На снимке \(\mathbf{E}\) лежит в плоскости рисунка (вдоль \(x\)), \(\mathbf{B}\) — тоже в плоскости, но в другую сторону (вдоль \(y\)). Кратчайший поворот от \(\mathbf{E}\) к \(\mathbf{B}\) — это поворот, при котором буравчик смотрит на нас, то есть вдоль оси \(z\). Значит, волна бежит в направлении оси \(z\).

То же формулой: вектор Пойнтинга \(\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/\mu_0\) направлен туда, куда течёт энергия, а энергия в бегущей волне течёт вместе с фазой. Векторное произведение \(\mathbf{e}_x\times\mathbf{e}_y=\mathbf{e}_z\).

Тот же вывод без буравчика — через поток энергии. Вектор Пойнтинга \(\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/\mu_0\) смотрит туда, куда бежит фаза: иначе энергия текла бы против гребней, а в вакууме такого нет. При \(E=1\) В/м индукция \(B=E/c=3{,}3\) нТл, интенсивность \(I=|\mathbf{S}|=E^2/(\mu_0 c)=\varepsilon_0 c E^2\approx2{,}65\) мВт/м². Волновое сопротивление \(Z_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}=\mu_0 c\approx377\) Ом связывает те же поля: \(E=Z_0 H\), и снова \(\mathbf{v}\parallel\mathbf{e}_z\).

Статическая пара \(\mathbf{E}\perp\mathbf{B}\) Пойнтинг тоже имеет, но фаза стоит — это уже не волна. Именно поэтому на снимке важны оба вектора сразу: одного \(\mathbf{E}\) мало, чтобы сказать, куда ползёт гребень. Если бы \(\mathbf{B}\) смотрел в \(-y\), \(\mathbf{S}\) развернулся бы в \(-z\). Предел «почти электростатики» здесь пустой: без согласованного \(B=E/c\) тройка не бежит.

а. Было \(\mathbf{v}\parallel\mathbf{E}\times\mathbf{B}\). Стало \(\mathbf{E}\times(-\mathbf{B})=-(\mathbf{E}\times\mathbf{B})\). Волна побежит назад.

б. \(\bigl(-\mathbf{E}\bigr)\times\mathbf{B}=-(\mathbf{E}\times\mathbf{B})\) — снова назад.

Если перевернуть оба вектора сразу, тройка сохранится и направление не изменится. Именно так устроена стоячая волна: в ней \(E\) и \(B\) сдвинуты по фазе на \(\pi/2\), и «туда-сюда» бегут две встречные волны.

Вектор Пойнтинга \(\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/\mu_0\) меняет знак ровно вместе с одним из сомножителей. Перевернули оба — \(\mathbf{S}\) тот же: так устроена отражённая от диэлектрика волна при \(\varepsilon\to1\), когда коэффициент Френеля \(r\to0\) и «переворота» нет, и так же устроена стоячая волна как сумма встречных бегущих. На металле \(\sigma\to\infty\) касательная \(E\) обязана обнулиться, поэтому отражение переворачивает именно \(\mathbf{E}_\parallel\) и гонит волну назад.

Числа. Для \(E_0=300\) В/м (типичное поле радиоволны у приёмника) \(B_0=E_0/c=1\) мкТл, \(I=\tfrac12 c\varepsilon_0 E_0^2\approx120\) Вт/м². Смена знака \(E\) или \(B\) не меняет \(I\), меняет только направление \(\mathbf{S}\). Нормальное падение на идеальный проводник даёт \(r=-1\); скользящее (\(\alpha\to90^\circ\)) — почти \(r=+1\) даже у хорошего металла, и «кто перевернулся» зависит от поляризации.

На снимке \(t=0\) поле — синус с периодом \(\lambda\), начинающийся от нуля в начале координат и растущий в сторону \(+z\):

Волна бежит вправо: через время \(t\) в точку \(z\) приходит то значение, которое в нулевой момент сидело в точке \(z-ct\). Поэтому

Фазовая скорость \(c\): гребень \(\frac{2\pi}{\lambda}(z-ct)=\mathrm{const}\) движется как \(z=ct+\mathrm{const}\).

Запись через волновое число и частоту прозрачнее снимка: \(k=2\pi/\lambda\), \(\omega=ck\), и \(E=E_0\sin(kz-\omega t)\). Фазовая скорость \(\omega/k=c=3\cdot10^8\) м/с. Средняя интенсивность бегущей синусоиды \(I=\tfrac12 c\varepsilon_0 E_0^2\): для \(E_0=1\) В/м это \(1{,}3\) мВт/м², для солнечного света (\(I\approx1{,}4\) кВт/м²) уже \(E_0\approx1\) кВ/м. Вместе с \(E\) бежит \(B=E/c\), и \(\mathbf{S}\) пульсирует как \(\sin^2(kz-\omega t)\).

Предел \(\lambda\to\infty\) (\(k\to0\)) — однородное поле, которое «не успевает» стать волной: профиль плоский, Пойнтинг есть, но гребня нет. Если стрелку на рисунке развернуть, аргумент станет \(kz+\omega t\), и \(\mathbf{S}\) посмотрит в \(-z\). Начальная фаза нуль, потому что на снимке синус проходит через ноль в \(z=0\); сдвиг \(\varphi\) просто добавился бы в скобку.

Вынесем общее \(\sin\bigl[\omega(t-z/c)\bigr]\) и \(\cos\bigl[\omega(t-z/c)\bigr]\):

где \(\psi=\omega(t-z/c)\),

Это одно колебание амплитуды \(E_0=\sqrt{A^2+C^2}\) и фазы \(\varphi=\mathrm{arctg}(A/C)\):

Первая формула — теорема косинусов на фазовой плоскости: угол между векторами равен разности фаз.

Второй путь — векторная диаграмма. Изображаем колебания векторами длины \(E_1\) и \(E_2\) под углами \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) к одной оси и складываем их, как перемещения: длина суммарного вектора и есть \(E_0\), а его угол — фаза \(\varphi\). Интенсивность \(I=\tfrac12 c\varepsilon_0 E_0^2\) поэтому содержит интерференционное слагаемое \(2E_1 E_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)\). При \(\varphi_1-\varphi_2=\pi\) и \(E_1=E_2\) поле гасится начисто: \(I=0\), хотя каждая волна в отдельности несёт энергию. Энергия уходит вбок — туда, куда наш одномерный «вдоль \(z\)» не смотрит.

Предел \(E_2\to0\) возвращает первую волну. Равные амплитуды в квадратуре (\(\Delta\varphi=\pi/2\)) дают \(E_0=E\sqrt2\) и \(I\) вдвое больше одной волны — не вчетверо, потому что фазы не сложились. Волновое сопротивление то же, \(Z_0=377\) Ом: магнитное поле результирующей связано с \(E_0\) обычным \(B_0=E_0/c\), ведь обе волны бегут в одну сторону и их \(B\) складываются так же, как \(E\).

Пусть волны \(E_0\sin[\omega(t-z/c)]\) и \(E_0\sin[(\omega+\Delta)(t-z/c)+\varphi]\). Сумма

Огибающая имеет максимум \(2E_0\) — это и есть максимальная амплитуда результирующей волны.

Плотность энергии волны \(w=\varepsilon_0 E^2\) (с учётом равного вклада магнитного поля — \(\varepsilon_0 E^2\) уже полное). Усреднение по быстрым осцилляциям несущей даёт половину квадрата огибающей:

В книге записано \(w=\dfrac1{2\pi}E_0^2\cos^2\bigl[(t-z/c)\Delta+\varphi\bigr]\). Это та же зависимость по форме (квадрат косинуса от медленной фазы); коэффициент \(1/(2\pi)\) — след другой нормировки плотности (иногда \(w=E^2/(8\pi)\) в СГС, и тогда среднее \(\propto E_0^2\cos^2/\pi\)). Главное — пространственно-временная структура: сгустки энергии бегут со скоростью \(c\), расстояние между ними \(\pi c/\Delta\).

Огибающая биений сама бежит со скоростью \(c\): аргумент \((t-z/c)\Delta+\varphi\) постоянен на характеристике \(z=ct+\mathrm{const}\). Пространственный период биений \(\Lambda=2\pi c/\Delta\). Средняя (по несущей \(\omega\)) плотность энергии \(w=\varepsilon_0\langle E^2\rangle=\varepsilon_0 E_0^2\cos^2(\ldots)\) в СИ; полный интеграл по периоду огибающей равен сумме энергий двух волн — интерференция ничего не создаёт и не уничтожает, только перекладывает.

При \(\Delta\to0\) огибающая замирает, и мы возвращаемся к задаче 12.1.4: амплитуда от 0 до \(2E_0\) в зависимости от \(\varphi\). Интенсивность в пучности \(I_{\max}=2c\varepsilon_0 E_0^2\) — вчетверо больше одной волны, как и должно быть у синфазного сложения. В радиотехнике \(\Delta/2\pi\sim1\) кГц слышно как тон; в оптике при \(\Delta/\omega\sim10^{-6}\) биения уже на метрах, и «цвет» ещё не успевает разъехаться.

Пусть сторона \(aa'=\ell\) параллельна \(\mathbf{E}\), а ширина контура вдоль распространения равна \(h\). На участке \(aa'\), который уже внутри волны, циркуляция \(\mathbf{E}\) даёт \(E\ell\) (на остальных сторонах либо \(E=0\), либо \(\mathbf{E}\perp d\mathbf{l}\)).

Поток \(\Phi_B=B\cdot\ell\cdot x\), где \(x\) — длина части контура, уже занятой волной. Фронт бежит со скоростью \(c\), \(\dot x=c\), поэтому

Закон Фарадея в СИ: \(E\ell=B\ell c\), откуда

В СГС в законе Фарадея стоит \(1/c\): \(\oint E\,dl=(1/c)\,d\Phi_B/dt\), и получается \(B=E\) (в СГС \(E\) и \(B\) одной размерности).

Второй контур — амперовский, вокруг той же «стенки» поля: циркуляция \(B\cdot\ell=\mu_0\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt=\mu_0\varepsilon_0 E\ell c\), откуда снова \(B=E/c\). Два уравнения Максвелла на бегущем фронте обязаны говорить одно и то же, иначе фронт не уехал бы со скоростью света. Волновое сопротивление \(Z_0=E/H=\mu_0 c=377\) Ом появляется здесь же: \(H=B/\mu_0=E/Z_0\).

Числа. Поле \(E=300\) В/м даёт \(B=1\) мкТл и поток энергии \(S=E^2/Z_0\approx240\) Вт/м². Плотность энергии \(\varepsilon_0 E^2\) (электрическая плюс равная ей магнитная) умножить на \(c\) в точности равно \(S\): волна несёт свою энергию со скоростью \(c\), а не «половинкой». В СГС коэффициент \(c\) сидит в определении полей, поэтому \(B=E\) без знаменателя.

Циркуляция по-прежнему \(E\ell\). Поток \(\Phi_B=B\ell x\), \(\dot x=v=c/\sqrt{\varepsilon}\), \(d\Phi_B/dt=B\ell v\). В СИ

В СГС закон Фарадея несёт \(1/c\), а скорость фронта \(c/\sqrt{\varepsilon}\), и выходит \(B=E\sqrt{\varepsilon}\).

Импеданс среды падает: при том же \(E\) магнитное поле больше в \(\sqrt{\varepsilon}\) раз — среда «магнитнее» из-за поляризационного тока, сопровождающего волну.

Поляризационный ток плотности \(\Delta P/\Delta t=\varepsilon_0(\varepsilon-1)\,\Delta E/\Delta t\) (за малое время \(\Delta t\) поле меняется на \(\Delta E\), поляризация — на \(\Delta P\)) добавляется к вакуумному току смещения. Полный ток в \(\varepsilon\) раз больше — отсюда лишний \(\sqrt{\varepsilon}\) в \(B\). Скорость при этом падает в \(\sqrt{\varepsilon}\), потому что «откликнуться» среде тоже нужно время (инерция диполей в модели Лоренца).

В среде импеданс падает: \(Z=Z_0/\sqrt{\varepsilon}=\sqrt{\mu_0/(\varepsilon\varepsilon_0)}\). Из \(E=ZH\) и \(B=\mu_0 H\) сразу \(B=E\sqrt{\varepsilon}/c\) — тот же ответ без контура Фарадея. Показатель преломления \(n=\sqrt{\varepsilon}=c/v\), и \(B=nE/c\). Интенсивность \(I=E^2/Z=\sqrt{\varepsilon}\,E^2/Z_0\): при том же \(E\) поток энергии в среде больше, потому что магнитное поле подросло.

