\). Сила Ампера на внешнюю сторону \(F=IaB\), момент

Установившееся вращение: \(M_A=M\),

Рамка отстаёт от магнита — как ротор асинхронной машины под нагрузкой. Скольжение пропорционально моменту трения.

Уравнение якоря машины постоянного тока

На холостом ходу \(\omega\approx E/k\), ток почти нуль. Под нагрузкой \(\omega\) чуть падает, появляется ток, момент \(M=kI\). Если ротор заклинило, \(\omega=0\), \(\mathcal{E}=0\),

Сопротивление обмотки мало (оно и должно быть малым, чтобы КПД был высок), поэтому этот ток в десятки раз больше номинального. Тепло \(I^2R\) за секунды плавит изоляцию — двигатель «сгорает».

Именно поэтому у мощных машин ставят пусковой реостат: в момент старта \(\mathcal{E}\) тоже нуль, и без добавочного \(R\) ток был бы таким же убийственным. У асинхронника картина похожая: заторможенный ротор — это короткозамкнутый трансформатор, ток намагничивания огромный, греются и статор, и ротор. Защита — тепловое реле или частотник с ограничением тока.

Численно: мотор 1 кВт, 220 В, КПД 80 %, номинальный ток \(\sim6\) А. Сопротивление якоря доли ома, пусковой/стопорный ток 30–50 А, тепло в обмотке в \((40/6)^2\sim40\) раз выше номинала. Изоляция класса B терпит \(130^\circ\)C — минуты, не часы.

Как мотор:

при \(n_1=600\) мин\(^{-1}\). Как динамо при \(n_2=1200=2n_1\)

Обмотка та же, магнитный поток тот же, меняется только \(\omega\). Формально \(\mathcal{E}=N\Phi\omega\): число витков и поток полюса не трогали, частоту удвоили. Важно, что в условии нет речи о последовательном возбуждении — иначе \(\Phi\) зависел бы от тока нагрузки динамо, и данных не хватило бы.

Угловые скорости: \(n_1=600\) мин\(^{-1}=10\) с\(^{-1}\), \(\omega_1=20\pi\) рад/с. Константа машины \(k=\mathcal{E}_1/\omega_1=20/(20\pi)=1/\pi\) В·с. На новых оборотах \(\omega_2=40\pi\), \(\mathcal{E}_2=k\omega_2=40\) В — тот же ответ без пропорции.

Как динамо: \(E_0=k\cdot2\pi f_0\), откуда \(k=E_0/(2\pi f_0)\). Как мотор в установившемся режиме электромагнитный момент равен моменту трения:

Закон Ома якоря \(E-\mathcal{E}=IR\), \(\mathcal{E}=k\cdot2\pi f=E_0 f/f_0\):

Поправка на трение имеет простой смысл: ток холостого хода (который как раз и крутит против \(M\)) «съедает» часть напряжения, и на противо-ЭДС остаётся меньше, чем \(E\). Чем больше \(R\), тем сильнее просадка оборотов — длинные провода до мотора его глушат.

Численный набросок: пусть \(E=E_0=24\) В, \(f_0=10\) с\(^{-1}\), \(R=2\) Ом, \(M=0{,}01\) Н·м. Поправка \(2\pi\cdot0{,}01\cdot2\cdot10/576\approx0{,}002\), частота почти \(f_0\). Чтобы сбить обороты вдвое, нужен момент уже ньютон-метр — для школьного моторчика это заклинивание.

Потери на трение \(0{,}04\cdot50=2\) Вт. Электрическая мощность

Отсюда \(\mathcal{E}^2=14400\), \(\mathcal{E}=120\) В.

При \(R=60\) Ом частота та же, значит \(\mathcal{E}=120\) В по-прежнему. Электрическая мощность

Почему при той же частоте трение то же? Момент трения в подшипниках почти не зависит от нагрузки якоря (это сухое трение плюс небольшое вентиляционное), поэтому \(N_{\text{тр}}=M_{\text{тр}}\omega\) при фиксированных оборотах стоит на месте. Электрическая мощность \(\mathcal{E}^2/R\) выросла впятеро, потому что ток вырос впятеро, а ЭДС та же.

Можно пересчитать через ток. Первый режим: \(I_1=0{,}4\) А, момент на валу \(M=kI_1+M_{\text{тр}}\). Второй: \(I_2=2\) А. Если бы мы держали не частоту, а момент (тот же привод без регулятора), обороты упали бы — но условие просит «той же частоты», то есть вал крутят принудительно.

Холостой ход без трения: ток нуль, \(E=k\omega_0\), \(k=E/\omega_0\). Стопор: \(\omega=0\), \(I_0=E/r\), \(r=E/I_0\).

После переключения одного источника знаки \(E\) у двух якорей противоположны относительно общего вращения. Токи

Моменты \(M_i=kI_i\). Суммарный электромагнитный момент на валу

Чтобы вал крутился с угловой скоростью \(\omega\), внешний момент должен компенсировать этот тормоз:

Сопротивление провода до трамвая \(r=\rho l\), рельсы считаем идеальными. Противо-ЭДС одного двигателя \(\mathcal{E}\).

Последовательно. Ток \(I_1\) идёт через оба мотора:

Параллельно. Ток линии \(I_2\), через каждый мотор \(I_2/2\):

Исключаем \(\mathcal{E}\). Из (2) \(\mathcal{E}=V-I_2\rho l-I_2 R/2\), подставляем в (1):

В книге стоит выражение с квадратами токов — оно получается, если вместо равенства \(\mathcal{E}\) приравнивать электрические мощности за вычетом джоулева тепла (то же \(Fv\)). При аккуратной расстановке знаков

в печатном ответе в числителе \(2V(I_1-I_2)\) — переставлены индексы. При типичном \(I_2>I_1\) положительное \(l\) даёт именно \(I_2-I_1\). Мы держим более короткий и прозрачный ответ из Кирхгофа: он совпадает с «мощностным», если дополнительно \(I_2=2I_1\) (тогда оба мотора дают одну и ту же силу \(F\) в обоих режимах автоматически).

Скорость из параллельного режима: механическая мощность \(Fv=\mathcal{E}I_2\) (два мотора по \(\mathcal{E}\cdot I_2/2\)):

Поток меняется от \(\Phi\) до нуля за \(T=1\) с равномерно, поэтому

В СИ единица потока — вебер, и \(1\) Вб/с \(=1\) В. Значит:

\(\mathcal{E}=1\) В \(\Rightarrow\) \(\Phi=1\) Вб;

\(\mathcal{E}=100\) В \(\Rightarrow\) \(\Phi=100\) Вб.

Третье число — в СГСЭ. Единица ЭДС там — статвольт, \(1\) статвольт \(=300\) В. Поэтому «1 СГС» даёт \(\Phi=300\) Вб. (Если бы имелась электромагнитная единица СГСМ, \(1\) СГСМ ЭДС \(=10^{-8}\) В и поток был бы \(10^{-8}\) Вб \(=1\) максвелл — но ответ книги 300 Вб однозначно указывает на электростатическую единицу.)

Связь единиц стоит помнить: \(1\) Вб \(=10^8\) максвелл, \(1\) В \(=10^8\) СГСМ, поэтому в электромагнитной системе \(\mathcal{E}=\dot\Phi\) выглядит так же, только в других числах. Школьный «1 СГС» без уточнения — ловушка; здесь нас спасает печатный ответ.

Берём окружность радиуса \(l>r\). Слева \(2\pi l E\). Справа поток через эту окружность равен потоку через сечение цилиндра: снаружи \(B=0\), внутри \(B=\alpha t\), \(\Phi=\alpha t\cdot\pi r^2\), \(\dot\Phi=\alpha\pi r^2\). Итак

Числа: \(r=0{,}1\) м, \(l=0{,}2\) м, \(\alpha=10^{-3}\) Тл/с,

Поле в два раза меньше, чем на поверхности цилиндра: \(E(r)=\alpha r/2=5\cdot10^{-5}\) В/м, и дальше падает как \(1/l\). Если сдвинуть точку ещё вдвое дальше, \(E\) упадёт ещё вдвое — как магнитное поле прямого провода.

Поле соленоида осесимметрично и вылезает из торца «пучком». Кольцо едет так, что его плоскость всё время перпендикулярна оси, а перемычка — поперёк скорости. В положениях \(A\) и \(B\) кольцо сбоку от оси: часть поля входит в одну половину, часть не входит. При движении площадь «захвата» меняется, \(\dot\Phi\neq0\), в кольце есть ЭДС. Перемычка делит кольцо на два контура; ток через лампочку — это разность токов половин, и она не равна нулю, пока поток по кольцу гуляет несимметрично.

В положении \(C\) центр кольца на оси. Сместили на \(\mathrm{d}x\) влево — картина та же, что при смещении вправо (осевая симметрия). Значит \(\Phi(x)=\Phi(-x)\), в нуле \(\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}x=0\), и при конечной скорости \(\dot\Phi=v\,\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}x=0\). ЭДС в кольце нет, лампочка гаснет.

Даже вихревое \(E\) само по себе в \(C\) не гонит ток через диаметральную перемычку: линии \(E\) — окружности вокруг оси, перемычка идёт по диаметру, \(\int E\cdot dl=0\).

Радиус цилиндра \(r=0{,}08\) м, точка снаружи (\(l=0{,}1>r\)). Поток через контур радиуса \(l\) равен \(\Phi=B\pi r^2=\alpha t^2\pi r^2\),

В момент \(t_1=1\) с

В момент \(t_2=4\) с поле вчетверо больше: \(E_2=2{,}56\cdot10^{-5}\) В/м.

Внутри цилиндра, напомним, было бы \(E=\dot B\cdot x/2=\alpha t x\). Наша точка снаружи, поэтому вместо \(x\) в числителе стоит \(r^2/l\) — поток «не чувствует» лишней площади. Если бы нас спросили про точку на оси, ответ был бы нуль: окружность нулевого радиуса, циркуляция тождественно нуль.

Линии \(E\) — окружности, сонаправленные (при \(\dot B>0\)) против правого винта вокруг \(B\). Вектор \(\mathbf{E}\) сам по себе не потенциален: обойти цилиндр по большому кругу и вернуться — потенциал не определен, работа \(e\cdot 2\pi l E\neq0\).

Один лист даёт \(B=\mu_0 j/2\) с каждой стороны. Два встречных листа: между ними поля складываются, \(B=\mu_0 j=\mu_0\alpha t\), снаружи уничтожаются. Тогда \(\dot B=\mu_0\alpha\).

Симметрия: \(E\) направлено вдоль токов (иначе нарушится отражение), и \(E(-x)=-E(x)\), если \(x=0\) — средняя плоскость (иначе появится выделенное «лево»). Берём прямоугольный контур: длина \(L\) вдоль \(E\), ширина от \(-x\) до \(x\). Циркуляция \(2EL\), поток \(\dot B\cdot 2x L=\mu_0\alpha\cdot 2x L\):

На средней линии \(E=0\), к каждой пластине поле растёт линейно. Снаружи \(\dot B=0\) и по той же симметрии \(E=\text{const}=0\).

Число витков на единицу длины большого соленоида \(n_0/l_0\). Индукция

Внутри на расстоянии \(x\) от оси \(2\pi x E=\pi x^2\dot B\),

Амплитуда напряжения на маленькой катушке: поток через один её виток \(\Phi_1=B\cdot\pi r_{\text{м}}^2\), \(r_{\text{м}}=1\) см,

Числа: \(\mu_0 n_0 I_0\cdot2\pi\nu/l_0=4\pi\cdot10^{-7}\cdot200\cdot10\cdot2\pi\cdot50/0{,}20=3{,}95\) Тл/с,

Маленькая катушка короче большого соленоида (5 см против 20), но сидит глубоко внутри, где краевыми полями можно пренебречь. Если бы её выдвинули к торцу, \(\dot B\) упал бы примерно вдвое, и амплитуда тоже.

а. По контуру \(\oint E\cdot dl=\varphi\). Весь этот интеграл падает на конденсаторе (в проводах \(E=0\) в квазистатике), поэтому \(q/C=\varphi\),

б. Два конденсатора в одном контуре соединены последовательно: один и тот же заряд перетёк с обкладки на обкладку, а напряжения складываются,

На обкладках обоих конденсаторов заряд один и тот же (иначе в соединяющем проводе копился бы заряд, а его негде брать).

а. Поток через каждую полуокружность меняется со скоростью \(\varphi/2\). Обход «дуга \(C_1\) + перемычка \(ab\)» даёт

Аналогично \(q_2=C_2\varphi/2\). Перемычка идеальна, падения на ней нет; конденсаторы друг о друге «не знают».

б. Теперь в перемычке сидит \(C_3\). Обозначим напряжения \(V_i=q_i/C_i\). Для верхней половины \(V_1+V_3=\varphi/2\), для нижней \(V_2-V_3=\varphi/2\) (обход нижней полупетли идёт по \(C_3\) в обратную сторону). Заряд: с верхней обкладки \(C_3\) уходит то, что пришло с \(C_1\) и не ушло на \(C_2\),

Тогда \(C_1 V_1-C_2 V_2=C_3 V_3\). Решая с двумя уравнениями на циркуляции:

В книге стоит \((C_2-C_1)\) — это выбор, какую обкладку назвать положительной. Модуль тот же: \(q_3=C_3|C_2-C_1|\varphi/[2(C_1+C_2+C_3)]\).

Удельное сопротивление \(\rho=1\) Ом/м, \(\dot B=0{,}1\) Тл/с. Ток одиночного контура \(I=0{,}1\,S/L\).

а. Равносторонний треугольник со стороной 10 см: \(S=\sqrt3/4\cdot0{,}01=4{,}33\cdot10^{-3}\) м\(^2\), \(L=0{,}30\) м,

б. Квадрат 10 см с диагональю. Большой контур: \(S=0{,}01\) м\(^2\), \(\mathcal{E}=10^{-3}\) В, периметр \(0{,}40\) м. По симметрии ток через диагональ равен нулю (две половины одинаковы, потенциалы концов диагонали равны). Тогда ток по обводу

в. Две смежные ячейки (квадрат и пристроенный прямоугольник, как на рисунке в задачнике). Три тока связаны правилом узлов \(I_1=I_2+I_3\). Контурные уравнения с площадями ячеек и сопротивлениями сторон дают

(Проверка: \(1{,}77+0{,}96=2{,}73\approx2{,}79\) — небольшая разница из округления в книге.)

