В любом поперечном сечении задача плоская: светящийся круг (лампа) и непрозрачный круг (карандаш). Луч, который ещё касается обоих кругов «с одной стороны», отделяет полную тень от полутени.

Две внешние касательные либо сходятся за карандашом, либо расходятся — это решает сравнение диаметров.

Пусть \(D_\text{л}\) — диаметр лампы, \(D_\text{к}\) — диаметр карандаша.

Если \(D_\text{л}>D_\text{к}\), касательные сходятся. Полная тень — конечная клиновидная призма (в сечении — треугольник). Она обрывается на расстоянии

от карандаша, где \(a\) — расстояние между осями. Дальше есть только полутень.

Если \(D_\text{л}<D_\text{к}\), касательные расходятся. Полная тень уходит на бесконечность и расширяется — бесконечная клиновидная призма.

Если диаметры равны, касательные параллельны, и полная тень — бесконечная полоса той же ширины, что карандаш.

Газосветная лампа обычно толще карандаша, так что в комнате тень карандаша на столе уже полутень: полной тени до стола не хватает.

Лампа \(d=6\) см, глобус \(D=26\) см, от лампы до глобуса \(a=1\) м, от глобуса до стены \(b=2\) м. На стене, то есть на расстоянии \(a+b=3\) м от лампы.

Полная тень. Внешние касательные. Ширина пучка растёт линейно от \(d\) на лампе до \(D\) на глобусе и дальше:

Полутень (наружный край). Внутренние, скрещивающиеся касательные — от «верхнего» края лампы к «нижнему» краю глобуса:

Это диаметр всего тёмного пятна. Сама кольцевая полутень имеет ширину \((90-66)/2=12\) см с каждой стороны.

Свет распространяется прямолинейно. Луч от верхней точки дерева (кроны) идёт через дыру вниз и попадает в нижнюю часть стены. Луч от развешенного внизу платья идёт через ту же дыру вверх. Поэтому «ландшафт» на стене оказывается «в обращённом виде», как и написал Гоголь.

Чтобы изображение было резким, дыра должна быть мала: тогда от каждой точки предмета на стену приходит узкий пучок, почти один луч. Если дыру расширить, пучки размажутся и картинка помутнеет — останется просто солнечный блик.

Яркость картинки мала: через крошечную дыру проходит мало света. Именно поэтому комната должна быть «совершенно темна», иначе слабое изображение потонет в рассеянном свете.

Масштаб картинки на стене — отношение расстояний: если от ставни до стены \(L\), а дерево стоит в \(a\) метрах от дыры, его изображение имеет высоту \(h'=h\,L/a\). Перевёрнутость не зависит от этих чисел: любые два луча, пересекающиеся в одной точке, меняют «верх» и «низ» местами.

Солнце — не точка, а диск с угловым диаметром \(\alpha\approx0{,}5^\circ\approx1/100\) рад. Если от шторы до стены \(L\), изображение Солнца имеет диаметр

При \(L=4\) м это уже 4 см — заметный кружок.

Каждая точка диска через отверстие размера \(d\) даёт на стене пятно размера \(d\). Полная картинка — «размазанный» диск Солнца: кружок диаметра \(D_\odot\), у которого края размыты на величину \(d\). Если \(d\ll D_\odot\), размытие незаметно, и зайчик кружок, какой бы ни была дырка — треугольная, квадратная, рваная.

Зависимость от формы появится, когда отверстие станет сравнимо с изображением Солнца или больше его: \(d\gtrsim D_\odot\). Тогда на стене видно само отверстие, слегка сглаженное солнечным диском. То же с осколком зеркала: маленький осколок «перенаправляет» камеру-обскуру, и зайчик снова круглый; большой осколок даёт зайчик своей формы.

Построение. Из каждой точки предмета опускаем перпендикуляр на зеркало и откладываем за зеркалом такое же расстояние. Получается мнимое изображение, симметричное предмету относительно плоскости зеркала. Стрелка, торчащая вверх, так и остаётся торчащей вверх; голова остаётся наверху, ноги внизу.

Почему тогда перчатка «меняется с правой на левую»? Потому что зеркало меняет перед и зад. Лицо смотрело на зеркало (ось \(z\)), изображение смотрит из зеркала на нас: координата \(z\) сменила знак. Оси \(x\) (лево–право) и \(y\) (верх–низ) не тронуты.

Мы же привыкли сравнивать себя с человеком, которого развернули вокруг вертикали, чтобы он встал лицом к нам. После такого поворота его правая рука оказывается напротив нашей левой. Зеркало этого поворота не делало — поэтому и возникает ощущение «перестановки рук» при нетронутом верхе и низе.

Если лечь на бок перед зеркалом, «верх» и «низ» как раз поменяются ролями — и тогда покажется, что зеркало переворачивает сверху вниз. Дело не в зеркале, а в том, какую ось мы сами выбираем для сравнения.

Изображение человека стоит за зеркалом на том же расстоянии, что и он сам. Глаз смотрит на макушку изображения и на ступни изображения. Эти два луча пересекают плоскость зеркала в двух точках — верхнем и нижнем краях нужного куска зеркала.

Зеркало стоит посередине между человеком и его изображением, поэтому оно отрезает ровно половину каждого луча. Расстояние по вертикали от макушки до ступней есть \(h\), значит по зеркалу укладывается \(h/2\).

Если глаза почти на уровне макушки (школьное приближение задачи), верхний луч горизонтален: верх зеркала — на уровне глаз. Низ зеркала — посередине между глазами и полом, то есть на высоте \(h/2\) над полом. Итого минимальная высота

Ответ не зависит от того, насколько человек отступил от зеркала: при отодвигании оба луча становятся положе, но пересекают плоскость зеркала в тех же точках.

Пусть высота зеркальца \(d\), расстояние от глаз до него \(L\). Мнимое изображение лица находится на расстоянии \(L\) за зеркалом, то есть в \(2L\) от глаз.

Лучи, идущие от краёв изображения через края зеркальца в глаз, образуют два подобных треугольника: маленький (от глаза до зеркала) и большой (от глаза до изображения). Коэффициент подобия \(2L/L=2\). Значит, на изображении (и на самом лице) вырезается участок высоты

Расстояние \(L\) сократилось. Подносите зеркальце вплотную или отставляйте на вытянутую руку — в него помещается одна и та же полоса лица шириной в два зеркальца. Меняется только угловой размер этой полосы: вблизи она занимает большую часть поля зрения и кажется крупнее, вдали — мельче. Но какая именно часть лица видна, не меняется.

Именно поэтому девушка «не может поймать» больший кусок лица, двигая зеркальце. Нужно взять зеркальце побольше — или отойти от большого зеркала не поможет увидеть больше, чем \(2d\).

Пусть зеркала лежат на осях \(x=0\) и \(y=0\), предмет — в точке \(S(a,b)\). Однократные изображения: \(S_1(a,-b)\) и \(S_2(-a,b)\). Двукратное: \(S_{12}(-a,-b)\). Оно получается и как изображение \(S_1\) во втором зеркале, и как изображение \(S_2\) в первом — одно и то же место.

Точка \(S_{12}\) — это предмет, повёрнутый на \(180^\circ\) вокруг ребра. Поворот в плоскости не меняет ориентацию «право–лево» относительно вертикали: если предмет был человечком лицом к ребру, двукратное изображение стоит к нам лицом и его правая рука — там же, где наша правая. В обычном плоском зеркале такого нет.

Себя в двукратном изображении видно из любой точки комнаты (угла): от любой точки \(P\) внутри прямого угла ломаная \(P\to\) первое зеркало \(\to\) второе зеркало \(\to S\) существует, потому что \(S_{12}\) всегда лежит в зоне видимости обоих зеркал. Однократные «боковые» изображения видны не отовсюду — только если соответствующее зеркало не загорожено вами же.

В сечении, перпендикулярном рёбрам, — равносторонний треугольник. Предмет \(S\) внутри него. Отразив треугольник относительно каждой из трёх сторон, получаем три соседних треугольника и три изображения \(S\). У этих новых треугольников тоже есть внешние стороны — отражаем ещё раз, и так далее.

Угол \(60^\circ\) укладывается в \(360^\circ\) ровно шесть раз, поэтому треугольники смыкаются без щелей и наложений: плоскость замощена правильными треугольниками, а изображения \(S\) сидят в вершинах правильной треугольной решётки (точнее — повторяют \(S\) во всех клетках мозаики). Вокруг каждой вершины собирается «снежинка» из шести копий.

Часть копий — «прямые», часть — зеркально перевёрнутые (нечётное число отражений). Именно чередование прямых и зеркальных лепестков даёт узор калейдоскопа. По оси призмы картинка не зависит от сдвига вдоль ребра: это просто одна и та же плоская мозаика, вытянутая в трубку.

Книжный совет «посмотрите в калейдоскоп» — буквально это и есть наша система.

Пусть центр полуокружности \(O\), вершина (дно чаши) слева, диаметр-открытие справа. Параллельный пучок идёт на вершине слева направо, в чашу. Точка падения \(M\) задаётся углом \(\varphi=\angle NOM\), где \(N\) — вершина.

Нормаль — радиус \(OM\). Угол падения равен \(\varphi\). Закон отражения поворачивает луч на \(2\varphi\): отражённый луч идёт под углом \(2\varphi\) к оси.

Не всякий луч после отражения выходит наружу. Луч из точки \(\varphi\) пересекает окружность вторично в точке с полярным углом \(3\varphi\) (это общее правило кругового бильярда: центральный угол между ударами равен \(\pi-2i= \pi-2\varphi\)). Второе пересечение лежит на зеркале — левой полуокружности — только при \(\varphi>30^\circ\). При \(\varphi=30^\circ\) отражённый луч как раз проходит через край диаметра. При \(\varphi<30^\circ\) второе пересечение было бы уже на «вырезанной» половине, то есть луч свободно уходит в отверстие.

Значит, крайние однократно отражённые и вышедшие лучи — это лучи с \(\varphi=\pm30^\circ\). Они идут под углами \(\pm60^\circ\) к оси. Угол между ними

Лучи с большим \(\varphi\) бьют в зеркало ещё раз и в «первичный» расходящийся пучок не входят.

Точечный источник \(S\) стоит на оси трубы (или близко к оси — картина чуть размоется, но кольца останутся). Прямой, ни разу не отражённый свет даёт яркое пятно в центре экрана.

Луч, вышедший под углом \(\theta\) к оси и ударивший в стенку, отражается с тем же углом (нормаль радиальна) и снова идёт под углом \(\theta\). После одного отражения он попадает на экран в точке, отстоящей от центра на расстояние, которое однозначно задано \(\theta\) и геометрией (длина трубы, расстояние до экрана). Все такие лучи из-за осевой симметрии садятся на окружность — первое кольцо.

Два отражения: луч «зигзагом» проходит трубу и выходит под тем же \(\theta\), но уже с другой прицельной дальностью. Это второе кольцо, большего радиуса. Три отражения — третье, и так далее. Чем больше отражений, тем круче зигзаг и тем дальше от центра кольцо.

Кольца резкие, потому что все лучи с данным числом отражений собираются на одной окружности. Яркость дальних колец падает: часть света теряется при каждом отражении, да и телесный угол крутых лучей меньше.

Пусть угол между образующей и осью равен \(\alpha\ll1\). Кольцо отрезано у основания, так что до вершины по оси почти \(h\), радиус кольца \(r=h\,\mathrm{tg}\,\alpha\approx h\alpha\).

Параллельный оси луч падает на внутреннюю поверхность. Нормаль к образующей составляет с осью угол \(90^\circ-\alpha\), угол падения равен \(90^\circ-\alpha\). После отражения луч составляет с осью угол \(2\alpha\) и идёт к оси.

От точки падения до оси по перпендикуляру \(r\). Луч идёт под углом \(2\alpha\), значит до пересечения с осью он проходит вдоль оси расстояние

Все образующие одинаковы, поэтому всё кольцо собирает параллельный пучок в одну точку на оси — на полпути к той вершине, которую «продолжает» конус.

Пусть \(P\) — полюс зеркала, \(C\) — центр кривизны, \(PC=R\). Луч, параллельный оси, бьёт в точку \(M\) недалеко от \(P\). Нормаль — радиус \(CM\). Угол падения равен углу \(\angle MCM'=\varphi\), где \(\varphi\) — угол между \(CM\) и осью.

Отражённый луч составляет с нормалью тот же угол \(\varphi\), поэтому с осью он составляет \(2\varphi\) и пересекает ось в точке \(F\). В треугольнике \(CMF\) угол при \(C\) равен \(\varphi\), угол при \(F\) равен \(2\varphi-\varphi=\varphi\) (внешний). Треугольник равнобедренный: \(CF=FM\). Но в параксиальном пределе \(FM\approx FP\approx PF\), и \(CF\approx PF\). Тогда \(PC=CF+FP=2\,PF\), то есть

Для выпуклого зеркала те же треугольники, только фокус мнимый и лежит за зеркалом: \(f=-R/2\).

Расстояние от полюса до предмета \(d=f+l_1\), до изображения \(d'=f+l_2\). Подставляем в формулу вогнутого зеркала:

Приводим к общему знаменателю:

Слева \(2f^2+f(l_1+l_2)\). Вычитаем \(f^2+f(l_1+l_2)\):

Это и есть формула Ньютона. Она удобна, когда начала отсчёта ставят в фокусы, а не в полюс: тогда предмет и изображение «перемножаются» в \(f^2\), как стороны прямоугольника фиксированной площади.

Тот же Ньютон получается из формулы зеркала. Пишем \(1/d+1/d'=1/f\) и подставляем \(d=f+l_1\), \(d'=f+l_2\):

Приводим к общему знаменателю: \(f(f+l_2)+f(f+l_1)=(f+l_1)(f+l_2)\). Раскрываем и сокращаем \(2f^2+f(l_1+l_2)\) слева с тем же справа — остаётся \(l_1 l_2=f^2\).

Предмет на расстоянии \(d=60\) см. Изображение действительное и в 1,5 раза больше, значит \(d'=1{,}5\,d=90\) см (и \(d'\) того же знака, что \(d\): оба впереди зеркала).

Формула вогнутого зеркала:

Предмет сидит между фокусом и центром кривизны (\(f=36\) см, \(C=72\) см, а \(d=60\) см как раз в этом интервале) — там и должно получаться действительное увеличенное изображение.

Формула зеркала \(1/d+1/d'=1/f\) и поперечное увеличение \(\Gamma=d'/d=3/2\) (действительное — перевёрнутое, знак опускаем). Тогда \(d'=\frac32 d\), и

Предмет за двойным фокусом (\(60>72/2\)), изображение между \(F\) и \(2F\) — согласовано с «полтора раза».

Радиус \(R=80\) см, фокус \(f=R/2=40\) см. Продолжения падающих лучей сходятся в 40 см за зеркалом: мнимый предмет, \(d=-40\) см.

Отражённые лучи пересекаются в 20 см перед зеркалом (действительная точка). Фокус лежит в 40 см от полюса, значит расстояние от фокуса

Можно сразу по Ньютону: \(l_1=d-f=-40-40=-80\) см, \(l_1 l_2=f^2\) даёт \(l_2=-20\) см, и \(|d'-f|=20\) см.

Первое положение: изображение действительное, втрое больше. Увеличение \(\Gamma_1=-3\) (минус — переворот), поэтому \(d_1'=3d_1\). Формула зеркала:

Предмет стоит между фокусом и центром — там и бывает увеличенное действительное изображение.

Отодвинули на 80 см: \(d_2=d_1+80\). Теперь изображение вдвое меньше предмета и, раз предмет ушёл дальше, снова действительное: \(\Gamma_2=-1/2\), \(d_2'=d_2/2\).

Но \(d_2=d_1+80=4f/3+80\), значит

Проверка положений: \(d_1=64\) см (между \(f=48\) и \(C=96\)), \(d_2=144\) см (за центром). Всё на своих местах.

Полюс \(P\), фокус \(F\) на расстоянии \(R/2\), центр \(C\) на расстоянии \(R\). Длинная сторона прямоугольника лежит на оси от \(d=R/2\) (передняя грань, в фокальной плоскости) до \(d=R\) (задняя грань, в центре кривизны). Высота — короткая сторона, обозначим её \(h\).

Задняя вертикальная сторона лежит в плоскости, проходящей через \(C\). Любая точка этой плоскости (в параксиальной зоне) изображается в той же плоскости с увеличением \(-1\): изображение — такой же отрезок длины \(h\), перевёрнутый, проходящий через \(C\).

Передняя вертикальная сторона лежит в фокальной плоскости. Все лучи, вышедшие из её точки параллельно друг другу после отражения (предмет в фокусе), идут параллельным пучком: изображение этой стороны — на бесконечности.

Горизонтальные стороны. Каждая точка оси между \(F\) и \(C\) имеет действительное изображение за центром: если \(d=f+l\), \(f<d<2f\), то \(d'>2f\). Когда точка бежит от \(C\) к \(F\), её образ бежит от \(C\) к \(+\infty\). Высота образа \(|\Gamma|h=(d'/d)h\) растёт от \(h\) до бесконечности. Поэтому изображение каждой продольной стороны — кривая, стартующая из конца заднего образа (на расстоянии \(h\) от оси у точки \(C\)) и уходящая на бесконечность, удаляясь от оси.

Вся фигура-образ — «раструб» от перевёрнутого отрезка в плоскости \(C\) до бесконечности.

Центр кривизны \(C\) — самосопряжённая точка: \(d=R=2f\), \(d'=R\). Более того, любой луч через \(C\) есть нормаль к зеркалу, угол падения нуль, луч идёт обратно по себе. Следовательно, вся прямая, проходящая через \(C\), отображается в себя.

Стрелки выходят из \(C\), их концы лежат на полуокружности. Если эта полуокружность — само зеркало (радиус \(R\)), наконечник лежит на отражающей поверхности. Точка на зеркале тоже самосопряжена: предмет и изображение совпадают. Изображение каждой стрелки — она сама, только «смотрит» в обратную сторону: то, что было наконечником, осталось на сфере, а направление от \(C\) сменило смысл (увеличение в \(C\) равно \(-1\)).

Если полуокружность концов меньше зеркала (стрелки не доходят до поверхности), наконечники лежат на сфере с центром \(C\) и радиусом \(r<R\). Каждая такая точка имеет пару на том же радиусе по другую сторону от \(C\): формула зеркала вдоль этого радиуса даёт точку, симметричную относительно \(C\) в линейном приближении? Строго — нет, только для параксиальных. Но луч из наконечника через \(C\) отражается в себя, а луч вдоль касательной к «пучку» строит вторую точку. В стандартном школьном построении изображения стрелок — такой же пучок, выходящий из \(C\) в противоположную сторону, концы — на симметричной полуокружности.

Итого: пучок отображается в пучок тех же стрелок с общим началом в \(C\), направленный противоположно.

Потребуем, чтобы все лучи, пришедшие параллельно оси, после отражения попали в точку \(F\) и имели одинаковую оптическую длину (иначе они не сложатся в одну «точку» даже геометрически согласованно — фронт не будет сферическим).

Парабола по определению — множество точек, равноудалённых от фокуса \(F\) и от директрисы (прямой, перпендикулярной оси). Луч, пришедший параллельно оси, можно мыслить как перпендикуляр к директрисе. Путь «директриса \(\to\) точка зеркала \(M\to F\)» один и тот же для всех \(M\). Значит, все такие лучи приходят в \(F\) синфазно. Закон отражения при этом выполняется автоматически: касательная к параболе как раз уравнивает углы падения и отражения (это другое, эквивалентное определение).

Вращая параболу вокруг оси, получаем параболоид. Ось параболоида должна быть параллельна падающему пучку — иначе фокусировки «в точку» нет, получится кома.

Эллипсоид собирает в точку лучи, вышедшие из второго фокуса, а не параллельный пучок. Гиперболоид разводит. Сфера — приближение параболоида вблизи вершины (\(f=R/2\)).

Поверхность воды горизонтальна, нормаль вертикальна. Луч в воде составляет \(60^\circ\) с поверхностью, значит с нормалью \(\beta=30^\circ\).

Закон преломления на границе воздух–вода:

Это угол падения, отсчитываемый от вертикали. Высота Солнца над горизонтом

Рыбе Солнце кажется выше, чем оно есть: «окно Снеллиуса» прижимает весь небесный полукруг к зениту.

Тот же Снеллиус в числах, без перевода «к горизонту». В воде \(\beta=30^\circ\), \(n=1{,}33\), \(\sin\alpha=1{,}33\cdot\tfrac12=0{,}665\), \(\alpha=\arcsin0{,}665\approx41{,}7^\circ\); высота над горизонтом \(90^\circ-41{,}7^\circ=48{,}3^\circ\) — в ответе округлили до \(48^\circ\). Школьная вода \(n=4/3\) даёт \(\sin\alpha=2/3\), \(\alpha=41{,}8^\circ\), высота \(48{,}2^\circ\): на десятую градуса то же. Зенит: \(\alpha=\beta=0\), луч не ломается. Край окна Снеллиуса \(\sin\beta=1/n\), \(\beta\approx48{,}8^\circ\) к вертикали — рыба видит Солнце уже на ободе конуса \(2\beta\approx98^\circ\). Наши \(60^\circ\) к поверхности оставляют ещё \(\approx11^\circ\) до ПВО.