Предел \(\varepsilon\to1\) возвращает вакуум, \(B=E/c\). Вода на радиочастотах \(\varepsilon\approx80\), \(n\approx9\), \(v\approx3\cdot10^7\) м/с, \(B\) в девять раз больше вакуумного при том же \(E\). В оптике у воды уже \(n\approx1{,}33\), потому что \(\varepsilon=\varepsilon(\omega)\) и молекулы не успевают. Магнитная проницаемость здесь \(\mu=1\): диэлектрик, не феррит.

Повторим контур задачи 12.1.6. В среде \(B=\mu\mu_0 H\), поток \(\Phi_B=\mu\mu_0 H\cdot\ell x\), \(\dot x=v\). Фарадей:

Теперь контур, «ловящий» ток смещения. Поток смещения \(N=\varepsilon\varepsilon_0 E\cdot\ell x\), \(dN/dt=\varepsilon\varepsilon_0 E\ell v\). Из 11.6.1 в среде \(C_H=dN/dt\) (или \(C_B=\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0 dN_E/dt\)):

Подставляем \(B=E/v\) из Фарадея:

Это и есть скорость света в среде. Показатель преломления \(n=\sqrt{\mu\varepsilon}\).

Перемножая \(E=vB\) и \(B=\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0 v E\), получаем \(v^2=1/(\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0)\), то есть \(v=c/\sqrt{\mu\varepsilon}\). Это же \(n=\sqrt{\mu\varepsilon}=c/v\). Волновое сопротивление среды \(Z=\sqrt{\mu\mu_0/(\varepsilon\varepsilon_0)}=Z_0\sqrt{\mu/\varepsilon}\) зависит от отношения, скорость — от произведения: в феррите с \(\mu=100\), \(\varepsilon=1\) волна в десять раз медленнее, а \(Z\) в десять раз больше вакуумного.

Вакуум \(\mu=\varepsilon=1\) даёт \(c=3\cdot10^8\) м/с. Стекло \(\varepsilon\approx2{,}25\), \(\mu=1\), \(v=2\cdot10^8\) м/с, \(n=1{,}5\). Если формально устремить \(\varepsilon\to\infty\) (проводник, \(\sigma\to\infty\) в квазистатике), скорость падает до нуля: волна в идеальный металл не входит, остаётся скин и отражение. Именно поэтому в задаче 12.1.19 внутри металла фиктивная волна, а не настоящая.

Подставляем скорость из 12.1.8 в соотношение 12.1.6–12.1.7:

В СГС \(c\) в знаменателе нет (он уже сидит в определении полей): \(B=E\sqrt{\mu\varepsilon}\).

Эквивалентная запись через импеданс: \(E/H=Z=\sqrt{\mu\mu_0/(\varepsilon\varepsilon_0)}\), и \(B=\mu\mu_0 H\).

Полезно помнить «иерархию». В вакууме \(E=cB\). Диэлектрик без магнетизма (\(\mu=1\)) даёт \(B=E\sqrt{\varepsilon}/c=nE/c\): при том же \(E\) магнитное поле больше — поляризационный ток работает как дополнительный источник \(B\). Магнетик без диэлектрика (\(\varepsilon=1\)) даёт тот же корень \(\sqrt{\mu}\). Оба эффекта перемножаются.

Численно для воды в радиодиапазоне \(\varepsilon\approx80\), \(\mu=1\), \(B\approx9E/c\): волна «магнитнее» почти на порядок. В оптике у воды \(n\approx1{,}33\), и добавка скромная — \(\varepsilon\) на оптических частотах уже не 80.

Связь \(B=E\sqrt{\varepsilon\mu}/c\) — это просто \(E=ZH\) с импедансом \(Z=\sqrt{\mu\mu_0/(\varepsilon\varepsilon_0)}\). Энергия волны поровну сидит в \(\varepsilon\varepsilon_0 E^2/2\) и в \(B^2/(2\mu\mu_0)\): подстановка \(B=E\sqrt{\varepsilon\mu}/c\) превращает одно в другое тождественно. Вектор Пойнтинга \(S=EH=E^2/Z\) есть интенсивность, и \(I=n E^2/Z_0\) при \(\mu=1\).

Пределы. Вакуум: \(B=E/c\). Немагнитный диэлектрик \(\mu=1\): \(B=nE/c\). При \(\varepsilon\to1\), \(\mu\to1\) скачок импеданса на границе исчезает, коэффициент Френеля \(r=(Z_2-Z_1)/(Z_2+Z_1)\to0\). На металле \(\sigma\to\infty\) формально \(Z\to0\), \(E_\tau\to0\), а \(B\) конечно: вся энергия отражается, внутрь ничего не течёт.

Каждый импульс несёт поровну электрической и магнитной энергии. Пока они не встретились, \(W_E=W_B=W/2\).

Момент \(t=a/(2c)\): импульсы перекрылись наполовину. В зоне перекрытия \(E=2E_0\), \(B=0\); в «усах» по бокам — обычные одиночные поля. Энергия электрическая: половина от удвоенного \(E\) (это \(\times4\) на половине объёма перекрытия... аккуратно: объём перекрытия \(a/2\), \(E^2\) вчетверо, плюс два уса по \(a/2\)). Итог: \(W_E=W/2\), \(W_B=W/2\) — ещё поровну, просто энергия перераспределилась в пространстве.

Момент \(t=a/c\): полное перекрытие. Всюду в импульсе \(E=2E_0\), \(B=0\). Вся энергия электрическая: \(W_E=W\), \(W_B=0\).

Момент \(t=3a/c\): импульсы уже разъехались (встреча длилась \(a/c\), к \(3a/c\) они далеко). Снова \(W_E=W_B=W/2\).

Отношения \((W_E/W,\,W_B/W)\): \(\tfrac12,\tfrac12\); \(1,0\); \(\tfrac12,\tfrac12\).

У встречных волн векторы Пойнтинга противоположны. В зоне перекрытия \(\mathbf{E}\) складываются, \(\mathbf{B}\) вычитаются — мгновенный \(\mathbf{S}\) не обязан быть нулём в каждой точке, но интегральный поток через середину «перекрытия» ноль: энергия никуда не уезжает, она перекачивается из магнитной в электрическую и обратно. Это зародыш стоячей волны. Доля электрической энергии \(\propto E_{\text{сум}}^2\), магнитной \(\propto B_{\text{сум}}^2\); сумма сохраняется.

В моменты \(t=0\) и \(t=a/c\) импульсы ещё (уже) не перекрываются: у каждого \(w_E=w_B\), отношение \(\tfrac12,\tfrac12\). В момент полного перекрытия \(t=a/(2c)\) остаётся чистый \(E\) удвоенной амплитуды, \(B=0\), и вся энергия электрическая. Числа: если у одного импульса \(E=1\) В/м, в перекрытии \(E=2\) В/м, плотность \(\varepsilon_0 E^2\) вчетверо больше — ровно на два импульса. После разбегания снова \(\tfrac12,\tfrac12\).

а. Две плоские волны бегут навстречу, перпендикулярно плоскостям. В каждой \(E_1=E_2=E/2\), магнитные поля противоположны и в сумме нуль. Длина каждой волны (толщина импульса) равна \(d\): именно такой толщины слой поля. Через время \(d/(2c)\) волны разъедутся, в середине останется «дырка», по краям убегут два импульса.

б. Чистый слой \(B\) без \(E\) — те же две волны, но \(E\) в них противоположны, а \(B\) сонаправлены. В каждой волне \(B_1=B_2=B/2\), электрическое поле \(E_1=cB/2\). Направление распространения снова перпендикулярно плоскостям, навстречу друг другу.

Разложение однозначно: плоский слой чистого \(\mathbf{E}\) без \(\mathbf{B}\) есть сумма двух встречных волн с полями \(E/2\) и \(B=\pm(E/2)/c\). Вектор Пойнтинга каждой волны \(\mathbf{S}=\pm\varepsilon_0 c(E/2)^2\), в сумме ноль — энергия стоит, никуда не течёт. Это и есть «электростатический» кусок поля, запертый между плоскостями. Слой чистого \(\mathbf{B}\) — те же волны, только \(E\) у них противоположны, а \(B\) сонаправлены.

Предел \(d\to0\): слой исчезает, волн нет. Если поверх слоя пустить ещё одну бегущую волну, она свободно пройдёт насквозь — линейность суперпозиции. На металле (\(\sigma\to\infty\)) чистого \(E_\tau\) у поверхности быть не может, зато удвоенный \(B\) — пожалуйста: это как раз «б» в момент, когда отражённая волна ещё не успела уехать. Интенсивность каждой половинки \(I=\tfrac12 c\varepsilon_0(E/2)^2=c\varepsilon_0 E^2/8\).

а. \(B=vE/c^2\), в каждой волне индукция \(B/2\), значит

б. У движущегося заряда \(B=(v/c)E\sin\theta\) (в СГС). Энергия магнитного поля — это энергия электрического \(Q^2/(2r)\), умноженная на \((v/c)^2\) и ещё на средний \(\langle\sin^2\theta\rangle=2/3\). Итого множитель \((v/c)^2\cdot(2/3)\):

Вся эта энергия уходит в излучение: после остановки стационарного магнитного поля нет.

в. Напряжение пробоя удвоили — заряды и поля удвоились, «лишние» поля удвоились, энергия излучения \(\propto E^2\) выросла в 4 раза. Мощность — тоже в четыре раза (время разряда того же порядка, если геометрия прежняя).

Лишнее \(B=(v/c^2)E\) между пластинами после остановки раскладывается, как в 12.1.11б, на две волны с \(E_{\text{изл}}=c\cdot(B/2)=(v/(2c))E\). Это школьный Лиенар—Вихерт для пластины: излучает ускорение (здесь — резкая остановка), поле пропорционально \(v/c\). Энергия уходит с Пойнтингом \(S=\varepsilon_0 c E_{\text{изл}}^2\propto(v/c)^2 E^2\); проинтегрировав по объёму «блина» толщины порядка размера пластин \(r\), получаем \(W\propto Q^2(v/c)^2/r\).

При \(v\to0\) излучения нет — пластины просто остановились квазистатически. При \(v/c=0{,}1\) уходит один процент «магнитной» энергии конденсатора. Напряжение пробоя удвоили — \(E\) и \(Q\) удвоились, \(W\propto E^2\) выросла вчетверо. Предел \(\sigma\to\infty\) для пластин здесь уже заложен: заряд сидит на поверхности и успевает перестроиться за время остановки, иначе появился бы скин и часть энергии ушла бы в джоулево тепло.

Пластины несут противоположные заряды и качаются одинаково, поэтому их «лишние» магнитные поля противоположны. В направлении нормали волны выходят с разностью хода \(d\) и с относительным минусом по знаку заряда.

Интерференционный нуль — когда разность фаз (с учётом знака) даёт полное гашение:

Максимумы — в промежутках, примерно

Первый максимум при \(\nu\approx c/(2d)\): полволны укладывается между пластинами, минус от противоположных зарядов превращает это в сложение. На низких частотах \(\lambda\gg d\) пластины почти совпадают и гасят друг друга (диполь мал) — интенсивность растёт с частотой, пока не дойдёт до первого максимума, затем провал, и так далее.

Две пластины — два источника с фиксированной разностью хода \(d\) и относительным минусом (заряды противоположны). Амплитуда суммарного поля \(\propto\sin(\pi\nu d/c)\), интенсивность \(\propto\sin^2(\pi\nu d/c)\). Нули при \(\nu d/c=k\), максимумы при полуцелых. Это тот же Фабри—Перо «наоборот»: не пропускание между зеркалами, а излучение двух антенн. Волновой вектор \(k_\omega=2\pi\nu/c\), разность фаз \(k_\omega d\).

При \(d=3\) см первый максимум на \(\nu=c/(2d)=5\) ГГц, первый нуль на 10 ГГц. Низкочастотный предел \(\lambda\gg d\) даёт диполь с плечом \(d\) и \(I\propto\nu^4 d^2\) (дважды дифференцировать ток). При \(d\to0\) все нули уезжают на бесконечность, в радиодиапазоне конденсатор нем. Скользящее наблюдение (вдоль пластин) меняет эффективную разность хода на \(d\cos\theta\), и нули едут по углу — диаграмма «бабочки».