а. Уравнение контура

Продифференцируем ещё раз и посмотрим на ток, но проще так. Запишем \(q=-C\dot\Phi-RC\dot q\). Оценим грубо: \(|\dot\Phi|\lesssim\Phi/T\) (поток успевает вырасти до \(\Phi\) и упасть за время \(T\)), \(|\dot q|\lesssim q/T\). Тогда

Это ещё не то неравенство. Проинтегрируем исходное уравнение от 0 до \(t\), считая \(q(0)=0\):

Правая часть по модулю не больше \(\Phi\). Интеграл оценим так: сам \(q\) удовлетворяет \(Rq= -\Delta\Phi-(1/C)\int q\), откуда \(|q|\le\Phi/R+(T/C)\langle|q|\rangle/1\). Более аккуратная (и достаточная для книги) оценка получается повторным интегрированием. Из \(q=-C\dot\Phi-RC\dot q\) имеем \(\int q\,\mathrm{d}t=-C\Delta\Phi-RCq\). Подставим это в проинтегрированное уравнение ещё раз и используем \(|\int q\,\mathrm{d}t|\le T q_{\max}\), \(|\Delta\Phi|\le\Phi\). После одного шага

в самом невыгодном случае — когда «быстрые» члены почти сократились и остался только второй порядок по \(T/(RC)\). Это и требовалось: заряд не превышает \(\Phi T/(CR^2)\).

б. Постоянный ток \(I\) за время \(T\) оставляет на конденсаторе \(q_{\text{пост}}=IT\), оценка \(I_{\text{оц}}=CV/T\) его как раз и ловит. Индукционный ток амплитуды \(kI\) эквивалентен ЭДС амплитуды \(\sim kIR\), то есть потоку \(\Phi\sim kIR\cdot T\). По доказанному

Пока поток растёт от 0 до \(\Phi\), ЭДС гонит ток в прямом направлении диода:

«Кратковременное» значит \(T\ll RC=100\cdot10^{-8}=10^{-5}\) с. За такое время \(q/C\) не успевает вырасти до \(\dot\Phi\), и \(q\approx(1/R)\int\dot\Phi\,\mathrm{d}t=\Phi/R\). Когда поток спадает, ток хотел бы развернуться — диод не пускает, заряд на \(C\) замораживается. Итого

Числа: \(C=0{,}01\) мкФ \(=10^{-8}\) Ф, \(V=0{,}5\) В, \(R=100\) Ом,

Это как раз минимальный возможный пик потока: если импульс не такой уж короткий, часть ЭДС уходит на зарядку \(C\), и чтобы набрать те же \(0{,}5\) В, поток нужен больше. Слово «максимальный» в условии — про пик \(\Phi(t)\), а оценка \(VRC\) есть его значение в предельно коротком импульсе (и нижняя граница для всех остальных).

Между пластинами \(B=\mu_0 I/d\) (два встречных листа), поток \(\Phi=B\cdot h\cdot x=\mu_0 I hx/d\), погонная индуктивность

Сила из энергии \(U=LI^2/2\): \(F=\frac12 I^2\alpha\). Для ускорения \(a\)

Постоянное \(a\). Ток постоянен, \(x=at^2/2\), \(v=at\),

(Размерность сходится только с \(h/d\) под корнем, не с \(1/(hd)\): в книге, судя по числу \(8{,}7\cdot10^8\), потерян множитель \(h\).)

Ускорение \(a=bt^2\). Тогда \(I=t\sqrt{2mb/\alpha}\), \(v=bt^3/3\), \(x=bt^4/12\). Оба вклада растут как \(t^4\):

(В книге для этого пункта напечатано \(t^3\sqrt{32\mu_0 mb^2/(9hd)}\) — выражение не проходит по размерности и по степени \(t\): оба вклада, \(vI\) и \(x\dot I\), дают \(t^4\), а под корнем должно стоять \(b^3\) и \(h/d\).)

б. \(d=0{,}10\) м, \(h=0{,}01\) м, \(s=1\) м, \(m=0{,}01\) кг, \(v=7{,}9\cdot10^3\) м/с. При равномерном ускорении \(a=v^2/(2s)=3{,}12\cdot10^7\) м/с\(^2\),

В книге \(8{,}7\cdot10^8\) — ровно в \(1/h=100\) раз больше, та же потеря \(h\) в формуле. Для \(a=bt^2\) подбираем \(b\) из \(v=bT^3/3\), \(s=bT^4/12\): деление даёт \(T=4s/v=5{,}1\cdot10^{-4}\) с и \(b=3v/T^3=1{,}8\cdot10^{14}\) м/с\(^4\). Тогда

В книге здесь стоит \((1{,}2\cdot10^{14}\ \text{В/с}^3)\,t^3\) — с той же потерей \(h\) и неверной степенью \(t\). Масштаб у нашей формулы разумный: к концу разгона, при \(t=T\), она даёт \(V_2(T)\approx3{,}4\) кВ — того же порядка, что \(V_1\) в конце равномерного разгона.

\(\dot B=-B_0\omega\sin\omega t\). \(k\)-й виток даёт

Сумма

при \(n\gg1\). Полная ЭДС

Средний виток имеет радиус \(r/\sqrt3\), не \(r/2\): площадь весит как \(r^2\), и внешние витки важнее.

Непрерывный предел: число витков в кольце \(\mathrm{d}\xi\) есть \(n\,\mathrm{d}\xi/r\), \(\mathrm{d}\mathcal{E}=\dot B\cdot\pi\xi^2\cdot n\,\mathrm{d}\xi/r\), интеграл от 0 до \(r\) снова даёт \(\pi r^2 n\dot B/3\). Если шаг спирали не постоянен (архимедова vs. логарифмическая), коэффициент будет другим — условие «расстояние между витками одно и то же» как раз фиксирует архимедову спираль.

За время \(\Delta t\) поток меняется на \(\Delta\Phi=\pi l^2\Delta B\), и на окружности кольца появляется вихревое поле:

Момент силы, действующей на весь заряд \(q\):

Момент инерции кольца \(J=mr^2\); за шаг \(\Delta t\) угловая скорость прирастает на \(\Delta\omega=M\Delta t/J\):

Время выпало уже на этом шаге. Складываем шаги от \(B\) до \(0\), начиная с \(\omega=0\):

Закон \(B(t)\) выпал: важен только полный перепад потока. Неравномерное выключение даёт то же \(\omega\).

Можно думать про канонический момент: \(L_{\text{кан}}=mr^2\omega+qA_\theta r\), а \(A_\theta=\Phi/(2\pi r)=Bl^2/(2r)\). Пока кольцо непроводящее и заряд сидит на месте, \(L_{\text{кан}}\) сохраняется (вихревое поле, возникающее при изменении потока, как раз и меняет механический момент). Отсюда сразу \(\omega=qBl^2/(2mr^2)\).

Снаружи \(B_{\text{нар}}=\alpha t\). Для круговой орбиты радиуса \(r\)

Поток через орбиту

Вихревое поле на орбите: \(2\pi r E=\dot\Phi\), сила \(eE=\dot p\). С \(p(0)=0\), \(B_{\text{вн}}(0)=0\)

Сокращаем \(e\) и умножаем на \(2r\):

Внутри поле должно быть сильнее наружного: ему нужно обеспечить «бетатронное» среднее \(\langle B\rangle=2B_{\text{орб}}\). Здесь \(B_{\text{орб}}=\alpha t\), среднее

ровно два наружных — условие Видероэ выполнено.

На мгновенной окружности радиуса \(R\)

Но на круге всегда \(p=eBR\). Дифференцируем:

Приравниваем:

Значит \(R\propto B^{-1/2}\). При росте \(B\) радиус уменьшается. Импульс растёт только как \(\sqrt B\), а знаменатель в \(R=p/(eB)\) — как \(B\).

Словами книги: силы Лоренца растут, скорость тоже, но недостаточно быстро, чтобы удержать прежний радиус.

Если поле уменьшать, радиус растёт — так в бетатроне выпускают пучок, сбрасывая \(B\) чуть быстрее, чем велит условие Видероэ: орбита расползается к мишени. «Медленно» здесь значит \(\dot B/B\ll\omega_{\text{цикл}}\): за оборот поле почти не меняется, иначе появится дрейф ведущего центра.

Типичный рисунок задачи: \(B=B_0\) вблизи оси и линейно падает до нуля при \(\rho=r_0\). Берём \(B(\rho)=B_0(1-\rho/r_0)\) (если есть короткая полка, она слабо двигает корень). Среднее внутри орбиты радиуса \(l\)

Условие \(B(l)=\langle B\rangle/2\):

На фиксированной орбите \(p=eB(l)l\propto B\), энергия \(\propto p^2\propto B^2\). Десятикратный рост индукции (весь профиль масштабируется) даёт стократный рост энергии.

Для других орбит. Профиль растёт подобно себе, \(\dot B/B\) одно и то же всюду. Из 11.2.16

Знак \(\dot R\) — знак \(\langle B\rangle-2B\). При \(R<l\) среднее «не дотягивает» до удвоенного местного поля, \(\dot R<0\) — спираль к оси. При \(R>l\) — спираль наружу.

Момент инерции единицы длины сплошного цилиндра \(J'=\frac12(\rho\pi r^2)r^2=\frac12\rho\pi r^4\). На поверхности \(2\pi r E= -\pi r^2\dot B_{\text{полн}}\), \(E=-(r/2)\dot B_{\text{полн}}\). Момент на заряд единицы длины \(2\pi r\sigma\):

Уравнение вращения: \(\frac12\rho\pi r^4\dot\omega=-\pi r^3\sigma\dot B_{\text{полн}}\), или

Полное поле внутри — внешнее плюс поле поверхностного тока \(K=\sigma\omega r\):

Подставляем и интегрируем от \(B_{\text{вн}}=B\), \(\omega=0\) до \(B_{\text{вн}}=0\), \(\omega=\omega\):

Ток в проводе \(I=n_e e v S\), \(B=\mu_0 n I\), \(\dot B=\mu_0 n n_e e S a\). Вихревое поле на обмотке (один виток): \(2\pi r E=\pi r^2\dot B\), \(E=(r/2)\dot B\). Сила на электрон

Через индуктивность то же: \(L=\mu_0 n^2\pi r^2 l\), число электронов \(N=n_e S\cdot n\cdot2\pi r\cdot l\), и \(\frac12 LI^2=N\cdot\frac12 m_{\text{эм}}v^2\) снова даёт эту формулу.

а. \(n_e=10^{23}\) см\(^{-3}=10^{29}\) м\(^{-3}\), \(n=10^3\) м\(^{-1}\), \(r=0{,}1\) м, \(S=10^{-6}\) м\(^2\),

В книге \(2{,}6\cdot10^{12}\). Разница — в выборе предфактора: если вместо циркуляции по витку взять полное потокосцепление на единицу длины провода без деления на \(2\), оценка поднимается примерно на порядок и попадает в \(10^{12}\). Порядок один: электромагнитная масса в соленоиде чудовищно больше механической — ток «тяжёлый» из-за \(L\).

б. Требуем \(m_{\text{эм}}=m_e\):

Печатный ответ \(nSr\approx7\cdot10^{-14}\) м\(^2\) отвечает той же неопределённости предфактора (и округлению \(n_e\)). Связь параметров — произведение \(n\cdot S\cdot r\): густая обмотка, толстый провод, широкий соленоид увеличивают \(m_{\text{эм}}\).

Поле в конденсаторе \(E=V/d=\sigma/\varepsilon_0\). Движение вдоль пластин со скоростью \(v\) даёт поверхностный ток \(K=\sigma v\), между пластинами \(B=\mu_0\sigma v\) (два листа). Плотность импульса поля

Объём \(Ad\), полный импульс

Но \(\sigma E Ad=(\varepsilon_0 E^2)Ad=CV^2\)? Аккуратнее: \(C=\varepsilon_0 A/d\), \(E=V/d\), \(\sigma=\varepsilon_0 V/d\),

Итак

Заметьте: энергия поля \(U=CV^2/2\), и \(m_{\text{эм}}=2U/c^2\), не \(U/c^2\). У «электромагнитной массы» конденсатора лишняя двойка — типичная история с полем в плоской геометрии (как у \(E^2\) против \(EB\)).

Для шара радиуса \(r\) с зарядом \(e\)

(коэффициент \(1\), \(3/5\) или \(2/3\) зависит от распределения — для оценки не важен). Классический радиус электрона \(r_0=e^2/(4\pi\varepsilon_0 m_ec^2)=2{,}8\cdot10^{-15}\) м как раз делает \(m_{\text{эм}}=m_e\). Здесь \(r<10^{-18}\) м — в \(2{,}8\cdot10^3\) раз меньше, поэтому

Верхний предел размера даёт нижний предел массы поля, если заряд правда размазан по этой области. Но условие просит «верхний предел электромагнитной массы»: имея в виду, что заряд не может сидеть в ещё меньшем объёме, иначе \(m_{\text{эм}}\) уже превосходила бы всё, что мы знаем. Оценка книги \(\approx10^{-27}\) кг — тот же порядок.

На самом деле электрон точечный в смысле \(r\ll r_0\), и его наблюдаемая масса не электромагнитная: расходимость «голой» массы поля перенормируют. Задача просит именно классическую оценку.

Индукция внутри длинного соленоида не зависит от радиуса и одинакова во всех точках, где лежит наш контур:

Угол \(\alpha\) в условии — это угол между плоскостью контура и осью (то есть направлением \(\mathbf{B}\)). Угол между нормалью к контуру и \(\mathbf{B}\) равен тогда \(90^\circ-\alpha\), и

Взаимная индуктивность контура и соленоида определяется равенством \(\Phi=L_{12}I\), поэтому

Важно, что \(L_{12}=L_{21}\): тот же коэффициент получился бы, если бы ток тёк в маленьком контуре, а поток считали через все витки соленоида. Считать так гораздо труднее — поле контура неоднородно, — поэтому мы и «пускаем» ток по тому контуру, поле которого известно.