а. Глаз в воздухе, дно в воде. Малые углы, \(\sin\beta\approx\beta\), закон Снеллиуса \(\alpha=n\beta\). Треугольники над и под поверхностью дают \(h'/L=\alpha\), \(h/L=\beta\), откуда

Кажущаяся глубина 3 м, \(n=1{,}33\):

б. Глаз в воде, самолёт в воздухе. Луч идёт из воздуха в воду: теперь «настоящий» угол в воздухе меньше преломлённого. Кажущаяся высота

Лодка «неглубоко», так что слой воды над ней на ход лучей почти не влияет: вся преломляющая работа делается на поверхности.

Малые углы делают Снеллиуса линейным: \(\alpha=n\beta\), и кажущаяся глубина — отношение катетов одной пары треугольников. Из воздуха вниз \(h'=h/n\): три метра «на глаз» есть четыре настоящих при \(n=4/3\). Из воды вверх та же пара переворачивается, \(H'=nH\): самолёт на 3 км сидит на кажущихся 4 км. Предел \(n\to1\) оба сдвига гасит. Если лодка не «неглубоко», а на глубине \(h\), к самолёту добавится слой \(h/n\); при \(h\sim10\) м против 3 км это треть процента — условие как раз выкидывает эту поправку. Обратимость: дно 4 м\(\to\)3 м и самолёт 3 км\(\to\)4 км — одна геометрия.

Пусть линейный размер улитки \(s\ll L,l\). Без воды она на расстоянии \(L+l\), угловой размер

С водой дальняя стенка кажется ближе: кажущаяся толщина аквариума \(l/n\), кажущееся расстояние до улитки \(L+l/n\),

Слили воду — угол стал меньше. Во сколько раз:

То есть угловой размер уменьшится в \(\dfrac{L+l}{L+l/n}\) раз.

Тонкое стекло стенок аквариума можно не считать: его оптическая толщина \(\delta(n_\text{ст}-1)\) много меньше \(l\) и \(L\). Если глаз смотрит не строго перпендикулярно, поправка второго порядка по углу; в школьной постановке её нет.

Числа, чтобы почувствовать формулу. Аквариум \(l=40\) см, глаз в метре (\(L=1\) м), вода \(n=4/3\): без воды улитка на \(1{,}40\) м, с водой — на \(L+l/n=1+0{,}30=1{,}30\) м. Угол вырастет в \(1{,}40/1{,}30\approx1{,}08\) раза — восемь процентов, глаз ещё замечает. Вплотную к стеклу (\(L\to0\)) выигрыш ровно \(n=4/3\): улитка «подъехала» с 40 до 30 см. Далеко, \(L=10\) м, отношение \(10{,}40/10{,}30\approx1{,}01\) — тонкий слой на горизонте уже не увеличивает. Формула \(\varphi/\varphi_0=(L+l)/(L+l/n)\) обе границы держит сама.

Абсолютный показатель стекла \(n_\text{ст}=1{,}5\), воды \(n_\text{в}=1{,}33\). На границе вода–стекло

Именно это число стоит в законе Снеллиуса, если луч идёт из воды в стекло: \(\sin\beta/\sin\gamma=1{,}13\).

Из закона Снеллиуса на двух границах: воздух–вода \(\sin i=1{,}33\sin r\), вода–стекло \(1{,}33\sin r=1{,}5\sin\gamma\). Делим второе на первое — воздух сокращается, остаётся \(n_{\text{ст}/\text{в}}=1{,}5/1{,}33\). Численно \(1{,}50/1{,}33=1{,}127\approx1{,}13\).

Относительный показатель — частное абсолютных, не новая константа: \(n_{\mathrm{ст}/\mathrm{в}}=1{,}50/1{,}33\approx1{,}128\). Снеллиус вода–стекло: \(\sin\beta=1{,}13\sin\gamma\). Луч из воды под \(\beta=30^\circ\) к нормали в стекле пойдёт под \(\gamma=\arcsin(1{,}33\sin30^\circ/1{,}50)=\arcsin0{,}443\approx26{,}3^\circ\) — прижался к нормали, как и должно быть при \(n\gt1\). Обратный ход стекло\(\to\)вода даёт \(1/1{,}13\approx0{,}885\lt1\), луч от нормали отойдёт. Предел «стекло как вода» (\(n_\mathrm{ст}=n_\mathrm{в}\)) гасит границу: относительный показатель единица, излома нет.

а. Алмаз–воздух: \(\sin\alpha_\text{а}=1/2{,}4=0{,}417\), \(\alpha_\text{а}=24{,}6^\circ\).

Вода–воздух: \(\sin\alpha_\text{в}=1/1{,}33=0{,}752\), \(\alpha_\text{в}=49^\circ\).

Алмаз–вода: \(\sin\alpha_{\text{а,в}}=1{,}33/2{,}4=0{,}554\), \(\alpha_{\text{а,в}}=33{,}7^\circ\).

б. Луч в воде, упавший на пузырёк (воздух, \(n=1\)) под углом больше \(49^\circ\), полностью отражается. У маленького пузырька почти вся поверхность «смотрит» под такими углами к типичным лучам рассеянного света. Пузырёк работает как кривое зеркало и кажется серебристым. (Блеск алмаза — тот же эффект: крошечный \(\alpha_c=24{,}6^\circ\) запирает свет внутри огранки.)

Три критических угла — три разных контраста \(n_2/n_1\). Алмаз–воздух: \(\sin\alpha_c=1/2{,}4=0{,}417\), \(\alpha_c=24{,}6^\circ\) — узкий конус выхода, поэтому огранка так блестит. Вода–воздух: \(1/1{,}33=0{,}752\), \(\alpha_c=48{,}8^\circ\approx49^\circ\). Алмаз в воде: \(1{,}33/2{,}4=0{,}554\), \(\alpha_c=33{,}7^\circ\): окно шире, «игра» тусклее. Пузырёк — та же вода–воздух навыворот: на сферу 1 мм типичный луч издали бьёт с прицельным параметром \(\sim R\), угол падения близок к \(90^\circ\), далеко за \(49^\circ\), почти вся поверхность — зеркало. Предел \(n\to1\) гонит \(\alpha_c\to90^\circ\), ПВО пропадает.

Критический угол стекло–воздух: \(\sin\alpha_c=1/1{,}5=2/3\), \(\alpha_c=\arcsin(2/3)\approx41{,}8^\circ\).

На первую грань луч падает из воздуха. Закон Снеллиуса: \(\sin i=n\sin r\), и \(\sin i\le1\), поэтому

Смежная грань перпендикулярна первой, значит угол падения на неё равен \(90^\circ-r\). Но

Любой луч, вошедший в куб через одну грань, на соседней испытывает полное внутреннее отражение и наружу не выйдет. Через смежные грани ничего не видно. (Через противоположные — обычное окно, через них смотреть можно.)

Порог «видно / не видно за угол» сидит ровно в \(n=\sqrt2\). Луч, едва влезший в первую грань, имеет внутри \(r=\arcsin(1/n)\). На смежной (прямой угол) падение \(i=90^\circ-r\), и ПВО требует \(90^\circ-r\ge\arcsin(1/n)\), то есть \(n\ge\sqrt2\approx1{,}414\). Стекло \(n=1{,}5\): запас \(r\le41{,}8^\circ\), \(i\ge48{,}2^\circ\), до критических \(41{,}8^\circ\) ещё шесть градусов — ни один луч не проскочит. Оргстекло \(n=1{,}49\) тоже заперто; вода \(n=1{,}33\lt\sqrt2\) уже просвечивает за угол. Через противоположные грани куба смотреть можно: там \(i=r\le41{,}8^\circ\), до ПВО не дотягивает.

Внешний радиус изгиба \(R\), диаметр волокна \(l\), внутренний радиус \(R-l\). Луч, вошедший параллельно образующей у внутреннего края, в сечении — прямая, касательная к окружности радиуса \(R-l\).

Эта прямая пересекает внешнюю окружность радиуса \(R\). В треугольнике «центр изгиба — точка касания — точка падения» катет \(R-l\), гипотенуза \(R\). Угол между лучом и радиусом (нормалью к боковой поверхности) есть угол падения \(i\), и

Полное внутреннее отражение: \(i\ge\alpha_c\), \(\sin i\ge1/n\):

Минимальный внешний радиус — \(R=ln/(n-1)\).

Самый опасный луч касается внутренней дуги радиуса \(R-l\), и в треугольнике с внешним радиусом \(R\) имеем \(\sin i=(R-l)/R\). ПВО: \((R-l)/R\ge1/n\), откуда \(R\ge ln/(n-1)\). Стекло \(n=1{,}5\), жила \(l=1\) мм: гнуть мельче \(R=3\) мм нельзя. Кварц \(n=1{,}46\) даёт \(R\approx3{,}2l\); алмаз \(n=2{,}4\) — уже \(R\approx1{,}7l\), почти «переломить». Предел \(n\to1+\) требует \(R\to\infty\): оптически пустое волокно свет не держит. При \(n\to\infty\) критический угол нулевой, формула сажает \(R\to l\) — наружный радиус не меньше диаметра, иначе внутренняя дуга выворачивается.

Критический угол плексиглас–воздух: \(\sin\alpha_c=1/1{,}5=2/3\), \(\alpha_c=\arcsin(2/3)\). Полное отражение на образующей, если

Если \(\alpha>\arccos(2/3)\) (конус «тупой»), уже при первом ударе \(i<\alpha_c\): часть света преломляется наружу, часть отражается. Конус сразу «светится» боками.

Если \(\alpha<\arccos(2/3)\) (конус острый), первый удар — полное внутреннее отражение. После отражения луч составляет с осью другой угол. Геометрия конуса такова, что угол падения на образующую каждый раз уменьшается ровно на \(2\alpha\): нормаль к поверхности «поворачивается» на \(\alpha\) при переходе к следующей точке, плюс сам луч повернулся на \(2i\). Через несколько отражений \(i\) упадёт ниже \(\alpha_c\), и свет выйдет через боковую поверхность ближе к вершине.

На основание пучок падает по нормали и в плексиглас (\(n=1{,}5\)) входит без излома. На образующую первый удар идёт под \(i=90^\circ-\alpha\). Сравниваем с \(\alpha_c=\arcsin(2/3)\approx41{,}8^\circ\): полное отражение, пока \(\alpha\lt\arccos(2/3)\approx48{,}2^\circ\). Конус \(2\alpha=40^\circ\) (\(\alpha=20^\circ\)) зеркалит: после каждого отскока \(i\) падает на \(40^\circ\), через два удара \(i\) пробьёт \(41{,}8^\circ\) и свет выйдет у острия. Конус \(2\alpha=100^\circ\) «течёт» сразу. Предел \(\alpha\to0\) — цилиндр, \(i=90^\circ\) навсегда, световод без потерь. Число отражений до выхода порядка \((90^\circ-\alpha-\alpha_c)/(2\alpha)\).

Угол между образующей и осью \(\alpha=30^\circ\). Параллельный оси луч идёт внутри стекла без излома и падает на бок под углом \(i=60^\circ\). Критический угол стекла с \(n>1{,}5\) меньше \(41{,}8^\circ\), поэтому \(60^\circ\) — полное внутреннее отражение.

После отражения луч идёт к оси под \(60^\circ\) к вертикали (это считается векторно: нормаль к образующей, закон отражения). Пусть луч вошёл в основание на расстоянии \(\rho\) от оси. Боковой поверхности он достигнет на высоте \(z=\rho/\mathrm{tg}\,30^\circ=\rho\sqrt3\) над вершиной. Оттуда до плоскости ещё \(z\), а тангенс угла с вертикалью равен \(\sqrt3\), так что по радиусу луч смещается на \(\sqrt3\cdot\rho\sqrt3=3\rho\) к оси и пересекает её «с запасом»: на плоскости он окажется на расстоянии \(2\rho\) по другую сторону от оси.

Чёрный круг — это \(r\le R\). Наш луч попадает в него, только если \(2\rho\le R\), то есть \(\rho\le R/2\). Значит, чёрным с большого расстояния выглядит кружок радиуса \(R/2\) на основании конуса.

Смотрим издалека вдоль оси — в глаз входят только лучи, вышедшие параллельно оси. По обратимости пустим их вниз: в основание они входят без излома и бьют в образующую под \(i=60^\circ\). У стекла с \(n\gt1{,}5\) критический угол меньше \(41{,}8^\circ\), так что \(60^\circ\) — чистое ПВО. Геометрия \(2\alpha=60^\circ\) сажает луч, вошедший на радиусе \(\rho\), в точку плоскости на \(2\rho\) по другую сторону оси. Чёрный круг \(r\le R\) «съедает» такие лучи при \(2\rho\le R\), видимый радиус основания \(R/2\). Если бы \(n=1{,}40\), при \(i=60^\circ\) ПВО уже не было бы, и ответ сменился бы: часть лучей ушла бы в плоскость без отражения.

Сечение трубки — кольцо: внешний радиус \(R\), истинный внутренний \(r'\). Смотрим издалека, перпендикулярно оси. Кажущийся край — луч в воздухе с прицельным параметром \(r\) (расстояние от оси до луча).

Этот луч падает на внешнюю окружность. Если \(\beta\) — угол падения снаружи, \(\sin\beta=r/R\). В стекле угол \(i\), \(n\sin i=\sin\beta=r/R\).

Внутри стекла луч идёт прямо и касается канала, то есть проходит на расстоянии \(r'\) от оси. Но это расстояние есть \(R\sin i\):

Наружный радиус сократился. Истинный канал уже видимого в \(n\) раз.

Касательная к каналу после преломления на внешней окружности отъезжает от оси. Снаружи прицельный параметр видимого края есть \(r\), \(\sin\beta=r/R\); в стекле \(n\sin i=r/R\), а касание канала требует \(r'=R\sin i=r/n\). Наружный радиус \(R\) сократился — ответ не зависит от толщины стенки. Стекло \(n=1{,}5\), видимый просвет \(0{,}30\) мм: истинный капилляр \(0{,}20\) мм. Предел \(n\to1\) возвращает \(r'=r\). Если смотреть не издалека, появится поправка порядка \(R/L\) (\(L\) — расстояние до глаза); в школьной постановке \(L\gg R\), и её нет.

Показатели: \(n_1=n\), \(n_2=n/k\), …, \(n_N=n/k^{N-1}\). Закон Снеллиуса сквозь всю стопку:

На границе \(j\to j+1\) полное отражение, если \(n_j\sin\gamma_j\ge n_{j+1}\), то есть \(\sin\alpha\ge n_{j+1}\). Самое маленькое \(n_{j+1}\) — у последней пластины: \(n_N=n/k^{N-1}\). Значит, минимальный угол падения, при котором луч уже не пройдёт,

если только это число не больше единицы. Если \(n/k^{N-1}>1\), даже скользящий луч (\(\sin\alpha=1\)) не набирает условия ПВО — свет проходит стопку при любом угле.

Выход из последней пластины в воздух полного отражения не даёт: инвариант \(\sin\alpha<1\) как раз равен синусу угла выхода.

Инвариант Снеллиуса сквозь стопку: \(\sin\alpha=n_j\sin\gamma_j\) одно и то же на каждой границе. ПВО вспыхивает, едва \(\sin\alpha\) дотянет до показателя следующей пластины. Самая «редкая» — последняя, \(n_N=n/k^{N-1}\), поэтому порог \(\sin\alpha=n/k^{N-1}\). Пример: \(n=1{,}6\), \(k=1{,}2\), \(N=4\): \(\sin\alpha=1{,}6/1{,}2^3=0{,}926\), \(\alpha\approx68^\circ\). При \(N=5\) уже \(1{,}6/1{,}2^4=0{,}772\), \(\alpha\approx50^\circ\). Если \(n/k^{N-1}\gt1\), даже скользящий луч не запирается: стопка слишком короткая по контрасту. Выход в воздух полного отражения не даёт — инвариант \(\sin\alpha\lt1\) как раз равен синусу угла выхода.

На высоте \(h\) имеем \(n=n_0-\alpha h\): при подъёме на \(\Delta h\) показатель убывает на \(\alpha\,\Delta h\), то есть \(\Delta n/\Delta h=-\alpha\). Луч, идущий горизонтально (поперёк направления, вдоль которого меняется \(n\)), имеет кривизну

Для круговой орбиты радиуса \(r=R+H\)

Отсюда \(\alpha(R+H)=n_0-\alpha H\), \(\alpha R+2\alpha H=n_0\),

Тот же ответ даёт инвариант сферически-симметричной среды \(n(r)\,r\sin\theta=\mathrm{const}\): круговой луч (\(\theta=90^\circ\)) живёт там, где \(n(r)r\) имеет экстремум, и дифференцирование снова приводит к \(n+\alpha r=0\) в наших обозначениях — то же уравнение.

Кривизна горизонтального луча \(1/\rho=\alpha/n\). Чтобы он навсегда остался на высоте \(H\), нужно \(\rho=R+H\), то есть \(\alpha/(n_0-\alpha H)=1/(R+H)\). Отсюда \(H=\tfrac12(n_0/\alpha-R)\). Земля: \(n_0-1\sim3\cdot10^{-4}\), градиент \(\alpha\sim3\cdot10^{-8}\) м\(^{-1}\), \(n_0/\alpha\sim10^4\) км при \(R=6370\) км — формула даёт \(H\sim1{,}8\cdot10^3\) км, далеко за линейным слоем \(h\ll n/\alpha\). Реальная атмосфера так не умеет: кругового луча нет. Чтобы \(H\) было в километрах у планеты земного размера, нужен \(\alpha\sim n_0/R\sim1{,}6\cdot10^{-7}\) м\(^{-1}\) — впятеро круче земного.

Критический угол вода–воздух \(\alpha_c=\arcsin(1/1{,}33)\approx49^\circ\). Любой луч из воздуха, как бы полого он ни шёл, после преломления идёт в воде под углом к вертикали не больше \(49^\circ\). Обратно: рыба, глядя вверх в пределах конуса раствора \(2\alpha_c\approx97^\circ\), видит весь надводный мир — от зенита до горизонта.

Горизонт прижат к краю окна: берег, деревья, низкое Солнце сидят кольцом вокруг зенита и сильно сжаты по высоте. Предметы у зенита почти не искажены (вертикальный луч не ломается), у края окна — сплющены и подняты.

Если рыба смотрит круче \(49^\circ\) к вертикали, луч не выходит в воздух: полное внутреннее отражение. В этом «кольце» вокруг окна виден подводный пейзаж — дно, другие рыбы, отражение самой рыбы. Поверхность там блестит, как ртуть.

Неглубоко у берега рыба может видеть и берег «напрямую» через боковую воду, и тот же берег — поднятым в окне Снеллиуса.

Окно Снеллиуса — конус раствора \(2\alpha_c=2\arcsin(1/n)\). Вода \(n=1{,}33\): \(\alpha_c=48{,}8^\circ\), окно \(\approx97{,}5^\circ\). Весь небесный полукруг \(180^\circ\) сжат в эти 97 градусов: у горизонта сжатие огромное, у зенита его нет (вертикальный луч не ломается). За краем окна, при угле к вертикали больше \(49^\circ\), поверхность — зеркало ПВО, и рыба видит дно. Если \(n=1{,}5\) (условная «рыба в стекле»), окно сузится до \(2\arcsin(2/3)\approx83^\circ\). Предел \(n\to1\) раскрывает окно на все \(180^\circ\): границы вода–воздух как будто нет.

а. На первую грань луч падает по нормали и идёт в клине без излома. На вторую грань он падает под углом \(\alpha\) (грани сходятся под \(\alpha\)). Закон Снеллиуса: \(n\sin\alpha=\sin(\alpha+\delta)\). При малых углах \(n\alpha=\alpha+\delta\), откуда \(\delta=(n-1)\alpha\).

б. Теперь на первую грань падение \(\gamma\ll1\). В клине угол с нормалью первой грани \(\gamma/n\). Угол падения на вторую грань равен \(\alpha-\gamma/n\) (или \(\alpha+\gamma/n\), смотря куда клин). Выход в воздух: \(n(\alpha-\gamma/n)=\alpha+\delta-\gamma\) в линейном приближении, и снова \(\delta=(n-1)\alpha\). Косой вход и косой выход сокращаются: клин «не знает» \(\gamma\).

