Электрический диполь

Энергия диполя в поле равна \(-\mathbf p\cdot\mathbf E\). В пункте а) используйте сохранение энергии, в пункте б) запишите уравнение вращения диполя вокруг центра и сравните с уравнением гармонических колебаний.

Поле индуцированных зарядов на оси считать не нужно: оно одинаково входит в обе силы. Свяжите радиальную составляющую поля вблизи оси с производной осевой составляющей через теорему Гаусса для тонкого цилиндра.

\(\dfrac{F_Q}{F_D} = 2\).

Рассмотрим один заряд \(q\), расположенный на оси симметрии цилиндра. Поскольку поверхность цилиндра проводящая, на ней возникнут индуцированные заряды, величина которых пропорциональна \(q\). Их электрическое поле на оси цилиндра на расстоянии \(z\) до заряда можно записать в виде \[E_z^{(\text{ind})}(z) = q f^{(\text{ind})}(z),\] где \(f^{(\text{ind})}(z)\) — некоторая неизвестная функция, зависящая от распределения индуцированных зарядов.

Вклад в осевую напряжённость вносят не только индуцированные заряды на поверхности проводника, но и заряды, находящиеся на оси. Напряжённость от такого заряда модулем \(\tilde q\) мы обозначим за \(\tilde q f^{(\text{p})}\) (здесь «p» от английского point). Разумеется, её можно вычислить напрямую: \[q f^{(\text{p})}(z) = k\frac{q}{z^2}.\] Тогда, согласно принципу суперпозиции, поле в точке, где находится заряд \(Q\): \[E_1 = q\bigl(f(L) - f(L+l)\bigr),\] где \[f(z) = f^{(\text{ind})}(z) + f^{(\text{p})}(z).\] Тогда с учётом условия \(l \ll L\) получим для силы, действующей на заряд, \[F_Q = QE_1 = -qQl f'(L),\] или \[F_Q = -qQl\bigl(f^{(\text{ind})}\bigr)'(L) + 2qQl\frac{k}{L^3}.\] Теперь рассмотрим случай повёрнутого диполя. Заряд \(Q\) и индуцированные им заряды создают на оси цилиндра поле \[Qf^{(\text{p})}(z) + Qf^{(\text{ind})}(z) = Qf(z).\] При смещении от оси на малое расстояние \(r \ll R\) у электрического поля появляется радиальная составляющая \(E_r\). Чтобы определить её, рассмотрим цилиндр высоты \(dz\) с радиусом основания \(r\), ось симметрии которого совпадает с осью внешнего цилиндра. Поскольку внутри этого цилиндра нет зарядов, согласно теореме Гаусса, поток электрического поля через его поверхность равен нулю: \[\pi r^2 Q\bigl(f(z+dz) - f(z)\bigr) + 2\pi r\,dz\,E_r = 0,\] откуда \[E_r(z) = -\frac{1}{2}Qrf'(z),\]

или же \[E_r(z) = -\frac{1}{2}Qr\bigl(f^{(\text{ind})}\bigr)'(z) + \frac{1}{4}Qr\frac{k}{z^3}.\] Из симметрии задачи относительно оси цилиндра следует, что от системы, состоящей из заряда \(Q\) и индуцированных им зарядов, в точках, где расположены заряды диполя, составляющие электрического поля вдоль оси \(z\) равны, а значит, проекция суммарной силы на ось \(z\) равна \(0\).

Более того, из-за зеркальной симметрии системы индуцированных диполем зарядов осевая проекция силы на диполь от них равна нулю. Силы же, создаваемые радиальными составляющими поля от индуцированных диполем зарядов, уничтожают друг друга.

Суммарная сила, действующая на диполь, \[F_D = 2qE_r\left(\frac{l}{2}\right) = -\frac{1}{2}qQlf'(L).\] Отсюда искомое отношение \[\frac{F_Q}{F_D} = 2.\]