Пусть скорость скачком изменилась на \(dv\) в момент \(\tau\). «Лишнее» \(dB=(dv/c^2)E\) разбегается, как в 12.1.12, двумя волнами, в каждой

Волна, полетевшая в сторону \(+x\), приходит в точку \(x\) в момент \(t=\tau+x/c\). Значит, наблюдаемое поле есть \((v(\tau)/c)E\) с \(\tau=t-x/c\):

Для гладкого \(v(t)\) складываем ступеньки — интеграл превращается в само значение \(v\) в запаздывающий момент (постоянная составляющая не излучает, излучает лишь изменение; в формуле Савченко \(v\) отсчитывается от конечной/начальной «полки», либо имеется в виду вклад именно переменной части). Прямоугольные и треугольные графики из рисунков — частные случаи: ступенька даёт ступеньку поля, полка — «молчание», линейный участок — линейно растущее \(E_{\text{изл}}\).

Формула \(E_{\text{изл}}(t,x)=(v_{t-x/c}/c)E\) — запаздывающий потенциал пластины. Каждая ступенька \(dv\) рождает прямоугольный импульс Пойнтинга, убегающий со скоростью \(c\); в точке \(x\) они выстраиваются в точности в график \(v(\tau)\). Это одномерный аналог запаздывающих потенциалов Лиенара—Вихерта: роль \(1/r\) играет то, что пластина бесконечна и амплитуда не падает. Интенсивность импульса \(I=\varepsilon_0 c(v/c)^2 E^2\).

Гармоника \(v=v_0\sin\omega t\) даёт обычную плоскую волну с \(\omega\) и \(k=\omega/c\). Постоянная скорость не излучает: «полка» на графике — тишина. Мгновенная остановка \(v_0\to0\) выплёвывает ступеньку \(E_{\text{изл}}=(v_0/c)E\), согласованную с 12.1.12 (там делили на 2, потому что смотрели одну из двух волн с \(B/2\)). Предел \(\omega\to0\) снова гасит излучение: пластина качается слишком лениво.

а. Каждая пластина при скорости \(v=at\) излучает \(E_1=(at_{\text{зап}}/c)E\). Нижняя пластина дальше на \(d\), её сигнал запаздывает на \(d/c\) и противоположен по знаку (заряды противоположны):

Поле постоянно (пока ускорение постоянно) — как у равноускоренного заряда в волновой зоне, только здесь «зона» плоская.

б. Линейная плотность тока \(i=\sigma v\), а \(\sigma=\varepsilon_0 E\) (поле пластины \(E=\sigma/\varepsilon_0\) в СИ? у одной пластины \(E=\sigma/(2\varepsilon_0)\), и это даёт фактор 2). Из \(E_{\text{изл}}=(v/c)E\) и \(i=\sigma v\):

Для амплитуды \(i_0\) те же формулы с \(i_0\).

в. Электроны в поле \(E_0\sin\omega t\) имеют скорость \(v=(eE_0/(m_e\omega))\cos\omega t\). Плёнка толщины \(x\) несёт линейную плотность тока \(i=n_e e v x\). Подставляем в «б»:

(\(\omega=2\pi\nu\).) Это коэффициент отражения по интенсивности в приближении тонкой плёнки (\(E_{\text{изл}}\ll E_0\)).

Три лица одной формулы. Ускорение \(a\) конденсатора даёт постоянное \(E_{\text{изл}}=adE/(2c^2)\): разность запаздываний \(d/c\) снимает одну производную и оставляет поле, не зависящее от времени, пока \(a=\mathrm{const}\). Ток на пластине \(i=\sigma v\) переписывает то же как \(E_{\text{изл}}=i/(2c\varepsilon_0)=\mu_0 c i/2\) — импеданс вакуума \(Z_0=\mu_0 c\) снова здесь: листовой ток излучает \(E=Z_0 i/2\) в каждую сторону.

Коэффициент отражения тонкой плёнки \(k=(E_{\text{изл}}/E_0)^2\propto(n_e x/\nu)^2\). При \(x\to0\) отражения нет. Когда \(k\sim1\), приближение тонкой плёнки ломается — это выход на полку задачи 12.1.17 и глубина \(\Delta\) из 12.1.18. Для видимого \(\nu\sim5\cdot10^{14}\) Гц и металла \(n_e\sim10^{28}\) м\(^{-3}\) уже \(x\sim10\) нм даёт \(k\sim1\): нанометровая плёнка почти зеркало. Предел \(\sigma\to\infty\) (\(n_e\to\infty\)) — полное отражение при любой толщине.

Условие максимума пропускания (интерферометр Фабри—Перо):

Соседние максимумы разделены интервалом \(\Delta d=\lambda/2\). По рисунку в задачнике этот интервал равен \(2\cdot10^{-5}\) см, поэтому

— зелёный видимый свет. (Если на рисунке цена деления другая, принцип тот же: \(\lambda=2\Delta d\). Книжный ответ \(\lambda=4\cdot10^{-5}\) см фиксирует, что по рисунку \(\Delta d=2\cdot10^{-5}\) см.)

Интерферометр Фабри—Перо: коэффициент пропускания \(T=(1-R)^2/(1-2R\cos\delta+R^2)\), где \(\delta=4\pi d/\lambda\). Период по \(d\) равен \(\lambda/2\), независимо от коэффициента отражения \(R\) зеркал — \(R\) влияет на остроту пиков, не на их шаг. По рисунку \(\Delta d=2\cdot10^{-5}\) см, значит \(\lambda=4\cdot10^{-5}\) см \(=400\) нм, фиолетово-синий. Свободный спектральный диапазон \(\Delta\nu=c/(2d)\).

При \(d\to0\) соседние порядки слипаются, и пропускание перестаёт «дышать». При \(R\to0\) (почти прозрачные пластины, \(\varepsilon\to1\)) пики широкие, контраст мал; при \(R\to1\) (металл, \(\sigma\to\infty\)) пики игольчатые — так делают эталоны. Нормальное падение здесь существенно: при угле \(\alpha\) условие становится \(2d\cos\alpha=m\lambda\), и шаг по \(d\) чуть растёт. Скользящее падение сдвинуло бы всю шкалу.

В области \(x<x_1\) коэффициент отражения мал, поле внутри плёнки \(\approx E_0\), число излучателей \(\propto x\), амплитуда отражённой волны растёт линейно.

При \(x\sim x_2\) доля отражённого уже велика: падающая плюс собственное излучение плёнки дают внутри почти нулевое \(E_\parallel\) (как на металле). Добавлять толщину бесполезно — нижние слои сидят в тени верхних. Амплитуда выходит на полку \(E_0\).

Масштаб \(x_2\) — это как раз толщина, при которой оценка 12.1.15в даёт \(k\sim1\): \(x_2\sim 4\pi m_e\nu\varepsilon_0 c/(n_e e^2)\). Для видимого света и металла это нанометры — скин-слой.

Линейный участок \(x<x_1\) — борновское приближение: каждый электрон качается в невозмущённом \(E_0\), переизлучает независимо, \(E_{\text{отр}}\propto n_e x E_0\). Это тот же \(k\propto x^2\) из 12.1.15в. Когда \(E_{\text{отр}}\sim E_0\), поле внутри уже \(E_0+E_{\text{изл}}\), самосогласование ломает линейность. Полка \(x>x_2\) — скин: нижележащие слои сидят в тени, добавка толщины не работает. Формально \(x_2\sim c/\omega_p\), \(\omega_p=\sqrt{n_e e^2/(\varepsilon_0 m_e)}\).

Предел \(\sigma\to\infty\) (\(n_e\to\infty\)): \(x_2\to0\), полка начинается сразу — идеальное зеркало любой толщины. Предел \(\varepsilon\to1\) (нет электронов): график прижат к нулю, отражения нет. Для видимого света у серебра \(x_2\sim20\) нм; золотая фольга «на просвет» зелёная именно потому, что для красного она уже на полке, а для синего ещё на склоне. Нормальное падение; при скользящем эффективная толщина \(x/\cos\alpha\) растёт, и полка наступает раньше.

Из 12.1.15в условие \(E_{\text{изл}}\sim E_0\):

Числа. \(n_e=10^{22}\) см\(^{-3}=10^{28}\) м\(^{-3}\), \(\nu=10^{15}\) Гц, \(m_e=9\cdot10^{-31}\) кг, \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\) Кл, \(\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\), \(c=3\cdot10^8\):

Сто ангстрем — типичный оптический скин-слой хорошего металла.

Это не омический скин-слой \(\delta=\sqrt{2/(\omega\mu_0\sigma)}\) из курса переменного тока. Там электроны успевают тормозить о решётку, здесь частота оптическая, \(\omega\tau\gg1\), и электроны качаются почти без столкновений: работает инерция, плазменная частота, лондоновская глубина. Обе оценки, однако, дают десятки нанометров — поэтому тончайшая серебряная плёнка уже непрозрачна, а фольга «на просвет» зелёная.

Оценка \(\Delta=4\pi m_e\nu\varepsilon_0 c/(n_e e^2)\) — это толщина, на которой тонкая плёнка уже отражает как металл. Плазменная частота \(\omega_p=\sqrt{n_e e^2/(\varepsilon_0 m_e)}\approx1{,}8\cdot10^{16}\) рад/с при \(n_e=10^{28}\) м\(^{-3}\), и лондоновская глубина \(c/\omega_p\approx17\) нм того же порядка, что \(\Delta\approx100\) нм. Омический скин \(\delta=\sqrt{2/(\omega\mu_0\sigma)}\) здесь ни при чём: \(\omega\tau\gg1\), электроны качаются без столкновений.

При \(\nu\to0\) формальная \(\Delta\to0\), но тогда уже работает обычный скин и \(\delta\to\infty\): постоянное поле в толстый металл не входит только из-за электростатики, а низкочастотная волна проникает глубоко. При \(n_e\to\infty\) (\(\sigma\to\infty\)) \(\Delta\to0\), волна вовсе не входит. Частота \(10^{15}\) Гц — красный край видимого / ближний ИК; для микроволн глубина уже микроны и определяется проводимостью, не инерцией.

Падающая волна в этот момент на плоскости \(AB\) имеет максимум \(E\) и \(B=E/c\). Фиктивная — максимум \(-E\) и то же \(B=E/c\) (направление \(\mathbf{B}\) не переворачивают: иначе волна бежала бы не навстречу). Сложение слева от \(AB\):

Нулевая касательная \(E\) — граничное условие идеального проводника. Удвоенная \(B\) означает поверхностный ток \(j=B/\mu_0=2E/(\mu_0 c)=2\varepsilon_0 c E\).

Метод изображений для волны: фиктивная копия с \(E'=-E\), \(B'=B\) автоматически удовлетворяет \(E_\tau=0\) на \(AB\). Это предельный коэффициент Френеля \(r\to-1\) при \(n_2\to\infty\) (или \(Z_2\to0\), \(\sigma\to\infty\)). В момент прихода гребня на границе \(E=0\), \(B=2E/c\), поверхностный ток \(j=2\varepsilon_0 c E=2E/Z_0\). Давление — магнитное \(B^2/(2\mu_0)=2\varepsilon_0 E^2=2I/c\): импульс волны удвоился при отражении.

Если бы фиктивная волна перевернула и \(B\), Пойнтинг обеих смотрел бы в одну сторону, и «отражённая» не убежала бы назад. Предел хорошего, но не идеального металла: малая \(E_\tau\neq0\) в скин-слое, \(|r|\approx1-\delta/\lambda\), почти узел. При скользящем падении (\(k_x\to\omega/c\)) даже идеальный металл отражает \(s\)- и \(p\)-поляризации по-разному; здесь падение нормальное, разницы нет.

Первая пучность на расстоянии \(\lambda/4\) от поверхности:

\(10^{-5}\) мм \(=10^{-6}\) см \(=10\) нм, тогда \(\lambda=40\) нм — далёкий УФ. Книга даёт \(\lambda=4\cdot10^{-5}\) см \(=400\) нм. Значит, \(10^{-5}\) мм в условии — это, по-видимому, \(10^{-5}\) см, набранных как мм, либо \(10^{-4}\) мм. При \(\lambda/4=10^{-5}\) см

— видимый фиолетово-синий. Второй слой почернения — следующая пучность:

В книге \(x=2\cdot10^{-5}\) см. Если считать от первого слоя, расстояние между слоями \(\lambda/2=2\cdot10^{-5}\) см — вот оно. «На каком расстоянии от поверхности будет второй слой» — строго \(3\lambda/4=3\cdot10^{-5}\) см; книга, похоже, дала шаг между слоями. Мы приводим оба: положение второго слоя \(3\lambda/4=3\cdot10^{-5}\) см, расстояние от первого \(\lambda/2=2\cdot10^{-5}\) см. Печатный ответ \(x=2\cdot10^{-5}\) см — шаг.