в. Тонкая линза на высоте \(h\) от оси имеет толщину с клином \(\alpha\approx h/R_1+h/R_2\) (каждая сфера даёт угол \(h/R\)). Луч, параллельный оси, отклоняется на \(\delta=(n-1)\alpha=(n-1)h(1/R_1+1/R_2)\) и пересекает ось на расстоянии \(F\), причём \(\delta=h/F\). Значит

Знаки: \(R>0\), если поверхность выпуклая навстречу лучу.

Клин \(\alpha=2^\circ\approx0{,}035\) рад, стекло \(n=1{,}5\): отклонение \(\delta=(n-1)\alpha=0{,}017\) рад \(\approx1^\circ\) — вдвое слабее самого угла клина. Пункт б обещает то же \(\delta\) при косом входе: линейный Снеллиус на двух гранях сокращает \(\gamma\), остаётся только \((n-1)\alpha\). Линза — набор таких клиньев: на высоте \(h\) угол \(\alpha=h/R_1+h/R_2\), и \(\delta=h/F\) сажает \(1/F=(n-1)(1/R_1+1/R_2)\). Плоско-выпуклая \(R_2=\infty\), \(F=R/(n-1)\): при \(R=10\) см и \(n=1{,}5\) имеем \(F=20\) см. Предел \(n\to1\) или \(R\to\infty\) гасит силу — линза исчезает.

а. Обе поверхности выпуклые, \(R_1=R_2=0{,}30\) м, \(n=1{,}6\):

б. Плоско-выпуклая: \(1/R_2=0\), \(D=(n-1)/R=0{,}6/R=1\) дптр, откуда \(R=0{,}6\) м.

Знаки: обе поверхности двояковыпуклой линзы собирающие, радиусы входят со знаком «+». У плоско-выпуклой плоская сторона даёт \(R_2=\infty\), \(1/R_2=0\), и остаётся одно слагаемое. Оптическая сила в диоптриях численно равна \(1/F\), если \(F\) измерено в метрах — отсюда сразу 4 дптр и 1 дптр.

Формула тонкой линзы сразу в метрах: \(1/F=(1{,}6-1)(1/0{,}30+1/0{,}30)=4\) м\(^{-1}\), \(F=25\) см, \(D=4\) дптр. Это уже сильные очки или лупа. Плоско-выпуклая той же силы 1 дптр требует \(R=(n-1)/D=0{,}60\) м — почти плоская на ощупь. Если ту же двояковыпуклую погрузить в воду, относительный показатель упадёт с \(0{,}6\) до \(1{,}6/1{,}33-1\approx0{,}20\), сила с 4 до \(\approx1{,}4\) дптр. Предел \(n\to1\): \(D\to0\), стеклянная «линза» в воздухе ничего не делает. Две плоско-выпуклые вплотную снова дают \(2+2=4\) дптр — та же двояковыпуклая.

Вода \(n_0=1{,}33\). Фокусное расстояние в воде (расстояние, на котором параллельный пучок в воде соберётся) даётся

По условию \(1/f=1{,}6\) м⁻¹:

Общая формула линзы в среде \(n_0\): \(1/f=(n/n_0-1)(1/R_1+1/R_2)\). Подставляем \(n=1{,}61\), \(n_0=4/3\approx1{,}33\), \(R_1=R_2=R\):

\(R=0{,}421/1{,}6=0{,}263\approx0{,}26\) м. В воздухе та же линза была бы в \((n-1)/(n/n_0-1)\approx2{,}9\) раза сильнее.

В воде работает не \(n-1=0{,}61\), а \(n/n_0-1=1{,}61/1{,}33-1\approx0{,}211\). Две одинаковые сферы дают \(1/f=0{,}211\cdot2/R=0{,}422/R\). При \(D=1{,}6\) дптр имеем \(R=0{,}422/1{,}6=0{,}264\) м. В воздухе та же линза собрала бы \(D=0{,}61\cdot2/0{,}26\approx4{,}7\) дптр — почти втрое сильнее, как отношение \(0{,}61/0{,}21\). Если вместо воды взять масло \(n_0=1{,}50\), относительный показатель упадёт до \(0{,}073\), и \(R\) при той же силе \(1{,}6\) дптр сжался бы до \(\approx9\) см: линза должна быть круче, чтобы компенсировать почти исчезнувший контраст.

В воздухе \(\dfrac1f=(n_\text{ст}-1)\dfrac2r\), откуда \(2(n_\text{ст}-1)=r/f\).

а. Пучок из воздуха в воду. Сила первой поверхности (воздух–стекло) \(D_1=(n_\text{ст}-1)/r\), второй (стекло–вода) \(D_2=(n-n_\text{ст})/(-r)=(n_\text{ст}-n)/r\). Суммарная вергенция в воде

подождав: \(2n_\text{ст}-1-n=r/f+2-1-n=r/f-(n-1)\), и \(n/x=(2n_\text{ст}-1-n)/r\), так что

б. Пучок из воды в воздух. Теперь \(D_1=(n_\text{ст}-n)/r\), \(D_2=(1-n_\text{ст})/(-r)=(n_\text{ст}-1)/r\), изображение в воздухе:

Две среды по разные стороны ломают симметрию \(d\leftrightarrow d'\). Из воздуха в воду вергенция после линзы делится на \(n\): \(n/x=1/f-(n-1)/r\), откуда \(1/x=1/(nf)-(n-1)/(nr)\). Из воды в воздух делить не на что, \(1/x=1/f-(n-1)/r\). Числа: школьная \(f=10\) см, \(r=15\) см, вода \(n=4/3\). «В аквариум» \(1/x=1/13{,}3-0{,}33/20\), \(x\approx17\) см. «Из аквариума» \(1/x=1/10-0{,}33/15\), \(x\approx13\) см. Пустой аквариум (\(n=1\)) оба сажает в \(x=f\). Если правая часть отрицательна, пучок после линзы расходится: формальный фокус мнимый.

Свет идёт снаружи. Первая поверхность: \(R_1=R+\delta\), сила \(D_1=(n-1)/(R+\delta)\). Вторая (стекло–воздух, центр кривизны по-прежнему справа, \(R_2=+R\)): \(D_2=(1-n)/R=-(n-1)/R\).

Знак минус: стенка рассеивает. Параллельный пучок после колбы станет расходящимся, как от мнимого фокуса перед ней.

Тонкая стенка сферы — две близкие поверхности радиуса \(R\) толщины \(\delta\ll R\). В нулевом порядке по \(\delta\) сила нулевая (плоскопараллельный слой). Первый порядок даёт рассеивающую «воздушную» линзу \(f=-R^2/[(n-1)\delta]\) — как мыльный пузырь.

Мениск: \(R_1=R+\delta\), \(R_2=R\), силы почти уничтожаются, остаток \(1/f=-(n-1)\delta/(R(R+\delta))\approx-(n-1)\delta/R^2\). Колба \(R=8\) см, стенка \(\delta=1{,}5\) мм, стекло \(n=1{,}5\): \(|f|=0{,}08^2/(0{,}5\cdot0{,}0015)\approx8{,}5\) м — слабая рассеивающая, через неё мир чуть уменьшен. Мыльный пузырь \(n\approx1{,}33\), \(R=3\) см, \(\delta=1\) мкм: \(|f|=0{,}03^2/(0{,}33\cdot10^{-6})\approx2{,}7\) км, практически плоское окно. Предел \(\delta\to0\) или \(n\to1\) гонит \(f\to-\infty\). Знак минус обязателен: вторая поверхность вогнутая навстречу выходу, сила отрицательная.

Каждый клин, по задаче 13.2.14, отклоняет луч на \((n-1)\alpha\), и эти отклонения направлены в противоположные стороны (клинья сложены «навстречу», чтобы внешние грани были параллельны). Суммарный угол отклонения пучка

Собирающая линза все параллельные лучи, идущие под углом \(\delta\) к оси, собирает в одну точку фокальной плоскости на расстоянии \(f\,\mathrm{tg}\,\delta\approx f\delta\) от фокуса. Без пластинки пучок идёт вдоль оси и садится в сам фокус. Смещение светлой точки

Направление — в сторону клина с большим \(n\).

Снаружи пластинка плоскопараллельная, внутри — два клина навстречу. Нетто \(\delta=(n_1-n_2)\alpha\). Линза сажает параллельный пучок под углом \(\delta\) в точку фокальной плоскости: \(\Delta=f\delta=\alpha(n_1-n_2)f\). Кроны и флинта, \(n_1=1{,}52\), \(n_2=1{,}62\), клин \(\alpha=1^\circ\approx0{,}0175\) рад, \(f=50\) см: \(\Delta=0{,}0175\cdot0{,}10\cdot0{,}50\approx0{,}87\) мм — уже видно на экране. При \(n_1=n_2\) или \(\alpha=0\) смещение нуль: однородная пластина пучок не ломает. Предел \(f\to\infty\) (линзы нет) пятно уезжает на бесконечность — угол тот же, а фокальной плоскости больше нет.

На плоскую грань падение \(45^\circ\), в стекле \(\sin r=\sin45^\circ/n=1/(n\sqrt2)\). Пучок внутри параллелен.

Цилиндрическая поверхность: нормаль радиальна. Для луча, проходящего на расстоянии \(b\) от оси (прицельный параметр в стекле), \(\sin i=b/R\). Полное внутреннее отражение при \(b/R\ge1/n\), то есть при \(b\ge R/n\). Наружу выходят только лучи с \(|b|<R/n\).

Точки выхода этих лучей лежат на дуге, которую из центра видно под углом. Крайние вышедшие лучи касаются окружности радиуса \(R/n\) и бьют в цилиндр под критическим углом; центральный угол между крайними точками выхода равен \(2\arcsin(1/n)\). (Направление пучка внутри лишь поворачивает эту дугу как целое, ширину не меняет.)

Итак, свет выходит из части боковой поверхности, ограниченной углом

На диаметре падение \(45^\circ\), в стекле \(r=\arcsin\!\bigl(1/(n\sqrt2)\bigr)\). Дальше пучок параллелен, и на цилиндре \(\sin i=b/R\). Наружу выходят лишь лучи с \(b\lt R/n\), то есть дуга раствора \(\alpha=2\arcsin(1/n)\). Стекло \(n=1{,}5\): \(\alpha=2\arcsin(2/3)\approx83^\circ\), светится «нос», бока зеркальные. Вода \(n=4/3\): \(\alpha=2\arcsin(3/4)=97^\circ\) — шире, как окно Снеллиуса. Луч в центр (\(b=0\)) выходит всегда: \(i=0\). Предел \(n\to1\) раскрывает дугу на всю полуокружность \(180^\circ\); при \(n\to\infty\) дуга схлопывается в точку носа.

Первая поверхность (воздух–стекло), предмет на бесконечности, \(R_1=+R\):

Это изображение лежит справа от первой поверхности. До второй — ещё диаметр \(2R\), так что для второй поверхности предмет виртуальный (лучи ещё не сошлись), \(u=v_1-2R=R(2-n)/(n-1)\).

Вторая поверхность (стекло–воздух), \(R_2=-R\):

Подставляем \(u\) и получаем \(v=R(2-n)/(2(n-1))\) — расстояние от задней поверхности. От центра это \(R+v\). По условию фокус в \(2R\) от центра, значит \(v=R\):

Шар из вещества с показателем воды собирает параксиальный пучок ровно на расстоянии радиуса за своей задней точкой.

Две сферы подряд. Первая (воздух\(\to\)стекло) сажает промежуточный фокус в \(v_1=nR/(n-1)\). До второй остаётся \(2R\), предмет для неё \(u=R(2-n)/(n-1)\) — при \(n\lt2\) мнимый, лучи ещё сходятся. Вторая (стекло\(\to\)воздух) даёт \(v=R(2-n)/(2(n-1))\) от задней точки. Условие «фокус в \(2R\) от центра» есть \(v=R\), откуда \(n=4/3\). Стекло \(n=1{,}5\) собрало бы ближе: \(v=0{,}5R\), от центра \(1{,}5R\). При \(n=2\) промежуточное изображение садится на заднюю поверхность, \(v=0\). Наш \(4/3\) как раз между 1 и 2: шар «из воды» фокусирует на диаметре за собой.

Параллельный луч высоты \(a\) падает на переднюю поверхность (жидкость \(\to\) воздух, \(R_1=+R\)):

Мнимое изображение слева от передней стенки. Луч в полости идёт так, будто вышел из этой точки, и поэтому расходится. Наклон \(|a/v_1|=a(n-1)/R\). На пути \(2R\) до задней стенки высота вырастает на \(2R\cdot a(n-1)/R=2a(n-1)\):

По условию \(a'=2a\), откуда \(2n-1=2\), \(n=3/2\).

Тонкая колба в жидкости — воздушный шар, рассеивающая линза. Передняя поверхность: \(1/v_1=(1-n)/R\), \(v_1=R/(1-n)\lt0\). Луч в полости расходится с наклоном \(a(n-1)/R\); на диаметре \(2R\) высота вырастает до \(a'=a+2a(n-1)=a(2n-1)\). Условие \(a'=2a\) даёт \(n=3/2\). При \(n=1{,}33\) (колба в воде) \(a'=1{,}66a\) — ещё не удвоение. При \(n=2\) уже \(a'=3a\). Предел \(n\to1\) оставляет \(a'=a\): снаружи тот же воздух, стенки тонкие, пучок не тронут. Диаметр снят именно на задней стенке, а не «где-то за колбой».

Пусть сначала свет падает на плоскую грань (так фокус оказывается за выпуклой поверхностью — это и есть \(x\)). Плоская граница параллельный пучок не трогает. Выпуклая (стекло\(\to\)воздух, \(R_2=-R\)) собирает его на расстоянии

от этой выпуклой поверхности.

Теперь наоборот: пучок на выпуклую грань. Первая поверхность (воздух\(\to\)стекло) даёт промежуточное изображение на \(v_1=nR/(n-1)\) справа. Плоская граница стоит на расстоянии \(R\) от неё; для плоскости предмет виртуальный, «за» ней на \(R/(n-1)\). Плоская граница (стекло\(\to\)воздух) не ломает направление, но меняет оптическую длину: \(n/u=1/y\), откуда

Собираются лучи на расстоянии \(x/n\) от плоской поверхности.

Сначала в плоскую: внутри пучок остаётся параллельным, собирает только выпуклая (стекло\(\to\)воздух), \(x=R/(n-1)\). Обратно: выпуклая из воздуха даёт \(v_1=nR/(n-1)\), до плоскости ещё \(R\), и плоский выход делит оптическую длину на \(n\): \(y=R/(n(n-1))=x/n\). Стекло \(n=1{,}5\), \(R=4\) см: \(x=8\) см за выпуклой, \(y\approx5{,}3\) см за плоской. Предел \(n\to1\) оба фокуса гонит на бесконечность, отношение \(1/n\) формально живёт. Если полушарие перевернуть «не той» стороной, \(x\) и \(y\) просто меняются ролями через это \(n\).

а. Собирающая линза, предмет за двойным фокусом. Изображение действительное, перевёрнутое, между \(F\) и \(2F\). По клеткам рисунка высота образа вдвое меньше: \(k=1/2\).

б. Предмет между \(F\) и \(2F\). Изображение действительное, перевёрнутое, за \(2F\), выше предмета: \(k=3/2\).

в. Рассеивающая линза (фокусы «мнимые», лучи после линзы идут так, будто вышли из ближайшего фокуса). Изображение мнимое, прямое, уменьшенное, с той же стороны, что предмет: \(k=1/4\).

г. Собирающая, предмет далеко, но не так далеко, как в «а»: действительное перевёрнутое с \(k=3/4\).

Знак увеличения в школьной традиции часто опускают и пишут модуль; перевёрнутость видна на чертеже.

Второй взгляд — формула линзы и Ньютон, а не только клетки рисунка. Луч через оптический центр идёт без излома, луч, параллельный оси, после собирающей линзы проходит задний фокус \(F\); где они встретились — там и образ. Для «а» по клеткам \(d=3f\): \(1/(3f)+1/d'=1/f\) даёт \(d'=3f/2\), \(\Gamma=d'/d=1/2\). Ньютон: \(x=d-f=2f\), \(xx'=f^2\), \(x'=f/2\), тот же \(d'=f+x'=3f/2\). Для «б» \(k=3/2\) переворачивает: \(d=5f/3\) — предмет между \(F\) и \(2F\), образ за \(2F\).

Рассеивающая «в»: \(f\lt 0\). Пусть \(|f|=f_0\), предмет в \(d=5f_0/4\). Тогда \(1/d+1/d'=-1/f_0\), \(d'=-f_0/4\), \(k=|d'|/d=1/5\) — порядок как на чертеже (\(k=1/4\): предмет чуть дальше). Всегда \(0\lt k\lt 1\), образ мнимый и прямой: луч, параллельный оси, после рассеивающей идёт так, будто вышел из ближайшего фокуса, и встречается с лучом через центр слева от линзы. При \(d\to\infty\) и собирающая, и рассеивающая сажают образ в свой фокус: \(k\to0\).

Для конца, не лежащего на оси, ведём луч через оптический центр — он идёт без излома — и луч, параллельный оси, который после собирающей линзы проходит через задний фокус (после рассеивающей — как будто вышел из переднего).

Стрелка вдоль оси строится через формулу линзы по двум её концам: ближний и дальний дают две точки-образа, между ними — изображение. Продольное увеличение не равно поперечному, поэтому «стоячая» стрелка меняет длину иначе, чем «поперёк оси».

Стрелка, упирающаяся в фокус одним концом, этим концом уходит на бесконечность: её образ — луч, параллельный оси (или уходящий в бесконечность от второй точки).

Стрелка за линзой (если такая есть на рисунке) — мнимый предмет: лучи на линзу уже сходятся, формула с отрицательным \(d\).

Каждый конец стрелки — обычная точка: один луч через оптический центр (не ломается), второй — параллельно оси, после линзы через \(F\). Где два луча пересеклись (или их продолжения) — туда садится конец образа; отрезок между концами останется отрезком, потому что параксиальное отображение линейно. Для конца на оси «высоты нет»: работает только формула \(1/d+1/d'=1/f\). Ньютон \(xx'=f^2\) удобен, когда конец близко к фокусу: малое \(x\) гонит \(x'\) на метры.

Численный набросок. Собирающая, \(f=10\) см. Стоячая стрелка от \(d_1=15\) см до \(d_2=30\) см: \(d_1'=30\) см, \(d_2'=15\) см — образ тоже 15 см, но «перевёрнут» вдоль оси (ближний конец стал дальним). Поперечная стрелка в \(d=15\) см имеет \(\Gamma=2\); продольное увеличение \(\Gamma_\parallel=\Gamma^2=4\), поэтому та же стрелка, положенная вдоль оси, растянется иначе. Если конец попал в \(F\), \(d\to f+\), \(d'\to\infty\): этот конец «уехал на небо», образ — луч, параллельный оси.

Пусть в одном положении \(d\) и \(d'=L-d\). Тогда

Квадратное уравнение \(d^2-Ld+fL=0\). Два корня \(d_{1,2}\), их разность — как раз \(a=30\) см:

Подставляем \(L=90\) см, \(a=30\) см:

Два положения: \(d=30\) см и \(d=60\) см. Изображения взаимно обратны по увеличению: \(\Gamma\) и \(1/\Gamma\).

Метод Бесселя — прямое следствие симметрии \(d\leftrightarrow d'\) в \(1/d+1/d'=1/f\). Два корня \(d_{1,2}=(L\pm a)/2\): здесь \(60\) и \(30\) см. Ньютон проверяет оба сразу. Первое положение: \(x=30-20=10\) см, \(x'=f^2/x=40\) см, \(d'=60\) см. Второе: \(x=40\) см, \(x'=10\) см, \(d'=30\) см. Увеличения взаимно обратны: \(\Gamma_1=-2\), \(\Gamma_2=-1/2\). Произведение \(|\Gamma_1\Gamma_2|=1\) — так и должно быть: поменяли предмет и экран местами.

Предел \(L\to 4f+\). Дискриминант \(L^2-4fL\to0\), два положения сливаются в одно: линза ровно посередине, \(d=d'=2f\), \(k=-1\). При \(L=80\) см и нашей \(f=20\) см запаса уже нет — чёткое изображение будет только в одной точке. При \(L=90\) см запас 10 см, и \(a=\sqrt{90^2-4\cdot20\cdot90}=30\) см ровно сходится с условием. Если бы линза была слабее, \(f=25\) см, то \(4f=100>90\) — ни одного положения.

Для действительного изображения \(d>f\), \(d'>0\),

Берём производную: удобно \(L=d+f+f^2/(d-f)\) (разделили с остатком). Тогда \(dL/dd=1-f^2/(d-f)^2\). Нуль при \(d-f=f\), то есть

При этом \(d'=2f\), \(L_\min=4f\). Вторая производная положительна — минимум. Это то самое положение, в котором в предыдущей задаче два корня Бесселя сливаются.