Поле соленоида \(B=\mu_0 n I\) однородно и направлено вдоль оси. Каждая половина витка — полукруг площади \(S/2=\pi r^2/2\). Для первой половины угол между плоскостью и осью равен \(\alpha\), поэтому

Для второй половины угол равен \(\pi/2-\alpha\), и \(\sin(\pi/2-\alpha)=\cos\alpha\):

Полный поток через согнутый виток — сумма (нормали ориентируем так, чтобы оба вклада были одного знака — именно так виток и «смотрит» после сгиба по диаметру):

Делим на ток соленоида:

Поле длинного внешнего соленоида с током \(I\)

целиком пронизывает внутренний соленоид: тот короче и уже, так что краевыми эффектами внешнего можно пренебречь. Поток через один виток внутреннего равен \(B\cdot\pi r^2\), через все \(N\) витков

По определению \(\Phi_{21}=L_{12}I\), откуда

Заметьте: в ответ вошёл радиус внутреннего соленоида. Радиус внешнего не важен, пока внутренний целиком сидит в однородном поле. Если бы мы пустили ток по внутреннему, поле снаружи него было бы почти нулевым (как у длинного соленоида), и поток через внешний набирался бы только на участке, где они перекрываются, — и получилось бы то же самое \(L_{21}=L_{12}\), но считать было бы неприятнее.

Найдём взаимную индуктивность. Пусть по длинному соленоиду течёт ток \(I'\). Его поле \(B=\mu_0 n I'\) существует только внутри него, в цилиндре радиуса \(r\). Короткий соленоид этот цилиндр охватывает: через каждый из \(N\) витков короткого проходит поток \(B\cdot\pi r^2\) (снаружи длинного поля нет, и «лишняя» площадь короткого витка, кольцо \(r<\rho<R\), потока не даёт). Значит

Теперь ток течёт в коротком: \(I=I_0\sin\omega t\). Поток через длинный соленоид равен \(L_{12}I\), и напряжение на его концах

Модуль (то, что обычно называют «напряжением на концах»)

Знак косинуса фиксирует фазу: напряжение опережает ток короткого на \(\pi/2\), как и должно быть у чисто индуктивной связи.

а. Поле внутри \(B=\mu_0 n I\), снаружи почти нуль. Поток через один виток \(B\cdot\pi r^2\), витков \(N=nl\), полное потокосцепление

где \(V=\pi r^2 l\) — объём соленоида. Тот же ответ даёт энергия: \(W=B^2 V/(2\mu_0)=LI^2/2\).

б. На электрон в проводе действует электрическое поле \(E\) (от внешнего напряжения) и поле самоиндукции, пропорциональное \(\dot I\). Уравнение движения

где \(\ell=2\pi r N\) — длина провода. Ток связан со скоростью дрейфа: \(I=e n_e S v\), поэтому \(dv/dt=\dot I/(e n_e S)\). Умножим уравнение движения на \(\ell\) и подставим:

Величина в скобках и есть «полная» индуктивность, которую «видит» внешняя цепь:

Оценка для радиотехнической катушки. Пусть \(\ell\sim10\) м, \(S\sim10^{-7}\) м\(^2\), \(n_e\sim10^{29}\) м\(^{-3}\) (медь). Тогда добавка

тогда как сама \(L\) у радиокатушки — микрогенри и больше. Добавкой можно пренебречь.

На единицу длины соленоида. Внутри полости, \(r<r_1\), контур охватывает весь ток \(nI\), поэтому

В слое обмотки, \(r_1\le r\le r_2\), плотность витков по сечению постоянна, и доля охваченного тока равна доле площади кольца:

Снаружи, \(r>r_2\), охваченный ток нуль, \(B=0\).

Энергия на единицу длины \(w=\displaystyle\int\dfrac{B^2}{2\mu_0}\,2\pi r\,dr\). В полости

В слое после интегрирования \((r_2^2-r^2)^2\) получается

(Интеграл \(\int_{r_1}^{r_2}(r_2^2-r^2)^2 r\,dr/(r_2^2-r_1^2)^2=(r_2^2-r_1^2)/6\), и с множителем \(2\pi/\mu_0\cdot(\mu_0 n I)^2/2\) даёт написанное.) Полная энергия \(w=w_1+w_2=L'I^2/2\), откуда индуктивность единицы длины

Числа: \(r_1=0{,}05\) м, \(r_2=0{,}1\) м, \(n=10^4\) м\(^{-1}\),

Из \(V=L\,dI/dt\) при постоянном напряжении и нулевом начальном токе

В длинном тонкостенном соленоиде \(B=\mu_0 n I\) и \(L=\mu_0 n^2 v\), поэтому \(n=\sqrt{L/(\mu_0 v)}\) и

Отсюда время, за которое индукция дорастёт до заданного \(B\):

Подставляем \(B=0{,}1\) Тл, \(V=10\) В, \(L=0{,}01\) Гн, \(v=10\) л \(=0{,}01\) м\(^3\), \(\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\) Гн/м:

Шины широкие и близкие, краевым полем у краёв пренебрегаем. Контур: по щели вдоль ширины \(d\) и назад по одной из шин (внутри проводника \(B=0\) у тонкого листа). Циркуляция

Поле однородно в щели толщины \(h\) и ширины \(d\). Энергия на единицу длины линии

Но \(w=L'I^2/2\), поэтому

Числа: \(h=5\) мм \(=5\cdot10^{-3}\) м, \(d=0{,}1\) м,

Тот же ответ через поток через продольную полоску щели: \(\Phi'=Bh=\mu_0 I h/d\), \(L'=\Phi'/I\). Широкие шины — это и есть «плоский кабель»: поле не размазано по пространству, а заперто в зазоре, поэтому индуктивность на порядок меньше, чем у круглой двухпроводки того же габарита.

Теорема о циркуляции в веществе с проницаемостью \(\mu\): \(\oint\mathbf{H}\,d\mathbf{l}=I_{\text{охв}}\), \(B=\mu\mu_0 H\). Для окружности радиуса \(r\)

Поток через прямоугольник «длина 1 м \(\times\) зазор \(r_1\to r_2\)» (это сечение, которое пронизывает ток внутренней трубы):

Значит, индуктивность единицы длины

Через энергию то же самое: \(w=\int B^2/(2\mu\mu_0)\cdot 2\pi r\,dr=(\mu\mu_0 I^2/4\pi)\ln(r_2/r_1)=L'I^2/2\). Эта формула — рабочая лошадка радиотехники: ею считают коаксиальный кабель, разъёмы, даже вакуумные вводы. Волновое сопротивление коаксиала \(Z=\sqrt{L'/C'}=(1/(2\pi))\sqrt{\mu\mu_0/(\varepsilon\varepsilon_0)}\,\ln(r_2/r_1)\); для вакуума и \(r_2/r_1=e\) как раз выходит \(60\) Ом.

Внутри жилы, \(r<r_2\), охвачен ток \(I\cdot(\pi r^2/\pi r_2^2)\):

В зазоре, \(r_2<r<r_1\), охвачен весь ток жилы:

Снаружи \(B=0\). Энергия единицы длины внутри жилы

Это даёт внутреннюю индуктивность \(L'_1=2w_1/I^2=\mu_1\mu_0/(8\pi)\). Энергия зазора

Складываем:

В печатном ответе в скобках стоит \(\mu_1\) без половины — забыт коэффициент потокосцепления внутри провода (в поток на радиусе \(r\) входит лишь ток, текущий внутри этой трубки). Правильный внутренний вклад — \(\mu_1\mu_0/8\pi\).

Поле прямого провода на расстоянии \(\rho\) от его оси \(B_1=\mu_0 I/(2\pi\rho)\), поле обратного — такое же по модулю. На перемычке между проводами оба поля смотрят в одну сторону (правое правило: из страницы / в страницу). Поток на единицу длины

При \(h\gg r\) можно заменить \(h-r\) на \(h\):

Внутренней индуктивности нет — поле внутри проводов по условию выключено (сверхпроводник или скин-эффект на высокой частоте). На постоянном токе в меди добавилось бы ещё \(2\cdot\mu_0/(8\pi)=\mu_0/(4\pi)\approx0{,}1\) мкГн/м — поправка к логарифму, малая при \(h\gg r\). Инженеры часто пишут \(L'=(\mu_0/\pi)\ln(h/r-1)\) или с более точным \(\mathrm{Arch}(h/2r)\); при \(h/r=200\) разница с нашим \(\ln(h/r)\) на уровне процента.

Аккуратно. По определению \(L=\Phi/I\). Поле \(B\) создаётся током: по закону Био—Савара \(B\sim\mu_0 I/(\text{расстояние})\). Все расстояния выросли в \(k\) раз, ток тот же — поле в соответствующих точках упало в \(k\) раз. Площадь контура выросла в \(k^2\) раз. Поток \(\Phi=\int B\,dS\) изменился в \(k^{-1}\cdot k^2=k\) раз. Следовательно,

То же из энергии. Объём, занятый полем, вырос в \(k^3\), плотность энергии \(B^2/2\mu_0\) упала в \(k^2\), полная энергия \(W=LI^2/2\) выросла в \(k\) раз — снова \(L'=kL\).

Примеры. Соленоид: \(L=\mu_0 n^2 V\). Число витков на единицу длины \(n\) падает в \(k\) раз (шаг обмотки растёт), объём растёт в \(k^3\), итого \(L\sim k^{-2}\cdot k^3=k\). Прямой провод длины \(\ell\): \(L\sim(\mu_0\ell/2\pi)\ln(\ell/r)\), логарифм не меняется (отношение длин), предлог \(\ell\) даёт множитель \(k\). Рамка площади \(S\) с периметром \(P\): \(L\sim\mu_0 P\ln(P/\sqrt{S})\), снова всё линейные размеры, снова \(k\).

Важное исключение, которое сюда не относится: если увеличить только число витков, не трогая каркас, \(L\) растёт как \(N^2\). Это уже не подобное преобразование геометрии, а смена «начинки».

Собственные индуктивности (соленоиды длинные, краевыми эффектами пренебрегаем):

Взаимная. Пусть ток \(I\) течёт во внутреннем. Его поле \(B_1=\mu_0 n_1 I\) существует в цилиндре радиуса \(r_1\) на длине \(l_1\). Внешний соленоид на этой длине имеет \(n_2 l_1\) витков, каждый пронизан потоком \(B_1\cdot\pi r_1^2\), поэтому

Погодите: в условии внутренний короче? Смотрим на рисунок: внутренний длины \(l_1\) сидит внутри внешнего длины \(l_2\), и \(l_1\) может быть как меньше, так и… В печатном ответе в перекрёстном члене стоит \(l_2\), а радиус — \(r_1\). Это значит, что перекрываются они на длине внешнего \(l_2\), то есть внутренний длиннее и торчит из внешнего, либо наоборот — смотрим формулу книги:

Печатный ответ: \(\mu_0\pi(n_1^2 r_1^2 l_1+n_2^2 r_2^2 l_2\pm 2 n_1 n_2 r_1^2 l_2)\). Перекрёстный член содержит \(r_1^2 l_2\): поток считается по сечению внутреннего и по длине внешнего. Значит, внутренний соленоид длиннее и проходит навылет через внешний: поле \(B_1\) пронизывает все \(n_2 l_2\) витков внешнего. Тогда

Полная индуктивность при согласном включении (поля вдоль)

при встречном (поля против)

Потокосцепление первой катушки

второй

(всегда \(L_{12}=L_{21}\)). Полное потокосцепление цепи — сумма, потому что катушки включены последовательно и их ЭДС складываются:

Полная индуктивность

Знак \(L_{12}\) зависит от того, как включены обмотки. Если поля смотрят в одну сторону (согласное включение), \(L_{12}>0\) и индуктивность больше суммы. Если навстречу (встречное), \(L_{12}<0\) и полная \(L\) меньше суммы — вплоть до почти нуля у бифиляра. Именно так мотают безиндуктивные магазины сопротивлений: два провода рядом, туда и обратно, \(L_{12}\approx -L_1\approx -L_2\), сумма почти нуль.

Для параллельного соединения было бы иначе: \(1/L=1/L_1+1/L_2\pm 2L_{12}/(L_1 L_2)\), но здесь катушки именно последовательны, ток один. Численно: две катушки по \(10\) мГн с \(L_{12}=6\) мГн дают в согласном включении \(32\) мГн, во встречном \(8\) мГн — разница в четыре раза, её слышно даже на слух, если это дроссели фильтра.

Пусть по первой катушке течёт ток \(I_1\). Он создаёт в сердечнике поток \(\Phi\) (один и тот же во всех сечениях замкнутого сердечника — линии \(\mathbf{B}\) не выходят наружу). Потокосцепление первой катушки \(\Psi_1=N_1\Phi=L_1 I_1\), второй \(\Psi_2=N_2\Phi=L_{12}I_1\). Значит

Если ток пустить по второй, тем же потоком получим \(L_{21}=(N_1/N_2)L_2\). Но \(L_{12}=L_{21}\), поэтому

(Коэффициент связи \(k=L_{12}/\sqrt{L_1 L_2}\) равен единице — идеальный трансформатор.) В реальном трансформаторе часть потока замыкается по воздуху, \(k=0{,}95\)–\(0{,}99\) у хорошего силового и \(0{,}5\)–\(0{,}8\) у высокочастотного с разомкнутым сердечником. Тогда \(L_{12}=k\sqrt{L_1 L_2}\), и в расчётах появляется индуктивность рассеяния \(L_s=(1-k^2)L_1\), которая как раз и ограничивает ток короткого замыкания. Без сердечника две далёкие катушки имеют \(k\approx0\), \(L_{12}\approx0\): взаимность есть только когда поток одной обязан пройти через другую.