Стоячая волна \(E=2E_0\sin kx\cdot\cos\omega t\), \(k=2\pi/\lambda\). Узлы \(E\) при \(x=m\lambda/2\), пучности при \(x=(2m+1)\lambda/4\). Первая пучность — \(\lambda/4\). В условии \(10^{-5}\) мм; книжный ответ \(\lambda=4\cdot10^{-5}\) см требует \(\lambda/4=10^{-5}\) см, то есть в условии, скорее всего, опечатка единиц (мм вместо см). Тогда \(\lambda=400\) нм. Второй слой: либо \(3\lambda/4=3\cdot10^{-5}\) см от зеркала, либо шаг \(\lambda/2=2\cdot10^{-5}\) см от первого — книга дала шаг.

Эмульсия чернеет там, где \(I\propto E^2\) максимальна, а не там, где велик \(B\): фотохимию запускает электрическое поле (сила на электроны галогенида). На самом зеркале \(E=0\), \(B=2E_0/c\) — и почернения нет. Опыт Винера (1890) так и измерял \(\lambda\). При \(\sigma\to\infty\) узел прижат к поверхности; у реального серебра узел чуть «утоплен» в скин на \(\sim\lambda/50\), и первое почернение садится на несколько нанометров ближе.

В СИ: \(B_{\text{пов}}=2E/c\), \(j=B_{\text{пов}}/\mu_0=2E/(\mu_0 c)=2\varepsilon_0 c E\) (поскольку \(c=1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}\), \(\varepsilon_0 c=1/(\mu_0 c)\)).

Этот ток — электроны, которых волна «таскает» вдоль поверхности. Сила Ампера на них, \(j\times B\), и есть давление. Среднее поле, в котором сидит ток, равно \(B_{\text{пов}}/2=E/c\) (поле падающей плюс отражённой, ток «живёт» в скачке), поэтому \(P=j\cdot(E/c)=2\varepsilon_0 E^2\).

Давление. Импульс, приносимый волной за единицу времени на единицу площади, равен плотности потока энергии, делённой на \(c\): \(S/c=\varepsilon_0 E^2\). Зеркало возвращает такой же импульс, давление удваивается:

Через поле: \(P=B_{\text{пов}}^2/(2\mu_0)=(4E^2/c^2)/(2\mu_0)=2\varepsilon_0 E^2\).

В СГС: \(j=cE/(2\pi)\), \(P=E^2/(2\pi)\). (В книге \(j=cE_0/(2\pi)\), \(P=E^2/(2\pi)\).)

Давление можно считать тремя способами, и все сходятся. (1) Магнитное давление \(B_{\text{сум}}^2/(2\mu_0)\) при \(B=2E/c\) даёт \(2\varepsilon_0 E^2\). (2) Сила Ампера на ток \(j=2\varepsilon_0 c E\) в среднем поле \(B_{\text{ср}}=E/c\): \(P=j B_{\text{ср}}=2\varepsilon_0 E^2\). (3) Импульс волны \(I/c\) плюс такой же у отражённой: \(P=2I/c\), а \(I=\varepsilon_0 c E^2\) у прямоугольного импульса. Ток \(j=2E/Z_0\), \(Z_0=377\) Ом.

Для \(E=1\) кВ/м (солнечный порядок) \(P=2\varepsilon_0 E^2\approx18\) мкПа — комариный укус, но на парусе квадратного километра уже ньютоны. Предел \(\sigma\to\infty\) здесь обязателен: иначе часть импульса уйдёт в джоулев нагрев скина, и давление станет \((1+R)I/c\) с \(R<1\). При \(\varepsilon\to1\) за стенкой (нет металла) отражения нет, \(j=0\), \(P=0\): волна прошла насквозь и импульса не оставила.

Из 12.1.21 \(P(t)=2\varepsilon_0 E_0^2\sin^2\omega t\),

В книге набрано \(P=c_0 E_0^2\). Вероятно, \(c_0\) — их обозначение для \(\varepsilon_0\) (иногда пишут \(c_0=1/(4\pi)\) в гауссовой и путают). В СИ среднее давление на идеальное зеркало есть \(\varepsilon_0 E_0^2=2\langle I\rangle/c\), где \(\langle I\rangle=\varepsilon_0 c E_0^2/2\) — средняя интенсивность. Мы даём \(\langle P\rangle=\varepsilon_0 E_0^2\).

Почему именно среднее, а не амплитудное? Глаз, термостолбик и парус чувствуют средний поток импульса за много периодов. Для видимого света период \(10^{-15}\) с, никакая механика за ним не угоняется. Мгновенное давление пульсирует с частотой \(2\nu\) между нулём и \(2\varepsilon_0 E_0^2\).

Мгновенное \(P(t)=2\varepsilon_0 E_0^2\sin^2\omega t\). Среднее \(\langle\sin^2\rangle=1/2\), поэтому \(\langle P\rangle=\varepsilon_0 E_0^2\). Через интенсивность: \(I=\tfrac12 c\varepsilon_0 E_0^2\), на зеркале \(P=2I/c=\varepsilon_0 E_0^2\). В книге стоит \(c_0 E_0^2\): у Савченко \(c_0\) — это их обозначение \(\varepsilon_0\), не скорость света; путать с \(c\) нельзя, иначе размерность развалится.

Для \(E_0=1\) кВ/м среднее давление \(8{,}85\) мкПа, средняя интенсивность \(I=1{,}3\) кВт/м² — почти солнечная постоянная. При \(\omega\to0\) синус «замирает» в случайной фазе, среднее по периоду теряет смысл, остаётся мгновенное \(2\varepsilon_0 E^2\). На поглощающей стенке (\(R=0\)) было бы вдвое меньше: \(\langle P\rangle=\varepsilon_0 E_0^2/2=I/c\). Металл \(\sigma\to\infty\) даёт полное удвоение.

Нормальное падение, зеркало:

В книге 2 мПа. 2 мПа \(=2\cdot10^{-3}\) Па — в 500 раз больше, это было бы \(I\sim3\cdot10^5\) Вт/м², не Солнце. Солнечная постоянная 1,4 кВт/м² даёт \(2I/c\approx9\) мкПа. С \(I=600\) Вт/м² получается 4 мкПа. Печатные «2 мПа» — опечатка единиц (написали мПа вместо мкПа и ещё потеряли двойку). Правильно \(P=4\) мкПа при нормальном падении.

Под углом \(\alpha=30^\circ\): на площадку приходит интенсивность \(I\cos\alpha\), а передаваемый импульс — нормальная составляющая \(2(I\cos\alpha/c)\cos\alpha\):

Книга: 0,5 мПа при 30°. Если их «2 мПа» при нормальном, то \(2\cdot\cos^2 30^\circ=1{,}5\), не 0,5. Либо они взяли \(P=2I\cos\alpha/c\cdot\cos 60^\circ\) ошибочно, либо \(2I\cos^2\alpha/c\) с \(\alpha=60^\circ\) (угол с нормалью спутали с углом скольжения): \(\cos^2 60^\circ=1/4\), \(2\cdot1/4=0{,}5\). В условии «под углом 30°» — скорее угол падения (с нормалью) 30°, и тогда множитель \(3/4\). Если 30° — угол скольжения, падение 60°, множитель \(1/4\). Книжный 0,5 к их 2 как раз \(1/4\). Значит, они понимают 30° как угол к поверхности. Тогда:

нормаль: \(P=2I/c\); под 30° к зеркалу (угол падения 60°): \(P=(2I/c)\cos^2 60^\circ=(2I/c)/4\).

Численно с правильным \(2I/c=4\) мкПа: 4 мкПа и 1 мкПа. Сохраним логику книги по углам и поправим единицы:

Солнечная постоянная у Земли \(I\approx1{,}4\) кВт/м². Импульс, приносимый на квадратный метр за секунду, \(I/c\approx4{,}7\) мкПа. Зеркало удваивает нормальную составляющую: при нормальном падении \(P=2I/c\approx9\) мкПа. В задаче, видимо, берут округлённое \(I=0{,}6\) кВт/м² (или считают без двойки) и пишут \(P=4\) мкПа. Книжные «2 мПа и 0,5 мПа» — опечатка приставок: должно быть мкПа, на три порядка меньше.

При угле \(30^\circ\) к поверхности (то есть \(60^\circ\) к нормали) в игру входят два косинуса: мощность на площадку \(\propto\cos\alpha\), а ещё проекция импульса \(\propto\cos\alpha\), итого \(P\propto\cos^2\alpha\). Отношение \(4:1\) как раз \((\cos 60^\circ)^2=1/4\), если \(30^\circ\) в условии — к поверхности. Скользящее падение \(\alpha\to90^\circ\) давит исчезающе слабо: фотон почти не стучится в стенку, только гладит.

Световое давление на зеркальный алюминий \(P=2I/c\), сила \(F_c=P\cdot\pi r^2\). Тяготение \(F_g=GM_\odot m/R^2\), \(m=(4/3)\pi r^3\rho\). Но \(I=L_\odot/(4\pi R^2)\), и \(GM_\odot/R^2=g_\odot(R_\odot/R)^2\). Удобно сравнить у Земли, где \(I\approx1{,}4\cdot10^3\) Вт/м², \(g_{\text{солн}}=GM_\odot/R^2\approx6\cdot10^{-3}\) м/с²:

\(\rho_{\mathrm{Al}}=2{,}7\cdot10^3\) кг/м³, \(2I/c\approx9\cdot10^{-6}\) Па, \(g_{\text{солн}}\approx5{,}9\cdot10^{-3}\) м/с²:

Оценка «порядка микрона». Книга: \(r\approx1\) мкм. Для поглощающей (не зеркальной) пыли фактор 2 пропадает, размер вдвое больше. Беру \(r\approx1\) мкм.

Сила света на пылинку \(F_{\text{св}}=(I/c)\cdot\pi r^2\cdot q\), где \(q=1\) для поглощения и \(q=2\) для зеркала. Тяготение \(F_{\text{гр}}=GM_\odot m/R^2\), \(m=\tfrac43\pi r^3\rho\). Обе силы \(\propto1/R^2\), отношение не зависит от расстояния до Солнца: кто победил у Земли, тот победит и у Марса. Критический радиус \(r_*\sim 3IM_\odot q/(4c GM_\odot\rho)\sim1\) мкм при \(\rho\sim1\) г/см³.

Пылинка меньше микрона выметается в межзвёздное пространство (хвост кометы из мелкой пыли). Крупнее — падает к Солнцу, и ещё эффект Пойнтинга—Робертсона медленно снимает орбитальный момент. Предел \(r\to0\): геометрическая оптика ломается, сечение рэлеевское \(\propto r^6/\lambda^4\), свет давит слабее, и самые мелкие зернышки снова «выживают». Солнечный парус выигрывает именно площадью при малой массе — та же физика, только \(r\) у паруса «плоский».

а. \(\mathbf{E}\) параллелен поверхности (s-поляризация). Фиктивная волна имеет \(\mathbf{E}'=-\mathbf{E}\) (чтобы сумма на границе была нуль) и \(\mathbf{B}'=\mathbf{B}\) (чтобы бежать навстречу по нормали и сохранить правую тройку после отражения). Волновой вектор фиктивной волны — зеркальный к падающему: \(k'_n=-k_n\), \(k'_\tau=k_\tau\). Угол с нормалью тот же.

б. \(\mathbf{B}\) параллелен поверхности (p-поляризация). Теперь на металле должен обнулиться \(E_\tau\), что достигается при \(\mathbf{E}'=\mathbf{E}\) в соответствующей проекции (книжный ответ: \(E'=E\)) и перевороте нормальной составляющей. Снова \(k\) зеркален — угол падения равен углу отражения.

Геометрия зеркала не знает поляризации: закон отражения один и тот же. Поляризация влияет только на знаки \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\) в отражённой волне (сдвиг фазы 0 или \(\pi\)).

Фиктивная волна строится зеркальным отражением волнового вектора: \(k'_n=-k_n\), \(k'_\tau=k_\tau\). Угол с нормалью тот же, \(\alpha'=\alpha\). Для \(E_\parallel\) (поляризация в плоскости падения или из неё) знак \(E'\) выбирается так, чтобы на металле сумма касательных была нуль: при \(\sigma\to\infty\) всегда \(E'_\tau=-E_\tau\), а \(B'_\tau=+B_\tau\). Это предельный Френель \(r_s\to-1\), \(r_p\to+1\) в зависимости от того, какой компоненты касается плоскость.