Из формулы линзы \(d'=fd/(d-f)\). Сумма \(s=d+d'=d^2/(d-f)\). Минимум по \(d\): производная \(s'(d)=0\) даёт \(d=2f\), и тогда \(d'=2f\), \(s_\min=4f\). Это то же положение, что в методе Бесселя при совпавших положениях линзы. Предмет в двойном фокусе, увеличение \(-1\).

Ньютон делает минимум почти очевидным. Положим \(x=d-f>0\): тогда \(x'=f^2/x\) и расстояние предмет–образ \(L=x+2f+x'=2f+x+f^2/x\). Сумма \(x+f^2/x\) не меньше \(2f\) (неравенство о среднем), равенство при \(x=f\). Итого \(L\ge4f\), минимум при \(d=2f\), \(d'=2f\). Тот же \(d=2f\), где в методе Бесселя два положения сливаются. В книге набрано «\(f=2f\)» — опечатка, речь о расстоянии предмета.

Числа. Линза \(f=10\) см: ближе чем на \(40\) см экран к предмету не пододвинуть, как ни ставь линзу. При \(d=12\) см уже \(d'=60\) см, \(L=72\) см; при \(d=50\) см \(d'=12{,}5\) см, \(L=62{,}5\) см; оба хуже, чем \(40\). При \(d\to f+\) изображение улетает на бесконечность; при \(d\to\infty\) сам предмет уезжает — яма с дном \(4f\) между этими обрывами.

Пусть зеркальце повернуто на малый угол \(\theta\) от положения, в котором отражённый пучок идёт вдоль оси. Угол падения равен углу отражения, поэтому сам пучок отклоняется на \(2\theta\). Значит \(\varphi=2\theta\), \(\dot\varphi=2\omega\).

Экран стоит перпендикулярно оси. Чтобы параллельный пучок фокусировался в точку при любом малом \(\varphi\), экран должен быть в фокальной плоскости линзы. Тогда

В момент пересечения оси \(\theta=0\), \(\mathrm{tg}\,\varphi=\varphi\), и

Где именно на оси стоит зеркальце — неважно: параллельный пучок «не помнит» точки отражения, только направление.

Параллельный пучок «живёт на бесконечности»: \(d=\infty\), формула линзы сразу сажает его в фокальную плоскость, \(d'=f\). Значит, экран обязан стоять в фокальной плоскости — иначе пятно не точка, а кружок. Два луча пучка (верхний и нижний) после линзы пересекаются ровно в одной точке фокальной плоскости; эта точка и есть наше пятно. Зеркальце поворачивает нормаль на \(\theta\), отражённый пучок — на \(2\theta\) (закон отражения), поэтому угловая скорость пучка \(2\omega\), а линейная скорость пятна \(v=f\cdot 2\omega\).

Где на оси стоит зеркальце — неважно: у параллельного пучка нет «точки старта», только направление. Числа: школьная линза \(f=20\) см и \(\omega=10\) рад/с дают \(v=4\) м/с — пятно пробегает тетрадный лист за сотую секунды. При \(\omega=0\) пятно стоит на оси. Если экран сдвинуть из фокальной плоскости на \(\delta\), пятно размажется в диск диаметра \(\sim D\delta/f\) (\(D\) — оправа), и говорить о «скорости точки» уже нельзя.

Концы: \(d_{1,2}=a\pm l/2\). Чтобы все точки давали действительное изображение, нужно \(d_1>f\), то есть \(a-l/2>f\).

Разность:

Отсюда продольное увеличение

При \(l\to0\) остаётся привычное \(k_\parallel=(f/(a-f))^2=\Gamma_\perp^2\): продольное увеличение есть квадрат поперечного.

Концы отрезка: \(d_\pm=a\pm l/2\). Формула линзы \(d'=fd/(d-f)\) на каждом, разность — длина образа. Ньютон короче: \(x_\pm=(a-f)\pm l/2\), \(x'=f^2/x\), \(l'=f^2\bigl(1/x_--1/x_+\bigr)=f^2 l/\bigl((a-f)^2-l^2/4\bigr)\). Делим на \(l\) — и есть \(k\). При \(l\to0\) остаётся \(k=(f/(a-f))^2=\Gamma_\perp^2\): продольное увеличение есть квадрат поперечного. Для действительных образов обоих концов нужно \(a-l/2>f\).

Числа. \(f=10\) см, середина в \(a=20\) см (двойной фокус), отрезок \(l=4\) см. Тогда \(k=100/(100-4)\approx1{,}04\): почти «один к одному», как и должно быть в окрестности \(2f\). Концы: \(d=18\) и \(22\) см, \(d'=22{,}5\) и \(18{,}3\) см, \(|l'|\approx4{,}2\) см. Если тот же отрезок пододвинуть к фокусу, \(a=13\) см, знаменатель \(9-4=5\), \(k=20\): ближний конец уже «надувается» вдоль оси. При \(a-l/2\to f\) знаменатель обнуляется, \(k\to\infty\).

Пусть высота предмета \(H\). Тогда

Для двух съёмок

Метры и миллиметры в отношении не встречаются: \(f\) выйдет в метрах, как и \(d\).

Формула линзы \(1/a+1/b=1/f\), увеличение \(k=b/a\). Из двух съёмок \(h\propto f/(a-f)\):

Высота кадра \(h=H\cdot f/(d-f)\) — это \(\Gamma=d'/d\) после формулы \(1/d+1/d'=1/f\). Отношение двух высот не содержит лишнего \(d_1/d_2\): \(h_1/h_2=(d_2-f)/(d_1-f)\). Отсюда \(30/51=(9-f)/(15-f)\) и \(f=3/7\) м, без множителя \(15/9\). Ньютон говорит то же: \(x=d-f\), \(x'=f^2/x\), \(\Gamma=x'/d=f/(d-f)\).

Проверка числом. \(f\approx0{,}429\) м. С 15 м: \(\Gamma=0{,}429/14{,}57\approx0{,}0294\), предмет высоты \(H=30/0{,}0294\approx1020\) мм. С 9 м: \(\Gamma=0{,}429/8{,}57\approx0{,}0501\), \(h=1020\cdot0{,}0501\approx51\) мм — попали. Объектив \(43\) см — длиннофокусный портретник: с 9–15 м как раз поясной кадр. Предел \(f\ll d\) дал бы просто \(h\propto1/d\), отношение \(51/30\approx1{,}70\) против \(15/9\approx1{,}67\); вся поправка на конечное \(f\) — эти три сотых, и они как раз рождают \(3/7\).

С пяти метров, без начальной скорости (школьная оценка),

Предмет далеко: \(d=10\) м, \(f=0{,}10\) м, \(d\gg f\), увеличение

На плёнке прыгун движется со скоростью \(v'=v\Gamma=0{,}10\) м/с. Допустимое смазывание \(\delta=0{,}5\) мм \(=5\cdot10^{-4}\) м:

Прыгун у воды имеет скорость \(v=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot10\cdot5}=10\) м/с. За выдержку \(t\) он смещается на \(vt\), на негативе это \(vt\cdot(f/L)\). Требуем \(vt\,f/L\le0{,}5\) мм:

Точная формула линзы чуть поправляет школьное \(\Gamma\approx f/d\). Здесь \(d=10\) м, \(f=0{,}10\) м, \(d'=df/(d-f)=1/9{,}9\approx0{,}101\) м, \(\Gamma=d'/d\approx0{,}0101\) вместо \(0{,}010\). На плёнке прыгун бежит со скоростью \(v\Gamma\approx0{,}101\) м/с, и \(t=\delta/v\Gamma\) меняется на процент — выдержка по-прежнему \(5\) мс. Ньютон: \(x=d-f\approx9{,}9\) м, \(x'=f^2/x\approx1\) мм, плёнка почти в фокальной плоскости, как и должно быть при \(d\gg f\).

Скорость у воды \(v=\sqrt{2gH}=10\) м/с при \(g=10\). За 5 мс тело пролетает 5 см; на негативе это ровно допуск 0,5 мм. Если взять \(g=9{,}8\), выйдет \(v=9{,}9\) м/с и \(t\approx5{,}1\) мс — ловить нечего. Реальный прыгун отталкивается, скорость больше: выдержку лучше поставить 1/250 с. Луч через центр объектива и луч через край диафрагмы встречаются на плёнке в одной точке только если наводка верна; иначе к смазу движения добавится кружок рассеяния.

Пусть \(d(t)\) — расстояние до объекта, \(\dot d=-v\) (объект наезжает). Увеличение \(k=d'/d=\mathrm{const}\), значит глубина камеры \(b\equiv d'=kd\),

Из \(k=f/(d-f)\) следует \(f=kd/(k+1)\). Дифференцируем:

Знаки: когда объект ближе, \(f\) и \(b\) надо уменьшать (трансфокатор «в широкий угол», плёнку — к объективу), чтобы \(k\) не росло.

Постоянный размер кадра — это \(k=b/d=\mathrm{const}\). Из \(1/d+1/b=1/f\) тогда \(f=kd/(1+k)\), \(b=kd\). Объект наезжает, \(\dot d=-v\), поэтому \(\dot f=-vk/(1+k)\), \(\dot b=-vk\). Ньютон: \(x=d-f=d/(1+k)\) тоже едет пропорционально \(d\), а \(x'=f^2/x=k^2 d/(1+k)\) — глубина за главной плоскостью. Знаки: объект ближе — и \(f\), и \(b\) надо уменьшать, иначе \(k\) само вырастет.

Числа. Пусть \(k=1/10\) (дальний план), \(v=2\) м/с. Тогда \(|\dot f|=0{,}18\) м/с, \(|\dot b|=0{,}20\) м/с — трансфокатор крутится лениво. При макро \(k=1\) уже \(|\dot f|=v/2\), \(|\dot b|=v\): камеру надо двигать так же резво, как сам объект. Предел \(k\to0\) (бесконечно далёкий план): фокус почти не трогаем, \(f\approx\mathrm{const}\), как обычная съёмка пейзажа. Размерность обоих ответов — м/с.

Луч от верхнего края оправы к нижнему краю резкого образа и симметричный ему пересекают плоскость, сдвинутую к линзе на \(l\), в точках, отстоящих от оси на \(r_1\). Подобие большого треугольника (катеты \(D/2+r_2\) на базе \(f\)) и малого (катеты \(r_2-r_1\) на базе \(l\)) даёт

Пластинка сдвинута к линзе. (В книге числитель записан как \(r_1-r_2\): это тот же сдвиг со знаком «от фокуса к линзе».)

Луна на бесконечности: \(1/d+1/d'=1/f\) даёт \(d'=f\). Резкий диск радиуса \(r_2=\alpha f/2\) лежит в фокальной плоскости. Пока пластинка не там, освещённая область — сечение конуса, натянутого на оправу линзы диаметром \(D\) и на этот диск. Условие \(r_2>D/2>r_1\) говорит: пластинка ближе к линзе, чем фокус, и работают перекрёстные крайние лучи — от верхнего края оправы к нижнему краю резкого диска и наоборот. Где они пересекли пластинку, там и радиус \(r_1\).

Подобие: большой треугольник (катеты \(r_2+D/2\) на базе \(f\)) и малый (\(r_2-r_1\) на базе \(l\)) дают \(l=f(r_2-r_1)/(r_2+D/2)\). Числа: телевик \(f=2\) м, \(\alpha\approx0{,}5^\circ\), \(r_2\approx8{,}7\) мм; пусть \(D=15\) мм, \(r_1=5\) мм. Тогда \(l=2\cdot(8{,}7-5)/(8{,}7+7{,}5)\approx0{,}46\) м — сдвиг к линзе почти на полметра. При \(r_1\to r_2\) имеем \(l\to0\); при \(r_1\to0\) пластинка в плоскости перекрестья, \(l=f\,r_2/(r_2+D/2)\lt f\).

В пространстве вергенций резкость симметрична. Наводка \(s\) — среднее обратных:

Полуширина: \(|1/s-1/2|=1/8\) м⁻¹ при \(N=4\). Итак, допуск \(\Delta(1/d)=(1/32)\,N\).

Диафрагма 2: \(\Delta=1/16\). Границы

Диафрагма 8: \(\Delta=1/4\),

Наводка сидит в среднем обратных расстояний: \(1/s=(1/2+1/4)/2=3/8\), \(s=8/3\) м. Это не «середина между 2 и 4», а середина по вергенции: формула линзы линейна именно по \(1/d\). Кружок рассеяния на плёнке \(\varepsilon\approx D\cdot|d'-d'_0|/d'\), диаметр зрачка \(D=f/N\), поэтому допуск по вергенции растёт как число диафрагмы \(N\). Отсюда \(\Delta(1/d)=(1/32)N\): при \(N=4\) полуширина \(1/8\) м⁻¹, как и снято с границ 2 и 4 м.

Диафрагма 2: \(\Delta=1/16\), границы \(16/7\approx2{,}3\) м и \(16/5=3{,}2\) м — узкая щёлка вокруг наводки. Диафрагма 8: \(\Delta=1/4\), границы \(1{,}6\) и \(8\) м. Закрыли дырку вдвое — глубина примерно удвоилась. Гиперфокал: дальняя граница уйдёт на бесконечность, когда \(\Delta=3/8\), то есть при \(N=12\). Тогда всё от \(4/3\) м до бесконечности будет «резким» в том же допуске кружка.

Близорукий. Дальняя точка — 20 см: дальше этого глаз расслабиться не может. Чтобы видеть бесконечность, очки должны из параллельного пучка сделать пучок, сходящийся к точке в 20 см перед глазом:

Дальнозоркий. Ближняя точка — 50 см, а читать хочется с расстояния ясного зрения 25 см. Очки переносят предмет с 25 см в мнимое изображение на 50 см:

Очки — тонкая линза вплотную к глазу, \(1/d+1/d'=D\). Близорукий: дальняя точка 20 см, дальше глаз расслабиться не может. Чтобы видеть бесконечность, параллельный пучок (\(d=\infty\)) должен сойтись в эту точку: \(d'=-0{,}20\) м, \(D_1=-5\) дптр. Рассеивающие. Дальнозоркий: ближняя точка 50 см, а читать хочется с 25 см. Предмет в \(d=-0{,}25\) м, образ в \(d'=-0{,}50\) м: \(D_2=-2+4=+2\) дптр. Собирающие.

Знаки школьные: предмет слева отрицателен, если лучи на линзу уже расходятся «назад» — нет, для очков предмет реальный слева, \(d=+0{,}25\), а образ мнимый слева, \(d'=-0{,}50\). Тогда \(1/0{,}25+1/d'=D\) не то; верно писать оба расстояния по ходу лучей от глаза: предмет и образ слева, оба со знаком минус, как в оптике глаза. Числа привычные: «минус пять» — сильная близорукость, «плюс два» — очки для чтения. Если очки сидят в 12 мм от глаза, диоптрии чуть плывут, в школе этим пренебрегают.

Чтобы после потери сорока диоптрий глаз стал нормальным, у него в воздухе должен быть огромный избыток силы: изображение далёких предметов садилось бы далеко перед сетчаткой. Это и есть сильная близорукость.

Именно поэтому без маски под водой мир размыт у всех, кроме очень близоруких. Маска возвращает воздушную границу перед роговицей — и зрение «включается» обратно.

В воде относительный показатель роговицы падает с \(1{,}4\) до \(1{,}4/1{,}33\approx1{,}05\): пропадает почти 40 дптр из 60. Хрусталик компенсирует лишь 8–10 дптр аккомодации. «Нормально видящий в воде» должен иметь в воздухе чудовищный запас силы — то есть быть сильно близоруким.

Главная линза глаза — роговица, не хрусталик. Воздух–роговица: \(D_\text{рог}\approx(1{,}37-1)/R\). При \(R\approx8\) мм это \(\approx46\) дптр из шестидесяти. В воде снаружи \(n=1{,}33\): \(D_\text{вод}\approx(1{,}37-1{,}33)/0{,}008\approx5\) дптр. Пропало сорок диоптрий. Хрусталик даёт 15–20, аккомодация — ещё 8–10: на сетчатку не хватает. Нормальный глаз в воде безнадёжно дальнозоркий.

Чтобы после потери \(\sim40\) дптр глаз стал нормальным, в воздухе у него должен быть чудовищный избыток силы: далёкие предметы садились бы далеко перед сетчаткой. Это и есть сильная близорукость (минус десять и больше). Маска возвращает воздушную границу перед роговицей — зрение «включается» обратно. Предел \(n_\text{воды}\to n_\text{рог}\): роговица выключается полностью, остаётся один хрусталик.

Обычный глаз не фокусирует ближе расстояния ясного зрения \(D=25\) см: хрусталик на пределе, плюс широкие пучки через край зрачка дают сферическую аберрацию и большой кружок рассеяния.

Дырка в бумаге стоит перед глазом и вырезает тонкий пучок. Кружок рассеяния на сетчатке падает пропорционально диаметру дырки — картинка резкая даже тогда, когда аккомодация уже не справляется. Предмет пододвигаем на \(x=5\)–\(8\) см, его угловой размер растёт в \(D/x=3\)–\(5\) раз. Это и есть «увеличение».

По существу перед нами камера-обскура, только роль экрана играет сетчатка, а хрусталик ещё чуть подсобирает оставшийся пучок.

Дырка — не линза: формулы \(1/d+1/d'=1/f\) здесь нет. Это камера-обскура, роль экрана играет сетчатка. Узкий пучок режет аберрации хрусталика и кружок рассеяния: глаз перестаёт «мазать» на предмете ближе 25 см. Угловое увеличение сравнивают с невооружённым глазом: \(\Gamma=D/x=25/x\). При \(x=5\) см имеем \(\times5\), при \(x=8\) см — \(\times3\). Два луча от концов буквы через дырку расходятся под углом \(h/x\) вместо \(h/25\).

Слишком маленькая дырка — победит дифракция. Оценка: \(\theta\sim\lambda/a\), \(a=0{,}4\) мм, \(\lambda=0{,}55\) мкм, \(\theta\approx1{,}4\cdot10^{-3}\) рад; на дистанции 5 см кружок \(\sim70\) мкм — ещё терпимо для шрифта. Оптимум — доли миллиметра. Тот же приём: прищуриться, чтобы прочитать ценник без очков. Если дырку заменить собирающей линзой с \(f=x\), получится лупа из следующей задачи — и ярче, и без дифракции на краю бумаги.

Без лупы мелкий предмет высоты \(h\) держат в 25 см: угол \(\alpha\approx h/D\). С лупой предмет ставят в фокус, глаз аккомодирован на бесконечность, угол \(\alpha'\approx h/f\). Увеличение

Иногда на лупах пишут увеличение «по ближней точке», \(\Gamma=1+D/f\); тогда \(f\) было бы чуть другим. Школьная и заводская норма для надписи «\(\times10\)» — именно \(D/f\).

Стандарт заводской надписи «\(\times10\)» — предмет в фокальной плоскости лупы. Формула линзы: \(1/f+1/d'=1/f\), откуда \(d'=\infty\): глаз смотрит на бесконечность и отдыхает. Угол \(\alpha'\approx h/f\), без лупы с расстояния ясного зрения \(\alpha\approx h/D\), \(D=25\) см. Значит \(\Gamma=D/f=10\), \(f=2{,}5\) см. Два луча от концов предмета, прошедшие через оптический центр, выходят параллельно оси под углом \(h/f\).

Другой режим — предмет ближе фокуса, чтобы мнимый образ сел на 25 см: \(1/d-1/0{,}25=1/f\), тогда \(\Gamma=1+D/f=11\), \(f\approx2{,}8\) см. Школа и завод берут именно \(D/f\). Лупа 2,5 см — уже почти короткий объектив микроскопа, сильное стекло; часовая «десятка» на ощупь такая. Предел \(f\to D\): \(\Gamma\to1\), лупа не нужна. Предел \(f\to0\): увеличение растёт, но поле зрения и аберрации убивают картинку.

Формула линзы: \(1/a+1/a'=1/f\), \(a'=af/(a-f)<0\) — образ с той же стороны, на расстоянии \(|a'|=af/(f-a)\) от линзы.

Луч-образующая идёт из вершины под углом \(\alpha\) к оси и встречает линзу на высоте \(h=a\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Смотря в линзу, мы относим этот луч к мнимой вершине: он «выходит» из точки на оси на расстоянии \(|a'|\) и проходит ту же высоту \(h\). Поэтому

В книге набрано «\(1-\alpha/f\)»: опечатка, речь об \(a/f\).

Вершина на оси, \(a\lt f\): образ мнимый, \(a'=af/(a-f)\lt 0\), \(|a'|=af/(f-a)\). Образующая — луч из вершины под углом \(\alpha\); он бьёт в линзу на высоте \(h=a\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Второй луч — сам осевой, идёт без излома. Смотря в линзу, мы относим образующую к мнимой вершине: \(\mathrm{tg}\,\alpha'=h/|a'|=(1-a/f)\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Ньютон: \(x=a-f\lt 0\), \(x'=f^2/x\), \(|a'|=|f+x'|=af/(f-a)\) — то же. В книге набрано «\(1-\alpha/f\)»: опечатка, речь об \(a/f\).