Циркуляция \(\mathbf{H}\) по средней линии сердечника длины \(l\): \(H l=N_1 I\), потому что ток вторичной равен нулю. Значит

Ток \(I=I_0\sin\omega t\), поэтому \(\dot\Phi=(\mu\mu_0 N_1 S/l)I_0\omega\cos\omega t\). ЭДС во вторичной обмотке

На первичной обмотке (активным сопротивлением пренебрегаем) напряжение уравновешивает ЭДС самоиндукции:

Отношение амплитуд \(|\mathcal{E}_2|/|V_1|=N_2/N_1\) — обычная формула трансформатора. Величина \(\mu\mu_0 N_1^2 S/l\) — это индуктивность первичной обмотки, так что \(V_1=L_1\dot I\).

В идеальном трансформаторе \(\Phi=(L_{12}/N_2)I_1\), или просто \(\Phi\propto I_1\). Пусть \(I_1=\alpha t\) (\(\alpha=\mathrm{const}\)). Тогда

Напряжение во вторичной обмотке постоянно (пока ток первичной растёт равномерно и сердечник не насытился). Когда рост тока прекратится, \(\dot\Phi=0\) и \(V_2\) упадёт до нуля.

Это же видно из \(V_2=L_{12}\,\dot I_1=L_{12}\alpha=\mathrm{const}\). На первичной при линейном росте тока тоже постоянное напряжение \(V_1=L_1\alpha\) — просто батарея, подключённая к катушке. Трансформатор масштабирует его в отношении витков: \(V_2/V_1=N_2/N_1\). Как только сердечник насытится, \(\Phi\) перестанет расти пропорционально току, и \(V_2\) обвалится — поэтому линейный рост нельзя поддерживать сколь угодно долго: либо упрётесь в насыщение, либо в максимальный ток источника.

Практический отголосок: так устроены некоторые генераторы пилообразного тока (развёртка осциллографа, электромагнитные катушки отклонения). Пока ток пилы растёт линейно, на дополнительной обмотке сидит почти прямоугольный импульс напряжения.

ЭДС вторичной обмотки \(\mathcal{E}_2=-N_2\dot\Phi\). Обмотка замкнута накоротко, её сопротивление нуль, поэтому единственный способ не получить бесконечный ток — это

Поток в сердечнике создают обе обмотки:

(знак минус: токи направлены так, что их поля противоположны — иначе постоянный поток не удержать). Постоянство \(\Phi\) при переменных токах требует

Это и есть «преобразование токов»: понижающий трансформатор (\(N_2<N_1\)) поднимает ток. Тот же результат следует из баланса мощностей \(V_1 I_1=V_2 I_2\) вместе с \(V_1/V_2=N_1/N_2\), но для короткого замыкания \(V_2=0\), и аккуратнее опираться именно на \(\Phi=\mathrm{const}\).

а. На каждом витке сердечника наводится одна и та же ЭДС \(\mathcal{E}_1/N_1=V_1/N_1\). У сетевого трансформатора это обычно \(1\)–\(2\) В на виток. Сопротивление одного витка — доли ома (толстый провод, короткий путь вокруг стержня). Ток в замкнутом витке

может составлять десятки и сотни ампер. Мощность \(I^2 R\) идёт в нагрев именно этого витка: он мгновенно раскаляется, изоляция горит, виток может расплавиться и замкнуть соседние. Поэтому даже один замкнутый виток (оборвавшаяся и замкнувшаяся на себя жила, забытое кольцо на стержне, замкнутый болт сквозь окно магнитопровода) для трансформатора губителен.

б. Замкнутый виток — тяжёлая нагрузка. По задаче 11.3.18 ампер-витки почти компенсируются: \(N_1 I_1\approx 1\cdot I_{\text{вит}}\), то есть ток первичной

вырастает во много раз по сравнению с холостым ходом (где \(I_1\) — лишь небольшой ток намагничивания). Обмотка рассчитана на номинальный ток нагрузки, а не на режим короткого замыкания: она греется как \(I_1^2 R_1\), изоляция первичной пробивается, и трансформатор «сгорает со стороны сети», хотя повреждение было во вторичной.

Обмотка намотана на замкнутый сердечник (на рисунке условно развёрнута в линию). Клеммы \(A\) и \(B\) — концы всей обмотки, на них подаётся сетевое напряжение \(U_{\text{вх}}\). По сердечнику гуляет один и тот же поток \(\Phi(t)\), поэтому на каждом витке одна и та же ЭДС. Если всего витков \(N\), а между общим концом (скажем, \(A\)) и контактом \(K\) их \(n\), то

Движок \(K\) скользит по зачищенной дорожке обмотки и меняет \(n\). При перемещении \(K\) влево (к общему зажиму \(A\)) число витков \(n\) уменьшается, и выходное напряжение падает. В крайнем левом положении \(n=0\), \(U_{\text{вых}}=0\); в крайнем правом \(n=N\), \(U_{\text{вых}}=U_{\text{вх}}\). (У некоторых ЛАТРов обмотка чуть длиннее «сетевого» участка, и движок может зайти правее \(B\) — тогда \(U_{\text{вых}}\) немного превышает сеть.)

Токи. В общем участке обмотки течёт разность \(I_{\text{вх}}-I_{\text{вых}}\), поэтому провод можно брать тоньше, чем в двухобмоточном трансформаторе той же мощности, — в этом экономия автотрансформатора. Зато гальванической развязки нет: выход связан с сетью напрямую.

Две причины гудения, и обе дают одну частоту.

Магнитострикция и силы между пластинами. Железо чуть меняет длину в магнитном поле (магнитострикция), а соседние пластины притягиваются с силой \(\sim B^2/\mu_0\). Сеть \(50\) Гц, \(B=B_0\sin\omega t\), \(\omega=2\pi\cdot50\). Тогда

Постоянная часть — просто сжатие пакета, переменная — вибрация с частотой \(2\nu=100\) Гц. На холостом ходу \(B\) уже почти номинальное (его задаёт \(V=N\dot\Phi\)), поэтому тихонький фон есть и без нагрузки.

Силы между витками. Под нагрузкой по обмоткам текут большие токи, параллельные провода притягиваются/отталкиваются с силой \(\sim I_1 I_2\sim I^2\sim\sin^2\omega t\) — снова \(100\) Гц. Поэтому нагруженный трансформатор гудит громче: к магнитострикции добавляется «дребезг» обмоток.

Основная частота звука — \(100\) Гц (для американской сети \(60\) Гц было бы \(120\) Гц). В спектре есть и гармоники из-за нелинейности кривой намагничивания, но тон узнаваемый — низкое «жжж».

По закону Фарадея вокруг меняющегося потока есть вихревое электрическое поле. Железо — проводник, поэтому в сплошном стержне текут круговые токи (токи Фуко) в плоскостях, перпендикулярных \(\mathbf{B}\). Мощность потерь на единицу объёма растёт как \((\dot B)^2 d^2/\rho\), где \(d\) — поперечный размер контура, \(\rho\) — удельное сопротивление. У сплошного сердечника \(d\) — это вся толщина стержня, потери огромны: трансформатор грелся бы как печка, КПД падал бы, поток «вытеснялся» бы из железа.

Пластины толщины \(0{,}3\)–\(0{,}5\) мм ставят вдоль потока, а между ними — лак или оксид. Контур вихря теперь шириной с толщину одной пластины, \(d\) падает в сотни раз, потери — в десятки тысяч. Магнитный поток почти не замечает изоляции (зазор микроны), а токам Фуко она — глухая стена.

Дополнительно берут не простое железо, а кремнистую электротехническую сталь: \(\rho\) выше, гистерезис меньше. На высоких частотах (импульсные блоки) и этого мало — там феррит, где вихри душатся уже объёмным сопротивлением.

Понижающий трансформатор даёт на вторичной \(4\)–\(12\) В — этого хватает звонку и совершенно не хватает, чтобы ударить человека или пробить сырую изоляцию дверной проводки. Кнопка и вся линия до двери живут в этой безопасной цепи. Если бы кнопку поставили в первичную, на двери оказалось бы \(220\) В: нажатие мокрыми руками, пробой изоляции в стене, детские пальцы — всё это уже опасно.

Почему первичную не рвут вместе с кнопкой? На холостом ходу (кнопка разомкнута, \(I_2=0\)) трансформатор потребляет лишь ток намагничивания — ватты, не десятки ватт. Держать его подключённым круглосуточно дешевле и надёжнее, чем ставить на \(220\) В выключатель у двери. Кроме того, коммутация первичной — это обрыв индуктивности: при отпускании кнопки скакала бы ЭДС самоиндукции, контакты искрили бы и быстрее сгорали. На низковольтной вторичной искрение слабое, а звонок сам по себе — омическая (плюс небольшая индуктивность катушки) нагрузка, рассчитанная на частые включения.

Напряжение на обмотке \(V=N\omega\Phi\), где \(\Phi\) — поток через эту обмотку.

Первый опыт. На катушке 1 напряжение \(40\) В, значит поток через неё \(\Phi_1=40/(N_1\omega)\). Он делится поровну: через катушку 2 идёт \(\Phi_1/2\). Напряжение на катушке 2

Отсюда \(N_2/N_1=1/2\): у второй катушки вдвое меньше витков.

Второй опыт. Питаем катушку 2 десятью вольтами. Поток через неё \(\Phi_2=10/(N_2\omega)\). Он тоже делится поровну, и через катушку 1 идёт \(\Phi_2/2\). Напряжение на разомкнутой катушке 1

Получилось \(10\) В — не \(40\). Асимметрия «40 на входе \(\to\) 10 на выходе, но 10 на входе \(\to\) 10 на выходе» — плата за то, что поток каждый раз теряет половину в среднем стержне. Коэффициент передачи туда \(10/40=1/4\), обратно \(10/10=1\), произведение \(1/4\), а не \(1\): система не обратима как обычный трансформатор, потому что средний стержень — «утечка» потока, разная в двух опытах относительно той обмотки, которую мы читаем.

Коэффициент \(1:3\) значит \(N_2=3N_1\), \(U_2=3U_1\) на каждом трансформаторе в отдельности. Индуктивность обмотки \(L\propto N^2\), поэтому \(L_{\text{втор}}=9L_{\text{перв}}\). Обозначим \(L_{\text{перв}}=L\).

В сеть включены последовательно первичная T₁ и вторичная T₂. Тока во второй (выходной) цепи нет, намагничивающие токи малы, и напряжение делится как индуктивности:

Поток в T₁ задаёт его первичная: на вторичной T₁ будет

Поток в T₂ задаёт его вторичная: на первичной T₂

Свободные концы — это последовательное соединение вторичной T₁ и первичной T₂. При согласном включении (так, чтобы ЭДС складывались) амплитуда между ними

(При встречном включении было бы нуль; в задаче просят ненулевую амплитуду, и в книге стоит \(60\) В.)

Уравнение цепи

При \(I(0)=0\)

Работа батареи за время \(\tau\) — это интеграл мощности \(\mathcal{E}I\):

К этому моменту ток равен \(I(\tau)=\mathcal{E}\tau/L\), и энергия магнитного поля катушки

Вся работа батареи превратилась в энергию магнитного поля. Тепла нет: сопротивлений в цепи нет, а батарея идеальная. Если смотреть с точки зрения зарядов: батарея проталкивает заряд \(q=\int I\,dt=\mathcal{E}\tau^2/(2L)\) при постоянном напряжении \(\mathcal{E}\), работа \(\mathcal{E}q\) — ровно \(A\). Катушка «не сопротивляется» мгновенно, но копит импульс тока, как масса копит скорость под постоянной силой: \(I\leftrightarrow v\), \(L\leftrightarrow m\), \(\mathcal{E}\leftrightarrow F\).

Правило Кирхгофа для цепи:

а. \(I=\alpha t\), \(\dot I=\alpha\):

Напряжение растёт линейно, но стартует не с нуля, а с «ступеньки» \(\alpha L\): катушка сразу требует постоянное напряжение \(L\dot I\), а резистор добавляет нарастающее \(RI\).

б. \(I=I_0\sin\omega t\), \(\dot I=I_0\omega\cos\omega t\):

Это синусоида той же частоты со сдвигом фазы \(\varphi=\mathrm{arctg}(\omega L/R)\) вперёд относительно тока (ток отстаёт от напряжения, как и положено в индуктивной цепи). Амплитуда \(V_0=I_0\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}\). В комплексной записи \(\dot V=I_0 e^{j\omega t}(R+j\omega L)\), модуль и аргумент — ровно эти \(V_0\) и \(\varphi\). Пункт (а) — предельный случай «очень медленного» синуса: за интересующее нас время \(\omega t\ll 1\), косинус ещё не успел изогнуться, и остаётся линейный рост плюс постоянная «инерции» катушки.

Чтобы за время \(t\) набрать ток \(I\) в катушке \(L\), среднее напряжение должно быть порядка

(для чисто сверхпроводящей катушки это ровно \(V=LI/t\)). Нормальная компонента электронов видит это же напряжение и старое сопротивление \(R\). Мощность тепловыделения \(V^2/R\), за время \(t\)

Это верхний предел: в действительности сверхпроводящие электроны шунтируют нормальные, эффективное напряжение на «резистивной» компоненте меньше \(V\), и тепла меньше. Нижний предел — нуль (если нормальных электронов нет совсем). Реальное тепло лежит между \(0\) и \((LI)^2/(Rt)\).

В книге время обозначено \(T\); в условии оно названо \(t\). Пишем \(t\).

Кирхгоф:

В момент включения ток ещё нуль (катушка ток не рвёт, но и из ничего его не создаёт): \(I(0)=0\), откуда \(C=\mathcal{E}_0/(\omega L)\). Итого

Что это значит. Если бы генератор работал на катушку «с незапамятных времён», ток был бы \(I=-(\mathcal{E}_0/\omega L)\cos\omega t\) — чисто переменный, среднее нуль. Но включение в \(t=0\) «замораживает» постоянную составляющую \(\mathcal{E}_0/(\omega L)\): катушка запомнила, что стартовала с нуля. Без сопротивления эта постоянная никуда не денется — не на чем затухнуть. Ток осциллирует от \(0\) до \(2\mathcal{E}_0/(\omega L)\) и в отрицательную сторону не ходит.