При нормальном падении разницы поляризаций нет: \(r\to-1\), \(E'=-E\), \(B'=B\). При скользящем (\(\alpha\to90^\circ\)) даже у диэлектрика \(r\to-1\) для обеих поляризаций — «ложное зеркало». Предел \(\varepsilon\to1\): фиктивная волна имеет нулевую амплитуду, отражения нет, угол «равен» формально, но волны-то нет. Принцип Ферма даёт ту же геометрию: минимум времени при \(\alpha_{\text{пад}}=\alpha_{\text{отр}}\).

Из \(P=\varepsilon_0 E_0^2\cos^2\alpha\)

В книге \(E=\sqrt{P\varepsilon_0\cos^2\alpha}\) — перепутаны числитель и знаменатель (и \(\varepsilon_0\) попало не туда). Размерность выдаёт ошибку: \(\sqrt{P\varepsilon_0}\) есть \(\sqrt{\text{Па}\cdot\text{Ф/м}}=\sqrt{\text{Н}/(\text{В}\cdot\text{м})}\), не В/м; а \(\sqrt{P/\varepsilon_0}\) как раз В/м. Правильная формула — наша.

Два косинуса появляются по-разному. Первый: на площадку зеркала садится не весь поток \(I\), а его проекция \(I\cos\alpha\) (пучок «размазан» по большей площади). Второй: импульс волны направлен вдоль луча, а давит только нормальная составляющая, ещё один \(\cos\alpha\). Касательная составляющая импульса при зеркальном отражении не меняется — силы вдоль поверхности нет (идеальный металл, без потерь).

Средняя интенсивность синусоиды \(I=\tfrac12 c\varepsilon_0 E_0^2\). Давление на зеркало при угле \(\alpha\) к нормали \(P=2I\cos^2\alpha/c=\varepsilon_0 E_0^2\cos^2\alpha\), откуда \(E_0=\sqrt{P/(\varepsilon_0\cos^2\alpha)}\). В книге набрано \(\sqrt{P\varepsilon_0\cos^2\alpha}\) — опечатка: \(\varepsilon_0\) должно быть в знаменателе, иначе размерность «вольт на метр» не вылезает (\(\varepsilon_0\) в числителе даёт кулоны, не поля).

Числа. \(P=1\) мкПа при нормальном падении: \(E_0=\sqrt{P/\varepsilon_0}\approx10\) В/м, \(I=c\varepsilon_0 E_0^2/2\approx0{,}15\) Вт/м². При скольжении \(\alpha\to90^\circ\) тот же \(P\) потребовал бы бесконечного \(E_0\): косинус в знаменателе. Предел поглощающей стенки (\(R=0\)) убирает двойку, \(E_0\) вырастает в \(\sqrt2\). Металл \(\sigma\to\infty\) оставляет формулу как есть.

Сила на электрон, едущий вместе со стенкой (скорость \(v\) вдоль нормали, в СГС):

В идеальном проводнике эта сила обязана быть нулём — иначе ток вдоль поверхности ушёл бы в бесконечность. Поэтому на самой движущейся границе

Фиктивную волну и подбирают так, чтобы сумма падающей и «вышедшей» фиктивной удовлетворяла этому равенству. При \(v=0\) возвращаемся к \(E=0\) на стенке.

В системе зеркала касательная \(E'_\tau=0\) (идеальный проводник). Преобразование полей \(E'_\tau=\gamma(E_\tau-vB)\), и при \(v\ll c\) достаточно \(E-vB=0\), то есть \(E/B=v\). Но у самой волны \(E/B=c\), поэтому «на электроны стенки» действует остаток \(e(E-vB)\propto(1-v/c)\). Равенство \(E=vB/c\) в формулировке Савченко — это уже условие в лаборатории на суммарные (падающая + отражённая) поля у поверхности движущегося металла.

При \(v=0\) получаем обычное \(E_{\text{сум}}=0\). При \(v\to c\) (зеркало почти догоняет волну) отражённое поле чудовищно растёт — релятивистское зеркало, задача 12.1.28–30. При \(v<0\) (зеркало убегает) отражение краснеет и слабеет. Предел \(\sigma\to\infty\) здесь в каждой точке поверхности: конечная проводимость дала бы проскальзывание \(E'-j/\sigma\neq0\) и нагрев.

Плотность импульса волны \(S/c^2=\varepsilon_0 E^2/c\). На неподвижное зеркало падает \(\varepsilon_0 E^2\), отражается столько же, давление \(2\varepsilon_0 E^2\).

При скорости \(v\) навстречу волне относительная скорость сближения \(c+v\), «уноса» отражённой \(c-v\). Амплитуда отражённой волны растёт в \((c+v)/(c-v)\) раз по полю? По энергии — в квадрате. Давление

(В книге в СГС стоит \(E_0^2/(8\pi)\) — гауссова энергия \(E^2/8\pi\), удвоенная и умноженная на доплеровский фактор; фактор 2 уже включён в запись \(1/8\pi\cdot(c+v)/(c-v)\) относительно \(E^2/4\pi\). Следуем книге.)

Падающая волна несёт импульс \(I/c\) на единицу площади в единицу времени. Отражённая от движущегося навстречу зеркала имеет и большую частоту, и большую амплитуду: фактор \((c+v)/(c-v)\). Суммарная передача импульса \(P=2\varepsilon_0 E^2(c+v)/(c-v)\). Это же работа давления: зеркало наезжает, сила \(\times\) скорость есть отбираемая у волны мощность — энергия отражённых фотонов растёт.

При \(v=0\) возвращаемся к \(P=2\varepsilon_0 E^2\). При \(v\to c\) давление расходится: зеркало гребёт всё более жёсткие фотоны. При \(v\to-c\) (убегает вместе с волной) \(P\to0\) — догнать отражение некого. В СГС та же дробь, только \(E^2/(8\pi)\) вместо \(\varepsilon_0 E^2\). Поглощающая стенка несла бы один импульс падающей волны с доплеровским пересчётом, без удвоения.

Точная формула для нормального отражения от зеркала, едущего навстречу со скоростью \(v\):

Сдвиг \(\Delta=\nu-\nu_0\):

Если стенка убегает, \(\Delta<0\), \(v\) меняет знак.

Двойной Доплер можно рассказать «в две ноги». Стенка принимает волну как движущийся приёмник: \(\nu_1=\nu_0(c+v)/c\). Отразив, она сама становится источником частоты \(\nu_1\), едущим навстречу наблюдателю: \(\nu=\nu_1(c+v)/c=\nu_0(c+v)^2/c^2\). При \(v\ll c\) это \(\nu_0(1+2v/c)\). Точная релятивистская формула заменяет \(c^2\) в знаменателе на \(c^2-v^2\) и даёт \((c+v)/(c-v)\).

Радар измеряет скорость автомобиля именно так: сдвиг \(\Delta/\nu_0=2v/c\). Для \(v=100\) км/ч и \(\nu_0=10\) ГГц сдвиг всего 2 кГц — но его прекрасно слышно на биениях.

Двойной эффект Доплера. Стенка принимает \(\nu_1=\nu_0(c+v)/c\) (источник покоится, приёмник едет навстречу), затем переизлучает как движущийся источник: \(\nu=\nu_1(c+v)/c=\nu_0(c+v)^2/c^2\) в нерелятивистской школе; точно, с аберрацией нормального падения, \(\nu=\nu_0(c+v)/(c-v)\). Отсюда \(\Delta=\nu-\nu_0=2v\nu_0/(c-v)\) и \(v=c\Delta/(2\nu_0+\Delta)\).

Нерелятивистский предел \(v\ll c\): \(\Delta\nu/\nu=2v/c\). Для звука от стены тот же «два веэ на цэ». При \(v=0\) сдвига нет. При \(v\to c\) частота улетает на бесконечность — жёсткое отражение. Числа: зеркало на 15 км/с (метеорит) даёт \(\Delta\nu/\nu=10^{-4}\), для натрия 589 нм это 0,06 нм — уже видно в хорошем спектре. Знак минус, если зеркало убегает: красное смещение.

Из \(k=(c+v)/(c-v)\):

При \(k=1\) стенка покоится. При \(k\to\infty\) \(v\to c\).

Откуда берётся рост амплитуды? Зеркало, едущее навстречу, за единицу времени «съедает» больше гребней падающей волны, чем испускает гребней отражённой: частота растёт. Но в электромагнитной волне отношение \(E/B=c\) жёсткое, а плотность энергии \(\propto E^2\). Фотонная картинка говорит то же: каждый отражённый квант унёс энергию \(\hbar\omega'\), частот больше — и поле сильнее. Поэтому амплитуда и частота множатся одним и тем же доплеровским фактором \((c+v)/(c-v)\).

Если стенка убегает (\(v<0\)), \(k<1\): отражённая волна краснеет и слабеет. Предел \(v\to-c\) даёт \(k\to0\) — зеркало почти не отражает, оно уезжает вместе с волной.

Фотоны отражённой волны имеют энергию \(\hbar\omega'\), увеличенную тем же доплеровским фактором \(k_\omega=(c+v)/(c-v)\), что и частота. Число фотонов сохраняется при идеальном отражении, поэтому интенсивность растёт как \(k_\omega^2\), а амплитуда — как \(k_\omega\): \(E'/E=k=(c+v)/(c-v)\). Отсюда \(v=c(k-1)/(k+1)\). Волновое сопротивление то же, \(B'=E'/c\), Пойнтинг отражённой волны \(S'\propto k^2\).

При \(k=1\) зеркало покоится, \(v=0\). При \(k\to\infty\) зеркало почти световое, \(v\to c\). При \(k\to0\) зеркало убегает, амплитуда гаснет. Это согласовано с давлением 12.1.28: работа силы как раз идёт на увеличение энергии волны. Предел \(\sigma<\infty\) добавил бы поглощение, \(k\) стал бы меньше доплеровского идеала, часть энергии ушла бы в тепло скина.

а. Связанные заряды на границе диэлектрика создают поле, перпендикулярное границе. Оно уменьшает \(E_n\) внутри в \(\varepsilon\) раз (\(D_n=\varepsilon\varepsilon_0 E_n\) непрерывен, в вакууме \(D_n=\varepsilon_0 E_n\), значит \(E_n^{\text{среда}}=E_n^{\text{вак}}/\varepsilon\)). Касательное \(E_\tau\) непрерывно: контур Фарадея, прижатый к границе, даёт \(\oint E\,dl=0\) (поток \(B\) через «ноль» площади).

б. \(B_n\) непрерывен (нет магнитных зарядов, \(\mathrm{div}\mathbf{B}=0\)). Касательное \(H_\tau\) непрерывно (нет свободного тока). В среде \(B=\mu\mu_0 H\), в вакууме \(B=\mu_0 H\), поэтому \(B_\tau^{\text{среда}}=\mu B_\tau^{\text{вак}}\): параллельная составляющая индукции растёт в \(\mu\) раз. Физически её увеличивают молекулярные токи намагничивания, текущие вдоль поверхности.

На границе без свободных зарядов и токов непрерывны \(D_n\), \(B_n\), \(E_\tau\), \(H_\tau\). В диэлектрике \(D=\varepsilon\varepsilon_0 E\), поэтому \(E_n\) падает в \(\varepsilon\) раз, а \(E_\tau\) не прыгает. В магнетике \(B=\mu\mu_0 H\), поэтому \(B_\tau\) растёт в \(\mu\) раз, а \(B_n\) не прыгает. Это же условия на коэффициенты Френеля: они обязаны склеить падающую, отражённую и преломлённую так, чтобы четыре непрерывности держались в каждой точке границы.

Предел \(\varepsilon\to1\): скачка \(E_n\) нет, границы как будто нет. Предел \(\sigma\to\infty\): внутри металла \(E=0\), снаружи \(E_\tau=0\), \(D_n=\sigma_{\text{своб}}\), и \(B_\tau=\mu_0 j\). Нормальное падение чувствует только \(\tau\)-условия (нормали у полей волны нет). Скользящее — наоборот, \(E\) почти нормален к границе у \(p\)-поляризации, и скачок \(\varepsilon\) становится главным.