Числа. Пусть \(a=f/2\), \(\alpha=30^\circ\). Тогда \(\mathrm{tg}\,\alpha'=(1/2)\mathrm{tg}\,30^\circ=1/(2\sqrt{3})\), \(\alpha'\approx16^\circ\): конус сплющился почти вдвое. При \(a\to0\) линза вплотную к острию, \(\alpha'\to\alpha\). При \(a\to f-\) образ уходит на \(-\infty\), \(\alpha'\to0\): образующие кажутся почти параллельными оси, конус — «иголка». Оба предела читаются с формулы сразу.

Пусть радиус шара \(R\), \(n=4/3\). Рыбка у задней стенки, свет идёт к нам через воду и ломается на передней поверхности. Предмет в воде на расстоянии \(2R\) от этой поверхности, \(R_1=-R\) (центр кривизны слева, если свет вправо к наблюдателю — аккуратно с знаками).

Формула сферической границы \(n_2/v-n_1/u=(n_2-n_1)/R\). Свет из воды в воздух, \(u=-2R\), \(n_1=4/3\), \(n_2=1\), \(R=-R\):

Мнимое изображение в \(3R\) «за» передней поверхностью, то есть на \(R\) дальше задней стенки. Поперечное увеличение границы

У центра \(k=1\) (лучи через центр не ломаются), у ближней стенки поверхность почти плоская, \(k\approx1\). Двойка — максимум.

Сферический аквариум — одна преломляющая поверхность вода–воздух, когда рыбка у дальней стенки. Формула границы \(n_2/v-n_1/u=(n_2-n_1)/R\): свет из воды, \(n_1=4/3\), \(n_2=1\), \(u=-2R\), \(R=-R\). Выходит \(v=-3R\), поперечное увеличение \(k=n_1 v/(n_2 u)=2\). У центра лучи через шар идут почти без излома, \(k=1\); у ближней стенки поверхность почти плоская, снова \(k\approx1\). Двойка — максимум.

Числа. Шар \(R=15\) см, рыбка 4 см у задней стенки: образ сидит в 45 см за передней поверхностью и имеет длину 8 см. Золотая рыбка у дальней стенки круглого аквариума и правда кажется крупнее. При \(n=1\) (пустота) было бы \(k=1\). Если смотреть не из воздуха, а из той же воды, преломления нет и увеличение снова единица. Формула \(k=nR/(R+(n-1)d)\) для рыбки на глубине \(d\) от передней стенки при \(d=2R\) снова даёт 2.

а. Предмет слева на расстоянии \(a\), линза, справа в фокальной плоскости — зеркало.

Лучи, прошедшие мимо зеркала (или если зеркало маленькое), дают обычное изображение линзы:

Книжный \(l_2=a-f\) — это расстояние от зеркала до этого образа (образ в \(af/(a-f)\) от линзы, зеркало в \(f\), разность \(af/(a-f)-f=f^2/(a-f)\); в ответах стоит \(a-f\), измерение от другой точки). Второй, «возвратный» образ: после линзы лучи сходятся к точке \(v=af/(a-f)\). Для зеркала в плоскости \(F\) это виртуальный предмет на расстоянии \(v-f=f^2/(a-f)\) за зеркалом; плоское зеркало ставит симметричный образ, и он лежит на расстоянии \(f(a-2f)/(a-f)\) от линзы. Возвращаясь через линзу, получаем изображение на

от линзы (с той стороны, куда пошли отражённые лучи).

б. Тонкая плоско-выпуклая, посеребрена плоская грань. Свет входит через выпуклую, отражается от плоскости и выходит той же выпуклой. Две преломляющие поверхности и одно плоское зеркало: эквивалентная сила \(2/f\) (линза пройдена дважды, плоское зеркало силы не даёт). Фокусное расстояние получившегося зеркала

а. Зеркало стоит в фокальной плоскости. Лучи, зеркала не задевшие, дают обычный образ линзы: \(d'=af/(a-f)\). Ньютон от фокуса (то есть от зеркала): \(x=a-f\), \(x'=f^2/x=f^2/(a-f)\) — это расстояние от зеркала до этого образа. Книжный \(l_2=a-f\) совпадает с \(x\), а не с \(x'\): в ответах, видимо, отсчитано от другой точки. Возвратный ход: после отражения промежуточный образ на \(l_1=f(a-2f)/(a-f)\) от линзы, и уже этот пучок идёт назад через линзу. Два семейства лучей — два изображения.

б. Свет проходит выпуклую поверхность дважды, плоское зеркало силы не даёт: \(D'=2/f\), \(f'=f/2\). Числа: \(f=20\) см, посеребрённая плоско-выпуклая работает как вогнутое зеркало на 10 см. Для пункта «а» при \(a=3f\) имеем \(l_1=f/2\), книжный \(l_2=2f\). Предел \(a\to\infty\): параллельный пучок садится в \(F\), где стоит зеркало, и возвращается в себя — \(l_1\to f\). Это другая система, чем посеребрённая линза: там зеркало вплотную, здесь — в фокальной плоскости.

Параллельный пучок после первой линзы имеет вергенцию \(1/f_1\). Вторая, стоящая тут же, добавляет \(1/f_2\). Итоговая вергенция

Оптическая сила \(D'=D_1+D_2\). Знаки: рассеивающая входит с минусом и ослабляет систему. Так подбирают очки «из двух стёкол» и склеивают дублеты.

Параллельный пучок после первой линзы сходится к её фокусу. Для второй этот пучок — сходящийся, «предмет» мнимый на расстоянии \(f_1\). Формула линзы даёт \(d_2=f_1 f_2/(f_1+f_2)\). Оптические силы складываются: \(D=D_1+D_2\).

Тонкая линза меняет вергенцию пучка на \(1/f\). Две вплотную делают это подряд: \(1/f'=1/f_1+1/f_2\), \(f'=f_1 f_2/(f_1+f_2)\). Тот же ответ из формулы линзы: параллельный пучок после первой сходится к её фокусу; для второй это мнимый предмет на расстоянии \(f_1\), \(1/(-f_1)+1/d_2'=1/f_2\), \(d_2'=f_1 f_2/(f_1+f_2)\). Рассеивающая входит с \(f\lt 0\) и ослабляет систему.

Числа. \(f_1=10\) см, \(f_2=15\) см: \(f'=6\) см, \(D'=16{,}7\) дптр. Две одинаковые \(f\) дают \(f/2\). Если вторая рассеивающая, \(f_2=-20\) см, то \(f'=20\) см: слабее первой. Предел \(f_2=-f_1\): \(D'=0\), система как оконное стекло. Так подбирают очки «из двух стёкол» и склеивают дублеты: силы складываются, аберрации — нет.

Параллельный пучок слева. Первая линза послала бы его в точку на расстоянии \(f\) от себя. Для второй это виртуальный предмет в \(f-l\) справа от неё, \(u=-(f-l)\).

От первой линзы до образа: \(l+v=l+f(f-l)/(2f-l)\). При \(l\ll f\)

Именно это расстояние в задаче названо фокусным расстоянием системы «от первой линзы».

Без зазора было бы \(f/2\). Малый зазор сдвигает и силу, и главную плоскость. Параллельный пучок: первая линза послала бы его в точку на расстоянии \(f\); для второй это виртуальный предмет в \(f-l\) справа, \(u=-(f-l)\). Формула линзы даёт \(v=f(f-l)/(2f-l)\). От первой линзы до образа \(l+v=(f^2+fl-l^2)/(2f-l)\). При \(l\ll f\) раскладываем: \(f/2+3l/4\). Ньютон после первой: \(x=f-l\), но предмет мнимый — знаки аккуратные.

Числа. \(f=20\) см, \(l=2\) см: приближение \(10+1{,}5=11{,}5\) см; точно \(2+20\cdot18/38=11{,}47\) см. Поправка \(3l/4\) положительна: зазор отодвигает фокус от первой линзы. Формула Гульстранда \(1/F=2/f-l/f^2\) даёт само эквивалентное \(F\approx f/2+l/4\); разница \(l/2\) — расстояние от первой линзы до главной плоскости, и \(l/2+l/4=3l/4\). При \(l=0\) оба ответа сходятся в \(f/2\).

Обе линзы \(f=30\) см, зазор 15 см. Предмет на расстоянии \(x\) слева от ближней.

Если \(x=10\) см, первая даёт мнимый образ в 15 см слева от себя (\(1/10+1/v=1/30\), \(v=-15\) см). Для второй это предмет в \(15+15=30\) см — ровно в фокусе, окончательное изображение на бесконечности. Это граница «действительности».

При \(x>10\) см окончательное изображение уже действительное: и когда промежуточное мнимое (\(10<x<30\)), и когда действительное между линзами или за второй (\(x>30\)). Прямой счёт по формуле линзы это подтверждает в обоих интервалах.

Справа от системы — то же по симметрии. Итого: предмет должен быть дальше 10 см от ближайшей линзы.

Обе линзы \(f=30\) см, зазор 15 см. Граница действительности: промежуточный образ первой садится в передний фокус второй, окончательный \(d'\to\infty\). Это \(x=10\) см от ближней: \(1/10+1/v=1/30\), \(v=-15\) см; для второй предмет в \(15+15=30\) см — ровно в фокусе. Ньютон для первой: \(x_\text{об}=10-30=-20\) см, \(x'=-45\) см, \(d'=30-45=-15\) см — да. При \(x>10\) см окончательный образ действительный с обеих сторон системы (симметрия).

Прямой счёт. \(x=12\) см: \(v_1=-20\) см, для второй \(u=35\) см, \(v_2=210\) см\(>0\). \(x=60\) см: \(v_1=60\) см (промежуточный за второй линзой — мнимый предмет для неё), \(v_2=18\) см\(>0\). \(x=8\) см: \(v_2\lt 0\), мнимое. При \(x\to\infty\) система как две линзы с зазором, фокус действительный. Итого: предмет дальше 10 см от ближайшей линзы.

Рассеивающая линза, \(f_\text{л}=-0{,}6\) м. Её правый фокус совпадает с полюсом вогнутого зеркала: полюс в 0,6 м справа от линзы.

Пусть фокус зеркала \(f\). Параллельный пучок слева после линзы кажется вышедшим из левого фокуса; на зеркало он падает, расходясь из точки в 0,6 м слева от полюса. Зеркало строит образ этой точки, и уже этот пучок идёт назад через линзу.

Самый «опасный» случай — предмет на бесконечности: если даже он даёт мнимый окончательный образ, более близкие предметы тем более не соберут лучи в действительную точку слева (линза рассеивающая, она только помогает разводить возвратный пучок). Для предмета на бесконечности промежуточный (для зеркала) предмет — в фокусе линзы, то есть в полюсе? Нет: правый фокус рассеивающей — это точка, к которой идут продолжения преломлённых лучей, если слева падал параллельный пучок... У рассеивающей параллельный пучок после линзы расходится так, будто вышел из левого фокуса. На полюс зеркала (правый фокус) эти лучи падают, имея виртуальный источник в 1,2 м слева от полюса.

Вогнутое зеркало даст действительный промежуточный образ, который линза потом может перевести в действительный окончательный, только если \(f\) достаточно мало (зеркало сильное). Граница — когда возвратные лучи после линзы идут параллельно: окончательный образ на бесконечности. Расчёт даёт границу \(f=0{,}6\) м. При \(f>0{,}6\) м зеркало слабее, возвратный пучок после линзы расходится при любом положении предмета — образ всегда мнимый.

Рассеивающая линза, \(f_\text{л}=-0{,}6\) м; её правый фокус совпал с полюсом вогнутого зеркала. Параллельный пучок слева после линзы расходится так, будто вышел из левого фокуса: для зеркала это реальный предмет в \(1{,}2\) м от полюса. Формула зеркала \(1/1{,}2+1/w=1/f\). Этот промежуточный образ идёт назад через рассеивающую линзу (\(f\lt 0\) только разводит возвратный пучок сильнее). Чтобы окончательный образ всегда был мнимым, зеркало не должно быть слишком крутым.

Граница — когда предмет на бесконечности даёт окончательный образ на бесконечности: \(f=0{,}6\) м. При \(f>0{,}6\) м зеркало слабее, возвратный пучок после линзы расходится при любом положении предмета. Предел \(f\to\infty\): зеркало плоское, стоит в правом фокусе рассеивающей — система заведомо рассеивающая. Предел малого \(f\): зеркало как точка-собиратель в полюсе и легко даёт действительный образ слева. Числа того же масштаба, что и линза, — разумно.

Центр шарика \(C\) на расстоянии \(d\) от линзы, полюс — на \(d-R\).

Образ в центре. \(1/x+1/d=1/f\), \(x=fd/(d-f)\). Нужен действительный образ, \(d>f\).

Образ в полюсе. \(1/x+1/(d-R)=1/f\), \(x=f(d-R)/(d-R-f)\). Действительный образ в полюсе — только если \(d-R>f\), то есть \(d>R+f\).

Сводка:

— при \(d>R+f\) оба варианта: \(x_1=f(d-R)/(d-R-f)\) и \(x_2=fd/(d-f)\);

— при \(f<d<R+f\) только центр: \(x=fd/(d-f)\);

— при \(d<f\) действительного промежуточного образа справа нет, решения нет.

(В книге во второй строке набрано \(d-F\): та же \(f\).)

Самосовмещение: после отражения от шарика и обратного хода через линзу лучи должны вернуться в \(S\). У зеркальной сферы две самосопряжённые точки — центр (лучи по радиусам, идут в себя) и полюс (точка на поверхности). Линза должна посадить \(S\) в одну из них. Образ в центре: \(1/x+1/d=1/f\), \(x=fd/(d-f)\), нужно \(d>f\). Образ в полюсе: \(1/x+1/(d-R)=1/f\), \(x=f(d-R)/(d-R-f)\), нужно \(d>R+f\). Ньютон: \(x_\text{об}=d-f\), \(x'=f^2/x\), требуем \(f+x'=d\) или \(d-R\).

Числа. \(f=10\) см, \(d=40\) см, \(R=5\) см. Тогда \(x_2=40\cdot10/30\approx13{,}3\) см (в центр) и \(x_1=35\cdot10/25=14\) см (в полюс). Оба больше \(f\), оба годятся. При \(R\to0\) шарик — точка в \(C\), остаётся только \(x=fd/(d-f)\). При \(d\lt f\) линза не даёт действительного образа справа, сажать некуда. В книге во второй строке набрано \(d-F\): та же \(f\).

Источник \(S\) в центре, \(SP=R\). Слой тонкий, плоская поверхность почти в полюсе.

Воздух \(\to\) жидкость, плоскость: \(n/v-1/(-R)=0\), \(v=-nR\). Для зеркала предмет на расстоянии \(nR\). Формула зеркала \(1/u+1/w=2/R\):

Обратно, жидкость \(\to\) воздух, плоскость: \(1/v'-n/(-w)=0\), \(v'=w/n=R/(2n-1)\). Это и есть окончательное изображение, считая от полюса. От источника его отделяет

Отсюда \(l(2n-1)=2R(n-1)\), \(2nl-l=2Rn-2R\), \(2n(R-l)=2R-l\),

Источник совпал с образом — он в центре кривизны, \(SP=R\). Лужица у полюса тонкая: плоская граница воздух–жидкость почти в полюсе плюс то же сферическое зеркало. Ход: преломление на плоскости (\(n/v-1/(-R)=0\), \(v=-nR\)), отражение (\(1/(nR)+1/w=2/R\), \(w=nR/(2n-1)\)), преломление обратно (\(v'=w/n=R/(2n-1)\)). От источника до этого образа \(l=R-R/(2n-1)=2R(n-1)/(2n-1)\), откуда \(n=(R-l/2)/(R-l)\).

Два луча: осевой (не ломается) и параксиальный, который преломился на плоскости, ударил в сферу, отразился и вышел. Числа. Вода \(n=4/3\): \(l=2R/5\). Зеркало \(R=20\) см даёт \(l=8\) см, и формула возвращает \(n=(20-4)/(20-8)=4/3\). При \(n=1\) жидкости нет, \(l=0\). При \(n\to\infty\) образ садится в полюс, \(l\to R\). Знаменатель \(R-l>0\) как раз потому, что второе изображение между источником и полюсом.

Жидкость не входит. Зазор — воздух, внутренние поверхности как в воздухе. Сила системы та же, что в воздухе: две линзы вплотную, \(D=2/f\). Но фокусное расстояние в среде \(n\) есть \(n/D\): геометрически фокус дальше в \(n\) раз,

Жидкость вошла. Теперь каждая плоско-выпуклая целиком в жидкости:

Две штуки:

В воздухе каждая плоско-выпуклая \(1/f=(n_0-1)/R\), плоская грань силы не даёт. Жидкость снаружи, внутрь оправы не зашла: внутренние сферы по-прежнему граничат с воздухом, сила системы \(D=2/f\). Но фокусное расстояние в среде \(n\) есть \(n/D\): \(f_1=nf/2\). Если жидкость вошла, каждая линза целиком в среде: \(1/f_\text{л}=(n_0/n-1)/R=(n_0-n)/(n(n_0-1)f)\), две штуки дают \(f_2=n(n_0-1)f/(2(n_0-n))\).

Числа. \(f=10\) см, \(n=4/3\), \(n_0=1{,}5\). Тогда \(f_1\approx6{,}7\) см. С жидкостью внутри: \(f_2=(4/3)\cdot0{,}5/(2\cdot0{,}17)\cdot10\approx20\) см — система втрое слабее. При \(n=1\) оба ответа дают \(f/2\). При \(n\to n_0\) второй уходит на бесконечность: стекло в «своей» жидкости невидимо. Первый остаётся \(n_0 f/2\): воздушный зазор работает как сильная рассеивающая «воздушная линза» в стекле, система не пропадает.

Луна на бесконечности, угловой диаметр \(\alpha\). На плёнке в фокальной плоскости телескопа \(h_1=\alpha F_\text{об}\).

Камера глубины \(l\) сфокусирована на этот промежуточный образ: \(1/d+1/l=1/f\), \(d=lf/(l-f)\). Линейное увеличение камеры

В книге набрано \((l-f)f\) без деления — опечатка; размерность тогда была бы м².

Луна в фокальной плоскости объектива даёт диск \(h_1=\alpha f\). Камера глубины \(l\) снимает этот диск с увеличением \((l-f)/f\), откуда \(h_2/h_1=(l-f)/f\). В книге множитель записан как \((l-f)f\) — пропущен знак деления; размерность тогда не сходится.

Луна на бесконечности: диск в фокальной плоскости объектива телескопа, \(h_1=\alpha F_\text{об}\). Это \(d=\infty\), \(d'=F\) по формуле линзы. Камера глубины \(l\) смотрит на этот диск как на предмет: \(1/d+1/l=1/f\), \(d=lf/(l-f)\), линейное увеличение \(h_2/h_1=l/d=(l-f)/f\). Ньютон для камеры: \(x=d-f=f^2/(l-f)\), \(x'=l-f\), то же отношение. В книге набрано \((l-f)f\) без деления — опечатка: размерность была бы м², а нужно безразмерное отношение.

Числа. Камера \(f=5\) см, глубина \(l=7{,}5\) см: \(h_2/h_1=0{,}5\) — кадр вдвое мельче промежуточного диска. При \(l=2f\) (макро 1:1) размеры совпадают. При \(l\to f+\) камера смотрит «на бесконечность», увеличение мало: промежуточный образ для неё далеко. Два луча от краёв лунного диска через центр объектива камеры встречаются на плёнке; масштаб — отношение плеч \(l\) и \(d\).

Объект на бесконечности: \(h_\infty=\alpha f\), увеличение трубы \(\Gamma_\infty=h_\infty/f_\text{ок}=\alpha f/f_\text{ок}\).

Объект на расстоянии \(a\): \(1/a+1/a'=1/f\), \(a'=af/(a-f)\). Линейный размер образа \(h=\alpha_\text{предм}\cdot a'\) в тех же обозначениях, или проще — отношение к «бесконечному» образу:

Окуляр смотрит на более крупный промежуточный образ, угловое увеличение растёт в \(a/(a-f)\) раз.

Угловое увеличение трубы задаёт отношение размера промежуточного образа к фокусу окуляра. Для бесконечности образ в фокальной плоскости объектива, \(h_\infty=\alpha f\), \(\Gamma_\infty=f/f_\text{ок}\). Для конечного \(a\): \(1/a+1/a'=1/f\), \(a'=af/(a-f)\). Образ дальше фокуса и крупнее: \(h/h_\infty=a'/f=a/(a-f)\). Окуляр смотрит на более крупный диск — увеличение растёт в \(a/(a-f)\) раз. Ньютон: \(x=a-f\), \(x'=f^2/x\), \(a'=f+x'=af/(a-f)\).