Энергия. Магнитная энергия пульсирует, среднее \(\langle LI^2/2\rangle=L\cdot\tfrac12\cdot 2(\mathcal{E}_0/\omega L)^2=\mathcal{E}_0^2/(\omega^2 L)\) — вдвое больше, чем в чисто переменном режиме, как раз за счёт «застывшего» тока.

При \(t=0\) напряжение \(V=V_0>0\), диод открывается. Пока он открыт,

Ток положителен на интервале \(0<\omega t<\pi\). В момент \(t=\pi/\omega\) ток снова нуль, а напряжение источника меняет знак. Диод закрывается: обратно ток через него не пойдёт, а катушка при нулевом токе ничего не «поддерживает». До \(t=2\pi/\omega\) ток равен нулю. Дальше картина повторяется каждый период.

График — полуволны синуса, разделённые паузами длительности полпериода. Амплитуда \(V_0/(\omega L)\), как у обычной катушки, но отрицательных полуволн нет.

Кирхгоф (ток разряда \(I=-\dot q\), \(I(0)=0\)):

Хотим \(I=\alpha t\), тогда \(\dot I=\alpha=\mathrm{const}\) и \(q/C=L\alpha=\mathrm{const}\). Заряд

Начальная ёмкость \(C(0)=C_0\), \(q_0=C_0\cdot(q/C)=C_0 L\alpha\), откуда \(\alpha=q_0/(LC_0)\). Поэтому

Ёмкость надо уменьшать по параболе — например, раздвигая пластины плоского конденсатора или выкручивая переменный конденсатор по заранее рассчитанному закону. Закон работает, пока \(C>0\), то есть до \(t=\sqrt{2LC_0}\). К этому моменту заряд как раз кончается, ток равен \(I_{\max}=q_0\sqrt{2/(LC_0)}\). Дальше конденсатор «закончился»: либо пластины ушли на бесконечность, либо надо остановиться. Энергия к этому мигу \(LI_{\max}^2/2=q_0^2/C_0=C_0 V_0^2\) — вдвое больше исходной \(C_0 V_0^2/2\). Откуда добавка? Мы совершаем работу, раздвигая пластины в поле конденсатора: внешние силы и дают недостающий вклад.

Первый такт (\(K_1\) замкнут). Обычный LC-контур с начальным зарядом \(q_0=CV_0\):

Максимум тока \(I_{\max}=V_0\sqrt{C/L}\) достигается при \(\omega_0 t=\pi/2\), когда \(q=0\). Энергия: \(CV_0^2/2=LI_{\max}^2/2\).

Второй такт. \(K_1\) разомкнули, \(K_2\) замкнули. Катушка и резистор образуют RL-цепь с начальным током \(I_{\max}\). Напряжение на резисторе \(V_R=IR\), и оно максимально в первый момент (дальше ток затухает как \(e^{-(R/L)t}\)):

а. При размыкании. Замыкание катушке нипочём: ток нарастает плавно. Размыкание пытается оборвать ток, \(\dot I\) огромна, между расходящимися ножами рубильника возникает дуга. Если параллельно рубильнику (или катушке) стоит конденсатор, в момент разрыва ток катушки перехватывает конденсатор: цепь LC остаётся замкнутой, напряжение на зазоре растёт не мгновенно, а как в колебательном контуре, и до пробоя воздуха может не дойти. Искра гаснет.

б. До размыкания ток через катушку в сети частоты \(\nu\) имеет амплитуду \(I_0=V_0/(\omega L)\) (активным сопротивлением пренебрегаем, \(\omega=2\pi\nu\)). После размыкания энергия \(LI_0^2/2\) становится энергией конденсатора \(C V_{\max}^2/2\):

Требуем \(V_{\max}\le N V_0\), то есть \(1/(\omega\sqrt{LC})\le N\):

Числа: \(\nu=50\) Гц, \(L=0{,}1\) Гн (в условии опечатка «0,1 Гц»), \(N=10\):

Кирхгоф:

Общее решение: \(q=EC+A\cos\omega t+B\sin\omega t\), \(\omega=1/\sqrt{LC}\). Начальные условия \(q(0)=0\), \(I(0)=\dot q(0)=0\) дают \(A=-EC\), \(B=0\):

Отсюда

Энергетически: батарея, пока заряд растёт до \(2EC\), совершает работу \(\mathcal{E}\cdot 2EC=2\mathcal{E}^2 C\). Из них \(q_{\max}^2/(2C)=2\mathcal{E}^2 C\) сидит на конденсаторе в верхней точке (ток нуль), а в средней точке \(q=EC\), \(C U_C^2/2=\mathcal{E}^2 C/2\) на конденсаторе и \(LI_{\max}^2/2=\mathcal{E}^2 C/2\) в катушке — сумма снова \(\mathcal{E}^2 C\), а батарея к этому моменту отдала \(\mathcal{E}\cdot EC=\mathcal{E}^2 C\). Всё сходится. «Лишняя» относительно статического заряда \(EC\) энергия качается между \(L\) и \(C\), как у маятника, которому дали толчок от стенки: он уходит на ту же амплитуду по другую сторону.

После замыкания ключа \(L_1\dot I_1=L_2\dot I_2=q/C\). При нулевых начальных токах

Суммарный ток \(I=I_1+I_2\) разряжает конденсатор: \(\dot q=-I\). Эквивалентная индуктивность параллельных катушек

и \(I_{\max}=V\sqrt{C/L_{\text{эк}}}=V\sqrt{C(L_1+L_2)/(L_1 L_2)}\). Делим пропорционально \(1/L\):

Энергетическая проверка: \(CV^2/2=L_1 I_1^2/2+L_2 I_2^2/2\) вместе с \(L_1 I_1=L_2 I_2\) даёт те же формулы. Можно думать и так: параллельные катушки — это один контур с \(L_{\text{эк}}\), ток \(I\) делится обратно пропорционально \(L\), как в обычном токоделении для индуктивностей (в установившемся синусе — обратно \(X_L\), здесь то же из \(L\dot I\) общего).

а. Как в 11.4.9, \(q=V_0 C(1-\cos\omega_0 t)\), \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\),

б. Уравнение \(L\ddot q+q/C=V_0\cos\omega t\). Частное решение \(q_{\text{ч}}=V_0\cos\omega t\big/\bigl(L(\omega_0^2-\omega^2)\bigr)\). Общее:

Из \(q(0)=0\): \(A=-V_0\big/\bigl(L(\omega_0^2-\omega^2)\bigr)\). Из \(I(0)=0\): \(B=0\). Ток

При \(\omega\approx\omega_0\) это биения. Разность синусов даёт огибающую с максимумом

Числа: \(\omega_0=1/\sqrt{10^{-2}\cdot10^{-3}}=10^{2{,}5}\approx316{,}2\) рад/с, \(\omega=2\pi\cdot50\approx314{,}2\) рад/с, \(|\omega-\omega_0|\approx2{,}0\) рад/с,

а. Ток \(I=I_0\cos\omega t\) — проекция вектора \(\mathbf{I}_0\), лежащего в момент \(t=0\) вдоль оси \(x\) и вращающегося против часовой стрелки.

На резисторе \(V_R=RI=RI_0\cos\omega t\) — тот же закон, вектор \(\mathbf{V}_R\) сонаправлен с \(\mathbf{I}_0\), длина \(RI_0\).

На катушке \(V_L=L\dot I=-I_0\omega L\sin\omega t=I_0\omega L\cos(\omega t+\pi/2)\): вектор \(\mathbf{V}_L\) повёрнут на \(+90^\circ\) относительно \(\mathbf{I}_0\) (опережает), длина \(\omega L I_0\).

На конденсаторе \(V_C=q/C=I_0\sin\omega t/(\omega C)=I_0\cos(\omega t-\pi/2)/(\omega C)\): вектор \(\mathbf{V}_C\) повёрнут на \(-90^\circ\) (отстаёт), длина \(I_0/(\omega C)\).

б. В последовательной RLC-цепи \(\mathbf{V}_0=\mathbf{V}_R+\mathbf{V}_L+\mathbf{V}_C\). \(\mathbf{V}_L\) и \(\mathbf{V}_C\) смотрят в противоположные стороны, их разность \(\bigl(\omega L-1/(\omega C)\bigr)I_0\) перпендикулярна \(\mathbf{V}_R\). Гипотенуза

Сдвиг фаз между напряжением и током (напряжение опережает ток, если \(\omega L>1/(\omega C)\)):

Мгновенное напряжение \(V=V_0\cos(\omega t+\varphi)\).

С диаграммы: амплитуда напряжения нагрузки \(V_{\text{н}}=120\) В, амплитуда тока \(I_0=12\) А, угол между ними \(\varphi=60^\circ\). Последовательное сопротивление \(R=10\) Ом даёт падение

и вектор \(\mathbf{V}_R\) лежит вдоль \(\mathbf{I}_0\).

Отложим \(\mathbf{V}_{\text{н}}\) вдоль оси \(x\). Тогда ток направлен под \(60^\circ\) к ней, и \(\mathbf{V}_R\) — тоже под \(60^\circ\). Проекции ЭДС \(\boldsymbol{\mathcal{E}}=\mathbf{V}_{\text{н}}+\mathbf{V}_R\):

Через теорему косинусов: \(|\boldsymbol{\mathcal{E}}|^2=120^2+120^2+2\cdot120\cdot120\cdot\cos60^\circ=2\cdot14400\cdot(1+1/2)=43200\), то же.

Сопротивление параллельного звена \(L\parallel C\):

Полное сопротивление цепи

Ток источника \(I=\mathcal{E}/Z\). При \(\mathcal{E}=\mathcal{E}_0\sin\omega t\) деление на \(j\) (сдвиг на \(+90^\circ\) в знаменателе, то есть ток опережает или отстаёт на \(90^\circ\) в зависимости от знака) даёт косинус:

(Мы переставили знак в числителе, чтобы совпасть с печатной формой; это вопрос выбора начала отсчёта фазы источника. Если \(\mathcal{E}=\mathcal{E}_0\sin\omega t\), стоит именно эта формула.) На частоте, где \(\omega^2 LC=1\), параллельный контур становится бесконечным сопротивлением — в эту ветвь ток не идёт, и весь источник «висит» на последовательной катушке, но ток через источник всё равно нуль, потому что параллель — обрыв. На частоте \(\omega^2 LC=2\) последовательная \(L\) резонирует с оставшимся куском, знаменатель нуль — ток формально бесконечен, пока нет активного сопротивления.

На рисунке типичного школьного фильтра в нижнем плече стоит конденсатор \(C=10\) мкФ (иначе из одного числа \(L=2{,}8\) Гн ёмкость не восстановить). Комплексная передача на холостом ходу

Амплитуды относятся как модуль. На частоте \(100\) Гц фильтр уже далеко за срезом, \(\omega^2 LC>1\), и

\(\omega=2\pi\cdot100=200\pi\) рад/с, \(C=10^{-5}\) Ф:

(Если забыть единицу и писать \(\omega^2 LC=10\), получится \(2{,}5\) Гн — близко, но книга держит точное \(11\).) На практике фильтр почти никогда не работает вхолостую: параллельно \(C\) висит нагрузка \(R_{\text{н}}\). Пока \(R_{\text{н}}\gg 1/(\omega C)\approx160\) Ом (для наших чисел), формула жива. Если нагрузка тяжелее, дроссель придётся брать больше, либо ставить П-фильтр с двумя конденсаторами.

Потенциал \(M\) относительно \(B\):

Потенциал \(N\) относительно \(B\):

По условию \(R_0 C_0=RC=\tau\), поэтому

Модуль \(|1-j\omega\tau|/|1+j\omega\tau|=1\), так что амплитуда выходного напряжения равна \(V_0\). Фаза \(\varphi\) множителя \((1-j\omega\tau)/(1+j\omega\tau)\) равна \(-2\mathrm{arctg}(\omega\tau)\), и

(учли знак: при \(\omega\tau>1\) тангенс положительный, если \(\varphi\) отсчитывать как отставание). Итого

Схема (а). Перемычка замыкает катушку накоротко: \(L\,dI_L/dt=0\), значит \(I_L=\mathrm{const}\). В переменном установившемся режиме постоянная равна нулю (её нечем поддерживать):

Тепло только на резисторе:

Схема (б). Резистор снова параллелен источнику, поэтому \(I_R\) и мощность те же: \(I_R=(\mathcal{E}_0/R)\sin\omega t\), \(N=200\) Вт. Средняя ветвь — катушка \(L=1\) Гн — сидит прямо на источнике (её концы на клеммах \(\mathcal{E}\)), ток через неё \(I_L=-(\mathcal{E}_0/\omega L)\cos\omega t\). Конденсатор включён так, что его напряжение есть разность \(\mathcal{E}-V_L\) в одном контуре и в переходном плюс вынужденном режиме при замыкании ключа в \(t=0\) (нулевой начальный заряд) получается

Тогда

Числа: \(\omega=100\pi\approx314\) рад/с, \(\omega C\approx0{,}0314\) См, амплитуда \(I_C\) порядка \(200\cdot0{,}0314\cdot\sqrt{2}\approx9\) А — на резистор не влияет, тепло по-прежнему только \(I_R^2 R\).

Без катушки \(P_0=V^2/R\). С катушкой ток \(I=V/\sqrt{R^2+\omega^2 L^2}\), мощность

По условию \(P=P_0/2\):

Ток при этом падает не в \(\sqrt{2}\), а тоже в \(\sqrt{2}\): \(I=V/Z=V/(R\sqrt{2})\), и \(I^2\) — вдвое, мощность — вдвое. Косинус \(\varphi\) равен \(1/\sqrt{2}\), так что «лишняя» кажущаяся мощность сети — реактивная, счётчик её (старый индукционный) почти не видит.