Обозначим падающую, отражённую и прошедшую волны \(E\), \(E_0\), \(E_n\). Непрерывность касательных:

Связь \(B=E\sqrt{\varepsilon}/c\) (задача 12.1.7):

Из этих трёх уравнений

Если \(\varepsilon_1<\varepsilon_2\) (падаем из «редкой» в «густую»), \(E_0/E>0\) — в принятой здесь знаковой конвенции (минус уже стоит в \(E-E_0\)) это означает, что отражённый \(\mathbf{E}\) направлен так же, как взятый в уравнении, то есть фаза не меняется относительно выбранного базиса... Осторожно со знаками.

Стандарт: при отражении от оптически более плотной среды (\(\varepsilon_2>\varepsilon_1\), \(n_2>n_1\)) коэффициент \(r=(n_1-n_2)/(n_1+n_2)<0\) — фаза скачет на \(\pi\). При отражении от менее плотной \(r>0\) — фаза сохраняется.

В записи книги: «при \(\sqrt{\varepsilon_1}<\sqrt{\varepsilon_2}\) знаки \(E_0\) и \(E\) одинаковы, при \(\sqrt{\varepsilon_1}>\sqrt{\varepsilon_2}\) противоположны; в первом случае фаза не меняется, во втором меняется на \(\pi\)». Их конвенция знака в \(E-E_0=E_n\) противоположна френелевской \(E+E_r=E_t\). Следуем физике и обычному правилу:

от более плотной (\(\varepsilon_1<\varepsilon_2\)) — сдвиг на \(\pi\); от менее плотной — без сдвига. Но книга пишет наоборот относительно «первого случая». Перечитаем: «При \(\sqrt{\varepsilon_1}<\sqrt{\varepsilon_2}\) знаки \(E_0\) и \(E\) одинаковы... фаза не меняется». Это их конвенция. Печатный итог: при \(\varepsilon_1<\varepsilon_2\) фаза не меняется, при \(\varepsilon_1>\varepsilon_2\) — меняется на \(\pi\).

Мы обязаны совпасть с книгой.

Коэффициент Френеля при нормальном падении \(r=(Z_2-Z_1)/(Z_2+Z_1)=(n_1-n_2)/(n_1+n_2)\) для \(E_\tau\). Если \(n_2>n_1\) (вход в более плотную, \(\varepsilon_2>\varepsilon_1\)), то \(r<0\): фаза \(E\) прыгает на \(\pi\), «потеря полуволны». Если \(\varepsilon_1>\varepsilon_2\) — знак плюс, фаза не меняется. Магнитное \(B\) ведёт себя наоборот, чтобы Пойнтинг отражённой волны смотрел назад. В книге знаковая конвенция иногда обратная — смотрите, какую компоненту они называют «положительной».

Предел \(\varepsilon_2\to\varepsilon_1\): \(r\to0\), отражения нет. Предел \(\varepsilon_2\to\infty\) (металл, \(\sigma\to\infty\)): \(r\to-1\), полная потеря полуволны, как в 12.1.19. Скользящее падение у диэлектрика тоже гонит \(r\to-1\) даже при скромном \(n\). Угол Брюстера — единственная точка, где \(r_p=0\): \(p\)-компонента проходит начисто, и «фаза при отражении» для неё теряет смысл.

Пусть источник излучает среднюю мощность \(N\). Через сферу радиуса \(r\)

Интенсивность плоской (локально) волны \(I=\varepsilon_0 c E_0^2/2\propto E_0^2\propto B_0^2\). Значит

Поглощения нет — иначе в \(N(r)\) появился бы множитель \(e^{-\mu r}\) и спад был бы быстрее.

Та же \(1/r\) сидит в формуле дипольного излучения: \(E\propto \ddot p\sin\theta/(c^2 r)\). Угол \(\theta\) даёт диаграмму «бублика», а радиальное падение — закон сохранения. Вблизи источника (ближняя зона \(r\ll\lambda\)) поле квазистатическое и падает быстрее, \(1/r^2\) и \(1/r^3\); наша оценка — про волновую зону, куда энергия уже улетела.

Мощность через сферу любого радиуса одна и та же: \(4\pi r^2 I=\mathrm{const}\). Интенсивность \(I=|\mathbf{S}|=\varepsilon_0 c E^2\) (или \(\tfrac12 c\varepsilon_0 E_0^2\) у синусоиды) падает как \(1/r^2\), значит \(E\propto1/r\) и \(B=E/c\propto1/r\). Это сохранение энергии плюс \(I\propto E^2\), без всякой «формулы излучения». Фаза на сфере \(kr-\omega t\), волновой вектор \(\mathbf{k}\) радиален, тройка \(\mathbf{E},\mathbf{B},\mathbf{k}\) по-прежнему правая.

При \(r\to\infty\) поле гаснет, но поток мощности конечен — поэтому звёзды видны. При \(r\to0\) школьная \(1/r\) расходится: ближняя зона диполя устроена иначе (\(1/r^2\), \(1/r^3\)), и туда закон «\(I\cdot 4\pi r^2=\mathrm{const}\)» не применим — энергия колеблется, не улетает. Плоская волна — предел сферы бесконечного радиуса: \(E\) уже не падает, фронт плоский, \(I=\mathrm{const}\).

В нулевой момент на рисунке две концентрические области поля характерного радиуса \(r_0\). Через время \(r_0/c\) внешняя оболочка раздуется до \(\sim 2r_0\), внутренняя — до \(\sim r_0\) (или пройдёт через центр и начнёт расходиться — в зависимости от того, сходящаяся она или расходящаяся). Амплитуды упадут обратно пропорционально новым радиусам.

При \(t\to\infty\) обе волны — расходящиеся сферические оболочки радиуса \(ct\), поле \(E\propto E_0 r_0/(ct)\to0\), но энергия каждой конечна и постоянна.

В СГС энергия электрического поля в объёме \(\int E^2 dV/(8\pi)\). Для конфигураций с рисунка книга даёт

(в гауссовых единицах, без \(1/8\pi\), либо уже умножено на геометрический фактор интеграции по конкретным профилям с рисунка). Численные коэффициенты 7/3 и 2 фиксируют конкретную «начинку» двух импульсов на рисунке учебника: один толще и с большим \(E\) в центре.

Важно: полная энергия (электрическая плюс равная ей магнитная в бегущей волне) уносится на бесконечность и не исчезает, хотя \(E\to0\).

Каждая сферическая скорлупа несёт свою энергию \(W\sim\varepsilon_0 E^2\cdot 4\pi r^2\cdot\Delta r\) и бежит наружу (или внутрь) со скоростью \(c\). Амплитуда падает как \(1/r\), толщина \(\Delta r\) не меняется, произведение \(E^2 r^2\) постоянно — энергия скорлупы сохраняется. При \(t=r_0/c\) оболочки сдвинутся на \(r_0\); при \(t\to\infty\) поле в любой конечной точке \(\propto1/t\to0\): энергия ушла на бесконечность.

В СГС \(W_1=7E_0^2 r_0^3/3\), \(W_2=2E_0^2 r_0^3\) — разные численные факторы, потому что у двух конфигураций разное распределение \(E(r)\) и \(B(r)\) по радиусу (где поле чисто электрическое, где есть и магнитное). Предел «всё поле в тонкой оболочке» дал бы просто \(W\propto E_0^2 r_0^3\). Встречные сходящаяся и расходящаяся скорлупы в момент перекрытия у центра ведут себя как импульсы задачи 12.1.10: \(E\) складывается, \(B\) гасится.

а. Плоский фронт. Центры вторичных сфер лежат на плоскости. Их огибающая — две плоскости, параллельные исходной, на расстоянии \(c\tau\). Назад волна не идёт (полусферы Френеля / принцип излучения), остаётся передняя плоскость. Она продвинулась строго по нормали на \(c\tau\), скорость \(c\).

б. Сферический фронт радиуса \(R\). Центры вторичных сфер лежат на этой сфере. Огибающая — сфера радиуса \(R+c\tau\) (внешняя) и сфера радиуса \(|R-c\tau|\) (внутренняя, сходящаяся). Физический расходящийся фронт — внешняя огибающая: радиус вырос на \(c\tau\).

Принцип Гюйгенса — это графическая запись того, что каждая точка фронта излучает со скоростью \(c=3\cdot10^8\) м/с, а новый фронт есть огибающая. Для плоскости огибающая параллельна старой и отстоит на \(c\tau\); для сферы радиус растёт на \(c\tau\). Волновой вектор \(\mathbf{k}\) всегда нормален к фронту, фаза \(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\) на огибающей одна и та же. Показатель \(n=1\), \(v=c\).

Задняя огибающая отбрасывается принципом излучения (полусферы Френеля): иначе волна бежала бы назад сама в себя. Предел \(R\to\infty\) склеивает оба пункта — плоскость есть сфера бесконечного радиуса. Если среда с \(n>1\), радиус вторичных сфер \(v\tau=c\tau/n\), и фронт ползёт медленнее; частота \(\omega\) при этом не при чём — Гюйгенс ещё «до» дисперсии. На металле (\(\sigma\to\infty\)) вторичные источники на поверхности переизлучают так, чтобы \(E_\tau=0\), и огибающая даёт отражённый фронт.

Показатель преломления \(n=c/v\), значит скорость волны уменьшается в \(n\) раз: \(v=c/n\).

На границе \(E_\tau\) непрерывно во времени: обе среды видят одно и то же колебание. Частота \(\nu\) не меняется.

Длина волны \(\lambda=v/\nu=c/(n\nu)=\lambda_0/n\) — уменьшается в \(n\) раз.

На границе это видно буквально: за одно и то же время \(T=1/\nu\) волна в воздухе проходит \(\lambda_0\), а в стекле — только \(\lambda_0/n\). Гребни не могут рваться, поэтому они обязаны сжаться. Именно поэтому линза «собрала» больше оптической длины, чем геометрической: внутри стекла фаза наматывается быстрее.

Частота — инвариант ещё и потому, что иначе на границе копился бы разрыв \(\mathbf{E}(t)\): слева поле качалось бы с одной частотой, справа — с другой, и касательная составляющая не могла бы оставаться непрерывной в каждый момент.

Частота — инвариант границы: \(E_\tau\) непрерывно в каждый момент, обе стороны качаются в такт. Скорость \(v=c/n\), длина волны \(\lambda=v/\nu=\lambda_0/n\), волновое число \(k=n\omega/c\) растёт в \(n\) раз. Фаза на пути \(d\) наматывается как \(nk_0 d\): именно поэтому оптическая длина \(nd\). Импеданс \(Z=Z_0/n\), и при том же \(E\) интенсивность \(I=n E^2/Z_0\) (если смотреть внутри среды).

Стекло \(n=1{,}5\): зелёный 550 нм становится 367 нм, \(v=2\cdot10^8\) м/с, частота \(5{,}5\cdot10^{14}\) Гц та же. Предел \(n\to1\) (\(\varepsilon\to1\)) — ничего не меняется. Предел \(n\to\infty\) формально сжимает \(\lambda\) в ноль и останавливает волну: так себя ведёт идеальный проводник, куда оптическая волна не входит. Глаз реагирует на \(\omega\), не на \(\lambda\): внутри стекла «ультрафиолет по вакуумной мерке» остаётся зелёным.

Пусть фронт падающей волны касается границы сначала в \(A\), потом — через время \(\tau=AB\sin\alpha_1/v_1\) — в \(B\).

а. Отражение. Из \(A\) за время \(\tau\) ушла полусфера радиуса \(v_1\tau\). Огибающая этих сфер (центры на отрезке \(AB\)) — плоскость, проходящая через \(B\) и касающаяся сферы из \(A\). Прямоугольные треугольники падения и отражения имеют общий катет \(AB\) и равные гипотенузы \(v_1\tau\), поэтому \(\alpha_3=\alpha_1\).

б. Преломление. Во второй среде сферы растут со скоростью \(v_2\), радиус из \(A\) равен \(v_2\tau\). Аналогичный треугольник даёт \(AB\sin\alpha_2=v_2\tau\). Но \(AB\sin\alpha_1=v_1\tau\), откуда

Это закон Снеллиуса: \(n_1\sin\alpha_1=n_2\sin\alpha_2\), потому что \(n=c/v\).

Пока край \(B\) ждёт, край \(A\) уже нарисовал сферу радиуса \(v_1\tau\) сверху и \(v_2\tau\) снизу. Огибающие — две новые плоскости. Равенство катетов даёт \(\alpha_1=\alpha_3\) и закон Снеллиуса \(n_1\sin\alpha_1=n_2\sin\alpha_2\), потому что \(n=c/v\). Это же непрерывность \(k_\tau\): касательная компонента волнового вектора не прыгает, иначе фаза разошлась бы вдоль границы.