Числа. Предмет в \(a=10f\): множитель \(10/9\approx1{,}11\) — почти как на бесконечности. В \(a=5f\): уже \(5/4=1{,}25\). В \(a=2f\): удваивается. При \(a\to\infty\) множитель \(\to1\). При \(a\to f+\) образ уходит на бесконечность за объектив, труба «не умеет» смотреть так близко: окуляр некуда ставить. Два луча от краёв объекта через центр объектива пересекаются в плоскости \(a'\), не в \(F\).

Увеличили расстояние объектив–окуляр на \(l\). Если линзы тонкие, на столько же выросла оптическая длина тубуса \(\Delta\). Приращение увеличения

Теперь все размеры, включая радиусы линз, умножили на \(k\). По формуле тонкой линзы \(f\propto R\), оба фокуса стали \(kf_1\), \(kf_2\). Тубус тоже \(k\Delta\). Новое увеличение

Уменьшится в \(k\) раз. Расстояние ясного зрения \(25\) см — свойство глаза, его мы не масштабируем.

Школьная формула микроскопа \(\Gamma=(\Delta/f_1)(D/f_2)\), где \(\Delta\) — оптическая длина тубуса (между фокусами объектива и окуляра), \(D=25\) см — расстояние ясного зрения. Отодвинули окуляр на \(l\): \(\Delta\) выросла на \(l\), приращение \(\Delta\Gamma=l/f_1\cdot D/f_2=25l/(f_1 f_2)\). Объектив строит промежуточный образ по \(1/d+1/(\Delta+f_1)=1/f_1\); сдвиг тубуса почти линейно тянет \(\Gamma\). Два луча от концов препарата через центр объектива встречаются в плоскости промежуточного образа; окуляр работает как лупа из задачи 13.3.15.

Числа. Объектив \(f_1=4\) мм, окуляр \(f_2=25\) мм, \(\Delta=16\) см: \(\Gamma=40\cdot10=400\). Выдвинули тубус на \(l=2\) см: \(\Delta\Gamma=25\cdot2/(0{,}4\cdot2{,}5)=50\), стало \(\times450\). Если все размеры, включая радиусы линз, умножить на \(k\), то \(f\propto R\) и тубус \(\propto k\), но \(D=25\) см — свойство глаза, его мы не масштабируем. Новое \(\Gamma'=k\Delta/(kf_1)\cdot D/(kf_2)=\Gamma/k\): гигантская копия микроскопа слабее в \(k\) раз.

Непосредственно под лампой расстояние равно высоте, лучи падают по нормали:

Выше — норма уже не выполняется. Сбоку от «под лампой» ещё хуже: и расстояние больше, и \(\cos\theta<1\).

Определение люкса: 1 лк = 1 кд/м² на нормальную площадку. Поэтому \(E=I/h^2\) пишется без коэффициентов. Норма «не менее 100 лк» при \(I=100\) кд даёт \(h\le1\) м. Чуть в стороне \(E=I\cos^3\theta/h^2\) уже меньше: край стола не дотягивает до нормы, если лампу повесить ровно на пределе.

Почему именно квадрат высоты, а не, скажем, \(h\) или \(h^3\)? Изотропная лампа силы \(I=100\) кд гонит световой поток \(4\pi I\) на полную сферу. На расстоянии \(h\) эта сфера имеет площадь \(4\pi h^2\), и на каждый квадратный метр приходится \(I/h^2\) люмен — ровно определение освещённости. Норма \(E=100\) лк при \(I=100\) кд ставит нас на сферу радиуса 1 м: выше — поток «размазывается» сильнее, чем позволяет норма.

Числовой ориентир со школьной настольной лампой. Обычная лампа накаливания 60 Вт даёт около 700 лм, то есть среднюю силу света \(I\sim700/(4\pi)\approx55\) кд. Чтобы на тетради было те же 100 лк, её надо повесить не выше \(\sqrt{55/100}\approx0{,}74\) м — как раз высота нормального абажура. Если ту же сотню кандел поднять на 2 м, под ней останется всего 25 лк: читать можно, чертить тонкие линии — уже нет. Предел \(I\to0\) очевидно требует \(h\to0\): тусклый источник годится, только если его ткнуть носом в тетрадь.

Точечный источник на высоте \(h\). В точке с углом падения \(\theta\)

\(\cos30^\circ=\sqrt3/2\), \(\cos^3 30^\circ=3\sqrt3/8\approx0{,}650\), \(E_1=130\) лк.

\(\cos45^\circ=1/\sqrt2\), \(\cos^3 45^\circ=\sqrt2/4\approx0{,}354\), \(E_2=71\) лк.

\(\cos60^\circ=1/2\), \(\cos^3 60^\circ=1/8\), \(E_3=25\) лк.

Куб косинуса собирается из двух разных мест, и их полезно не сваливать в одну кучу. Расстояние до точки с углом \(\theta\) есть \(r=h/\cos\theta\), поэтому закон \(1/r^2\) уже даёт \(\cos^2\theta\). Плюс закон Ламберта: та же порция лучей падает на площадку, «растянутую» в \(1/\cos\theta\) раз, и ещё один \(\cos\theta\) приходит от проекции. Вместе \(E=E_0\cos^3\theta\). При \(E_0=200\) лк и \(\theta=60^\circ\) остаётся ровно восьмушка — 25 лк, как у ночника.

Оценим письменный стол. Лампа висит в 60 см над серединой, край стола в 60 см в сторону: \(\theta=45^\circ\), и там \(E\approx71\) лк против 200 лк под лампой. На \(30^\circ\) ещё терпимо (130 лк), на \(60^\circ\) уже «пещера». Предел \(\theta\to0\) возвращает все 200 лк; при \(\theta\to90^\circ\) косинус в кубе убивает свет быстрее любой экспоненты — скользящий луч почти не освещает, только рисует длинные тени.

Прямой свет, высота 2 м:

Изображение \(S'\) симметрично относительно вертикального зеркала: на 2 м правее \(S\), на той же высоте 2 м. До точки под \(S\) от \(S'\) расстояние \(\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\) м, луч идёт под \(45^\circ\) к нормали:

Сумма \(E\approx40{,}6\ \text{лк}\approx41\) лк.

Метод изображений здесь работает буквально как вторая лампа. Вертикальное зеркало в метре от \(S\) сажает фиктивный источник \(S'\) ещё на метр дальше, на той же высоте 2 м. До точки под настоящей лампой от \(S'\) гипотенуза \(2\sqrt2\) м, и луч идёт под \(45^\circ\). Сила света та же 120 кд (зеркало абсолютно отражающее), поэтому «зайчик» даёт \(120\cdot(\sqrt2/2)/8\approx10{,}6\) лк. Прямой вклад \(120/4=30\) лк, сумма \(\approx41\) лк.

Если зеркало отодвинуть на расстояние \(d\) от лампы, добавка станет \(120\cdot h/(h^2+4d^2)^{3/2}\). При \(d\to\infty\) она падает как \(1/d^3\) — и расстояние растёт, и наклон портится. При \(d=1\) м, как в условии, добавка — треть прямого света; при \(d=2\) м уже только \(\approx2{,}1\) лк, почти не чувствуется. Два зеркала в правом углу дали бы два изображения и ещё \(\sim10\) лк — но это уже другая задача.

Прямой свет: \(E_1=I/h^2\). Изображение в плоском зеркале — на \(x\) выше зеркала, то есть на \(h+2x\) над полом. Лучи от изображения тоже идут вертикально вниз:

Источник \(S\) на высоте \(h\), зеркало на \(x\) над лампой. Изображение \(S'\) лежит на высоте \(h+2x\). Под лампой складываются два вклада:

При \(x=0\) зеркало лежит на лампе — \(E=2I/h^2\). При \(x\to\infty\) изображение уходит, остаётся \(I/h^2\).

Физическая картинка простая, как два фонаря на одной вертикали. Настоящий \(S\) сидит на высоте \(h\) и светит вниз \(I/h^2\). Плоское зеркало на высоте \(x\) над ним порождает изображение на высоте \(h+2x\) — как лампочку, повешенную за потолком. Под источником оба луча идут по нормали, косинусов нет, остаётся сумма квадратов расстояний. Отсюда и числитель \(h^2+(h+2x)^2\): это просто \(r_1^2+r_2^2\) в общем знаменателе.

Полезно спросить: на сколько близко к лампе жать зеркало, чтобы добавка была хотя бы половиной прямого света? Нужно \(h+2x=h\sqrt2\), то есть \(x=h(\sqrt2-1)/2\approx0{,}21h\). Если \(h=2\) м, зеркало — в 40 см над лампой. Уже при \(x=h\) выигрыш всего \(1/9\approx11\%\): изображение уехало на \(3h\), и \(1/(3h)^2\) мало. Производная \(dE/dx=-4I/(h+2x)^3<0\) всегда — поднимать зеркало бессмысленно, только прижимать.

Сторона \(AB\) параллельна экрану, так что вышедший из \(AB\) пучок бьёт в экран под углом \(\delta\) к нормали. Освещённость площадки

Вдоль экрана картина такая. Слева и справа от «тени призмы» — исходная \(E_0\). В геометрической тени, куда преломлённый пучок не попал, \(E=0\). В полосе, куда сел преломлённый пучок, плато \(E_0\cos\delta\). На границах полосы — узкие всплески или провалы из-за дифракции на рёбрах; в геометрической оптике их нет.

Если \(\delta\) мало, \(\cos\delta\approx1\), и единственный видимый эффект — сдвиг светлой полосы и появление тени ширины порядка основания призмы.

Почему в полосе «зайчика» стоит именно \(\cos\delta\), а не, скажем, \(1/\cos\delta\)? Параллельный пучок несёт тот же поток \(\Phi\) на ту же ширину пучка. После клина он бьёт в экран под углом \(\delta=(n-1)\alpha\) к нормали, и тот же \(\Phi\) размазывается по площадке, растянутой в \(1/\cos\delta\). Освещённость — поток на площадь — падает как \(\cos\delta\). Для стекла \(n\approx1{,}5\) и призмы \(\alpha=10^\circ\approx0{,}17\) рад получим \(\delta\approx5^\circ\), \(\cos\delta\approx0{,}996\): глазом не отличишь от \(E_0\). Весь видимый эффект — тень ширины основания \(AB\) и сдвиг светлой полосы.

Предел \(\alpha\to0\): клина нет, \(\delta=0\), график вдоль экрана — ровная полка \(E_0\). При большом \(\alpha\) пучок уходит почти вдоль экрана, \(\cos\delta\to0\), «зайчик» тускнеет, а тень остаётся чёрной. Энергия никуда не делась: интеграл \(E\,dx\) по всему экрану равен потоку, упавшему на призму, плюс тому, что прошёл мимо неё. Дифракция на рёбрах размажет границы на \(\sim\lambda L/a\), но в геометрической оптике этих гребешков нет.

Пусть \(E_\odot\) — освещённость земной (и лунной) площадки Солнцем. Мощность, падающая на Луну, \(E_\odot\cdot\pi R^2\). «Во все стороны равномерно» для поверхности — в наружную полусферу \(2\pi\), сила света диска

Освещённость Земли полной Луной (Луна в зените, как и Солнце в условии):

В 80 000 раз.

Другой путь к тем же \(8\cdot10^4\). Солнечная освещённость Луны равна нашей дневной \(E_\odot\). Диск Луны перехватывает поток \(E_\odot\pi R^2\) и, по условию, отдаёт его в наружную полусферу. Сила света «лунной лампы» \(I=E_\odot R^2/2\). С Земли, \(L=4\cdot10^5\) км, при Луне в зените \(E_☽=I/L^2=E_\odot R^2/(2L^2)\). Подстановка \(R=2\cdot10^3\) км даёт \(2L^2/R^2=2\cdot(200)^2=8\cdot10^4\). Телесный угол лунного диска \(\pi R^2/L^2=\pi/4\cdot10^4\) — вот та малая доля неба, которой светит полная Луна.

Реальное отношение ближе к \(4\cdot10^5\), потому что альбедо Луны \(\approx0{,}12\), а не единица, и диск не идеальный ламбертов рассеиватель. Если бы мы зря отправили свет в полную сферу \(4\pi\), вышло бы 160 000 — того же порядка. Предел \(L\to\infty\) гасит лунную ночь как \(1/L^2\); при \(R\to0\) Луна перестаёт быть экраном. Серп вместо полнолуния умножает ответ на долю освещённой площади: в четверть Луны ночь темнее ещё в несколько раз.

Прямой проход: \(I(1-k)^2\). Один полный цикл двух отражений внутри и снова выход: ещё \(I(1-k)^2 k^2\). Два цикла — \(k^4\), и так далее:

Пучок \(I\) на первой грани: отражается \(kI\), проходит \((1-k)I\). Сумма вышедшего вперёд — геометрическая прогрессия со знаменателем \(k^2\):

Сумма прошедшего — ещё не всё. Можно так же сложить всё, что ушло назад, и проверить энергию. Первое отражение от передней грани даёт \(kI\). Дальше из пластины наружу (назад) выходит ещё \((1-k)^2 k I(1+k^2+\cdots)=k(1-k)I/(1+k)\). Итого отражённое \(I_r=I\cdot 2k/(1+k)\). Складываем с прошедшим \(I'=I(1-k)/(1+k)\): \(I'+I_r=I\). Поглощения нет, счёт сошёлся. Формула \((1-k)/(1+k)\) потому и выглядит «дробью из отражения», что прошедшее и отражённое делят единицу в отношении \((1-k):2k\).

Для оконного стекла \(k\approx0{,}04\), тогда \(I'\approx0{,}923\,I\) и назад уходит 7,7 %. Две такие пластины (двойной стеклопакет без просветления) умножают на \([(1-k)/(1+k)]^2\approx0{,}85\): уже заметная потеря. Предел \(k\to0\) — пластины как будто нет, \(I'=I\). Предел \(k\to1\) — обе грани зеркала, внутрь ничего не заходит, \(I'\to0\). Если бы поглощение внутри было \(\alpha\) на проход, в знаменателе прогрессии вместо \(k^2\) стояло бы \(k^2 e^{-2\alpha}\), и красивое сокращение \((1-k)\) сломалось бы.

Освещённость спутника Солнцем — та же \(E_\odot\), что у нас. Рассеянная мощность \(\sim E_\odot\pi R^2\), освещённость Земли с 300 км

Солнцеподобная звезда на расстоянии \(x\): \(E_*=E_\odot(R_\odot/x)^2\), удобнее через а.е.: \(E_*=E_\odot(\mathrm{а.е.}/x)^2\). Но проще сравнить с тем, что \(E_\odot=L_\odot/(4\pi\,\mathrm{а.е.}^2)\), и спутник даёт

Равенство \(E_\text{сп}=E_*\):

\(\mathrm{а.е.}=1{,}5\cdot10^{11}\) м, \(x\sim6\cdot10^{16}\) м \(\sim5\)–7 световых лет. Оценка книги: \(\sim5\) св. лет.

Соберём те же 5 световых лет из ватт, без астрономических единиц. Солнечная постоянная \(\approx1{,}4\) кВт/м², спутник радиуса 1 м перехватывает \(\sim1{,}4\cdot10^3\cdot\pi\approx4{,}4\) кВт. Рассеивая в полусферу, он даёт силу света \(\sim4{,}4\cdot10^3/(2\pi)\approx700\) Вт/ср. С \(L=300\) км \(=3\cdot10^5\) м освещённость у глаза \(E_\text{сп}\sim700/(3\cdot10^5)^2\approx8\cdot10^{-9}\) Вт/м². Солнцеподобная звезда светимости \(3{,}8\cdot10^{26}\) Вт на расстоянии \(x\) даёт \(E_*=3{,}8\cdot10^{26}/(4\pi x^2)\). Равенство даёт \(x\sim6\cdot10^{16}\) м \(\approx6{,}5\) св. лет — как в ответе.

Почему «рядовая» звезда, а не Сириус? Сириус в 20 раз ярче Солнца, и расстояние выросло бы в \(\sqrt{20}\approx4{,}5\) раза, до 25 св. лет. Предел \(R\to0\): спутник гаснет как \(R^2\), с 10 см его уже не спутаешь со звездой. Обратно, модуль МКС метров десять — в сто раз по площади, и он действительно спорит с Венерой. Расстояние 300 км выбрано не случайно: низкая орбита, спутник ещё не точка для бинокля, но для глаза уже точка.

Мощность локатора \(N\). У Венеры плотность потока \(N/(4\pi r^2)\). Планета перехватывает \(\sim\pi R^2\) и рассеивает примерно изотропно. Приёмник площади \(A\) на Земле получает

Спутник мощности \(N'\) даёт \(P_\text{сп}\sim N'A/r^2\). По условию \(P\) одинаковы:

\(R\) — радиус Венеры, \(r\) — расстояние Земля–Венера. Это \(\sim10^{-8}\): спутниковый ватт заменяет гигаватты радара.

Разница \(1/r^4\) против \(1/r^2\) — вся соль радиолокации. Локатор платит дважды: поток до Венеры падает как \(1/r^2\), планета перехватывает долю \(\sim R^2/r^2\) своего «неба», и эхо на обратном пути снова делится на \(4\pi r^2\). Спутник — это маяк: он сразу излучает \(N'\) в нашу сторону, и приёмник берёт только последнюю \(A/r^2\). При равном уровне на антенне \(N'/N\sim(R/r)^2\).

Числа. Радиус Венеры \(R\approx6050\) км, в нижнем соединении \(r\approx4\cdot10^7\) км, \((R/r)^2\approx2\cdot10^{-8}\). Киловатт на спутнике заменяет 50-мегаваттный радар. В верхнем соединении \(r\approx2{,}6\cdot10^8\) км, отношение падает ещё в 40 раз. Предел \(r\to R\) (приёмник на поверхности Венеры) даёт \(N'\sim N\): «туда-обратно» вырождается в один путь. Именно поэтому планетный радар — чудовище на сотни киловатт, а «передатчик на орбите» шепчет ваттами.

Пусть мощность излучателя \(N\), эффективная площадь машины \(\sim r^2\), площадь антенны \(A\). На пределе дальности инспектора

Водитель ловит прямой поток:

При \(P=P_\min\)

\(r\) — характерный размер автомобиля (метр). Если радар берёт машину с 300 м, антирадар пискнет уже с десятков километров.

Порог приёмника \(P_\min\) один и тот же — у инспектора и у водителя аппаратура одинаковая. Инспектору нужно эхо: излучатель \(N\) освещает машину площади \(\sim r^2\) с расстояния \(R\), та рассеивает, и назад на антенну \(A\) приходит \(NAr^2/R^4\). На пределе дальности это как раз \(P_\min\). Водитель ловит прямую волну \(NA/x^2\). Приравнивая, \(x\sim R^2/r\). Метр в знаменателе — размер машины, не расстояние: чем меньше цель, тем слабее эхо у полиции, тем дальше «слышит» антирадар при том же \(R\).

Пусть радар берёт легковушку (\(r\approx2\) м) с \(R=300\) м. Тогда \(x\sim300^2/2=45\) км. Рекламные «обнаружит за 3–5 км» скромнее из-за узкой диаграммы направленности: водитель ловит только боковой лепесток. Предел \(r\sim R\) (отражатель с человека в упор) даёт \(x\sim R\): прямая и обратная волны сравнимы, прятаться поздно. Размерность \(R^2/r\) — метры, как и должно быть у расстояния.

Из любой точки предмета в любую точку образа можно провести луч через оптический центр и через нижнюю половину. Поэтому изображение останется целым, того же размера и в том же месте. Исчезнут только лучи, шедшие через верх, — освещённость упадёт примерно вдвое.

Почему не ровно вдвое и не одинаково? Предмет конечного размера: из верхней точки в линзу смотрит конус, смещённый вверх, из нижней — вниз. Верхняя половина линзы забирает у верхней части стрелки-предмета чуть больше половины её лучей, у нижней — чуть меньше. Поэтому освещённость образа верхней части предмета упадёт несколько сильнее, чем в два раза, нижней — несколько слабее.

Искушение сказать «закрасили верх — пропадёт верх картинки» очень велико, и оно неверное. Изображение точки строится любым пучком, прошедшим линзу: достаточно нижней половины, чтобы из каждой точки предмета провести луч через оптический центр и ещё один — через открытый край. Поэтому стрелка на экране останется целой, того же размера и в том же месте. Исчезнут только лучи верхней полулинзы, и поток упадёт примерно вдвое.

Почему «примерно» и почему верх предмета темнеет сильнее низа? Предмет конечный. Из верхней точки стрелки конус лучей, идущих в линзу, смещён вверх: верхняя половина забирала у этой точки больше половины света. Из нижней точки — наоборот. Поэтому освещённость образа «головы» стрелки падает чуть больше чем в 2 раза, «ног» — чуть меньше. Для точечного предмета на оси деление ровно пополам, асимметрия исчезает. Закройте пол-очков пальцем: мир не обрежется, только потемнеет — та же оптика.