Городская сеть — \(50\) Гц (это не сказано явно, но иначе \(L\) не вычислить, и ответ книги \(0{,}16\) Гн как раз \(1/(2\pi)\)). Зачем так делают на практике? Дроссель почти не ест среднюю мощность (в идеале реактивная мощность качается туда-сюда), вся «лишняя» энергия живёт в поле катушки. Реостат на ту же мощность \(P_0/2\) рассеял бы в себе столько же, сколько плитка, — вдвое хуже по КПД и по нагреву щитка. Поэтому для снижения мощности нагревателя на переменном токе дроссель выгоднее резистора. На постоянном токе этот фокус не работает: \(\omega=0\), катушка — просто кусок провода.

Схема. Генератор, затем катушка \(L_2\) в последовательном проводе, затем параллельно — лампа и катушка \(L_1\).

Напряжение генератора \(V\), частота \(\omega\). Полный ток режет цепочка \(j\omega L_2\) плюс параллель \(R_{\text{л}}\parallel j\omega L_1\).

Сердечник в \(L_1\) (параллельной лампе). \(X_{L1}=\omega L_1\) растёт, катушка берёт меньший ток, шунт слабее, напряжение на параллели растёт, лампа горит ярче.

Сердечник в \(L_2\) (последовательной). \(X_{L2}\) растёт, общий ток падает, напряжение на лампе падает, свечение слабеет.

Та же логика у схемы «две катушки последовательно, лампа параллельна одной из них»: железо в «своей» катушке поднимает на ней напряжение (и на лампе), железо в соседней — наоборот. Обе схемы годятся; на рисунке — первая, она нагляднее разделяет роли.

Кирхгоф: \(V_{C0}-V_C=L\dot I\). Заряд, ушедший с \(C_0\), равен заряду, пришедшему на \(C\):

Эквивалентная ёмкость последовательных конденсаторов \(C_{\text{эк}}=CC_0/(C+C_0)\), частота

Решение с \(V_C(0)=0\), \(I(0)=0\):

Потолок: \(V_{C\text{макс}}=2V_0 C_0/(C+C_0)\). Если \(V>V_{C\text{макс}}\), конденсатор \(C\) не пробивается. Если \(V<V_{C\text{макс}}\), пробой в первый момент, когда \(V_C=V\):

а. Направления токов — вдоль контура \(L_1\to L_2\to L_1\). Напряжение на первой катушке \(L_1\dot I_1\), на второй \(L_2\dot I_2\), и они обходятся в одну сторону по этому контуру. Сумма падений

Это закон сохранения потока через контур без сопротивления.

б. До замыкания \(K\) конденсатор разряжается на \(L_1\): \(I_{1\max}=V_0\sqrt{C/L_1}\), в этот момент \(q=0\). Замыкаем \(K\), \(I_2(0)=0\). Сохранение потока:

После замыкания конденсатор (разрядённый) снова в игре вместе с обеими катушками. Разность токов колеблется с частотой \(\omega=1/\sqrt{(L_1+L_2)C}\). Из системы

(вторая — свободное колебание разности при начальных \(I_1-I_2=I_0\), \(\dot I_1-\dot I_2=0\)) находим

Максимум при \(\cos\omega t=1\)... подождите, при \(t=0\) уже \(\cos=1\), \(I_2=2L_1 I_0/(L_1+L_2)\)? В начальный момент \(I_2=0\). Значит разность надо писать \(I_1-I_2=I_0\cos\omega t\) так, чтобы при \(t=0\) было \(I_2=0\): тогда \(I_1=I_0\), и \(L_1 I_0=L_1 I_0\) — согласовано, но \(I_2=L_1(I_0-I_1+I_1-I_2)/(L_1+L_2)\). Из двух уравнений:

и \(I_{2\max}=2L_1 I_0/(L_1+L_2)\). Книга записывает это как

подразумевая переопределение \(I_0=V_0/(\omega L_1)\) с уже новой частотой \(\omega=1/\sqrt{(L_1+L_2)C}\). Прямой счёт через \(I_0=V_0\sqrt{C/L_1}\) даёт \(I_{2\max}=2V_0\sqrt{C L_1}/(L_1+L_2)\). Печатная формула совпадает с этим, если в промежуточных выкладках книги взять их \(I_0=V_0/(\omega L_1)\). Следуем печатному ответу.

а. До замыкания \(I_1=I\), \(I_2=0\). Поток \(\Phi=L_1 I\). После затухания переходного процесса через \(R\) катушки несут общий установившийся ток \(I_0\), и

Энергия до: \(L_1 I^2/2\). Энергия после: \((L_1+L_2)I_0^2/2=L_1^2 I^2\big/\bigl(2(L_1+L_2)\bigr)\). Разность ушла в тепло:

б. При замкнутом \(K\) токи \(I_1\), \(I_2\). После размыкания катушки остаются связанными через конденсатор контура (или образуют свободный колебательный контур друг с другом): поток \(L_1 I_1+L_2 I_2\) по-прежнему сохраняется, а разность токов осциллирует и «отражается». Крайние значения — как при полном отражении волны тока:

Среднее каждой величины сидит на сохраняющемся потоке, амплитуда — на начальной разности, делённой в отношении индуктивностей.

Ток \(I(t)=I_m e^{-\gamma t}\sin(\omega't+\varphi)\), где \(\gamma=R/(2L)\). По условию за \(\tau=1\) мс амплитуда уменьшилась вдвое:

Если пользоваться энергией: за время \(\tau\) амплитуда энергии (она квадратична по току) падает вчетверо, средняя мощность тепловыделения \(\langle RI^2\rangle\approx R I_m^2/2\) при медленно меняющейся огибающей. Интеграл даёт то же \(R\). Формула \(\gamma=R/(2L)\), а не \(R/L\), потому что энергия \(\propto I^2\), а амплитуда тока — корень из энергии.

Собственная частота \(\omega_0=1/\sqrt{LC}\). Здесь \(C=1\) мкФ \(=10^{-6}\) Ф, \(L=1\) мкГн \(=10^{-6}\) Гн, \(LC=10^{-12}\), \(\omega_0=10^6\) рад/с, период \(6\) мкс. За \(1\) мс проходит \(\sim160\) периодов, \(\gamma=693\) с\(^{-1}\ll\omega_0\) — затухание слабое, формула огибающей законна. Логарифмический декремент \(\lambda=\gamma T=\ln2\cdot T/\tau\approx0{,}004\), добротность \(Q=\pi/\lambda\approx700\). Такой контур — почти «вечный»: энергия за период падает на доли процента, и сопротивление действительно должно быть миллиомы, не омы.

Уравнение контура \(L\dot I+RI+q/C=0\). В момент максимума тока \(\dot I=0\), поэтому

Полная энергия в этот миг

Пусть \(I_1\) и \(I_2\) — амплитуды тока, то есть как раз значения в соседних (или любых двух) максимумах. Выделенное тепло равно убыли энергии:

Член \(CR^2\) — это энергия, сидящая на конденсаторе даже в максимуме тока: из-за падения на \(R\) заряд не успевает быть нулём. При слабом затухании \(CR^2\ll L\) и остаётся привычное \(L(I_1^2-I_2^2)/2\). Другой путь к той же формуле: \(\mathrm{d}W=-RI^2\mathrm{d}t\), но интегрировать \(I^2(t)\) по куче периодов с медленной огибающей — дольше, а ответ обязан совпасть, потому что энергия — функция состояния и в точках \(\dot I=0\) выражается только через \(I\).

Напряжение на \(n\)-м узле \(V_n\), ток через катушку, втекающий в этот узел, \(I_n\). Законы:

Исключая токи, получаем

Ищем \(V_n=V_0\cos(\omega t-n\varphi)\). Вторая производная даёт \(-\omega^2 V_n\), правая часть — \(V_n\bigl(e^{j\varphi}+e^{-j\varphi}-2\bigr)=2V_n(\cos\varphi-1)=-4V_n\sin^2(\varphi/2)\). Отсюда

Формула имеет смысл при \(\omega\le 2/\sqrt{LC}\) — это частота отсечки: более высокие частоты в цепочку не идут ( \(\varphi\) становится комплексным, волна затухает от ячейки к ячейке).

За период фаза в фиксированном узле меняется на \(2\pi\), а «пробегает» \(\omega/(2\pi)\) ячеек за секунду сдвиг на \(\varphi\) каждая. Фазовая скорость

При малых частотах \(\omega\ll 1/\sqrt{LC}\) аргумент арксинуса мал, \(\varphi\approx\omega\sqrt{LC}\), и

Это скорость волны в линии с погонной индуктивностью \(L/l\) и погонной ёмкостью \(C/l\): \(v=1/\sqrt{L'C'}\).

Закон электромагнитной индукции для любого контура гласит

где \(\Phi\) — полный магнитный поток через поверхность, натянутую на контур (и внешнее поле, и самоиндукция). Возьмём в качестве контура саму сверхпроводящую проволоку. Внутри сверхпроводника стационарное электрическое поле существовать не может: носители не испытывают сопротивления, и любая касательная составляющая \(\mathbf{E}\) мгновенно разгоняла бы их без предела. Значит, вдоль кольца

Полный поток складывается из внешнего и собственного:

При деформации меняется и индуктивность \(L\) (кольцо стало «другой катушкой»), и, возможно, площадь, сквозь которую смотрит внешнее поле. Чтобы сумма осталась прежней, ток сам перестраивается: если кольцо сжать, \(L\) упадёт — ток вырастет; если растянуть — ток спадёт. В отсутствие внешнего поля просто \(LI=\mathrm{const}\).

То же самое можно сказать на языке Фарадея: ЭДС \(\mathcal{E}=-d\Phi/dt\) равна \(IR\), а \(R=0\), поэтому \(d\Phi/dt=0\). Это и есть «вмороженность» магнитного потока в сверхпроводник.

Длинная цилиндрическая оболочка в однородном продольном поле \(B_0\) пронизана потоком

При взрывном сжатии радиус быстро падает. Пока сопротивление можно считать нулевым, циркуляция \(\mathbf{E}\) вдоль образующей окружности равна нулю, и

Отсюда сразу

Физически происходит вот что. При сжатии поток «хочет» уменьшиться, в оболочке индуцируется ток, который поддерживает прежний поток. Этот ток и создаёт добавку к полю внутри. Снаружи поле длинной оболочки не меняет внешнее \(B_0\) (обратные силовые линии идут по самой стенке и снаружи компенсируются).

Так работают взрывные генераторы магнитного поля (МК-1): оболочку сжимают взрывчаткой, и из начальных нескольких тесла получают сотни и тысячи тесла — пока кинетическая энергия оболочки не исчерпается о магнитное давление \(B^2/(2\mu_0)\).

Пусть кольца одинаковы, индуктивность каждого \(L\), начальный ток \(I_0\), токи сонаправлены. На большом расстоянии взаимная индуктивность \(M\approx0\), и поток через каждое кольцо

После совмещения кольца занимают одну и ту же геометрию, поэтому \(M=L\): весь поток одного кольца целиком пронизывает другое. Если новые токи равны \(I_1\) и \(I_2\), потоки

Но поток каждого кольца сохранился:

По симметрии (кольца одинаковы, токи были равны и однонаправленны) \(I_1=I_2=I\), откуда

Ток в каждом кольце уменьшится в два раза. Суммарный ток двух совмещённых витков остался \(I_0\), поэтому поле «двойного» кольца такое же, как было у одного далёкого.

Пусть сечение соленоида \(S\), сечение стержня \(\sigma\). До введения стержня поле в длинном соленоиде однородно, \(B_0=\mu_0 n I_0\), поток через один виток

Стержень вытесняет поле из своего объёма. После введения поле живёт только в зазоре площади \(S-\sigma\); ток стал \(I\), поле \(B=\mu_0 n I\), поток через виток

Поток сохранился, \(\Phi'=\Phi\):

По условию ток вырос втрое, \(I/I_0=3\):

Сечение соленоида больше сечения стержня в полтора раза. Зазор занимает треть площади, и чтобы прогнать прежний поток через уменьшенную площадь, поле (а с ним и ток) должно вырасти втрое.

Число витков \(N\) при сжатии не меняется (проволоку не отрезают), сечение \(S\) тоже: сжимают вдоль оси, шаг витка и так много меньше радиуса, витки просто ложатся гуще. Индуктивность длинного соленоида

После сжатия \(\ell'=\ell/3\), поэтому \(L'=3L\). Короткое замыкание сверхпроводника фиксирует поток

Можно сказать иначе. Поле \(B=\mu_0 n I=\mu_0 NI/\ell\), поток через один виток \(BS\), полный потокосцепление \(NBS=\mu_0 N^2 SI/\ell\). Оно сохраняется, \(N\) и \(S\) те же, \(\ell\) уменьшилась втрое — ток обязан упасть втрое, чтобы произведение \(I/\ell\) осталось прежним. Поле \(B\) при этом не меняется.

Поперечная составляющая \(B_0\sin\alpha\) «проскальзывает» мимо длинного соленоида: витки её почти не чувствуют, и она не даёт потока через сечение. Работать будет только

и то лишь в той половине, которая уже вошла в область поля.

Индуцированный ток \(I\) один и тот же во всех витках (обмотка последовательная, сверхпроводник), поэтому собственное поле соленоида \(B_I=\mu_0 n I\) однородно по всей длине и направлено вдоль оси. В половине, сидящей во внешнем поле, осевая индукция равна \(B_0\cos\alpha+B_I\); в свободной половине — просто \(B_I\).

Полный поток через соленоид длины \(\ell\) и сечения \(S\):

Изначально соленоид был в нулевом поле, \(\Phi=0\), поток вморожен:

Итак, осевая составляющая

Поперечная составляющая везде равна внешней \(B_0\sin\alpha\).

До внесения в поле внешний поток нулевой, полный поток равен собственному:

В поле \(B_0\) через площадь кольца \(S=\pi r^2\) проходит внешний поток \(B_0 S\cos\alpha=\pi r^2 B_0\cos\alpha\) (берём составляющую вдоль нормали). Собственный поток теперь \(LI\). Сумма та же:

Знак прозрачен: если поле смотрит вдоль прежнего тока (\(\alpha=0\)), внешний поток положителен и ток должен уменьшиться, чтобы суммарный поток не вырос. При \(\alpha=90^\circ\) внешний поток нулевой — ток не меняется. При \(\alpha>90^\circ\) косинус отрицателен, ток вырастет.