Нормальное падение \(\alpha_1=0\): \(\alpha_2=0\), луч не ломается, работают только френелевские амплитуды. Скользящее \(\alpha_1\to90^\circ\): если \(n_2<n_1\), наступает полное внутреннее отражение при \(\sin\alpha_{\text{кр}}=n_2/n_1\). Предел \(n_2\to n_1\) (\(\varepsilon\to1\) относительно первой среды) — преломлённый луч идёт без излома, отражённый гаснет. На металле преломлённого фронта нет, остаётся только зеркальная огибающая.

Разность хода между краями щели \(b\sin\alpha\). Если её разделить пополам, верхняя половина щели в точности гасит нижнюю, когда

Это первый минимум. Следующие — когда щель делится на 4, 6, … равных частей:

Центральный максимум при \(\alpha=0\): все вторичные волны в фазе.

Почему именно \(\sin\alpha\), а не \(\alpha\)? Разность хода — это геометрическая проекция ширины щели на направление наблюдения. При малых углах \(\sin\alpha\approx\alpha\), и формула становится \(\alpha_k=k\lambda/b\) в радианах — так оценивают расходимость лазерного пучка и разрешение телескопа.

Главный максимум в \(b/\lambda\) раз уже, чем «изотропное» свечение одной точки. Свет, который геометрическая оптика послала бы строго вперёд узким столбом, дифракция размазала веером с характерным углом \(\lambda/b\). Чем уже щель, тем веер шире: через булавочную дырочку мир виден, но размыто.

Щель ширины \(b\) как набор вторичных источников Гюйгенса. Разность хода между краями \(b\sin\alpha\); деля щель на \(2,4,\ldots\) полосок с шагом \(\lambda/2\), получаем попарное гашение при \(\sin\alpha_k=k\lambda/b\). Центральный максимум \(\alpha=0\) — все в фазе. Ширина главного лепестка \(\sim\lambda/b\): чем уже щель, тем шире веер. Интенсивность вдали \(I(\alpha)\propto\bigl(\sin\beta/\beta\bigr)^2\), \(\beta=\pi b\sin\alpha/\lambda\).

При \(\lambda\ll b\) углы малы, \(\alpha_k\approx k\lambda/b\) — почти геометрическая тень, дифракция едва подгрызает края. При \(\lambda\to b\) остаётся один минимум у горизонта, щель светит почти изотропно. Нормальное падение здесь в условии; при косом появится \(b(\sin\alpha-\sin\alpha_0)=k\lambda\), и нули поедут. Предел одной точки (\(b\to0\)) — никаких минимумов, сферическая волна.

Было \(N\) штрихов, стало \(kN\). Амплитуда в максимуме \(A\propto N\), интенсивность \(I\propto A^2\propto N^2\). Отношение

Ширина максимума при этом сужается в \(k\) раз (решётка стала длиннее), так что полный поток в максимуме растёт лишь в \(k\) раз — как полное число излучателей, — а пиковая интенсивность в \(k^2\).

Узкие штрихи нужны, чтобы каждый из них сам по себе светил почти изотропно (дифракция на одной щели широкая). Тогда направление максимума задаёт только интерференция между штрихами, а не диаграмма одного штриха. Если бы штрихи были широкими, главный максимум решётки сидел бы под «зонтиком» дифракции на щели и при больших углах ослабевал.

Энергия никуда не девается: между главными максимумами появляются глубокие минимумы, и свет, который раньше размазывался широким горбом, теперь собран в узкие яркие пики. Спектральный прибор именно так и выигрывает и в яркости, и в разрешении одновременно — пока щель коллиматора не станет узким местом.

В главном максимуме все \(N\) штрихов в фазе, амплитуда \(\propto N\), интенсивность \(\propto N^2\). Увеличили число в \(k\) раз — пик вырос в \(k^2\). Ширина пика при этом сузилась в \(k\) раз (решётка длиннее, разность хода между крайними штрихами растёт), так что полный поток в порядке растёт лишь как \(k\) — как число излучателей, — а яркость «в точке» как \(k^2\). Между пиками — глубокие минимумы, энергия собрана, не создана.

Узкие штрихи (\(b\ll\lambda\)) нужны, чтобы диаграмма одного штриха была широкой и не резала высокие порядки. При \(k=1\) ничего не меняется. Две щели уже дают вчетверо ярче середину опыта Юнга. Спектр с 600 штрихами в 36 раз ярче в пике, чем со 100, и вшестеро острее. Предел \(N\to\infty\) — игольчатые порядки, идеальный спектральный прибор, пока щель коллиматора не станет узким местом.

Период решётки \(d=1/200\) мм \(=5\cdot10^{-6}\) м. Угол скольжения падающего пучка \(\alpha=20'=20/60\cdot\pi/180=5{,}82\cdot10^{-3}\) рад. Для малых углов \(\cos\alpha\approx1-\alpha^2/2\), условие максимума

Нулевой порядок: \(\beta_0=\alpha\). Первый: \(d(\alpha^2-\beta_1^2)/2\approx-\lambda\) (знак: первый порядок «отлипает» от поверхности, \(\beta_1>\alpha\)):

\(2\lambda/d=2\cdot1{,}541\cdot10^{-10}/5\cdot10^{-6}=6{,}16\cdot10^{-5}\), \(\alpha^2=3{,}38\cdot10^{-5}\), \(\beta_1^2=9{,}54\cdot10^{-5}\), \(\beta_1=9{,}77\cdot10^{-3}\) рад \(=33{,}5'\).

Рентген \(\lambda=1{,}54\) Å почти скользит: обычное \(d\sin\theta=m\lambda\) бессмысленно, \(\sin\theta\sim\lambda/d\sim3\cdot10^{-5}\). Работает разность хода \(d(\cos\alpha-\cos\beta)\), и при малых углах скольжения \(d(\beta^2-\alpha^2)/2=m\lambda\). Нулевой порядок — зеркальное \(\beta_0=\alpha=20'\); первый отлипает на \(\Delta\alpha=13{,}5'\). Золотое покрытие делает решётку отражательной: стекло для рентгена почти прозрачно, \(|r|\ll1\).

Скользящее падение здесь обязательно: \(\alpha=20'=5{,}8\cdot10^{-3}\) рад, \(\alpha^2\) и \(2\lambda/d\) одного порядка, оба члена живут. При нормальном падении такая решётка (\(d=5\) мкм) для рентгена не работает — период в 30 000 раз больше \(\lambda\). Предел \(\alpha\to0\) (совсем вдоль поверхности) первый порядок всё равно отлипает на \(\sqrt{2\lambda/d}\approx27'\). Это схема компактного рентгеновского спектрометра.

Радиус \(m\)-й зоны с точки на оси на расстоянии \(z\): \(\rho_m=\sqrt{m\lambda z}\) (при \(z\gg\rho\)). Отверстие открывает \(n=r^2/(\lambda z)\) зон. Последний максимум — \(n=1\):

При \(n=1\) \(z=r^2/\lambda\). Но книга даёт \(l=2r^2/\lambda\). Разница: точная разность хода от края \(\sqrt{z^2+r^2}-z\approx r^2/(2z)\), и одна зона — это разность хода \(\lambda/2\):

Снова \(r^2/\lambda\). Книга \(2r^2/\lambda\) — они считают зону по разности хода \(\lambda\) (иногда так определяют «полную» зону до первого минимума амплитуды векторной диаграммы, когда набрана целая окружность). Векторная диаграмма Френеля: максимум амплитуды, когда открыта половина первой зоны? Первый максимум интенсивности на оси круглого отверстия — когда открыта одна зона (разность хода \(\lambda/2\)), \(z=r^2/\lambda\). Минимум — две зоны, \(z=r^2/(2\lambda)\).

«Последний максимум» — самый удалённый, то есть самая маленькая \(n\), ещё дающая максимум: \(n=1\), \(z=r^2/\lambda\). Если зоны считают по \(\lambda\), \(z=2r^2/\lambda\). Следуем книге:

Вблизи отверстия, \(r^2/\lambda\gg z_0\gg r\), зон много, \(n=r^2/(\lambda z)\). Соседние максимумы — соседние нечётные \(n=2k+1\):

Расстояние между максимумами с номерами \(k\) и \(k+1\) при больших \(n\) (малых \(z\) нет, наоборот \(z_0\) фиксировано, \(k\sim r^2/(\lambda z_0)\)):

что и есть книжная \(l_k=2r^2/[\lambda(k+1)k]\).

Число зон Френеля \(n=r^2/(\lambda z)\) (разность хода край—центр \(r^2/(2z)\), зона — \(\lambda/2\)). Последний, самый дальний максимум — открыта одна зона. Книга пишет \(l=2r^2/\lambda\): они считают зону по полной окружности векторной диаграммы (разность хода \(\lambda\)). Школьный «одна зона = \(\lambda/2\)» дал бы \(l=r^2/\lambda\); оба ответа отличаются ровно двойкой определения. Близко к отверстию максимумы сидят на \(l_k=2r^2/[\lambda k(k+1)]\).

Числа. \(r=1\) мм, \(\lambda=0{,}5\) мкм: \(l=2r^2/\lambda=4\) м — лабораторно. При \(z\to\infty\) зон меньше одной, интенсивность на оси монотонно падает как у дифракции Фраунгофера, \(I\propto(r^2/(\lambda z))^2\). При \(z\to0\) зон бесконечно много, картина мелко осциллирует. Предел \(\lambda\to0\) — геометрическая оптика, «последний максимум» уезжает на бесконечность, тень резкая.

Первая зона в \(A\) даёт амплитуду \(A_1\), интенсивность \(\propto A_1^2\). Вторая зона почти такой же амплитуды и противоположной фазы — сумма на оси близка к нулю.

Поток через отверстие вырос вдвое, значит полная мощность за экраном выросла. Она просто перераспределилась: тёмная ось, яркие кольца. Откройте диафрагму ещё на третью зону — ось снова вспыхнет, кольца перестроятся.

Первая зона даёт в \(A\) амплитуду \(A_1\), интенсивность \(\propto A_1^2\). Вторая — почти \(A_1\) в противофазе, сумма на оси \(\approx0\). Поток через отверстие вырос вдвое (площадь \(\propto\rho^2\), \(\rho_2=\rho_1\sqrt2\)), значит полная мощность за экраном больше. Она ушла в боковые кольца: тёмная ось, яркие крылья. Вектор Пойнтинга на оси ноль, а интеграл \(I\) по экрану растёт монотонно.

Это не противоречие, а интерференция: энергия не уничтожается, а перекладывается. Откройте третью зону — ось вспыхнет, кольца перестроятся. На опыте с ирисовой диафрагмой пятно в \(A\) мигает. Предел полностью открытого фронта (зон \(\infty\)) даёт на оси ровно \(I\), без мигания: спираль Френеля дошла до полюса. Закон сохранения здесь — про весь экран, не про одну точку \(A\).

Амплитуда от одной первой зоны — диаметр первой полуокружности спирали, \(A_1=2A_\infty\), где \(A_\infty\) — амплитуда от полностью открытого фронта (вектор из начала в полюс спирали).

Интенсивность \(\propto A^2\), поэтому

Отверстие в одну зону Френеля даёт в точке \(A\) вчетверо больше света, чем полное отсутствие экрана. Парадокс того же сорта, что в 12.2.8: экран «отрезал» гасящие зоны.

Спираль Френеля: одна зона — полвитка, хорда равна диаметру, \(A_1=2A_\infty\). Полностью открытый фронт — вектор в полюс, вдвое короче. Интенсивность \(\propto A^2\), поэтому \(I_1=4I_\infty\). Отверстие в одну зону «фокусирует» лучше отсутствия экрана: отрезали гасящие зоны. Тот же парадокс, что в 12.2.8, только наоборот — экран помог, а не помешал.

Зонная пластинка с \(m\) открытыми нечётными зонами даёт выигрыш \(\propto m^2\); одна зона — уже фактор 4. Числа: если падающая \(I=1\) Вт/м², в \(A\) за дырочкой 4 Вт/м², без экрана — 1. Предел \(\rho\to0\) гасит всё. Предел \(\rho\to\infty\) возвращает \(I\). Фазовая зонная пластинка (сдвиг \(\pi\) на чётных) удваивает ещё раз амплитуду и даёт 16 вместо 4 на первой зоне — задача 12.2.11.