Плоско-выпуклая: \(1/f=(n-1)/R\). Разрезали по диаметру и сложили плоскими гранями — получилась двояковыпуклая с теми же \(R\),

Две полулинзы, сложенные плашмя, в плане дают полукруг: световая площадь \(S'=S/2\). Изображение Солнца имеет площадь \(\propto (f\alpha)^2\), поэтому

Освещённость вырастет в два раза. (Само пятно станет вчетверо меньше площадью и соберёт вдвое меньше света.)

Освещённость солнечного пятна \(E\propto S/f^2\) собирается из двух кусков. Мощность, пойманная линзой, \(\Phi\propto S\). Угловой размер Солнца \(\alpha\approx32'\) один и тот же, линейный размер образа \(f\alpha\), площадь пятна \(\propto f^2\). После склейки плоскими гранями линза стала двояковыпуклой: \(1/f'=(n-1)(1/R+1/R)=2/f\), то есть \(f'=f/2\), пятно вчетверо меньше. Но в плане две половины перекрываются — световая площадь \(S'=S/2\), мощности вдвое меньше. Итого \(E'/E=(1/2)/(1/4)=2\).

Если бы половины поставили рядом, не перекрывая, \(S\) сохранилась бы и выигрыш был бы четырёхкратный. Предел \(n\to1\): обе линзы, и целая, и склеенная, перестают собирать (\(f\to\infty\)), отношение формально держится, но сами \(E,E'\to0\). Энергия не появляется из ниоткуда: пятно вчетверо меньше площадью и собрало вдвое меньше света — плотность удвоилась, интеграл упал.

Расстояние от фокуса до зеркала \(R/2\). Сила света источника \(I\). На элемент зеркала падает поток \(d\Phi=I\,d\Omega=I\,dA/(R/2)^2\) (параксиально, \(h\ll R\)). После отражения тот же поток идёт параллельным пучком того же сечения \(dA\), поэтому освещённость «зеркальной» стороны

Правая сторона видит источник на расстоянии \(\approx l\) (по условию \(h\ll l\)):

Если зеркало слева, левая грань — зеркальная. Отношение, записанное в ответах, соответствует сторонам «к источнику / к зеркалу» в книжной фигуре:

(Прямой свет \(\propto1/l^2\), отражённый \(\propto4/R^2\); какая грань «левая», читается с рисунка в задачнике.)

Почему отражённый пучок однороден и равен \(4I/R^2\)? Источник \(S\) сидит в фокусе, на расстоянии \(R/2\) от зеркала. На пятачок зеркала площади \(dA\) падает поток \(I\,dA/(R/2)^2=4I\,dA/R^2\). После отражения тот же поток идёт параллельно оси тем же сечением \(dA\) — значит освещённость «трубы» параллельных лучей в точности \(4I/R^2\) и не зависит от того, где по оси стоит пластинка. Правая сторона видит сам \(S\) с расстояния \(\approx l\) (раз \(h\ll l\)), и там обычное \(I/l^2\).

Отношение «к источнику / к зеркалу» есть \((R/2l)^2\). При \(l=R/2\) (пластинка у полюса) оно порядка единицы: прямой и отражённый вклады сравнимы. При \(l\ll R/2\) прямой свет бьёт в упор, а зеркальный «размазан» по сечению трубы — прямая сторона ярче. \(h\) из ответа выпал: в параксиали пучок однороден по сечению, высота пластинки над осью не важна, лишь бы \(h\ll R,l\). Если \(h\) сравним с \(l\), появится ещё \(\cos\theta\) на наклон правой грани.

Линза в \(x\) от \(S\), экран в \(a-x\) от линзы. Образ: \(v=xf/(x-f)\). На экране конус «линза \(\to\) образ» даёт пятно с коэффициентом \(|1-(a-x)/v|\). Поток через линзу \(I\cdot\pi R^2/x^2\), откуда освещённость в центре (точка \(A\) на оси)

Но \(E_0=I/a^2\), поэтому

Знаменатель: \(xf-(a-x)(x-f)=x^2-ax+af\). Парабола с ветвями вверх, минимум при \(x=a/2\). Дискриминант \(a^2-4af=a(a-4f)<0\): нуля нет, образ на экран не садится. Значит \(E\) максимальна при \(x=a/2\).

Условие \(a<4f\) — это запрет на формулу Бесселя. Два положения линзы, дающие резкий образ на фиксированном отрезке \(a\), существуют только при \(a\ge4f\). Знаменатель освещённости \(x^2-ax+af\) — парабола, минимум при \(x=a/2\) равен \(af-a^2/4=a(f-a/4)\). При \(a<4f\) этот минимум строго положителен: образ на экран не садится никогда, пятно рассеяния не стягивается в точку, \(E\) остаётся конечной. Самое узкое пятно — и самый яркий центр — как раз когда линза посередине.

Во сколько раз выигрываем в максимуме? \(E_\max/E_0=f^2/(f-a/4)^2\). Для \(a=2f\) это ровно 4: линза посередине делает точку \(A\) вчетверо ярче, чем без неё. При \(x\to0\) или \(x\to a\) линза «в источнике» или «на экране», формула даёт \(E\to E_0=I/a^2\) — линза перестаёт работать как линза. При \(a=4f\) минимум знаменателя нулевой, и в идеале \(E\to\infty\): это как раз совпадение \(d=d'=2f\).

Поток в объектив \(\Phi\propto D^2/L^2\). Площадь пятна Эйри \(\propto(f/D)^2\), но отношение \(\Phi/S_\text{пятна}\) после сокращения фокуса (яркость в фокальной плоскости)

Порог: \(D_0^4/L_0^2=D^4/L^2\), откуда

Именно четвёртая степень, а не вторая: мало того что света больше, так ещё и пятно мельче.

Четвёртая степень диаметра — не жадность формулы, а два разных эффекта сразу. Объектив площади \(\propto D^2\) с расстояния \(L\) собирает поток \(\propto D^2/L^2\). Дифракционный диск Эйри имеет угловой радиус \(\sim\lambda/D\), линейный \(\sim\lambda f/D\), площадь \(\propto1/D^2\). Освещённость пятна — поток на эту площадь — растёт как \(D^4/L^2\). Порог «заметить звезду» есть одна и та же освещённость пятна на фоне, откуда \(L\propto D^2\). Телескоп вдвое шире видит вчетверо дальше.

Если бы мешала только нехватка фотонов (небо идеально чёрное), хватило бы \(L\propto D\). Днём и в сумерках фон протяжённого неба оптика не усиливает (теорема о яркости), а звезду усиливает и сбором, и концентрацией — итого \(D^2\). Число: искатель 5 см и любительский 20 см, отношение диаметров 4, дальность 16. Тусклую переменную, едва видную в искатель с \(L_0\), большой инструмент возьмёт с \(16L_0\). Для протяжённой туманности поверхностная яркость не растёт, и эта роскошь пропадает.

Яркость Солнца превзойти нельзя: в лучшем случае изображение столь же ярко, как сам диск. «Сжечь корабль» — это про освещённость (Вт/м²), а не про яркость (Вт/(м²·ср)).

Вогнутое зеркало, \(f=R/2\). Из фокуса зеркало видно под телесным углом \(\Omega=\pi(D/2)^2/f^2=\pi D^2/R^2\). Освещённость изображения

Это максимум: больше телесный угол не сделать, не выйдя за апертуру.

Яркость \(B\) — это ватты с квадратного метра источника в единицу телесного угла. Линза и зеркало не создают энергии и не сжимают фазовый объём пучка (инвариант Лагранжа–Гельмгольца, теорема о яркости). Поэтому изображение Солнца не может быть ярче самого Солнца: в лучшем случае \(B_\text{обр}=B\). «Сжечь корабль» — это про освещённость \(E=B\Omega\), то есть про то, под каким телесным углом из пятна видно зеркало, а не про то, чтобы сделать пятно «горячее Солнца по яркости».

У вогнутого зеркала \(f=R/2\), из фокуса апертура \(D\) видна под \(\Omega=\pi(D/2)^2/f^2=\pi D^2/R^2\). Отсюда \(E_\text{макс}=B\pi D^2/R^2\). Число: \(D=1\) м, \(R=2\) м, \(\Omega\approx0{,}8\) ср. У ламбертова Солнца \(B=\sigma T_\odot^4/\pi\approx2\cdot10^7\) Вт/(м²·ср), и в фокусе \(\sim1{,}6\cdot10^7\) Вт/м² — десять тысяч «солнц» по освещённости, но яркость пятна всё равно солнечная. Предел \(D/R\to0\) гасит \(E\); если зеркало закрывает полнеба, \(\Omega\sim2\pi\) и \(E\sim2\sigma T_\odot^4\) — порядок температуры Солнца, не выше.

Теплота парообразования \(L\approx2{,}26\cdot10^6\) Дж/кг, для 100 г

За \(t=60\) с нужна мощность \(P=Q/t=3{,}77\cdot10^3\) Вт. Поток \(0{,}14\) Вт/см² \(=1{,}4\cdot10^3\) Вт/м²:

«Выкипела» в задаче значит: вода уже у кипения, греть от комнатной не надо, нужна только теплота парообразования \(L=2{,}26\) МДж/кг. На 100 г это \(Q=226\) кДж, за минуту — мощность 3,77 кВт. Солнечный поток у земли 0,14 Вт/см² \(=1{,}4\) кВт/м², откуда площадь зеркала \(S=3{,}77/1{,}4\approx2{,}7\) м² и диаметр \(D\approx1{,}85\) м. Зеркало-полтора метра на дворе и правда вскипятит кружку «в фокусе» за минуту, если не дует.

Если честно греть ещё и от \(20^\circ\)C до \(100^\circ\)C, добавится \(mc\Delta T=33\) кДж (\(\approx15\%\)), диаметр вырастет до \(\approx2{,}0\) м — того же порядка. Потери: чёрный сосуд при \(100^\circ\)C излучает \(\sigma T^4\approx1{,}1\) кВт/м²; на кастрюльке 10 см это \(\sim30\) Вт против 3,8 кВт зеркала, ими задача и велит пренебречь. Предел \(t\to\infty\): достаточно крошечного зеркальца, \(D\propto1/\sqrt t\). При \(t=2\) мин хватит \(D\approx1{,}3\) м.

Яркость Солнца \(B=\sigma T_\odot^4/\pi\), \(T_\odot\approx6\cdot10^3\) К. Один щит с корабля виден под \(\Omega=\pi(d/2)^2/x^2\). Если в щите видно Солнце (луч направлен верно), освещённость от одного щита

\(N\) щитов: \(E=N E_1\). Для температуры \(T\) нужно \(E\sim\sigma T^4\):

Каждый щит диаметра \(d=1\) м с корабля на \(x=500\) м виден под телесным углом \(\Omega=\pi(d/2)^2/x^2\). Если в щите видно Солнце (луч наведён), щит светит яркостью Солнца \(B=\sigma T_\odot^4/\pi\), и один даёт освещённость \(E_1=\sigma T_\odot^4\cdot d^2/(4x^2)\). Дереву, чтобы загореться при \(T\approx1000\) К, нужен поток порядка \(\sigma T^4\). Делим: \(N\sim(4x^2/d^2)(T/T_\odot)^4\). Подстановка \(T_\odot\approx6000\) К даёт \((1/6)^4=1/1296\) и \(4\cdot500^2=10^6\), откуда \(N\approx770\).

Семьсот полированных щитов по метру — целая когорта на стенке гавани. Легенда на грани: реальное дерево загорается скорее от длительных \(500^\circ\)C, плюс качка и ветер. Если взять \(T=600\) К, \(N\) упадёт в \((1000/600)^4\approx8\) раз, до сотни щитов. Предел \(x\to0\): хватит одного зеркала в упор. При \(T=T_\odot\) формула требует закрыть четверть сферы — ровно тот потолок яркости, что в задаче 13.4.16. Угловой размер щита \(d/x=0{,}002\) рад меньше солнечного диска (\(0{,}009\)): в щите виден кусок Солнца, не целое, но \(E=B\Omega_\text{щита}\) от этого не меняется.

Без линзы точка под отверстием диаметра \(D\) на глубине 1 м видит дырку под углом \(\Omega=\pi(D/2)^2/1^2\), освещённость \(E=B\Omega\).

С линзой \(f=1\) м дно — фокальная плоскость: каждая её точка соответствует направлению на небе. Освещённость изображения протяжённого источника \(E=B\cdot\Omega_\text{линзы}\), а оправа линзы — то же отверстие. \(\Omega\) тот же, \(E\) та же.

Это общее правило: яркость облаков линза не увеличит (см. 13.4.16), дырка одна и та же — освещённость не меняется.

Пасмурное небо — поверхность почти постоянной яркости \(B\). Освещённость точки на дне есть \(B\), умноженная на телесный угол «окна». Без линзы дырка диаметра \(D\) на глубине 1 м даёт \(\Omega=\pi(D/2)^2\). С линзой в 1 дптр дно попадает в фокальную плоскость: каждая точка дна соответствует направлению на небе, и освещённость изображения протяжённого источника снова \(E=B\cdot\Omega_\text{линзы}\). Оправа — то же отверстие, \(\Omega\) тот же, \(E\) та же. Яркость облаков линза не поднимает (см. 13.4.16).

Число: дырка 10 см, \(\Omega\approx8\cdot10^{-3}\) ср; типичная яркость сплошной облачности \(B\sim3\cdot10^3\) кд/м² даёт \(E\sim24\) лк — тусклая комната. Если бы небо было пятнистым, линза нарисовала бы на дне картину облаков, а дырка оставила бы размытое пятно: вот тогда освещённость под центром изменилась бы. Равномерная пелена специально убивает эту разницу. Предел \(D\to0\): оба варианта стремятся к нулю одинаково, как \(\Omega\).

Днём небосвод сам по себе ярче звёзд: глаз без трубы звезду топит в фоне. Объектив диаметра \(D\) собирает с звезды в \( (D/d_\text{зрачка})^2 \) раз больше фотонов и сажает их в одно дифракционное пятно (или в кружок рассеяния глаза). Яркость протяжённого неба в фокальной плоскости та же \(B\) (теорема о яркости). Поэтому на фоне того же неба звезда становится в сотни раз заметнее — и яркие (Вега, Арктур, даже Полярная в хороший инструмент) видны днём.

Днём небосвод сам по себе ярче звёзд: глаз без трубы топит Вегу в фоне. Звезда — точка, небо — протяжённый источник. Объектив диаметра \(D\) собирает с звезды в \((D/d_\text{зрачка})^2\) раз больше фотонов и сажает их в одно дифракционное пятно. Яркость протяжённого неба в фокальной плоскости та же \(B\) (теорема о яркости снова). Контраст «звезда/небо» растёт как \(D^2\), и яркие звёзды (Вега, Арктур, даже Полярная в хороший инструмент) проступают днём.

Зрачок 4 мм, рефрактор 80 мм: выигрыш в потоке от звезды в 400 раз, это \(6{,}5\) звёздной величины. Звезда 1-й величины становится как минус пятая — уже не спрячется. Венера и Юпитер иногда видны днём даже без трубы, им этой надбавки не нужно. Предел \(D\to d_\text{зрачка}\): телескоп вырождается в глаз, и днём снова пусто. Ночное преимущество предельной величины \(\propto5\lg D\) — та же физика, только фон темнее.

При \(d=3f\): \(1/(3f)+1/v=1/f\), \(v_1=3f/2\).

При \(d=5f\): \(v_2=5f/4\).

Одинаковая \(E\) значит \(D/v=\mathrm{const}\),

Во втором случае диафрагму надо чуть прикрыть: образ ближе к линзе, тот же зрачок светит «жарче».

Освещённость изображения \(E\propto (d/b)^2\), \(b=af/(a-f)\). При \(a=3f\) имеем \(b=1{,}5f\); при \(a=5f\) имеем \(b=1{,}25f\). Чтобы \(E\) совпали, \(d_2/d_1=b_2/b_1=5/6\).

Освещённость кадра протяжённого жука определяется тем, под каким углом из образа видна диафрагма: \(E\propto(d/v)^2\). Формула тонкой линзы при \(a=3f\) даёт \(v_1=3f/2\), при \(a=5f\) — \(v_2=5f/4\). Чтобы \(E\) совпали, отношение диаметров должно повторить отношение \(v\): \(d_2/d_1=5/6\). Во втором кадре аппарат дальше, увеличение меньше (\(m_2=1/4\) против \(m_1=1/2\)), образ сидит ближе к линзе и при той же дырке был бы ярче — поэтому диафрагму чуть прикрываем.

Та же история на языке относительного отверстия. \(E\propto\bigl(d/f\bigr)^2/(1+m)^2\), и \((1+m_2)/(1+m_1)=(5/4)/(3/2)=5/6\). Макрофотографы знают обратное: чем крупнее план, тем больше надо открывать дырку (или удлинять выдержку). У нас второй план мельче, дырку закрываем. Число: если в первом кадре стояло \(d_1=30\) мм, во втором нужно 25 мм. Предел обоих съёмок «с бесконечности» (\(a\to\infty\), \(v\to f\)) вернул бы \(d_2=d_1\).

Увеличение \(k=v/u\), формула линзы даёт \(v=f(1+k)\) (для действительного образа). При той же диафрагме

Чтобы экспозиция \(E\cdot t\) не изменилась,

Выдержка \(t\propto 1/E_\text{плёнки}\). Освещённость плёнки \(E\propto 1/(1+k)^2\) при фиксированной диафрагме: \(b=f(1+k)\), площадь кадра растёт как \((k+1)^2\). Отсюда \(t_1/t_2=[(k_1+1)/(k_2+1)]^2\).

Чертёж — протяжённый предмет одной и той же яркости, диафрагма фиксирована. Освещённость плёнки падает как \(1/v^2\), а сопряжённое расстояние \(v=f(1+|k|)\), где \(k=v/u\) — линейное увеличение. Выдержка, чтобы набрать ту же экспозицию \(E\cdot t\), обязана расти как \((1+k)^2\). Отсюда \(t_1=t_2[(k_1+1)/(k_2+1)]^2\). Множитель \((1+k)^2\) фотографы называют поправкой на растяжение меха: кадр расползается, те же люмены мажутся по большей площади.

При съёмке «с бесконечности» \(k\to0\) и \(t\) выходит на обычную выдержку. Макро \(k=1\) (масштаб 1:1) требует вчетверо более длинной выдержки, чем бесконечность, — знаменитые два стопа за макрокольца. При \(k=2\) уже девять раз. Если \(k_1=k_2\), разумеется \(t_1=t_2\). Размерность сходится: отношение увеличений безразмерно, секунды остаются секундами. Запас на reciprocity failure у плёнки задача не просит.

\(I/I_0=0{,}90=e^{-n\pi r^2 L}\). Для малых потерь \(-\ln0{,}90\approx0{,}105\approx0{,}1\), поэтому

Каждая капля сечением \(\pi r^2\) выбивает из пучка долю площади. На длине \(L\) оптическая толщина \(\tau=n\pi r^2 L\). Ослабление на 10 % значит \(e^{-\tau}\approx0{,}90\), \(\tau\approx0{,}1\), откуда \(n\approx(10\pi r^2 L)^{-1}\).

Капля радиуса \(r\) для видимого света — чёрный диск: параметр дифракции \(2\pi r/\lambda\gg1\), сечение \(\sigma\sim\pi r^2\). Закон Бугера \(I=I_0 e^{-n\sigma L}\) на дистанции \(L\) до маяка даёт \(0{,}90=e^{-n\pi r^2 L}\). Логарифм \(-\ln0{,}90\approx0{,}105\), с хорошей точностью 0,1, и \(n\approx1/(10\pi r^2 L)\). Оптическая толща \(\tau\approx0{,}1\) — это ещё не «не видно маяка», а лёгкая дымка: средняя длина пробега \(1/(n\sigma)\approx10L\).

Капля 10 мкм, маяк в километре: \(n\sim1/(10\pi\cdot10^{-10}\cdot10^3)\sim3\cdot10^5\) м⁻³ — сотни капель в литре, типичный очень лёгкий туман. Формула Кошмидера для метеорологической дальности видимости \(V\sim3{,}9/(n\sigma)\) при наших 10 % на \(L\) как раз даёт \(V\sim40L\): «чуть дымка», не мгла. Предел \(r\to0\) ломает модель: когда капля много меньше \(\lambda\), сечение становится релеевским \(\propto r^6/\lambda^4\), и ответ \(1/r^2\) больше не работает.

Оптическая толща \(n\pi r^2 L_\text{вид}\approx\mathrm{const}\) (одна и та же «едва видно»). Число частиц \(n=\rho/(\frac43\pi r^3\gamma)\), откуда

В книге стоит 0,2 г/м³ — лишний порядок, скорее опечатка: отношение радиусов 2 и видимостей 2,5 даёт множитель 5, \(0{,}004\cdot5=0{,}02\).

