Энергия системы зарядов

Дополните малую полусферу до целой сферы: потенциал равномерно заряженной сферы внутри и на её поверхности легко найти. Затем используйте симметрию.

\(W = \dfrac{kQq}{R}\), где \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\).

Задача допускает несколько способов решения. Покажем два из них.

Пусть искомая энергия взаимодействия равна \(W\). Дополним рассматриваемую систему зарядов ещё одной заряженной полусферой радиусом \(r\), так чтобы образовалась малая заряженная сфера.

Потенциал поля малой сферы во всех точках большой полусферы равен \(k\dfrac{2q}{R}\), поэтому энергия взаимодействия сферы радиусом \(r\) и полусферы радиусом \(R\) равна \(k\dfrac{2qQ}{R}\). С другой стороны, эта энергия равна удвоенной энергии взаимодействия большой и малой полусфер, иначе говоря, удвоенной искомой энергии, поэтому \(W = k\dfrac{qQ}{R}\).

Другой способ решения предполагает анализ распределения потенциала полусферы. Рассмотрим поле большой полусферы. Потенциал этого поля в общем центре полусфер равен \(\varphi = k\dfrac{Q}{R}\). Если большую полусферу дополнить до целой сферы, то потенциал в любой точке внутри сферы будет равен \(2\varphi\). Отсюда следуют два утверждения.

a) Во всех точках среза большой полусферы (т. е. во всех точках круга, дополняющего полусферу до замкнутой поверхности) потенциал равен \(\varphi\).

б) Если рассмотреть две точки \(A\) и \(B\), симметричные относительно среза большой полусферы, то потенциалы в этих точках равны \(\varphi - \delta\) и \(\varphi + \delta\), где \(\delta\) — некоторая величина, зависящая от расположения точек \(A\) и \(B\).

Из утверждения б) следует, что если в точки \(A\) и \(B\) поместить равные заряды \(\Delta q\), то их суммарная энергия взаимодействия с внешней сферой будет равна \(2\varphi\,\Delta q\). А поскольку внутренняя полусфера симметрична относительно среза внешней полусферы, то её можно разбить на пары одинаковых малых зарядов \(\Delta q\). Отсюда следует, что полная энергия взаимодействия внутренней полусферы с внешней равна \[W = \varphi q = \frac{kQq}{R}.\]

Лёгкий шарик разгоняется гораздо быстрее тяжёлых. Подумайте, как можно разделить процесс на два этапа и записать закон сохранения энергии для каждого.

Скорость шарика с зарядом \(100q\): \(v_1 = \dfrac{10\,q}{\sqrt{\pi\varepsilon_0 mR}}\); скорости шариков с зарядами \(q\): \(v_2 = \dfrac{q}{20\sqrt{\pi\varepsilon_0 mR}}\).

В начальном состоянии энергия взаимодействия шариков равна \[W_1 = \frac{1}{2}\left(q\left[k\frac{100q}{R} + k\frac{q}{R}\right] + q\left[k\frac{100q}{R} + k\frac{q}{R}\right] + 100q\left[k\frac{q}{R} + k\frac{q}{R}\right]\right) = 201\,k\frac{q^2}{R}\] (шарики маленькие, следовательно, их собственная энергия в процессе движения не поменяется).

Так как масса шарика с зарядом \(100q\) много меньше масс двух остальных шариков, он улетит на далёкие расстояния очень быстро (два остальных не успеют разогнаться), поэтому из закона сохранения энергии получаем \[W_1 = \frac{m v_1^2}{2} + k\frac{q^2}{R} \quad\Rightarrow\quad v_1 = \frac{10\,q}{\sqrt{\pi\varepsilon_0 mR}},\] где \(v_1\) "— скорость шарика с зарядом \(100q\).

Запишем закон сохранения энергии для двух оставшихся шариков: \[k\frac{q^2}{R} = 2\cdot\frac{100\,m v_2^2}{2} \quad\Rightarrow\quad v_2 = \frac{q}{20\sqrt{\pi\varepsilon_0 mR}},\] где \(v_2\) "— скорость шариков с зарядами \(q\).

Кроме силы тяжести работу совершает кулоновская сила; удобно записать закон сохранения энергии с учётом энергии взаимодействия зарядов в начале (расстояние \(\sqrt5\,l\)) и в конце (расстояние \(l\)).

\(v = \sqrt{2\left(gl + k\dfrac{q^2}{lm}\left[1 - \dfrac{1}{\sqrt5}\right]\right)}\).

Запишем закон сохранения энергии для грузика массой \(m\): \[mgl - k\frac{q^2}{\sqrt5\,l} = \frac{mv^2}{2} - k\frac{q^2}{l},\] отсюда получаем: \[v = \sqrt{2\left(gl + k\frac{q^2}{lm}\left[1 - \frac{1}{\sqrt5}\right]\right)}.\]