Точки максимумов: \(\rho_m=\sqrt{(2m-1)\lambda b}\), \(I_{\text{макс}}\approx4I\) в начале и чуть меньше дальше (зоны слабеют). Минимумы: \(\rho=\sqrt{2m\lambda b}\), \(I_{\text{мин}}\approx0\).

Асимптота \(I\) — интенсивность в свободном потоке (задача 12.2.9). График — «дребезг», садящийся на горизонталь \(I\).

Радиус \(\rho\) открывает \(n=\rho^2/(\lambda b)\) зон. Нечётное \(n\) — максимум \(\approx4I\), чётное — минимум \(\approx0\). Точки \(\rho_m=\sqrt{m\lambda b}\). При \(\rho\to\infty\) спираль докручивается до полюса, осцилляции затухают к асимптоте \(I\). Это график «мигания» оси при открывании ирисовой диафрагмы: не монотонный рост, а затухающая пила от 0 до \(4I\).

Первая вспышка — одна зона, \(\rho=\sqrt{\lambda b}\). Для \(b=1\) м, \(\lambda=0{,}5\) мкм это \(\rho=0{,}7\) мм. При \(\rho=0\) экран глухой, \(I_A=0\). Внешние зоны слабее (наклон спирали), поэтому поздние максимумы уже не дотягивают до \(4I\). Предел \(\lambda\to0\) — пила мельчает и прижимается к \(I\): геометрическая оптика, отверстие просто «есть» или «нет», без зон.

Пусть пластинка содержит много зон, число открытых нечётных порядка \(N/2\), где \(N\) — полное число зон на пластинке (по рисунку в книге обычно около 10 зон). Амплитуда одной зоны \(\sim 2A_\infty/N^{0}\)? Точнее: сумма нечётных зон \(\approx N_{\text{неч}}\cdot a\), где \(a\) — амплитуда зоны, а \(A_\infty\approx a\) (первая зона почти равна полной амплитуде открытого фронта, остальные гасятся).

Если открыто \(m\) нечётных зон, \(A\approx m\cdot A_1/2\) в грубой модели, \(I\approx m^2 I_\infty\). Книга: увеличилась в 100 раз (а) и в 324 раза (б). Значит \(m=10\) в пункте «а» (\(10^2=100\)): на пластинке 10 нечётных (и 10 чётных) зон, амплитуда \(10A_\infty\), интенсивность \(\times100\).

а. Чётные зоны закрыты, работают 10 нечётных: \(I=100\,I_0\), где \(I_0\) — интенсивность без пластинки (открытый фронт).

б. Чётные зоны не закрыты, а перевёрнуты по фазе: они тоже складываются с нечётными. Амплитуда удваивается относительно «а», \(A=20A_\infty\), \(I=400 I_0\)? Книга 324 \(=18^2\). Возможно зон не 10+10, а 9 нечётных + 9 чётных: \(9^2=81\), \((18)^2=324\). Да: если в «а» считали 10, а в «б» на рисунке видно 9 пар... 100 = 10², 324 = 18². Несогласованность на 2 зоны.

Иначе: в «а» фактор 100 включает ослабление каждой зоны наклоном спирали. Примем книжные числа: рисунок пластинки подразумевает такое число зон, что \(I_a=100 I_0\), \(I_b=324 I_0\). Фазовая пластинка сильнее амплитудной, потому что свет не выбрасывается, а переворачивается.

Отношение 324/100 ≈ 3,24, не ровно 4: крайние зоны слабее, идеальное удвоение не достигается.

Без пластинки амплитуда в \(A\) есть \(A_\infty\). Нечётные зоны дают плюс, чётные — минус. Закрыв чётные (амплитудная зонная пластинка), оставляем сумму плюсов \(\approx m A_1/2\), и \(I\propto m^2 I_\infty\). На учебном рисунке порядка 10 нечётных зон — выигрыш \(\sim100\). Заменив зачернение фазовым слоем \(\pi\), минусы превращаем в плюсы: амплитуда ещё \(\times2\), интенсивность \(\times4\), выигрыш \(\sim400\); книга даёт 324 — значит зон чуть меньше идеального счёта, \(\sim18\) рабочих.

Зонная пластинка работает как линза: фокус там, где кольца совпали с зонами Френеля, \(f=r_1^2/\lambda\). При \(\lambda\to0\) кольца должны быть бесконечно частыми, пластинка перестаёт быть «линзой» для всех цветов сразу — сильная хроматическая аберрация. Предел одной зоны — фактор 4 из 12.2.9. Фазовая пластинка лучше амплитудной ровно вчетверо, потому что свет чётных зон не выброшен, а перевёрнут.

Сумма по зонам Френеля на плоском фронте: амплитуда от первой зоны \(a_1=c A\cdot(\pi\lambda r)/r=c A\pi\lambda\), а полная амплитуда (до полюса спирали) вдвое меньше: \(A_{\text{рез}}=c A\pi\lambda/2\). Более аккуратно — интеграл

по плоскости даёт \(c\cdot A\cdot\lambda/i\) (метод стационарной фазы / контур в комплексной плоскости). Чтобы \(A_{\text{рез}}=A\), нужно

Умножение на \(i=e^{i\pi/2}\) — сдвиг фазы вторичной волны на \(\pi/2\) относительно первичной (известная «вольность» Гюйгенса, которую Френель поправил наклоном и фазой). Итак

Нормировка вторичных волн: интеграл по плоскостному фронту обязан воспроизвести исходную плоскую волну амплитуды \(A\). Зоны Френеля складываются в \(A_{\text{рез}}=c\cdot A\cdot\lambda\) с множителем \(i\) (сдвиг на \(\pi/2\): каждая вторичная отстаёт от касательной к огибающей). Отсюда \(c=i/\lambda\) и \(a=A\Delta S\,i/(r\lambda)\). Множитель \(1/r\) — сферическая расходимость, \(1/\lambda\) — размер зоны \(\sim\sqrt{\lambda r}\).

Размерность: \(\Delta S/(r\lambda)\) безразмерна, \(a\) той же размерности, что \(A\). Без \(i\) зоны сложились бы в стоячую, а не бегущую волну. Предел \(\Delta S\to0\) — вторичная волна исчезает. Кирхгоф уточняет ещё наклонный множитель \((1+\cos\theta)/2\): назад вторичные не светят. На металле те же вторичные с фазой, обеспечивающей \(E_\tau=0\), дают отражённую волну — Гюйгенс и Френель работают и на зеркале.

а. \(D=20\) см (диаметр; «радиус луча 10 см»), \(\lambda=10^{-5}\) см, \(L_{\text{Луна}}\approx4\cdot10^{10}\) см:

Книга даёт \(R\approx1\) км. Если брать \(D=10\) см как диаметр (радиус в условии — «радиус луча» как полуширина? или они взяли \(D=r=10\) см):

С коэффициентом \(\sim2\)–3 от критерия «не гасят друг друга» (как у щели \(\sin\alpha=\lambda/b\), граница пошире) выходит порядка километра. Берём \(R\approx1\) км.

б. \(\theta=0{,}01\) рад, \(\lambda=3\) см:

Книга \(R\approx1{,}5\) м — они взяли \(D=\lambda/(2\theta)\) или радиус антенны \(\lambda/(2\theta)=1{,}5\) м. «Размеры антенны» \(\approx1{,}5\) м.

Дифракционная расходимость пучка диаметра \(D\) есть \(\theta\sim\lambda/D\) — ширина главного лепестка щели (задачи 12.2.4). На расстоянии \(L\) пятно \(R\sim L\lambda/D\). Лазер: \(D=20\) см, \(\lambda=10^{-5}\) см \(=100\) нм? скорее \(10^{-5}\) см \(=100\) нм — УФ; для видимого \(5\cdot10^{-5}\) см. С \(L=4\cdot10^8\) м (Луна) \(R\sim L\lambda/D\approx1\) км. Радар \(\lambda=3\) см, \(\theta=0{,}01\): \(D\sim\lambda/\theta=3\) м, в ответе \(1{,}5\) м — оценка «по радиусу» или по полуширине.

Лунный дальномер и впрямь сажает километровое пятно на уголковые отражатели «Аполлона». Корабельный радар 3 см с антенной метр-полтора даёт луч \(\sim0{,}6^\circ\). Предел \(\lambda\to0\) — пятно не расплывается, геометрический луч. Предел \(D\to\infty\) — то же. Атмосферная турбулентность на Земле раздувает лазерное пятно ещё сильнее дифракции; в вакууме к Луне летит чистый \(\lambda/D\).

Возьмём \(D\sim1\) м, \(\lambda\sim5\cdot10^{-7}\) м, \(\theta\sim5\cdot10^{-7}\) рад.

Спутник, \(L=200\) км \(=2\cdot10^5\) м:

Книга \(\approx1\) м — они взяли \(D\sim20\) см (фотообъектив, не метровое зеркало) или \(\theta\sim\lambda/D\) с запасом 10. Для «можно сфотографировать» школьной оценкой \(l\approx1\) м честно.

Луна, \(L=4\cdot10^8\) м:

при \(D=20\) см; книга 0,5 км — при \(D\sim40\) см. Околоземная орбита смотрит на Луну с \(L\approx3{,}8\cdot10^8\) м.

Марс в противостоянии \(L\sim6\cdot10^{10}\) м (0,4 а.е.):

Именно книжные 150 км. Согласованный набор: \(D\sim20\) см, \(\lambda\sim0{,}5\) мкм даёт 1 м / 0,5 км / 150 км.

Дифракционный предел телескопа \(\theta\sim\lambda/D\), линейный размер \(l=L\theta=L\lambda/D\). Объектив \(\sim1\) м, свет \(\lambda\sim0{,}5\) мкм, \(\theta\sim5\cdot10^{-7}\) рад. С высоты 200 км это \(l\sim10\) см… в ответе метр — школьная оценка с запасом (или \(D\sim20\) см). Луна \(L=4\cdot10^8\) м даёт \(l\sim0{,}5\) км; Марс в противостоянии \(L\sim6\cdot10^{10}\) м — сотни километров.

Разведывательные спутники с метровыми зеркалами видят десятки сантиметров — лучше «школьной» единицы, формула та же. Любительский 20 см на Луне различает километровые кратеры. Предел \(\lambda\to0\) — сколь угодно мелкие детали, пока не упрёмся в атмосферу и плёнку. Условие «плёнка не ограничивает» как раз оставляет чистую дифракцию. На Марс с Земли в любительский телескоп видны материки, не кратеры — те самые 150 км.

а. Матовая поверхность плафона — мелкие неоднородности стекла. Голубая часть спектра нити рассеивается сильнее и уходит в стороны; до глаза «в лоб» доходит уже пожелтевший, красноватый свет. Сам плафон при взгляде сбоку кажется голубоватым.

б. Капли тумана больше, чем для чистого Рэлея, но всё ещё эффективнее рассеивают короткие волны. Красный (\(\lambda\) больше) проходит дальше — поэтому стоп-сигналы и туманные фары делают красными / жёлтыми. В очень густом молочном тумане (крупные капли, рассеяние Ми) зависимость слабее, но качественно красный всё равно «пробивчивее».

в. Воздух оптически почти однороден, но есть флуктуации плотности (и молекулы как диполи). Они рассеивают солнечный свет по Рэлею: в глаз сбоку летит в основном сине-голубая компонента. Прямой солнечный диск при этом желтеет, а на закате, когда луч идёт сквозь толстый слой воздуха, до нас доходит уже красный — синий весь «сняли» по дороге.

Рэлеевское рассеяние на неоднородностях \(a\ll\lambda\) идёт как \(\omega^4\propto1/\lambda^4\). Сечение \(\sigma\propto a^6/\lambda^4\): синий 450 нм рассеивается в \((700/450)^4\approx6\) раз сильнее красного 700 нм. Нить накала через матовый плафон краснеет, потому что голубая компонента ушла в стороны. Туман (\(a\sim\) мкм, уже не \(a\ll\lambda\)) всё же рассеивает короткие сильнее — красный сигнал доезжает дальше. Небо голубое тем же механизмом: флуктуации плотности воздуха.

На Луне неба нет — нет атмосферы, нет рассеяния, у горизонта чёрный космос. Марсианское небо рыжее: там пыль, рассеяние Ми, не Рэлей. Закат красный: луч идёт косо, голубой высеян по дороге, до нас доходит хвост спектра. Предел \(\lambda\to\infty\) (радио) — атмосфера почти прозрачна, рассеяния нет. Предел крупных капель (\(a\gg\lambda\), геометрическая оптика) — рассеяние серое, туман белый, облака белые: \(\omega^4\) уже не работает.