Видимость \(L_\text{вид}\) — длина, на которой \(n\cdot\pi r^2 L\) порядка единицы (одна и та же «едва видно»). Масса в кубометре \(\rho=n\cdot\frac43\pi r^3\gamma\), поэтому \(\rho\propto r/L_\text{вид}\): крупнее частица — больше массы на ту же тень, короче видимость — ещё больше массы. От первого замера (\(r=5\) мкм, \(L=50\) м, \(\rho=0{,}004\) г/м³) ко второму (\(r=10\) мкм, \(L=20\) м) множитель \(2\cdot2{,}5=5\), и \(\rho_2=0{,}02\) г/м³. В книге 0,2 — лишний порядок, опечатка: отношение радиусов 2 и видимостей 2,5 дают пять, не пятьдесят.

Почему крупный дым «менее выгодный» завесчик? Площадь перекрытия \(\propto r^2\), масса \(\propto r^3\), грамм крупной сажи кидает меньше тени. Чтобы ещё и видимость урезать с 50 до 20 м, массы нужно в 2,5 раза больше — итого \(\times5\). 20 мг на куб — густой дым, в нём и правда ничего не видно на 20 метрах. Предел \(r\to0\) при фиксированной \(\rho\) улучшает завесу (больше площади на грамм), пока не упрёмся в Рэлей.

Диаметр пятна \(\alpha L=10^{-4}L\): на 5 км — 0,5 м, на 10 км — 1 м, на 20 км — 2 м. Линза 1 м на первых двух дистанциях забирает весь пучок. Значит двукратное падение с 5 до 10 км — чистое поглощение на 5 км:

С 10 до 20 км поглощение на 10 км даёт \((1/2)^2=1/4\). Плюс геометрия: пятно 2 м, линза ловит долю \((1/2)^2=1/4\) мощности. Вместе \(1/16\).

В книге «в восемь раз»: видимо, геометрию взяли по диаметру, не по площади (\(1/2\)), тогда \(1/4\cdot1/2=1/8\). Аккуратный энергетический счёт — площадь, в 16 раз. Ниже даём книжный ответ, как просили.

Два эффекта живут отдельно, и их нельзя сваливать. Диаметр конуса \(\alpha L=10^{-4}L\): на 5 км пятно 0,5 м, на 10 км — ровно 1 м, на 20 км — 2 м. Линза приёмника тоже 1 м, поэтому до 10 км она глотает весь луч. Двукратное падение сигнала с 5 до 10 км — чистое поглощение атмосферы на 5 км: \(e^{-\kappa\cdot5\text{ км}}=1/2\). Значит, на следующих 10 км поглощение даст \((1/2)^2=1/4\).

С 10 до 20 км включается геометрия: пятно вдвое шире линзы, доля пойманной мощности \((1/2)^2=1/4\) по площади. Вместе \(1/16\). Книга пишет «в восемь раз» — видимо, геометрию взяли по диаметру, не по площади. Аккуратный энергетический счёт — площадь. Если бы линза всегда была «точкой» внутри пятна, уже с 5 до 10 сигнал упал бы в \(4\cdot2=8\) раз из-за \(1/L^2\), а не в 2: условие как раз доказывает, что до 10 км пятно не больше линзы. Без поглощения 10→20 дало бы только геометрическую четверть.

Длина волны \(\lambda=5\cdot10^{-5}\) см, частота \(\nu=c/\lambda=3\cdot10^{10}/5\cdot10^{-5}=6\cdot10^{14}\) Гц. Энергия фотона

Площадь кадра \(A=100\) см² \(=10^{-2}\) м², выдержка \(t=10^{-9}\) с. Если на снимке \(N\) пятен,

По рисункам в задачнике (и по типичной «зернистой» шкале) на первом кадре порядка двух десятков точек, на втором — сотни, на третьем — около тысячи:

Соберём энергию фотона ещё раз через \(hc/\lambda\), без промежуточной частоты. \(\lambda=5\cdot10^{-5}\) см \(=500\) нм — зелёный свет, \(hc\approx1240\) эВ·нм, \(\varepsilon=2{,}48\) эВ \(=4\cdot10^{-19}\) Дж, как и через \(h\nu\). Кадр \(10\times10\) см за выдержку \(t=10^{-9}\) с при \(N\) пятнах даёт освещённость \(E=N\varepsilon/(At)=4\cdot10^{-8}\,N\) Вт/м². Двадцать пять зёрен — микроватт на квадратный метр: глазу это тьма, плёнке в задаче — уже картинка, потому что «каждый фотон оставляет пятно».

Почему выдержка такая короткая? Если бы затвор стоял \(10^{-2}\) с, как у обычного фотоаппарата, те же 25 фотонов размазались бы по времени в \(10^7\) раз, и \(E\) упала бы до \(10^{-13}\) Вт/м² — ещё абсурднее как «освещённость сцены», но число зёрен на кадре не изменилось бы. Квантовая природа здесь буквальна: изображение собирается по штукам. Глазу, чтобы «увидеть» вспышку, нужно порядка сотни фотонов на палочку; весь первый кадр как раз этого порядка.

Самые быстрые электроны имеют \(K_\max=h\nu-W\). Вторая пластина заряжена отрицательно (относительно заземлённой первой): она тормозит вылетевшие электроны. Ток падает до нуля, когда

На графике \(V_0\) — то напряжение, где кривая \(I(V)\) упирается в ось (ток исчезает). Отсюда

Правее, при ускоряющем поле, ток выходит на плато: все выбитые электроны долетают до коллектора, и дальше поднимать \(V\) бесполезно.

Заземление первой пластины фиксирует её потенциал: выбитые электроны не заряжают эмиттер, и тормозящее поле задаётся только напряжением на второй пластине. Поэтому \(V_0\) с графика сразу даёт работу выхода, без поправки на контактную разность.

Уравнение Эйнштейна \(h\nu=W+K_\max\) читается так: фотон целиком отдал энергию одному электрону, \(W\) ушло на выход из металла, остаток — кинетика. Задерживающее \(V_0\) на второй пластине тормозит самые быстрые, и ток обрывается при \(eV_0=K_\max\). Отсюда \(W=h\nu-eV_0\), и \(V_0\) прямо снимается с графика — там, где \(I(V)\) упирается в ось. Правее, в ускоряющем поле, ток выходит на плато: все выбитые электроны долетают, поднимать \(V\) дальше бесполезно.

Число. Натрий, \(W=2{,}3\) эВ; ультрафиолет \(\nu=10^{15}\) Гц даёт \(h\nu\approx4{,}1\) эВ, и \(V_0\approx1{,}8\) В — типичная клетка на учебном графике. Если \(\nu\) опустить ниже красной границы \(\nu_0=W/h\), кинетики нет вовсе, ток нулевой при любом \(V\), задерживающего потенциала не существует. Знак: \(V_0\) берём модулем, пластина-коллектор отрицательна относительно заземлённого эмиттера.

Фотон несёт импульс \(\varepsilon/c\). Два фотона с равными \(\varepsilon\), разлетевшиеся на \(180^\circ\), дают \(\vec p_\text{сум}=0\). До аннигиляции суммарный импульс пары тоже ноль: \(\vec v_{e^+}=-\vec v_{e^-}\).

Энергия каждого фотона тогда равна энергии одной частицы в СЦМ: \(\varepsilon=\gamma mc^2\). Чем быстрее пара, тем больше \(\varepsilon\). Книга спрашивает характерную (и одновременно нижнюю) частоту — аннигиляцию практически покоящихся частиц, \(\gamma=1\):

Это линия 511 кэВ, по которой ищут позитроны в галактике. Если у пары есть кинетическая энергия при нулевом суммарном импульсе, частота только выше — так что \(1{,}24\cdot10^{20}\) Гц есть частота «покоящейся» аннигиляции, которую в ответах называют максимальной для «таких» (равных и встречных, без лишней кинетики) квантов.

Почему обязательно два кванта, а не один? У одиночного фотона \(p=\varepsilon/c\), у покоящейся пары \(e^+e^-\) суммарный импульс ноль. Один квант не может унести энергию \(2mc^2\) и одновременно иметь нулевой импульс. Два одинаковых, разлетевшихся на \(180^\circ\), дают \(\vec p_\text{сум}=0\) автоматически. Значит, в лабораторной системе центр масс пары тоже покоился: \(\vec v_{e^+}=-\vec v_{e^-}\). Энергия каждого кванта тогда равна энергии одной частицы, и минимум — это покой: \(\varepsilon=mc^2=511\) кэВ, \(\nu=mc^2/h=1{,}24\cdot10^{20}\) Гц.

Это линия 511 кэВ, по которой ищут позитроны в галактике и на которой работает ПЭТ-томограф. Длина волны \(c/\nu=h/(mc)=2{,}4\) пм — комптоновская длина электрона. Если у пары есть кинетическая энергия при нулевом суммарном импульсе, частота только выше, так что \(1{,}24\cdot10^{20}\) Гц — нижняя (и одновременно характерная) частота «равных и встречных» квантов. Три фотона — реже, и только при наличии третьего тела, которое заберёт импульс.

а. Фотоны на одной прямой в разные стороны. Импульс мезона \(p=(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/c\) (в сторону более энергичного), энергия \(E=\varepsilon_1+\varepsilon_2\). Тогда

б. Поперечные импульсы равны: \(\varepsilon_1\sin\theta_1=\varepsilon_2\sin\theta_2\). Продольный импульс \(p=(\varepsilon_1\cos\theta_1+\varepsilon_2\cos\theta_2)/c\), \(E=\varepsilon_1+\varepsilon_2\). Исключая \(\varepsilon_{1,2}\):

Скорость любой частицы есть \(v=pc^2/E\). У распавшегося мезона импульс и энергия целиком сидят в двух фотонах. В пункте «а» они на одной прямой врозь, поэтому \(p=(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/c\) в сторону более энергичного, \(E=\varepsilon_1+\varepsilon_2\), и \(v=c(\varepsilon_1-\varepsilon_2)/(\varepsilon_1+\varepsilon_2)\). Если \(\varepsilon_1=\varepsilon_2\), мезон покоился. Если \(\varepsilon_2\to0\), \(v\to c\): почти вся энергия улетела вперёд, это ультрарелятивистский распад.

В пункте «б» поперечные импульсы сокращаются, \(\varepsilon_1\sin\theta_1=\varepsilon_2\sin\theta_2\), и после исключения энергий остаётся \(v=c\sin(\theta_1+\theta_2)/(\sin\theta_1+\sin\theta_2)\). Симметричная вилка \(\theta_1=\theta_2=\theta\) даёт \(v=c\cos\theta\): чем острее угол разлёта, тем быстрее летела частица. Предел \(\theta\to90^\circ\) возвращает покой. Нейтральный пион, \(m_{\pi^0}c^2=135\) МэВ, в своей системе испускает два кванта по 67,5 МэВ; вся асимметрия \(\varepsilon_1\neq\varepsilon_2\) в лаборатории — это чистый буст.

а. \(\lambda'-\lambda=(h/(mc))(1-\cos\theta)\). Слева \(\Delta\lambda\approx c\Delta\nu/\nu^2\) (частота упала, длина волны выросла):

б. Для электрона то же с \(m_e\). Условие \(h\nu\ll m_ec^2\) как раз и есть \(\Delta\nu\ll\nu\) (сдвиг мал). Тогда

В книге набрано \(\nu'\) вместо \(\nu^2\) — опечатка набора.

Формула Комптона живёт в длинах волн, \(\Delta\lambda=(h/mc)(1-\cos\theta)\), потому что именно \(\lambda\) сдвигается на константу, не зависящую от исходной энергии. Частота связана \(\lambda=c/\nu\), и при малом сдвиге \(d\lambda=-c\,d\nu/\nu^2\). Частота упала на \(\Delta\nu\), длина волны выросла на \(c\Delta\nu/\nu^2\). Приравнивая, получаем массу мишени \(m=h\nu^2(1-\cos\theta)/(c^2\Delta\nu)\). Чем тяжелее частица, тем меньше она отбирает у кванта, тем крошечнее \(\Delta\nu\) — тяжёлое ядро почти не отдаёт отдачи.

Пункт «б» — тот же Комптон на электроне при \(h\nu\ll m_ec^2=511\) кэВ. Тогда \(\Delta\nu\ll\nu\) автоматически, и \(\Delta\nu=(h\nu^2/m_ec^2)(1-\cos\theta)\). В книге набрано \(\nu'\) вместо \(\nu^2\) — опечатка. При \(\theta=0\) сдвига нет: фотон «не задел». При \(\theta=180^\circ\) множитель максимален и равен 2. Для видимого света \(\lambda\sim5000\) Å комптоновская длина электрона 0,024 Å даёт \(\Delta\lambda/\lambda\sim10^{-5}\): частота почти не меняется, как и требует \(h\nu\ll mc^2\).

Вперёд (данная частота \(\nu\)):

Из импульса \(\Delta v=h\nu/(mc)\). Подставляем в энергию (без \((\Delta v)^2\)):

Назад (искомая \(\nu'\)):

Аналогично \(\varepsilon=-h\nu'(1+v/c)\). Приравниваем два выражения для \(\varepsilon\):

б. Поперечный фотон не меняет продольный импульс; изменение кинетики — второго порядка малости. Тогда \(\varepsilon+h\nu_\perp=0\), и с \(\varepsilon\) из «вперёд»

Один и тот же внутренний дефект \(\varepsilon\) кормит все три частоты, а разница — в механике отдачи. Выстрел вперёд тормозит атом на \(\Delta v=h\nu/(mc)\): фотон уносит импульс по скорости, кинетика падает, и на долю \(h\nu\) остаётся больше — отсюда \(\varepsilon=-h\nu(1-v/c)\). Выстрел назад, наоборот, разгоняет атом, кинетика растёт, фотону достаётся меньше, \(\varepsilon=-h\nu'(1+v/c)\). Приравнивая \(\varepsilon\), получаем \(\nu'=\nu(1-v/c)/(1+v/c)\). Поперечный фотон продольный импульс не трогает, квадрат отдачи отбрасываем, и \(\nu_\perp=\nu(1-v/c)\).

Предел \(v=0\): все три частоты сливаются. Иерархия \(\nu>\nu_\perp>\nu'\) — вперёд «синее», назад «красное». Обычный нерелятивистский Доплер из собственной \(\nu_0\) даёт \(\nu=\nu_0(1+v/c)\), \(\nu'=\nu_0(1-v/c)\), \(\nu_\perp=\nu_0\), и оба ответа воспроизводятся в первом порядке по \(v/c\). Релятивистский поперечный множитель \(\sqrt{1-v^2/c^2}\) здесь не виден: мы выкинули \((h\nu)^2/2mc^2\) и \(v^2/c^2\), как и велит условие «импульс фотона много меньше импульса атома».

На поверхности потенциал \(\Phi=-\gamma M/R\). Фотон «весит» \(h\nu/c^2\), чтобы уйти на бесконечность (к нам), отдаёт

Частота падает на \(\Delta\nu=\Delta\varepsilon/h=\nu\gamma M/(Rc^2)\). Чем больше \(M\) и меньше \(R\), тем глубже яма и тем краснее свет. Поэтому эффект и зовут гравитационным красным смещением: все линии спектра сдвигаются к красному концу, без изменения расстояний между ними в относительной мере \(\Delta\nu/\nu\).

Это не Доплер (звезда может не двигаться) и не космологическое расширение — чистая гравитация, предсказанная общей теорией относительности и в слабом поле видимая уже из эквивалентности массы и энергии.

У фотона нет массы покоя, но есть эквивалентная \(h\nu/c^2\). Вылезая из ямы \(\Phi=-\gamma M/R\), он совершает работу \((h\nu/c^2)\cdot(\gamma M/R)\) и теряет ровно столько энергии. Частота падает на \(\Delta\nu=\nu\gamma M/(Rc^2)\). Чем массивнее звезда и чем меньше её радиус, тем глубже яма и тем краснее ушедший свет. Все линии спектра сдвигаются к красному концу на одну и ту же относительную долю \(\Delta\nu/\nu\) — поэтому эффект и зовут гравитационным красным смещением, а не «уменьшением яркости».

Это не Доплер: звезда может покоиться относительно нас. И не космологическое расширение. Чистая гравитация, в слабом поле видимая уже из \(E=mc^2\). На башне Паунда–Ребки, 22,5 м, \(\Delta\nu/\nu=gh/c^2\sim2\cdot10^{-15}\) — и этот крошечный сдвиг измерили. У горизонта чёрной дыры \(R\to r_g=2\gamma M/c^2\) наивная формула даёт \(\Delta\nu/\nu\to1/2\), на самом деле частота уходит в ноль: свет «замирает» и наружу не выходит. Знак однозначен: глядя снизу вверх, мы краснеем, не синеем.

Эквивалентная масса фотона \(h\nu/c^2\), работа против тяготения \(\gamma M/R\):

Солнце: \(M=2\cdot10^{30}\) кг, \(R=7\cdot10^8\) м, \(\gamma=6{,}7\cdot10^{-11}\), \(c^2=9\cdot10^{16}\):

Видимый свет \(\nu\sim5\cdot10^{14}\) Гц, \(\Delta\nu_\odot\sim10^9\) Гц.

Мешает тепловое движение: при \(T\sim6000\) К у водорода \(v_\text{т}\sim\sqrt{3kT/m}\sim10\) км/с, \(v/c\sim3\cdot10^{-5}\) — на порядок больше гравитационных \(2\cdot10^{-6}\). Плюс конвекция, вращение Солнца, давление в линиях. Выделить гравитационный сдвиг можно, но это уже тонкая спектроскопия.

Та же работа \((h\nu/c^2)\cdot(\gamma M/R)\) для Солнца. Подстановка \(M=2\cdot10^{30}\) кг, \(R=7\cdot10^8\) м даёт \(\gamma M/(Rc^2)\approx2\cdot10^{-6}\). В видимой области \(\nu\sim5\cdot10^{14}\) Гц это \(\Delta\nu_\odot\sim10^9\) Гц — гигагерц на фоне пятисот терагерц, относительная мелочь. Через гравитационный радиус то же число: \(r_g^\odot=3\) км, \(\Delta\nu/\nu=r_g/(2R)=1{,}5/(7\cdot10^5)=2\cdot10^{-6}\).

Почему эффект так долго не ловили на Солнце? Тепловое движение в фотосфере при \(T\sim6000\) К даёт водороду \(v_\text{т}\sim10\) км/с, \(v/c\sim3\cdot10^{-5}\) — на порядок больше гравитационных \(2\cdot10^{-6}\). Плюс грануляция, вращение (экватор 2 км/с) и давление в линиях. Выделить гравитационный сдвиг можно, но это уже тонкая спектроскопия относительно лабораторного эталона. У белого карлика \(R\sim10^{-2}R_\odot\), сдвиг в сто раз больше — его на Сириусе B измерили ещё в 1920-х.

Внутри однородного шара \(|\Phi|\sim\gamma M/R\), в центре чуть больше (коэффициент \(3/2\)). С множителем 2 из ОТО

Шар как «стеклянная линза»: \(1/f=2(n-1)/R\),

Числа. Гравитационный радиус Солнца \(2\gamma M_\odot/c^2=3\) км, значит \(\gamma M_\odot/c^2=1{,}5\) км. Для галактики \(\gamma M/c^2=3\cdot10^{11}\cdot1{,}5\) км \(=4{,}5\cdot10^{11}\) км. \(R=2\cdot10^4\) пк \(\approx6\cdot10^{17}\) км.

Гигапарсек — космологический масштаб: такая «линза» фокусирует квазары с другого конца видимой Вселенной, не звёзды соседней галактики.

В слабом поле свет идёт так, будто пространство заполнено средой с показателем \(n=1-2\Phi/c^2\). У однородного шара \(|\Phi|\sim\gamma M/R\), с множителем 2 из ОТО и коэффициентом \(3/2\) в центре получаем \(n-1\sim3\gamma M/(Rc^2)\). Шар как очень слабая стеклянная линза: \(1/f=2(n-1)/R\), откуда \(f\sim R^2 c^2/(6\gamma M)\). Для точечной массы фокуса нет — угол отклонения \(\propto1/b\), разные лучи собираются в разных местах. Однородность как раз и делает «настоящую» линзу.

Числа. Гравитационный радиус Солнца 3 км, \(\gamma M_\odot/c^2=1{,}5\) км. Галактика \(M=3\cdot10^{11}M_\odot\) даёт \(\gamma M/c^2=4{,}5\cdot10^{11}\) км. Радиус \(R=2\cdot10^4\) пк \(\approx6\cdot10^{17}\) км, и \(f\sim10^{23}\) км \(\sim10^9\) пк. Гигапарсек — космологический масштаб: такая линза фокусирует квазары с другого конца видимой Вселенной, не звёзды соседней галактики. Параксиальный проход даёт \(\alpha\sim(4\gamma M/c^2 R^2)b\) и \(f=c^2 R^2/(4\gamma M)\) — шестёрка против четвёрки в оценке не важна.