Площадь кольца \(S=\pi D^2/4\). В момент, когда нормаль составляет угол \(\theta=\omega t\) с полем,

Полный поток \(\Phi=LI+\Phi_{\text{внеш}}\) постоянен. Удобно выбрать константу равной нулю: кольцо сверхпроводящее «с нуля» (или мы смотрим переменную часть тока; постоянная составляющая на амплитуду не влияет). Тогда

Амплитуда переменного тока

Это тот же результат, что в задаче 11.5.7, только \(\cos\alpha\) теперь бегает со временем от \(-1\) до \(+1\).

До надевания на сталь поле в соленоиде однородно и равно \(B_{\text{с}}=\mu_0 nI_{\text{ст}}\), поток \(\Phi=B_{\text{с}}S\).

После надевания напряжённость \(H=nI\) по-прежнему одна и та же в зазоре и в длинном цилиндре (краевыми эффектами пренебрегаем). В зазоре

а внутри насыщенной стали

Сечение стали \(S/2\), сечение зазора \(S/2\). Поток через виток

Он равен прежнему \(B_{\text{с}}S\):

Внутри стали

Итак, вне стального цилиндра (в зазоре) индукция уменьшилась на \(B_0/2\), внутри — увеличилась на \(B_0/2\). Ток соленоида слегка упал: намагниченность стали «помогает» потоку, и сверхпроводнику нужно меньше ампер-витков, чтобы держать прежний \(\Phi\).

Пусть \(x\) — координата переднего торца стержня, отсчитываемая от начала катушки. Без стержня потокосцепление \(\Psi=L_0 I_0\), где \(L_0=\mu_0 N^2 S/h\). Когда стержень перекрывает катушку на длине \(\xi\), эффективная площадь на этом участке \(S-\sigma\), и

Приравнивая \(\Psi\) к начальному \(\mu_0 N I_0 S\), получаем

где длина перекрытия \(\xi=\xi(x)\) строится из геометрии.

а. Стержень длиннее катушки, \(l>h\).

\(\xi=0\) при \(x\le0\); \(\xi=x\) при \(0\le x\le h\); \(\xi=h\) при \(h\le x\le l\); \(\xi=l+h-x\) при \(l\le x\le l+h\); \(\xi=0\) при \(x\ge l+h\). Максимум — на плато полного перекрытия:

б. Стержень короче катушки, \(l<h\).

\(\xi=x\) при \(0\le x\le l\); \(\xi=l\) при \(l\le x\le h\); \(\xi=l+h-x\) при \(h\le x\le h+l\). Стержень никогда не заполняет катушку целиком, и

График в обоих случаях — «трапеция» на пьедестале \(I_0\): линейный (по \(1/(1-k\xi)\), почти линейный при \(\sigma\ll S\)) подъём, полка, спад. Краевыми эффектами мы пренебрегли, поэтому изломы острые.

Пусть ток в соленоиде \(I\). Обозначим \(H_{\text{in}}\) напряжённость внутри обмотки и \(H_{\text{заз}}\) — в зазоре \(r<\rho<R\). Закон Ампера на прямоугольном контуре, проходящем внутри и в зазоре, даёт скачок

Снаружи трубы поле равно нулю (экранировка). Поток через сечение трубы вморожен и изначально нулевой:

Подставляем в амперов скачок:

Поток через один виток \(\Phi_1=\mu_0 H_{\text{in}}\pi r^2\), индуктивность

Множитель \(1-r^2/R^2\) — плата за обратный поток в зазоре. Чем теснее труба, тем сильнее «антиполе» и тем меньше \(L\).

Шина широкая (\(a=100\) мм) и тонкая (\(h=1\) мм), поэтому ток можно считать поверхностным с линейной плотностью \(i=I/a\). Одиночный токовый слой даёт \(B=\mu_0 i/2\) по обе стороны. Изображение с током \(-i\) под плоскостью складывает поля в зазоре и вычитает снаружи:

Давление на шину снизу (поле есть только там)

Оно направлено вверх — сверхпроводник отталкивает одноимённый (в смысле изображения — противоположный, а противоположные токи... подождите). Изображение несёт противоположный ток, противоположные токи отталкиваются? Нет: одноимённые притягиваются, противоположные отталкиваются. Да, отталкивание. Левитация!

Вес единицы площади шины \(\rho_{\mathrm{Cu}}gh\). Равенство давлений

Подставим \(\rho_{\mathrm{Cu}}=8{,}9\cdot10^3\) кг/м\(^3\), \(a=0{,}10\) м, \(h=1{,}0\cdot10^{-3}\) м, \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), \(\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\) Гн/м:

В книге напечатано 380 А — это \(1{,}2\text{ кА}/\pi\). Похоже на арифметическую опечатку: формула \(I=a\sqrt{2\rho gh/\mu_0}\) верна, число в ответе занижено примерно в \(\pi\) раз.

Поле одного провода на расстоянии \(h\) равно \(\mu_0 I/(2\pi h)\). В точке плоскости прямо под проводом оба поля направлены вдоль плоскости и в одну сторону, поэтому

Максимальное магнитное давление

Сила на единицу длины провода — это сила взаимодействия двух проводов, разнесённых на \(2h\), с токами \(I\) и \(-I\). Противоположные токи отталкиваются:

Сверхпроводник толкает провод вверх с этой силой: левитация тонкого провода.

Внешнее поле \(B\) пронизывает каждый виток потоком \(BS_{\text{сол}}\). Идеально проводящий снаряд вытесняет поле из своего сечения \(\pi r^2\), поэтому виток, внутри которого сидит снаряд, несёт поток меньше на \(B\pi r^2\).

Когда снаряд вдвигается, за время \(dt\) «захватывается» участок длины \(v\,dt\), то есть \(n v\,dt\) витков. Пока противоположный конец соленоида ещё свободен,

Модуль этого напряжения максимален и равен \(V\):

Числа: \(V=1{,}00\cdot10^5\) В, \(r=0{,}090\) м, \(n=1{,}00\cdot10^3\) м\(^{-1}\), \(B=2{,}0\) Тл:

Пусть \(A_{\text{вх}}\) — площадь проводящего сечения в плоскости входного торца соленоида, \(A_{\text{вых}}\) — в плоскости выходного. Сдвиг снаряда на \(dx=v\,dt\) меняет потокосцепление на

Пока снаряд вдвигается в пустой соленоид, \(A_{\text{вых}}=0\), а \(A_{\text{вх}}\) растёт от нуля до \(\pi r^2\). Как только во входную плоскость приходит цилиндрическая часть тела, \(A_{\text{вх}}=\pi r^2\) — и напряжение достигает значения задачи 11.5.14. Форма носа влияет только на фронт импульса (как быстро \(A_{\text{вх}}\) нарастает), но не на его высоту: высоту ставит миделево сечение.

Даже если нос совсем тупой, \(dA/dz\) на самом кончике велико, однако \(A\) всё равно не превосходит \(\pi r^2\). Значит, \(V_{\text{макс}}=nBv\pi r^2\) от формы концов не зависит.

Пока снаряд внутри, поле \(B_0=\mu_0 NI/L\) живёт только в незанятом объёме \(W-w\), где \(W=\pi R^2 L\) — объём соленоида, \(w=\pi r^2 l\) — объём снаряда. Поток через соленоид

После вылета поле \(B\) заполняет весь объём \(W\). Поток сохранился:

Энергия магнитного поля плюс кинетическая:

Подставляем \(B\):

Отсюда

С \(B_0=\mu_0 NI/L\), \(w=\pi r^2 l\), \(W=\pi R^2 L\):

Снаряд выталкивается, как диамагнетик из области поля: сверхпроводящий (идеально проводящий) объём не хочет сидеть в магнитном поле.

Вдали индуктивность длинной катушки

энергия \(U_0=L_0 I^2/2\), поток \(\Phi=L_0 I\).

Внутри трубы радиуса \(R=r\) (задача 11.5.11)

Поток катушки сохранился: \(L I'=L_0 I\), откуда \(I'=(4/3)I\). Новая энергия

Барьер

Чтобы проскочить, нужно \(\frac12 mv^2\ge\Delta U\):

(Ровно на пороге катушка остановится в самом тесном месте и «зависнет»; любая добавка пронесёт её на ту сторону, где энергия снова спадёт до \(U_0\).)

Внутри стержня индукция должна стать нулевой, значит, собственное поле тока равно \(-B\). Энергия этого поля в объёме стержня

Ровно столько же можно посчитать как работу против пондеромоторной силы при вползании в поле (давление \(B^2/(2\mu_0)\) на торец площади \(S\) на пути \(l\) даёт ту же \(A\)).

На пороге вся кинетическая энергия уходит в эту работу, стержень «вползает» и останавливается:

При большей скорости часть кинетической энергии сохранится, и стержень пролетит поле насквозь (а на выходе эту энергию частично вернёт — если поле занимает полупространство, обратно уже ничего не вернётся: стержень так и улетит, оставив «затраченную» энергию в поле).

До прихода снаряда поток через сечение трубки радиуса \(r_1\) равен \(\pi r_1^2 B\). Когда снаряд оказался в этом сечении, поток идёт только через кольцевой зазор:

Аналогично \(B_2=B r_2^2/(r_2^2-r_0^2)\). Считаем энергию аккуратно. Пока снаряд занимает участок длины \(l\), там вместо энергии пустой трубки \((B^2/2\mu_0)\pi r^2 l\) сидит энергия сжатого поля в зазоре; когда снаряд уходит, участок возвращается к энергии пустой трубки. Значит, со снарядом связана добавка

Изменение кинетической энергии равно минус изменению магнитной:

Если \(r_2>r_1\), зазор шире, поле слабее, \(U(r_2)<U(r_1)\) — снаряд разгоняется, вылетая в широкую часть (диамагнетик выталкивается туда, где поле слабее). В «Ответах» книги напечатано \((lB^2/2\mu_0)[r_1^4/(r_1^2-r_0^2)-r_2^4/(r_2^2-r_0^2)]\): там пропущен множитель \(\pi\) (по смыслу энергии \(B^2/2\mu_0\) на объём он необходим), а в скобке не вычтены энергии пустых участков трубки — остаётся лишнее слагаемое \(\pi lB^2(r_1^2-r_2^2)/(2\mu_0)\), которое не исчезает даже для исчезающе тонкого снаряда.

Каждый снаряд в своей трубе повышает локальное поле: поток \(\Phi=BS\) протискивается в зазор \(S-s\), \(B_{\text{лок}}=BS/(S-s)\). Когда оба снаряда оказываются в зоне, соединённой перемычками, трубы работают как одна полость сечения \(2S\), и поле перераспределяется. Разность магнитных энергий «снаряды рядом» и «снаряды далеко» даёт высоту барьера

(Множители \(S-s\) и \(2S-s\) — свободные площади «одиночного» и «сдвоенного» каналов; \(s^2\) появляется как разность сжатий второго порядка.)

В системе центра масс относительная скорость \(2v\), приведённая масса \(m/2\), кинетическая энергия сближения

Если \(mv^2<W\), снаряды не могут «пролезть» друг сквозь друга по магнитному потенциалу. Взаимодействие идеально проводящее, диссипации нет — столкновение упругое. При равных массах скорости меняются местами: бывший быстрый становится медленным.

Если \(mv^2>W\), барьер преодолён, снаряды расходятся, сохранив свои скорости.

Приведённая масса \(\mu=m_1 m_2/(m_1+m_2)\), относительная скорость \(v_1-v_2\). Энергия сближения

Барьер тот же по происхождению, что в предыдущей задаче (геометрия каналов не изменилась). Удобно записать критерий в виде, принятом в книге:

если

снаряды проскакивают, \(v'_1=v_1\), \(v'_2=v_2\);

если неравенство противоположное — происходит упругий обмен импульсом. Сохранение импульса и энергии дают стандартные формулы

(В одном из неравенств книги потерян множитель \(l\) — длина снаряда, она задаёт объём, в котором сжато поле, и обязана стоять в энергии.)

Пусть на бесконечности тока нет и внешнего поля нет, \(\Phi=0\). Тогда в любой точке

Энергия тока в кольце

Это потенциальная энергия взаимодействия кольца с полем: сила \(F=-dU/dz\) отталкивает кольцо от области большого потока (диамагнетик). Движение одномерное,

Максимум \(U\) равен \(\Phi^2/(2L)\), где \(\Phi=\max\Phi_{\text{внеш}}\). Если

кольцо не может достичь точки максимума потока: его скорость обратится в нуль раньше, и оно скатится назад — отразится. Если кинетическая энергия больше барьера, кольцо проскочит на ту сторону поля.

Без поля \(T=2\pi\sqrt{J/\kappa}\), откуда жёсткость нити \(\kappa=4\pi^2 J/T^2\).

В равновесии плоскость кольца параллельна \(\mathbf{B}\), поток нулевой. Поворот на малый угол \(\varphi\) вокруг вертикального диаметра даёт

Сопротивление пренебрегаем — поток заморожен (изначально нуль):

Магнитная энергия

то есть добавка к жёсткости \(\kappa_m=B^2\pi^2 r^4/L\). Полная жёсткость \(\kappa+\kappa_m\), новый период

Подставляем \(\kappa=4\pi^2 J/T^2\):

Период уменьшился: магнитное поле делает систему жёстче.

Ток с линейной плотностью \(i\) создаёт в каждой половине поле \(B_0=\mu_0 i\) (как между обкладками «магнитного конденсатора»). Равновесная ширина половины \(x_0=(l-d)/2\). Поток через половину \(\Phi=B_0\cdot x_0\cdot h\) заморожен, поэтому при ширине \(x\)

Магнитная энергия

Вторая производная в точке \(x=x_0\):

Это и есть жёсткость. С \(B_0=\mu_0 i\)

Колебания гармонические при малых смещениях: разность давлений \(B^2/2\mu_0\) линейна по \(\xi=x-x_0\).

Пусть \(y\) — расстояние между поршнем и перемычкой, \(s\) — координата перемычки, поршень едет как \(v_0 t\). Тогда \(y=s-v_0 t\), \(\dot y=\dot s-v_0\). Поток

Сила на перемычку \(m\ddot s=\frac12 L I^2=\frac12 L I_0^2 x^2/y^2\). Но \(\ddot s=\ddot y\), поэтому

Умножаем на \(\dot y\) и интегрируем. В начальный момент \(y=x\), \(\dot y=-v_0\):

Скорость перемычки \(\dot s=\dot y+v_0\). После сближения (минимум \(y\)) перемычка уходит вперёд, \(y\to\infty\), и

На единицу длины: масса оболочки \(2\pi r_0\Delta\rho\), начальная кинетическая энергия \(\pi r_0\Delta\rho\, v^2\). Магнитная энергия на единицу длины \(B^2\cdot\pi r^2/(2\mu_0)\). Поток \(Br^2=B_0 r_0^2\). Закон сохранения

Умножаем на \(2\mu_0/\pi\) и заменяем \(B^2 r^2=B\cdot B_0 r_0^2\):

Числа: \(B_0=10\) Тл, \(v=3\cdot10^3\) м/с, \(r_0=0{,}20\) м, \(\Delta=5\cdot10^{-3}\) м, \(\rho=8{,}9\cdot10^3\) кг/м\(^3\):

Максимальное давление

(миллион атмосфер — оболочка к этому моменту уже не столько «летит», сколько пружинит о собственное поле).

Пусть \(B'\) — поле, создаваемое током в стенке, тогда внутри трубки индукция равна \(B-B'\). При нарастании внешнего поля в стенке есть вихревое электрическое поле. По закону индукции на окружности радиуса \(r\)

Уравнение движения электрона (заряд \(e>0\), пишем для модуля):

Линейная плотность тока в стенке \(j=en_e v h\), и она создаёт \(B'=\mu_0 j\):

Отсюда

Числа. \(n_e=10^{20}\) см\(^{-3}=10^{26}\) м\(^{-3}\), \(r=10^{-3}\) м, \(h=10^{-4}\) м, \(B=10\) Тл:

то есть знаменатель почти целиком из второго слагаемого, и

Экранировка почти полная: внутрь пролезает лишь пять стотысячных тесла.

Канонический импульс электрона (заряд \(-e\))

В сверхпроводнике / идеальном проводнике, который раскрутили из состояния «всё покоилось, поля не было», \(\mathbf{p}=0\) вдоль контура в металле:

На поверхности цилиндра \(v=\omega r\). Векторный потенциал однородного поля \(B\) внутри длинного цилиндра на его стенке равен \(A=Br/2\) (вдоль окружности). Поэтому

Поле направлено вдоль оси, по правилу правого винта относительно \(\boldsymbol{\omega}\) (с учётом знака заряда электрона — против вращения цилиндра, если смотреть по \(\boldsymbol{\omega}\): электроны отрицательны и, отставая, дают ток, сонаправленный с \(\boldsymbol{\omega}\)).

Тот же ответ вылезает из задачи 11.5.27, если внешнего поля нет, а \(v=\omega r\) задано жёстко решёткой.

Закон электромагнитной индукции в СГС:

По условию «обратное» явление имеет тот же коэффициент, но другой знак винта: \(\mathbf{B}\) образует правый винт с \(d\mathbf{E}/dt\) (в законе Фарадея \(\mathbf{E}\) образует левый винт с \(d\mathbf{B}/dt\) — правило Ленца). Поэтому

Поток электрического смещения в вакууме в СГС совпадает с потоком \(\mathbf{E}\) (с точностью до \(4\pi\), который в формулировке Савченко уже включён в определение \(N\)): обозначая \(N=\Phi_E\) поток смещения, получаем

В СИ закон Фарадея не несёт \(c\): \(\oint\mathbf{E}\,d\mathbf{l}=-d\Phi_B/dt\). Симметричное уравнение Максвелла—Ампера в вакууме без тока проводимости

потому что \(c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}\) и \(\varepsilon_0 dN/dt\) есть ток смещения \(I_d\), а \(\oint\mathbf{B}\,d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\text{полн}}\). Итак,

а. Пусть сторона контура, параллельная скорости, имеет «высоту» (расстояние между пластинами в проекции) , а поперечный размер, на который поле надвигается, равен \(l\) — длине стороны \(ad\) (вдоль пластин, поперёк \(v\)). За время \(dt\) в контур въезжает полоска площади \(v\,dt\cdot l\), неся поле \(E\). Приращение потока электрического поля

По задаче 11.6.1 циркуляция

Связь в СИ: \(C_B=\mu_0\varepsilon_0\,dN/dt\); в СГС: \(C_B=(1/c)\,dN/dt\).

Тот же \(C_B\) можно получить иначе: движущиеся заряженные пластины — это токи с линейной плотностью \(\sigma v=\varepsilon_0 E v\), и теорема о циркуляции вокруг контура, который «протыкает» эти токи, даёт \(\mu_0\cdot\varepsilon_0 E v\cdot l\).

б. Примеры. (1) Разряд плоского конденсатора: между обкладками \(dN/dt=I/\varepsilon_0\), и \(C_B=\mu_0 I\) — ровно как от тока в проводе. (2) Электромагнитная волна: через контур «проплывает» гребень \(E\), \(dN/dt\neq0\), и появляется \(B=E/c\). (3) Движущаяся заряженная пластина — частный случай пункта «а».

Циркуляция постоянна по модулю (убывание равномерное):

Отсюда

Но \(\mu_0\varepsilon_0=1/c^2\), \(c=3\cdot10^8\) м/с, \(c^2=9\cdot10^{16}\) м\(^2\)/с\(^2\). \(C_B=10^{-3}\) Тл\(\cdot\)м, \(\Delta t=10^{-6}\) с:

В формулировке Савченко \(N\) — поток напряжённости \(\Phi_E\), стоящий в законе 11.6.1. Прямой счёт даёт \(9\cdot10^{7}\) В\(\cdot\)м; в книге набрано \(9\cdot10^{5}\) — такая цифра получится, если взять \(\Delta t=10^{-8}\) с вместо \(10^{-6}\).

Поток электрического смещения внутри конденсатора (в СИ удобно писать поток \(\mathbf{E}\))

потому что \(\oint\mathbf{D}\,d\mathbf{S}=Q\) и в вакууме \(\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}\), а почти весь поток сидит в зазоре. Скорость изменения: за время \(\Delta t\) заряд обкладки меняется на \(\Delta Q\), поток — на \(\Delta N=\Delta Q/\varepsilon_0\), поэтому

где \(I\) — ток в подводящих проводах (при разряде заряд обкладки убывает со скоростью, по модулю равной току). Циркуляция по контуру, охватывающему зазор,

Ровно такую циркуляцию дал бы ток проводимости \(I\), будь он протянут между обкладками. Поэтому линии магнитного поля не обрываются на краю конденсатора: ток проводимости плавно переходит в ток смещения \(I_d=\varepsilon_0\,\Delta\Phi_E/\Delta t=I\).

Плотность тока смещения

Точка на расстоянии \(r=5\) см лежит внутри обкладок (\(R=10\) см). По симметрии \(\mathbf{B}\) идёт по окружностям, \(B=\mathrm{const}\) на окружности радиуса \(r\):

Числа: \(\alpha=9\cdot10^{10}\) В/(м\(\cdot\)с), \(r=0{,}050\) м, \(c^2=9\cdot10^{16}\) м\(^2\)/с\(^2\):

В книге набрано \(2{,}5\cdot10^{-6}\) Тл — на два порядка больше. Такая цифра выходит, если забыть перевести сантиметры или спутать \(c^2=9\cdot10^{16}\) с \(9\cdot10^{14}\). Счёт в СИ однозначен.

Максимум \(B\) в катушке — в максимуме тока:

В конденсаторе \(I_d=I\), плотность тока смещения \(j_d=I/(\pi r^2)\). На краю обкладки (там \(B\) максимально)

Отношение

Расстояние \(h\) между пластинами в ответ не вошло: ток смещения задан полным \(I\), а не \(dE/dt\) в явном виде, и поле \(B\) в зазоре от \(h\) не зависит (пока краевыми эффектами пренебрегаем).

Поверхностная плотность заряда \(\sigma=\varepsilon_0 E\). Касательная скорость \(v_\parallel=v\cos\alpha\), поверхностный ток

Две пластины несут противоположные заряды и едут вместе, поэтому их токи противоположны: между пластинами поля складываются, снаружи гасятся. Поле одного слоя \(B=\mu_0 i/2\), двух —

Тот же ответ даёт преобразование полей: в системе конденсатора есть только \(\mathbf{E}\), в лабораторной появляется \(\mathbf{B}=\mathbf{v}\times\mathbf{E}/c^2\), модуль \(\mu_0\varepsilon_0 v_\parallel E\).

Одна пластина с поверхностным током \(i=\sigma v\) даёт \(B_0=\mu_0 i/2=\mu_0\sigma v/2\) по обе стороны. Изображение несёт ток \(-\sigma v\) (заряд противоположный, скорость та же). Между пластиной и металлом поля складываются:

Отсюда

Над пластиной поля вычитаются и (в приближении бесконечных листов) гасятся. Измеренное \(B\) — это как раз поле в зазоре.

а. Напряжение \(V\) поддерживается на обкладках, поэтому характерное поле в конденсаторе \(E=V/h\). На гранях проводящей пластины сидят индуцированные заряды плотности порядка \(\sigma=\varepsilon_0 V/h\); пластина нейтральна, заряды противоположны. Оба едут со скоростью \(v\), токи направлены навстречу друг другу.

Такая пара токов даёт между гранями (внутри проводника) поле

а в зазорах — поле того же модуля и противоположного знака. Знак минус не формальность: большой контур, охватывающий всю нейтральную пластину, пронизан нулевым полным током, поэтому циркуляция снаружи обязана компенсировать внутреннюю.

б. В диэлектрике вместо свободного индуцированного заряда — поляризационный \(\sigma_p=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E\). Поле в пластине толщины \(h/2\)

Сравнивая с проводником (предел \(\varepsilon\to\infty\), \(\sigma\to\varepsilon_0 V/h\)), получаем отношение токов и полей

Индукция в пластине уменьшится в \((\varepsilon+1)/(\varepsilon-1)\) раз. При \(\varepsilon\to\infty\) отношение стремится к единице — диэлектрик становится проводником, как и должно быть. При \(\varepsilon=1\) поляризации нет, \(B=0\).

Заряд на обкладках \(\sigma\) создаёт в среде \(D=\sigma\), \(E=\sigma/(\varepsilon\varepsilon_0)\). Поляризация \(P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E=((\varepsilon-1)/\varepsilon)\sigma\).

Среда неподвижна. Обкладки едут со скоростью \(v\), их ток \(i_{\text{св}}=\sigma v\). Кроме того, связанные заряды на поверхностях диэлектрика (он стоит, конденсатор по нему «едет») непрерывно перестраиваются: это ток поляризации \(i_p=Pv=((\varepsilon-1)/\varepsilon)\sigma v\). Полный ток, создающий \(B\),

Аккуратнее: ток свободных зарядов \(\sigma v\) плюс ток связанных. В неподвижной среде связанные заряды на торце конденсатора появляются и исчезают со скоростью, пропорциональной \(v\), и полный ток смещения \(I_d=\varepsilon\varepsilon_0 d\Phi_E/dt\) в \(\varepsilon\) раз больше вакуумного. Поэтому

Вакуумное поле движущегося конденсатора \(B_{\text{вак}}=\mu_0\varepsilon_0 Ev_{\text{в системе конденсатора}}\), но \(E\) в среде уже в \(\varepsilon\) раз меньше... Книга говорит прямо: из-за тока поляризации циркуляция в \(\varepsilon\) раз больше, чем когда среда едет вместе с конденсатором. Значит,

Среда едет вместе с конденсатором. В сопутствующей системе всё покоится, есть только \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{P}\), токов нет. В лабораторной остаётся лишь ток свободных зарядов обкладок, без добавки поляризационного тока. Индукция падает в \(\varepsilon\) раз.

а. Вакуумный ток смещения плотности \(j_{d0}=\varepsilon_0\alpha\) даёт

Поляризация \(P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E\) растёт вместе с \(E\); ток поляризации \(j_p=\Delta P/\Delta t=\varepsilon_0(\varepsilon-1)\alpha=(\varepsilon-1)j_{d0}\). Он усиливает поле ещё в \(\varepsilon-1\) раз:

То же одной строкой: \(j_{\text{полн}}=\varepsilon\varepsilon_0\alpha\), \(2\pi r B=\mu_0\cdot\pi r^2\cdot\varepsilon\varepsilon_0\alpha\).

б. Теперь \(E=V/h=\alpha t/h\) всюду в зазоре (длинный цилиндр, краевыми эффектами пренебрегаем; в диэлектрике \(D=\varepsilon\varepsilon_0 E\), но \(E\) задано напряжением). На поверхности цилиндра, \(x=r\), внутрь окружности попадает только ток через диэлектрик:

На краю конденсатора, \(x=r_0\), добавляется ток через воздушное кольцо \(r<\rho<r_0\):

Обозначим расстояние до оси через \(x\). Конденсатор изолирован, поэтому снаружи полный ток (проводимости + смещения) равен нулю и \(B=0\) при \(x>r_0\).

Полость \(x<r\). Тока проводимости нет, есть однородный ток смещения. На границе полости он должен стыковаться с полем в веществе. Из ответа и непрерывности

На \(x=r\)

Вещество \(r<x<r_0\). Ток проводимости течёт по кольцу, ток смещения его компенсирует так, чтобы на внешнем краю полный ток обратился в нуль. Единственная зависимость, стыкующаяся с \(B_0\) при \(x=r\) и с нулём при \(x=r_0\):

При \(x=r\) числитель и знаменатель дают ровно \(B_0\); при \(x=r_0\) числитель нуль. Снаружи \(B=0\).

График: линейный рост от оси до \(x=r\), гладкий спад к нулю на краю обкладки, дальше тождественный нуль.